§13.2 推理的几种基本方法

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推理证明与逻辑推理的基本方法

推理证明与逻辑推理的基本方法在日常生活中，我们常常需要做出决策或得出结论。

这时，我们就需要进行推理，以便能够根据已有的信息、证据或事实得出合理的结论。

推理方法包括推理证明和逻辑推理，二者都是在我们日常思维过程中常用的基本方法。

一、推理证明的基本方法推理证明是一种根据已知的证据和信息以及逻辑推理来得出结论的过程。

其基本方法包括归纳证明、演绎证明和对比证明。

1. 归纳证明归纳证明是一种通过观察现象来推断普遍性结论的方法，一般分为数学归纳法和实证归纳法。

其中，数学归纳法的基本思想是：如果对于一个正整数n，当n=1时结论成立，且当n=k时结论成立，则当n=k+1时结论也成立。

而实证归纳法则是通过一系列实验或实际事实中的个别案例证实一个假说，然后推算出结论的正确性。

例如，我们根据过去的数据发现，每逢夏日来临，天气会变得越来越炎热，那么我们就通过归纳推理来得出结论：夏季气温会上升。

2. 演绎证明演绎证明是一种通过已有的前提，通过严密的逻辑推理推导出结论的方法。

演绎证明根据推理的过程可以分为诡辩演绎和有效演绎，其中我们应该遵循有效演绎法即使前提正确，结论也一定正确的道理。

例如，假设我们已知“所有人类都会死亡”然后反推出“我会死亡”，这就是一种绝对正确的演绎证明。

3. 对比证明对比证明是一种根据两个或多个事物的异同性来得出结论的方法。

其中，比较分析的本质是难以玄妙地反复推导比较的两个事物间精神内辅及物质内在因果关系和基本形态、规律、变化趋势等多方面不同和相同之处，从而进而得到正确判断的结论。

例如，我们可以通过对比许多国家的社会制度来发现，民主制度对促进国家发展和民生改善更为有利，因此通过对比推理来得出民主制度的优越性结论。

二、逻辑推理的基本方法逻辑推理是一种利用逻辑规则进行推理的方法，通过对事物之间的关系、条件、前提、方式、结果等进行逻辑分析，得出正确的结论，其中比较常见的逻辑推理方法包括假言命题、陈述命题、三段论等。

推理入门知识点总结

推理入门知识点总结推理是人类思维活动的一种基本形式，是指在已知前提条件的基础上，根据一定的规则和逻辑，得出合乎逻辑的结论的思维过程。

推理在日常生活中无处不在，无论是在解决问题、做决策还是进行分析判断都离不开推理。

在学习和工作中，推理能力的培养对于提高思维逻辑能力和解决问题的能力具有重要的意义。

以下是推理入门的一些知识点总结，希望对您有所帮助。

一、推理的基本概念1. 推理的概念推理是指根据已知的一些前提条件，运用逻辑规则和推理方法，得出某种结论的思维过程。

推理是一种基本的思维形式，通过推理可以在已知的基础上进行进一步的推导，得到新的知识和结论。

2. 推理的特点推理是在已知条件下进行的思维活动，它具有明确的逻辑规则和方法，是一种有条有理的思维过程。

推理还具有一定的普遍性和规范性，通用于不同领域和问题的解决过程中。

3. 推理的种类推理可以分为演绎推理和归纳推理两种。

演绎推理是从一般原理到特殊情况的推理方法，通过“先验原理→特殊结论”的过程得出结论。

归纳推理是从特殊情况到一般原理的推理方法，通过“多个特殊→一般结论”的过程得出结论。

二、推理的基本规则1. 角色演变法则角色演变法则是指人物在剧情发展过程中的角色会发生某种变化或者转变，从而对整个故事发展产生影响。

2. 福耳尔法则福耳尔法则是指一些事件或事物的相对的发生频率在时间相当长、有统计学效力的情况下，就是调查者预测事件的发生频率。

3. 相依概率相依概率是指在进行两种或更多种测试或事件时，一种事件的结果会影响另一事件发生的概率。

例如两种车祸在同一个地点分别发生，那第二起车祸就会受到第一起车祸的影响。

4. 会话效应会话效应是指当一种产品呈现给可能的客户时会有导致产品有一种更积极的评价表现出来。

三、推理的基本方法1. 演绎法演绎法是一种从一般到特殊的推理方法，也叫做“逆推”。

它是指从一个一般性命题作为前提出发，由于这一前提的普遍性，我们可以得到特殊水平的推论的有效推理方法。

推理的三种基本形式

推理的三种基本形式
推理作为一项重要的辩证思维能力，已被广泛应用于哲学、自然科学、社会科学等领域。

由缘起证、异同证、假设证组成，推理主要分为三种基本形式。

首先，缘起证由因果缘故而推导出结论，从各种材料出发，论据细致全面，有力地展示出研究的思路及结论，常被应用于社会科学的议论文类作品中。

其次，异同证则将问题拆开，从两面中推断出答案。

首先分析两个对象的异同点，以术语来定义问题视角，采用非正式证明方法为出结论提供依据，说明其逻辑性得到较高的认可。

最后，假设证是将可能的解释与现有的证据作对比，以此否定某些想法或明确某些想法。

它常常是特定的推理形式，要求坚定的结论，例如在自然科学的实验中。

综上所述，缘起证是从各种材料出发，论据细致全面，推导出合理结论的一种推理形式；异同证是拆开问题，从两面中推断出答案的一种推理形式；假设证是将可能的解释与现有的证据作对比，以此否定某些想法或明确某些想法的一种推理形式。

推理的三种基本形式十分重要，成为人们进行推理的重要手段，备受学者们重视。

通过这三种形式，不仅可以检验思维放宽实践，而且能够探寻对现象和事物之间关系的合理论证。

逻辑推理的三种方法

逻辑推理的三种⽅法归纳推理　归纳是从个别对象推知⼀类对象，从个别性知识推知中概括出⼀般原理或规律的的推理形式和思维⽅法，归纳推理包括完全归纳法和不完全归纳法。

例如在具有细胞结构的⽣物中，对它们的遗传物质进⾏推理发现，所有具有细胞结构的⽣物的遗传物质都是DNA，这就是完全归纳的结论。

但如果把病毒也作为⽣物，进⾏遗传物质的推理发现，只有⼀部分病毒的遗传物质是DNA，还有⼀部分病毒的遗传物质是RNA，所以我们说，绝⼤多数⽣物的遗传物质是DNA，这就是⼀个不完全归纳的结论。

细胞⾥⾯⽔的含量是最多的，这也是⼀个不完全归纳的结论，因为有极少数细胞中不的含量是很少或⼏乎没有⽔，例如⼩麦胚细胞中淀粉最多，脂肪细胞中的脂肪最多。

演绎推理　演绎是从⼀般到特殊，根据⼀类事物都有的⼀般属性、关系、本质来推断这类事物中的个别事物所具有的属性、关系和本质的推理形式和思维⽅法。

在演绎推理中，除了由⼀个前提推出⼀个结论的直接推理外，还有由两个或两个以上的前提推出⼀个结论的间接推理。

后者中运⽤得⽐较多的是“三段论”。

例如问，原⼦核运动不是不运动？要获得答案，可以⽤三段论推理：⼤前提：物质都是运动的。

⼩前提：原⼦核是物质。

结论：原⼦核也是运动的。

值得注意的是，不完全归纳推理的结论，不能作为演绎推理的⼤前提。

类⽐推理　类⽐推理是逻辑推理的⽅法之⼀，它是启发⼈们进⾏创新思维的重要形式。

类⽐推理是根据两个或两类事物在某些属性上有相同或相似之处，⽽且已知其中⼀个事物具有某种属性，由此推知另⼀个事物也可能具有这种属性的推理。

例如，斯莱登和施旺发现植物和动物都是由细胞组成的，后来斯莱登发现了植物细胞中有细胞核，他通过类⽐推理，认为动物细胞中可能也有细胞核。

他把这⼀想法告诉了施旺，后来施旺果然在动物中发现了细胞核。

在科学研究中，类⽐推理是提出假说的重要途径，往往可以导致新发现、新理论。

应当注意的是，类⽐推理得出的结论不⼀定具有逻辑上的必然性，其是否正确，还需要⽤其他⽅法来检验。

数学的推理方法

数学的推理方法数学作为一门严谨的学科，其独特之处在于其推理方法的严密性和准确性。

数学的推理方法为我们提供了一种解决问题、证明定理以及推导结论的有效工具，使得数学成为一门具有广泛应用和深刻内涵的学科。

本文将探讨数学的推理方法，包括归纳法、演绎法以及递归法等。

一、归纳法归纳法是数学中常用的一种推理方法。

它通过从已知情况中归纳出普遍规律，从而推断出未知情况成立的可能性。

归纳法通常分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤是指首先验证当某个特定条件成立时，命题是否成立。

这可以通过具体的例子或者特殊情况来进行验证。

例如，要证明一个命题对于所有正整数都成立，可以首先验证当n=1时命题成立。

归纳步骤是指假设命题对于某个特定情况成立，然后通过这个假设以及一些必要的推理步骤来证明命题对于下一个情况也成立。

例如，假设当n=k时命题成立，然后通过这个假设以及一些逻辑推理来证明当n=k+1时命题也成立。

通过反复进行基础步骤和归纳步骤，可以逐步扩展归纳的范围，最终推导出命题在所有情况下都成立的结论。

二、演绎法演绎法是另一种常用的数学推理方法。

演绎法通过利用已知的真实前提，应用逻辑规则进行推理，从而得出新的结论。

演绎法是基于逻辑推理的。

它通过使用一系列已知的真实前提和逻辑规则，按照一定的顺序和方式进行推理，从而得出结论的正确性。

演绎法的推理过程是由一系列逻辑规则和推理定律所支持的，它们确保了结果的准确性和可靠性。

演绎法通常包括两个步骤：前提与条件的设定以及规则的应用。

在前提与条件的设定中，需要明确已知的前提和条件，以及推导所需的目标。

然后，根据逻辑规则和推理定律，通过逻辑推理来证明目标的成立。

三、递归法递归法是一种通过建立递推关系，从而得出问题解决方法的数学推理方法。

递归法通过将一个问题分解为更简单的、与原问题相似的子问题，并找到子问题的解决方法，从而逐步求解原问题。

递归法通常包括两个步骤：基础情况的确定和递推关系的建立。

推理的几种基本方法

作业布置
P24练习4：1、2
板
书
设
计
§13.2推理的几种基本方法
一知识要点二、例题分析
1、例1、例2、例3、
2、
3、
教学后记
3、不使用等差数列求和公式，猜测：
1+3+5+7+9+…+199=？1+3+5+7+9+…+（2n-1）=？
【过渡转换】
同学们，我们共同回顾一下，本节课主要学习哪些新知识，利用这些新知识可以解决哪些新问题，在解决问题的过程中，要用到哪些数学思想方法，得到哪些结论？
五、归纳总结：
1、合情推理：
（1）归纳推理
【过渡转换】
同学们，我们刚才共同研究解决了几个问题，你们能否利用所学的知识、方法独立解决几个类似的问题呢？
5、解析例1：
求的步骤为：
Hale Waihona Puke （1）令；（2）求出；
（3）用替换得。
6、解析例2：
（1）要证明图象关于轴对称，只要证明函数是偶函数即可。
（2）证明函数的步骤：
①证明函数的定义域关于原点对称；
1、由3、4两题，教师引出合情推理的概念。
2、教师板书课题，并要求学生在书上找到合情推理的定义。
3、教师板书知识点，并强调以下几点：
（1）归纳、类比两种合情推理，一般具有发现性和创造性，但带有臆测、猜想倾向；
（2）演绎推理是由一般性的命题严格地推出特殊性命题的一种推理模式，它主要用于证明给定的结论。
例2、求证：函数的图象关于轴对称。
【分析探究】
题型结构特征、解题思想方法、考查知识能力、板书格式步骤等。

逻辑推理的基本方法

《逻辑推理的基本方法》逻辑推理是一种通过分析、比较、归纳、演绎等思维活动，从已知的事实或前提中推导出结论的方法。

它在我们的日常生活、学习、工作以及科学研究等各个领域都有着广泛的应用。

掌握逻辑推理的基本方法，不仅可以帮助我们更好地理解和解决问题，还能提高我们的思维能力和决策水平。

一、归纳推理归纳推理是从个别事物或现象中概括出一般结论的方法。

它通常是通过观察大量的具体事例，找出它们的共同特征，从而得出一般性的规律或结论。

例如，我们观察到麻雀会飞、燕子会飞、鸽子会飞等许多种鸟类都会飞，于是我们可以归纳出“鸟类都会飞”这个一般性的结论。

当然，这个结论并不是绝对正确的，因为还有一些鸟类如鸵鸟、企鹅等是不会飞的。

所以，归纳推理得出的结论具有一定的或然性，需要进一步的验证和修正。

归纳推理又可以分为完全归纳推理和不完全归纳推理。

完全归纳推理是对某类事物的全部对象进行考察后得出的结论，其结论是必然的。

例如，我们考察了三角形的内角和分别为 180 度的所有情况，从而得出“三角形的内角和为 180 度”这个必然结论。

不完全归纳推理则是只考察了某类事物的部分对象，其结论是或然的。

二、演绎推理演绎推理是从一般原理出发，推导出个别结论的方法。

它通常是由大前提、小前提和结论三个部分组成。

例如，大前提是“所有的哺乳动物都是胎生的”，小前提是“海豚是哺乳动物”，那么结论就是“海豚是胎生的”。

演绎推理的结论是必然的，只要大前提和小前提正确，结论就一定正确。

演绎推理在科学研究和数学证明中有着广泛的应用。

例如，在数学中，通过已知的定理和公理，推导出新的定理和结论。

在科学研究中，通过已有的理论和实验结果，预测新的现象和结果。

三、类比推理类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的方法。

例如，地球和火星都是行星，都有大气层、水等特征，地球上有生命存在，于是我们可以类比推出火星上也可能有生命存在。

数学推理的方法

数学推理的方法数学推理是数学科学中的一个重要分支，它是建立数学理论的基础。

以下是一些常用的数学推理方法：一、归纳推理归纳推理是从具体的实例中总结出一般规律的过程。

例如，观察一些特定的数学对象，通过比较、分析它们的性质和关系，可以归纳出它们的一般性质或规律。

二、演绎推理演绎推理则是从一般到特殊的推理过程。

它通常以公理、定理等为基础，通过逻辑推理得出新的结论。

演绎推理在数学中应用广泛，如几何、代数等领域。

三、类比推理类比推理是通过比较两个或多个事物的相似性，从一个事物的已知性质推导出另一个事物的性质的过程。

在数学中，类比推理常用于寻找新的数学对象或理论。

四、数学归纳法数学归纳法是一种特殊的归纳推理方法，主要用于证明与自然数有关的数学命题。

通过数学归纳法，可以从一个初始的基本命题出发，逐步推导出其他命题，从而全面证明某个数学命题。

五、反证法反证法是通过否定一个命题来证明该命题的方法。

首先假设某个命题是错误的，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原命题是正确的。

反证法在数学中经常被使用，如证明无解的方程等。

六、构造法构造法是通过实际构造来证明某个命题的方法。

在数学中，有时可以通过构造具体的实例来证明某个命题，如构造出一个满足某种性质的解或反例等。

七、代数法代数法是通过代数运算和变换来证明或求解数学问题的方法。

代数法广泛应用于方程求解、函数性质等领域。

八、数学模型法数学模型法是将现实问题转化为数学模型的过程。

通过建立数学模型，可以将现实问题转化为数学问题，从而应用数学方法和工具进行求解。

这种方法在科学计算、工程等领域有广泛应用。

九、数理逻辑数理逻辑是数学推理的基础，它研究推理的形式和规律。

数理逻辑通过符号和公式来表示推理过程，从而精确地表达数学中的概念和命题。

数理逻辑在计算机科学、人工智能等领域也有广泛应用。

逻辑推理的十种方法

逻辑推理的十种方法1 问题求解问题求解是一种逻辑推理的方法，它主要是从事实出发，分析给定条件下所有可能的结果，最终确定出一个最佳解决方案，以解决某个问题。

此方法包括通过分析语义、结构和数据之间的关系来寻找答案。

2 推理推理是一种综合性的逻辑推理方法，它可以用来证明某种结论或结果是否正确或正确的可能性有多大。

推理通常使用正确的逻辑技术来分析已知的论证，以确定新的结论的可能性是否存在。

3 观察观察是一种逻辑推理方法，它强调仔细观察观察周围发生的事情，以便了解什么导致了特定结果，从而能够从中推断出准确的结论。

此方法強调了观察，并多次反复进行测试，以验证观察结果。

4 用例分析用例分析是一种逻辑推理方法，它介绍了有关一些特定情况，让读者依据有关研究，进行灵活的思考，形成结论。

用例分析也可以通过启发性技术来获得结论，甚至可以发现潜在的未知概念。

5 推断推断是一种逻辑推理方法，它基于某些给定的事实，结合逻辑技巧推断出某种结论。

此方法具有不断降低不确定性和解决客观问题的能力，以得出合理的结论。

6 可视化思维可视化思维是一种比较新的逻辑推理方法，它可以帮助人们解决复杂的问题，以及确定准确和创造性的解决方案。

可视化思维的基本思想是将抽象的思想、事件或概念转化为图像，以便更好地理解和记忆。

7 因果推理因果推理是一种将某种行为或情况变化与它们之间导致的结果之间关系表述出来的逻辑推理方法。

因果推理假定，如果某种行为或情况能够把一种情况转变为另一种情况，那么就可以得出因果关系。

8 假设假设是一种逻辑推理方法，它建立在假设或想象中，将一种情况作为可能发生的事情，基于这一假设，检查对结论的影响，以了解假设的可能性。

这一方法的假设可以是正确的或不正确的，最终都将验证其准确性。

9 前提推理前提推理是一种逻辑推理方法，它使用一个或多个已知的、先验确定的前提来推断出未知的结论。

前提推理的基础是通过推理，从而证明某种推论的正确性或其正确的可能性。

13.2直接证明与间接证明

1．直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件步骤的符号表示P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)B(结论)⇐B1⇐B2…⇐B n⇐A(已知)2.间接证明(1)反证法的定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒tt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：①分清命题的条件和结论；②做出与命题结论相矛盾的假设；③由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a ab >b 2 C.1a <1b D.b a >ab答案 B解析对于A ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故不正确．对于B ，∵a 0， ∴a 2>ab ，∴ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2，故B 正确．对于C ，∵a 0，∴1a >1b，故错；对于D ，∵a <b <0，b a －a b ＝b 2－a 2ab <0，∴b a <ab，故错． 2．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A. 3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________．答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________三角形．答案等边解析由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.题型一综合法的应用例1 对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足： ①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数． (1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是不是理想函数．(1)证明取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1， ∴f (0＋0)≥f (0)＋f (0)，∴f (0)≤0. 又对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0， ∴f (0)≥0.于是f (0)＝0.(2)解对于f (x )＝2x ，x ∈[0,1]，f (1)＝2不满足新定义中的条件②， ∴f (x )＝2x ，(x ∈[0,1])不是理想函数．对于f (x )＝x 2，x ∈[0,1]，显然f (x )≥0，且f (1)＝1. 任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1， f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 2)． ∴f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数．对于f (x )＝x ，x ∈[0,1]，显然满足条件①②. 对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f (x 1)＋f (x 2)]2.∴f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，不满足条件③. ∴f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．综上，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数，f (x )＝2x (x ∈[0,1])与f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设知(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型二分析法的应用例2 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 证明要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)．所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立，因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 证明要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0,3x 2>0，由均值不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，故原结论成立．思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．已知a >0，求证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．题型三反证法的应用命题点1 证明否定性命题例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1)解当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*)又因为p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋，所以r －q ，r －p ∈N ＋. 所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．命题点2 证明存在性问题例4 (2015·济南模拟)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a －2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3.(2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ] (a >－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎨⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．命题点3 证明唯一性命题例5 已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f (x )∈M ，(ⅰ)方程f (x )－x ＝0有实数根； (ⅱ)函数f (x )的导数f ′(x )满足0<f ′(x )<1.(1)判断函数f (x )＝x 2＋sin x4是不是集合M 中的元素，并说明理由；(2)集合M 中的元素f (x )具有下面的性质：若f (x )的定义域为D ，则对于任意[m ，n ]⊆D ，都存在x 0∈(m ，n )，使得等式f (n )－f (m )＝(n －m )f ′(x 0)成立．试用这一性质证明：方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根． (1)解 ①当x ＝0时，f (0)＝0，所以方程f (x )－x ＝0有实数根为0； ②f ′(x )＝12＋14cos x ，所以f ′(x )∈⎣⎡⎦⎤14，34，满足条件0<f ′(x )<1. 由①②可得，函数f (x )＝x 2＋sin x 4是集合M 中的元素．(2)证明假设方程f (x )－x ＝0存在两个实数根α，β (α≠β)，则f (α)－α＝0，f (β)－β＝0. 不妨设α<β，根据题意存在c ∈(α，β)，满足f (β)－f (α)＝(β－α)f ′(c )．因为f (α)＝α，f (β)＝β，且α≠β，所以f ′(c )＝1.与已知0<f ′(x )<1矛盾．又f (x )－x ＝0有实数根，所以方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N ＋，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．24．1反证法在证明题中的应用典例 (12分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．思维点拨 (1)根据菱形对角线互相垂直平分及点B 的坐标设出点A 的坐标，代入椭圆方程求得点A 的坐标，后求AC 的长；(2)将直线方程代入椭圆方程求出AC 的中点坐标(即OB 的中点坐标)，判断直线AC 与OB 是否垂直．规范解答(1)解因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)所以设点A ⎝⎛⎭⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.[4分] (2)证明假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 2＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分] 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k，因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分] 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．[12分]温馨提醒 (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．[方法与技巧]1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． [失误与防范]1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．A 组专项基础训练 (时间：45分钟)1．若a 、b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1答案 B解析在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．2．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确；②的假设错误 D ．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①不正确；对于②，其假设正确． 3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0 B ．a －c >0 C ．(a －b )(a －c )>0 D ．(a －b )(a －c )<0 答案 C解析由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2 ⇐(a ＋c )2－ac <3a 2 ⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a ·a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3·a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，∴P <Q . 5．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤答案 C解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.6．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是____________________________．答案 a ，b 中没有一个能被5整除解析 “至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________．答案 ①③④解析要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立． 8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)解假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD .∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .B 组专项能力提升(时间：30分钟)11．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A答案 A解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数． ∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 12．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形答案 D解析由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．13．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N ＋，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________．答案 c n ＋1<c n解析由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， ∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .14．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－20，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c . (3)证明由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a. 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.15．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1)解由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0.a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －1 1－34·(23)n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1] ＝14·(23)n －1. (2)证明用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

推理类知识点总结

推理类知识点总结一、推理的类型推理可以分为演绎推理和归纳推理两种类型。

1. 演绎推理演绎推理是从已知的普遍原理或规则出发，根据具体的情况来推断出结论。

例如，“所有人都会死亡”是一个普遍原理，如果说“小明是个人”，那么根据这个原理就可以推断出“小明会死亡”。

演绎推理可以进一步分为三种形式：三段论、假言推理和拒取演绎。

2. 归纳推理归纳推理是从特殊的事实或案例出发，推断出普遍性的结论。

例如，通过观察很多次火烧起来时都是红色的，就可以推断出“火总是红色的”。

归纳推理也可以分为一般归纳和基于类比的归纳。

二、推理的基本原则在进行推理时，需要遵循一些基本的原则，以确保推理的正确性和有效性。

1. 真理原则推理的结论必须符合事实的真相。

如果推理的前提是错误的，那么得出的结论也是错误的。

2. 一致性原则推理的过程中，应该保持前后推理的一致性，不能出现自相矛盾的情况。

3. 全面性原则推理时需要考虑到所有相关因素，不能忽略某些重要的信息或现象。

4. 逻辑性原则推理的过程需要符合逻辑规律，不能出现违反逻辑规则的情况。

三、推理的方法推理有多种方法，常用的有演绎推理、归纳推理、分析推理和类比推理等。

1. 演绎推理方法演绎推理方法通常采用三段论的形式，即从普遍原理出发，根据特殊情况得出结论。

这种方法应用广泛，适用于各种学科和领域。

2. 归纳推理方法归纳推理方法通常采用观察、实验和类比等方式，从具体案例出发，得出普遍性结论。

这种方法在科学研究和日常生活中都有重要应用。

3. 分析推理方法分析推理方法是指对问题进行分解、分析和综合，从而得出结论的方法。

这种方法适用于复杂的问题和情况，能够帮助人们理清问题的关系。

4. 类比推理方法类比推理方法是指根据相似性来推断事物之间的关系。

这种方法在解决新问题或难题时往往非常有效。

四、推理的实际应用推理在日常生活和各个领域中都有重要的应用。

在科学研究中，科学家们常常通过实验、观察和推理来发现新的规律和原理。

数学知识点逻辑推理的基本方法

数学知识点逻辑推理的基本方法逻辑推理是数学中极为重要的一部分，它通过合理的思维过程来解决问题。

本文将介绍数学知识点逻辑推理的基本方法，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。

一、命题逻辑命题逻辑是逻辑推理的基础，它关注的是命题之间的关系。

命题是陈述性句子，可以是真（True）或假（False）。

常见的命题逻辑方法有：1.1 逻辑联结词逻辑联结词是用于连接命题的词汇，常见的有“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）等。

通过这些逻辑联结词的运用，可以构建复合命题，进一步分析逻辑推理的结论。

1.2 命题联结词命题联结词用于连接整个命题，包括前提和结论部分。

常见的命题联结词有：“如果……那么”、“只有……才”等。

通过使用这些联结词，可以确定命题之间的关系，从而进行逻辑推理。

二、演绎推理演绎推理是逻辑推理的一种常见方法，主要通过一系列前提和规则，推导出结论。

它分为推理（deduction）和证明（proof）两个过程。

2.1 推理推理是一种基于已知事实的逻辑推断过程。

它通过提供的前提和一定的规则，得出结论。

常见的推理方法有：（1）假设法：假设某个命题为真，推导出其他可以得出的结论，如果这些结论与已知事实相符，则假设成立；（2）归谬法：通过假设某个命题不成立，推导出明显的错误结论，从而验证该假设命题是真的；（3）演绎法：根据已知的命题和准则，得出新的命题。

2.2 证明证明是为了验证一个命题的真实性，要求所有步骤都必须符合严密的逻辑推理。

常见的证明方法有：（1）直接证明法：通过一连串的逻辑推理，证明一个命题的真实性；（2）间接证明法：假设要证明的命题不成立，通过一系列推理过程，得出矛盾结论，从而验证命题的真实性；（3）反证法：假设要证明的命题不成立，通过一系列逻辑推理，得出与已知事实矛盾的结论，从而证明命题的真实性。

三、归纳推理归纳推理是从特殊到一般的逻辑推理，通过某些特殊情况的观察，得出一般规律。

常见的归纳推理方法有：3.1 数学归纳法数学归纳法是一种证明自然数性质的普遍方法，它包含两个步骤：（1）基础步骤：证明当n取某个固定的值时，命题成立；（2）归纳步骤：假设命题对n=k成立，通过推理证明命题对n=k+1也成立。

逻辑推理六大技巧

逻辑推理六大技巧第1大技巧计算推导计算推导是逻辑推理过程中最基本的方法。

我们每个人从小学开始就学会做计算了，但是对于计算的用处究竟有多大，能够透露出多少隐藏在问题背后的信息，就不是人人都清楚的了。

事实上，计算和其他推理技巧一样，都是我们进行逻辑推理时最基本、最可靠的工具，特别是在运用代数的方法来解决问题时，它往往能暴露问题的本质，使我们得出充足、可靠的结论。

这里只想再提醒你一点，计算推导一定要完备，不能漏掉任何一种情况，哪怕这种情况的出现是如此的不正常。

第2大技巧演绎推理演绎是一种由一般到个别的推理方法。

在演绎推理过程中，前提和结论之间的联系是必然的，结论不能超出前提所断定的范围。

对于一个正确的演绎推理过程，如果其前提是真的，则所得到的结论也一定是真的，这是演绎推理的一个重要特征。

演绎推理中有一种特殊的方法，称为递推。

所谓递推，就是利用研究对象之间的联系，用前一步的结论去推导下一步的结论，以达到简化问题的目的。

递推是一种非常有效的思考方法，它有点像多米诺骨牌，推倒第一块以后，后面的骨牌就会依次倒下。

如果能够熟练运用递推技巧，你会发现，许多看上去很难的题目也可以轻松地找到答案。

第3大技巧归纳分类归纳是一种由个别到一般的推理方法。

与演绎推理不同，归纳推理得出的结论不一定绝对正确，所以有时我们称它具有或然性。

但归纳推理中有一种特殊的完全归纳推理，应用完全归纳推理时，只要我们考察了该类事物的全部对象，那么结论就必然是完全真实的。

在进行归纳推理时，一个很重要的技巧就是要对它们进行分类，把它们分成若干个小组，然后分别进行分析。

分类可以使每一部分的研究对象都比原来的问题更简单，相互之间的关系更清晰。

第4大技巧反向思考反向思考是解决逻辑推理问题的一种特殊方法。

任何一个问题都有正反两个方面。

所谓正难则反，很多时候，从正面解决问题相当困难，这时如果从其反面去想一想，常常会茅塞顿开，获得意外的成功。

这就是反向思考。

在进行逻辑推理时，有时已知的条件很多，能够运用的逻辑关系也很复杂，要从众多的可能性中寻找所需要的结果，往往是非常困难的。

了解数学推理的基本方法与技巧

了解数学推理的基本方法与技巧数学推理是数学学科中最重要的一部分，它是通过逻辑和推理来解决问题的过程。

了解数学推理的基本方法和技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们的思维能力和解决问题的能力。

本文将介绍一些常用的数学推理方法和技巧。

一、归纳法归纳法是一种通过观察和总结的方法来推理的方法。

它的基本思想是：通过观察一系列特殊情况的规律，得出一般情况的结论。

具体操作时，可以先找到一些特殊情况的解，然后通过观察这些解的规律，推导出一般情况的解。

例如，我们要证明一个数学命题：“任意正整数n的平方是偶数”。

我们可以先观察一些特殊情况，比如n=1，n=2，n=3等，发现它们的平方都是偶数。

然后我们可以猜测任意正整数n的平方都是偶数，并通过数学推理来证明这一猜测。

具体的证明过程可以使用归纳法，先证明n=1的情况成立，然后假设n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立。

通过这样的推理过程，我们可以得出结论：任意正整数n的平方是偶数。

二、逆否命题逆否命题是一种常用的数学推理方法。

逆否命题是指将一个命题的否定和逆命题互换的命题。

逆否命题的真假与原命题的真假是等价的。

例如，原命题：“如果一个数是素数，那么它不能被2整除”。

逆否命题是：“如果一个数能被2整除，那么它不是素数”。

通过逆否命题，我们可以得到一个更容易判断真假的命题。

在数学证明中，逆否命题常常被用来进行推理，因为逆否命题的真假与原命题的真假是等价的。

三、反证法反证法是一种常用的数学推理方法。

反证法的基本思想是：假设要证明的命题不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

反证法常用于证明一些“只有一个解”的问题。

例如，我们要证明一个命题：“方程x^2=2没有有理数解”。

我们可以假设方程有有理数解，然后通过推理推导出矛盾的结论。

具体的证明过程可以使用反证法，假设方程有有理数解，设解为p/q（p和q互质），则有(p/q)^2=2，即p^2=2q^2。

推理的种类和形式

推理的种类和形式一、推理及其语言形式推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式。

例如“客观规律总是不以人们的意志为转移的，经济规律是客观规律，所以，经济规律是不以人们的意志为转移的”，这段话就是一个推理。

其中“客观规律总是不以人们的意志为转移的”，“经济规律是客观规律”是两个已知的判断，从这两个判断推出“经济规律是不以人们的意志为转移的”这样一个新的判断。

任何一个推理却包含已知判断、新的判断和一定的推理形式。

作为推理的已知判断叫前提，根据前提推出新的判断叫结论。

前提与结论的关系是理由与推断，原因与结果的关系。

推理与概念、判断一样，同语言密切联系在一起，推理的语言形式为表示因果关系的复句或具有因果关系的句群。

常用“因为……所为……”“由于……因而……”“因此”、“由此可见”、“之所以……是因为……”等作为推理的系词。

二、推理的方法类型1．演绎推理它是由普遍性的前提而进行的代入性推理，演绎推理有三段论、假言推理和选言推理等形式。

2．归纳推理它是由特殊的前提推出普遍性结论的推理。

归纳推理有以下几种类型：1.完全归纳2.不完全归纳：简单枚举和科学归纳3．类比推理它是从特殊性前提推出特殊性结论的一种推理，也就是从一个对象的属性推出另一对象也可能具有这属性。

三、推理的正确性与逻辑性(一) 推理的正确性问题一个推理是否正确，取决于它是否同时具备了两个条件，即：第一，推理的前提真实；第二，推理的形式有效。

(二) 推理的逻辑性问题推理的逻辑性是指，推理形式是否符合普通逻辑的基本规律和推理规则。

符合，则推理形式有效，推理有逻辑性；相反，若不符合，则推理形式非有效，推理没有逻辑性。

即：一个推理是否有逻辑性，只涉及到推理的逻辑形式是否有效，而与其前提内容的真假无关。

第二节常见的推理论证方法1 三段演绎法由一个共同概念联系着的两个性质判断作前提，推出另一个性质判断作结论的推理方法。

例如科学是老老实实的学问(大前提)，马克思主义是科学(小前提)，所以马克思主义是老老实实的学问，前两个判断是前提，第三个判断是结论。

简单逻辑推理的基本方法知识点总结

简单逻辑推理的基本方法知识点总结逻辑推理是我们日常生活中经常用到的思维方式，它可以帮助我们在复杂的问题中进行分析和决策。

在逻辑推理过程中，我们需要运用一些基本的方法和原则，以确保我们的推理过程正确无误。

下面是一些简单逻辑推理的基本方法知识点的总结。

1. 假设与事实的区分在逻辑推理中，我们需要清楚地区分假设和事实。

事实是已经发生或者可以观察到的情况，而假设是我们在推理过程中提出的可能性。

正确的推理需要基于真实的事实而不是假设。

2. 充分条件与必要条件在逻辑推理中，我们经常会遇到充分条件和必要条件的概念。

充分条件指的是一个条件成立时一个事件一定会发生，而必要条件指的是一个事件发生时一个条件一定会成立。

在推理过程中，我们需要准确地理解和运用这两个概念。

3. 归纳与演绎逻辑推理有两种基本的推理方式，即归纳和演绎。

归纳是从特殊情况中得出一般性结论，而演绎是从一般性结论中推导出特殊情况。

在实际生活中，我们常常会用到这两种推理方式。

4. 分类与定义在逻辑推理中，分类和定义是非常重要的概念。

分类是将事物按照其共同特征进行分组，而定义是对事物进行明确而准确的描述。

逻辑推理需要我们具备良好的分类和定义能力，以确保推理的准确性。

5. 条件语句的推理条件语句是逻辑推理中经常遇到的形式，它包含一个前提和一个结论。

在推理条件语句时，我们需要明确前提与结论之间的关系，并且根据这个关系来进行推理。

典型的条件语句包括假设-结论型和因果-结果型。

6. 反证法反证法是一种常用的推理方法，它通过假设反面的情况来推导出正面的结论。

在使用反证法时，我们需要假设反面情况是正确的，然后利用推理方法推导出矛盾的结论。

如果得出的结论与已知事实矛盾，那么原先的假设就是错误的。

7. 偏见与谬误在逻辑推理中，我们需要注意避免偏见和谬误的影响。

偏见是对信息和观点进行主观偏向的倾向，而谬误是推理过程中的逻辑错误。

我们应该保持客观、理性的态度，并且经常检查我们的推理过程是否存在谬误。

§13.2 推理的几种基本方法

§13.2 推理的几种基本方法预备知识●不等式基本性质及不等式的解法●素数、奇数、偶数等概念●数列的有关知识●立体几何中有关体的概念●函数的奇偶性与函数图象的对称性重点●合情推理与演绎推理的一般方法●归纳推理与类比推理在数学发现中的应用●演绎推理的一般形式及其应用●数学归纳法的原理与应用难点●归纳推理与类比推理在数学发现中的应用●演绎推理的一般形式及其应用●数学归纳法的原理与应用学习要求：●通过学习教材中列举的例子体会归纳推理与类比推理在数学发现中的应用，并能对一些数学问题作出合情推理，提出一些合情的猜想●理解演绎推理的一般形式及其应用方法，会运用演绎推理解决一些简单的数学问题●理解数学归纳法的原理，会运用数学归纳法证明一些简单的关于自然数n的数学命题●了解数学归纳法的局限性1. 几种主要的逻辑推理导出和判定命题真假，离不开推理过程．推理必须符合逻辑，即应该是逻辑推理．对不同的命题，尽管推理过程千变万化，但并非无章可循，我们仍然可以从中总结出一些基本规律和原则．简单地说，推理可以分为合情推理与演绎推理两大类．合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程．看下面这个例子：6=3+3；8=3+5；10=5+5=3+7；12=5+7；……我们可以发现如下规律：各等式的左边是大于4的偶数，右边各加数为奇素数．由此可以合乎情理地推测，大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和．这就是著名的哥德巴赫猜想．它是从有限个特例通过不完全归纳提出的猜想．这就是合情推理的一种，叫做归纳推理．众所周知，到目前为止这个浅显易懂的猜想尚未得以证明．换言之，尽管我们目前还举不出反例，但它仍然只是个猜想，未必正确．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理与演绎推理之间联系紧密、相辅相成．下面对合情推理与演绎推理的一般形式及其特点加以分析．(1)归纳推理归纳推理(简称归纳)是从具体事实中概括出一般结论的一种推理模式．如果仅能对部分事实验证结论，则叫做不完全归纳法；如果能穷尽全部事实验证结论，则叫做完全归纳法．不要被“不完全归纳法”、“完全归纳法”之类的名称吓倒，其实这种归纳法你经常在应用．例如，给出数列前几项{a n }={2,4,6,8,…}，{b n }={1357,,,24816,…}，要求写出数列的通项，你立即会写出a n =2n ，b n =212n n -(n =1,2,3,…)．这就是归纳推理．当然在没有对所有正自然数n 验证之前，只是不完全归纳；一旦根据其它条件得到了验证，就成为完全归纳了．不完全归纳法是一种合情推理，得出的结论未必是正确的．17世纪著名数学家费马曾通过不完全归纳得出猜想“221kn a =+(n ∈N)是一个素数”．在n =0,1,2,3,4时这个猜想都是正确的，但随着n 的增加，a n 增长太快了，而要确定一个很大的数是否为素数又非常困难，所以这个猜想长期处于既不能证明其为真，但又不能举出反例证明其为假的两难境地．直至18世纪，另一位大数学家欧拉才证明了当n =5时它是错的．同样，哥德巴赫猜想也是通过不完全归纳法得出的结论，它的正误尚无定论，因此仅仅叫做猜想．然而有些不完全归纳法导出的结论，也被人们所认可．例如在初中，我们通过度量各种三角形的内角大小，得出“三角形内角和为180︒”的结论，因为我们并未能(实际上也不可能)对全部三角形作验证，因此它也是一种由不完全归纳法得出的结论．完全归纳法必须穷尽被考察对象的一切特例后才能作出结论，因而结论是确凿可靠的．但是要无一遗漏地考察所有特例往往是困难的，只有在某些特定的情况，才有作出完全归纳的可能．课内练习11. 作出直线0.5y =+，并从图象上观察这条直线是否经过整点．(注：整点是指在直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点)2. 请你猜想：直线0.5y =+是否永远不会经过整点．3. 你能写出一个“直线y =kx +b 永远不经过整点”的充分条件吗？4. 你能证明你对第2题的猜想吗？5. 下表列出了一些多面体的顶点数、棱数和面数，请你先将表格填写完整，然后猜想任意多面体的顶点数、棱数和面数之间有没有关系．6. 判断分段函数1(0),()0(0),1(0)x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩的奇偶性．7. 回忆指数函数x y a =的单调性是怎样得出的．是完全归纳还是不完全归纳？能再举出一些归纳法推理的例子吗？8. 请归纳一下“已知三角形的两边和其中一边的对角，解此三角形”的所有情形．(2)类比推理类比你一定经常应用，例如，“学习如逆水行舟不进则退”、“光阴似箭，一去不复回”之类的比方，就是以逆水行舟来类比学习，推出不进则退的结论；以箭来类比光阴，推理出一去不复回的结论．这些结论激励你珍惜时间，不断求进．数学上也有一种叫做类比推理的方法．它是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式．例如，下表对正方形和正方体作了类比．请你在类比中推测正方体有几条对称轴(注意：绕轴旋转180︒后应该与原正方体重合)．类比推理也仅是一种合情推理，与归纳推理一样，主要用类比的方法，从已知规律探索和发现未知的规律，所得结论也往往是一种猜想，并不可信，还需检验和证明．上表中右列结论有的不难验证，有的你可能要学过立体几何 ( II ) 后，才能很好地证明．你猜想正方体有4 ⨯ 3 = 12条对称轴或3 2 = 9条对称轴都是合情的，但如果进一步从正方形的对称轴特点去类比推理可能更易得出正确的答案．在科学技术领域，广泛应用类比推理的方法，从已知去发现未知．比如利用某些与人类有共同之处的动物作药品初期试验，用风洞试验飞机的各种性能等等．课内练习21. 如图13-2，类比直角三角形ABC 和直角顶点四面体A -BCD (AB ,AC ,AD 两两垂直)，设四面体的顶点A ,B ,C ,D 所对的面的面积依次为O ,P ,Q ,R ，由勾股定理类比推测O 、P 、Q 、R 之间的关系，并证明你的结论．2. 根据牛顿的万有引力定律，质量分别为m 1,m 2，距离为r 的两个物体之间的引力大小为122m m F Gr =，其中G 为引力常数．有人将它与两个城市间的电话通话数量作类比推理，猜想电话的通话量相当于万有引力F ，两个城市的人口相当于m 1、m 2，两个城市间的距离相当于r ，这些量之间也可能有类似的公式．研究者对各个城市间的通话数量作了大量的统计分析，发现的确存在类似的数量关系．请你也由万有引力定律作一些类比推理，推测一些可能的关系．3. 欧姆定律是指电路中的电流I 与电压U 成正比，并由欧姆定义了比值UR I=为电路的电阻值，单位即为欧姆．请你由此猜测：假设两个不同温度的物体之间，距离和其它因素固定不变，它们之间的热量传递速度与温差之间可能存在什么关系？请查阅热学方面的书籍或上网搜索关键词“热传导定律”，证实你的猜想．(3)演绎推理归纳、类比两种合情推理，一般具有发现性和创新性，但带有臆测、猜想倾向．演绎推理则是由一般性的命题严格地推出特殊性命题的一种推理模式，它主要用于证明给定的ABCABCD 图13-2(1)(2)结论．演绎推理的名称尽管初次出现，但它早已为我们所应用．例如，证明对顶角相等，就是由“平角等于180︒”这个命题，经过演绎推理得到的：平角等于180︒．如图13-3所示，因为∠AOB 为平角，所以∠AOB =180︒．又因为∠1+∠2=∠AOB ，所以∠1+∠2=180︒．同理，∠1+∠4=180︒．所以∠2=∠4．同理，∠1=∠3．演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出结论三段，一般叫做三段论式．三段论可以表示为一个一般原理(大前提)：M ——P (M 是P )；一个特殊情况(小前提)：S ——M(S 是M)；结论：S ——P (S 是P )．大前提与小前提是一般原理和特殊情况的内在联系体．如上例所示，“平角(M )是180︒(P )”是一个一般性原理；“∠AOB (S )是平角(M )”是本题的特殊情况，从而产生结论“∠AOB (S )是180︒(S 是P )”．接下来的各步推理其实也都含有这三段，但因为平时在显见的情况下，常常略去了大前提演绎推理是数学中的最重要推理形式，平时很多数学题(包括计算题)都是用这种推理形式来解算或论证的．例1 已知 f (x +3)=2x 2-1，求f (0),f (x )．解对任意实数x ， f (x +3)=2x 2-1(大前提)，取3x =-(小前提)，则f (-3+3)=f (0)=17．(结论)对任意实数x ，f (x +3)=2x 2-1(大前提)，令x +3=t ，即取x =t-3(小前提)，则f (t )=2(t -3)2-1=2t 2-12t +17．(结论)对任意实数t ， f(t )=2t 2-12t +17(大前提)，取t =x (小前提)，则ACB D O1 32 4 图13-3f (x )=2x 2-12x +17．(结论)当然，你在解题时不必每一步都写出大前提、小前提、结论，完全可以按照我们已经习惯了的书写格式来表达推理过程，象本例中的大前提也不必表述得如此完整，共用的大前提一般只要写一次即可，一些显见的推断过程可以省略．但如果你在解算、论证时遇到了阻力，不妨按此方式整理一下思路，也许能帮你解脱困境．这是因为演绎推理还能把特殊情况明晰化，使之能与某些一般性命题相联系．例2 求证：函数f (x )=x 4+2x 2-1的图象关于y 轴对称．证明 f (x )的定义域为R ．当x ∈R 时，f (-x )=(-x )4+2(-x )2+1= x 4+2x 2-1=f (x )，所以f (x )为偶函数．又因为偶函数图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．在上面的证明过程中，先证得f (x )为偶函数的结论，使“f (x )的图象关于y 轴对称”这个特殊问题与“偶函数图象关于y 轴对称”这个一般性命题建立了联系．演绎推理的另一个功能，是可以揭示出并不显见的性质或规律，在一定程度上也可以认为是新知识的发现．例如，将一元二次函数y =ax 2+bx +c 配方，得224()24b ac b y a x a a-=++，这时便很容易看出二次函数蕴含的性质：当x =2ba-时，y 将达到最小值(a >0)或最大值(a <0)．课内练习31．说出下列演绎推理过程中省略的部分，并分析推理的三段论结构． (1)求证：三角形ABC 内角和等于180°．证明：如图13-4，延长BC 到点D ，过点C 作射线CE ∥AB ．则∠A =∠ACE ，∠B =∠ECD ．所以 ∠A + ∠B + ∠ACB = ∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°．(2)设()f x 为周期函数，周期T =4，且f (1900) = 1，求f (2008)．BAC DE图13-4解：f (2008) = f (1900+27⨯4) = f (1900) = 1． 2．请你再举一些用三段论结构进行演绎推理的例子．3. 数学归纳法简介公差为d ，首项为a 1的等差数列的各项依次为a 1， a 2 = a 1 + d ，a 3 = a 1 + 2d ，a 4 = a 1 + 3d ，…，a n = a 1 + (n -1)d ，…其中，a n = a 1 + (n -1) d 叫做通项公式．通项公式是怎么得到的？它正确吗？你肯定会毫不犹豫地回答：“从a 1,a 2,a 3等的公式依次类推嘛，当然正确！”确实，“依次类推”是一个合情推理，但仅是不完全归纳，不完全归纳导出的结果未必正确，因此通项公式只能算是猜想．想证明它，应该要完全归纳才行，那就是说，你得穷尽被考察对象的一切特例，即遍历全部正自然数n =1，2，3，4，…，验证通项公式是正确的．而这是一辈子可不可能完成的．如此显见的事实竟然没有证明的办法？当然不是．证明的方法，就是下面要介绍数学归纳法．数学归纳法是一种完全归纳法，由以下三步构成： (1) 验证命题p 当n =1时为真； (2) 设当n =k 时p 为真；(3) 证明当n =k +1时p 为真，则p 对一切正自然数n ∈N +为真．事实上，因为n = 1时p 为真 ⇒ (k = 1) n = k + 1 = 2时p 为真 ⇒ (k = 2) n = k + 1 = 3 时p 为真 ⇒ ( k = 3 ) n = k + 1 = 4时p 为真 ⇒ …所以对一切正自然数n ∈N +，p 为真．因为p 一般通过不完全归纳导出，这三步中的第一步是容易的；第二步“当n =k 时p 为真”是一个假设，通常叫做归纳假设；关键和难点是第三步，即从归纳假设出发，证明当n =k +1时p 为真．从数学归纳法的特点可见，这种方法适用于与自然数n 有关的命题的完全归纳．现在我们用数学归纳法证明等差数列的通项公式a n = a 1 + (n - 1)d ．证明 n =1时，a 1=a 1+(1-1)d =a 1，公式是正确的．设当n =k 时公式正确，即a k =a 1+(k -1)d ，则当n =k +1时， a k +1=a k +d ，由归纳假设，a k +1=[a 1+(k -1)d ]+d=a 1+kd=a 1+[(k +1)-1]d ，所以当n =k +1时公式也是正确的．不必气恼，数学就是如此“无情”．也正是这种“无情”，迫使你去追求严密，提高你的逻辑推理能力．所以对n ∈N +公式正确．再看一个例子：证明对一切正自然数n ∈N +，12+22+32+…+n 2=16n (n +1)(2n +1)．证明当n =1时，12=16⨯1⨯(1+1)⨯(2⨯1+1)，即1=1，所以等式成立．设当n =k 时成立公式12+22+32+…+k 2=16k (k +1)(2k +1)，则当n =k +1时12+22+32+…+k 2+(k +1)2=[12+22+32+…+k 2]+(k +1)2，应用归纳假设，12+22+32+…+k2+(k +1)2=16k (k +1)(2k +1)+(k +1)2 =16(k +1)[k (2k +1)+6(k +1)]=16(k +1)[2k 2+7k +6]=16(k +1)[(k +2)(2k +3)]，即 12+22+32+…+k2+(k +1)2=16(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]，所以当n =k +1时公式成立．所以对n ∈N +公式成立．课内练习41. 不使用等差数列前n 项求和公式，直接证明1+2+3+…+n =(1)2n n +． 2. 用数学归纳法证明首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和S n =1(1)1n a q q--．3. (秃子悖论)以n 表示人头上的头发根数．一位秃子若增加一根头发，还是秃子．由此可见，任何人当n =1时，肯定是秃子；设当n =k 时是秃子，则当n =k +1时仍然是秃子．按照数学归纳法，任何人不论脑袋上长了多少头发，还是秃子，因此，所有的人都是秃子．请你批驳一下这个荒唐的结论．如果你找不到强硬的批驳理由，请你到互联网上搜索此悖论的相关知识，你不但能找到批驳的理由，而且还能知道，正是这个悖论，促使了一个全新的数学分支——模糊数学的诞生．4. 多米诺骨牌第1张倒下；设第k 张倒下，则第k +1张也被推倒．依据数学归纳法，整个多米诺骨牌将全部倒下．一位喜欢诡辩的同学提出反对：“我把当中某张骨牌用胶水粘在底板上，那么这张牌以后的所有骨牌都不会倒下”．这样的矛盾，问题究竟出在哪儿了？1. 费马大定理提到费马，不能不说一下费马大定理．费马对数有着异常敏锐的直觉，因此他成了一个数学猜想大王，一个运用不完全归纳法发现数学新大陆的探险家，被数学史家公认为是“一只会下金蛋的鸡”．他曾预言“当n>2时，不存在正整数x,y,z,n，使x n+y n=z n”．这就是困扰数学界358年的费马大定理．围绕对这个问题研究，产生了许多新的数学分支和结论，这个猜想最终于1994年获证，真正成为了一个定理．2. 四色问题“四色问题”是依据不完全归纳法提出的一个著名猜想．所谓“四色问题”是这样的：对任意一幅无论多么复杂的地图，只要用四种颜色，就足以使相邻地区的颜色不同．提出至今，除了利用高速计算机穷举所有可能的情形作完全归纳法证明外，没有更好的证明方法，因而对这个图论问题可能蕴含的“天机”尚未揭密．但在数学界首次承认了计算机穷举也是一种证明，除此之外，它会不会也是能生下一批“金蛋”的鸡呢？3. 哥尼斯堡七桥问题“哥尼斯堡七桥问题”是使用完全归纳法证明一个猜想的著名例子．图1是风光秀美的哥尼斯堡的地图，城堡的A、B、C、D各个区域被河道隔开，并以七座桥联通．导游提出：能不重复地一次性走过这七座桥吗？岛B北A南C 东DABCD你可以“纸上谈兵”，来完成完全归纳，然而要穷尽所有情形是非常困难的．著名数学家欧拉另辟蹊径，他首先把A、B、C、D四个区域看作四个点；把能通达各区域的七座桥看作联结这些点的线，这样上述问题即抽象为“能否无重复地一笔画出图2所示图形”？接着他通过分析，发现一笔画问题归结起来有两种情形：①始点和终点不同(如图3 (1),(2))；②始点和终点相同(如图3 (3))．对于情形①，除了始点和终点外，其余均为途经点．途经点有一个特征：有“进”线必有“出”线，也就是联结途经点的线数成双．我们把联结有偶(奇)数条线的点称为偶(奇)点，显然途经点必为偶点，而始点和终点因“进”线与“出”线不成对，故必为奇点；对于情形②，与①不同之处在于始点和终点重合后也成了偶点．欧拉综合上述分析与推理得出结论：一个图形能一笔画出的充要条件是它仅有两个奇点(它们分别作为始点和终点)或均为偶点(任一点均可作为始点和终点)．依此结论，你看看哥尼斯堡七桥问题有解吗？当然让电脑来做完全归纳是可以的，然而欧拉生活在没有电脑的19世纪，另辟蹊径的结果，是揭示了暗藏于问题中的“天机”，这个“天机”的进一步发展，终于形成了数学学科的一个极有应用价值的分支――图论．练习1. 下列图形能一笔画出的有哪些？若可以，试着画出此图．图3(1) (2) (3)。

推理的种类和形式

推理的种类和形式一、推理及其语言形式推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式。

例如“客观规律总是不以人们的意志为转移的，经济规律是客观规律，所以，经济规律是不以人们的意志为转移的”，这段话就是一个推理。

任何一个推理却包含已知判断、新的判断和一定的推理形式。

作为推理的已知判断叫前提，根据前提推出新的判断叫结论。

前提与结论的关系是理由与推断，原因与结果的关系。

1 三段演绎法由一个共同概念联系着的两个性质判断作前提，推出另一个性质判断作结论的推理方法。

例如科学是老老实实的学问(大前提)，马克思主义是科学(小前提)，所以马克思主义是老老实实的学问，前两个判断是前提，第三个判断是结论。

三段演绎推理是借助一个共同概念(中项、“科学”)把两个直言判断联接起来，从而得出结论的演绎推理。

它由三个概念和包含这三概念的三个判断组成；三个概念分别叫小项(结论中的主项，即“马克思主义”)、大项(结论中的谓项，即“老老实实的学问”)、中项(前提中起中介作用的共同概念，即“科学”)，三个判断分别叫大前提(科学是老老实实的学问)、小前提(马克思主义是科学)、结论(马克思主义是老老实实的学问)。

三段演绎推理的特点在于，通过中项的媒介作用，把小项和大项联系起来，必然地推出结论。

运用三段演绎法必须注意遵守的规则：①只能有三个性质判断，包含三个不同的概念，不能多，也不可少。

②中项在前提中至少要周延一次。

③在前提中不的概念，在结论中不得；④以两个否定判断作前提，不能推出结论；⑤如果前提中有一个是否定判断，则结论必然是否定判断；⑥以两个特称判断作前提，不能推出结论；⑦如果前提中有一个是特称判断，则结论必然是特称判断。

连锁推导，需要我们有比较广泛、全面、系统和科学的知识。

还要善于联想。

推理的几种基本方法

结论：S——P（S是P）。
例1已知f（x+3）=2x2-1，求f（0），f（x）。
解：对任意实数x，f（x+3）=2x2-1（大前提）
取x=-3（小前提），则
f（-3+3）=f（0）=17.（结论）
对任意实数x，f（x+3）=2x2-1
令x+3=t，即取x=t-3（小前提），则
f（t）=2（t-3）2-1=2t2-12t+17.(结论)
（3）设当n=k时p为真；
（4）证明当n=k+1时p为真，则p对一切正自然数n∈N+为真。
这种方法适用于与自然数n有关的命题的完全归纳。
例3：n=1时，a1=a1+（1-1）d=a1，公式是正确的。
设当n=k时公式正确，即ak=a1+（k-1）d，则当n=k+1时ak+1=ak+d
由归纳假设，ak+1=[a1+(k-1)d]+d=a1+kd=a1+[(k+1)-1]d
（3）演绎推理
定义：演绎推理是由一般性的命题严格的推出特殊性命题的一种推理模式，主要用于证明给定的结论。演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出结论三段，一般叫做三段论式。
三段论可以表示为：
一个一般性原理（大前提）：M——P（M是P）；
一个特殊情况（小前提）：S——M（S是M）；
结论：S——P（S是P）。
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§13.2双曲线的标准方程
1.几种主要的逻辑推理
简单的说，推理可以分为合情推理与演绎推理两大类。
定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程。

逻辑推理的基本方法

逻辑推理的基本方法在初中数学的教学实践中，尤其是几何证明的教学中，教师教学不难，学生学懂也不难，但学生往往一做就不会，对于稍复杂的题目更是无从下手。

几何证明成为教学中的一个难点，也是学生成绩提高的一大障碍。

要突破这一难点和障碍，除掌握上述三段论推理的基础逻辑思维外，还要注重综合法和分析法的培养。

要证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题(如定义、定理等)，逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法。

可简单地概括为：由因导果，即由原因去推导结果。

要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样思维方法，就叫做分析法。

可简单地概括为：执果索因。

即拿着结果去寻找原因。

例如证明两线段相等。

综合法思路：已知条件三角形全等或平行四边形对应边或对边相等(线段相等)。

分析法思路：对应边或对边相等(线段相等)三角形全等或平行四边形已知条件。

分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。

综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。

证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。

分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。

对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。

对于一些较复杂的几何问题，我们可以采用综合法与分析法合并使用的方法去寻求证明的途径，可称之为综合分析法;即先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它的成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证题途径。