§13.2 推理的几种基本方法

§13.2 推理的几种基本方法

预备知识

●不等式基本性质及不等式的解法

●素数、奇数、偶数等概念

●数列的有关知识

●立体几何中有关体的概念

●函数的奇偶性与函数图象的对称性

重点

●合情推理与演绎推理的一般方法

●归纳推理与类比推理在数学发现中的应用

●演绎推理的一般形式及其应用

●数学归纳法的原理与应用

难点

●归纳推理与类比推理在数学发现中的应用

●演绎推理的一般形式及其应用

●数学归纳法的原理与应用

学习要求：

●通过学习教材中列举的例子体会归纳推理与类比推理在数学发现中的应用，并能对一些数学问题作出合情推理，提出一些合情的猜想

●理解演绎推理的一般形式及其应用方法，会运用演绎推理解决一些简单的数学问题

●理解数学归纳法的原理，会运用数学归纳法证明一些简单的关于自然数n的数学命题

●了解数学归纳法的局限性

1. 几种主要的逻辑推理

导出和判定命题真假，离不开推理过程．推理必须符合逻辑，即应该是逻辑推理．对不同的命题，尽管推理过程千变万化，但并非无章可循，我们仍然可以从中总结出一些基本规律和原则．

简单地说，推理可以分为合情推理与演绎推理两大类．

合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程．

看下面这个例子：

6=3+3；8=3+5；10=5+5=3+7；12=5+7；……

我们可以发现如下规律：各等式的左边是大于4的偶数，右边各加数为奇素数．由此可以合乎情理地推测，大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和．这就是著名的哥德巴赫猜想．它是从有限个特例通过不完全归纳提出的猜想．这就是合情推理的一种，叫做归纳推理．众所周知，到目前为止这个浅显易懂的猜想尚未得以证明．换言之，尽管我们目前还举不出反例，但它仍然只是个猜想，未必正确．

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理与演绎推理之间联系紧密、相辅相成．下面对合情推理与演绎推理的一般形式及其特点加以分析．

(1)归纳推理

归纳推理(简称归纳)是从具体事实中概括出一般结论的一种推理模式．如果仅能对部分事实验证结论，则叫做不完全归纳法；如果能穷尽全部事实验证结论，则叫做完全归纳法．

不要被“不完全归纳法”、“完全归纳法”之类的名称吓倒，其实这种归纳法你经常在应用．例如，给出数列前几项

{a n }={2,4,6,8,…}，{b n }={1357

,,,

24816

,…}，

要求写出数列的通项，你立即会写出a n =2n ，b n =21

2

n n -(n =1,2,3,…)．这就是归纳推理．当

然在没有对所有正自然数n 验证之前，只是不完全归纳；一旦根据其它条件得到了验证，就成为完全归纳了．

不完全归纳法是一种合情推理，得出的结论未必是正确的．17世纪著名数学家费马曾通过不完全归纳得出猜想“221k

n a =+(n ∈N)是一个素数”．在n =0,1,2,3,4时这个猜想都是正确的，但随着n 的增加，a n 增长太快了，而要确定一个很大的数是否为素数又非常困难，所以这个猜想长期处于既不能证明其为真，但又不能举出反例证明其为假的两难境地．直至18世纪，另一位大数学家欧拉才证明了当n =5时它是错的．同样，哥德巴赫猜想也是通过不完全归纳法得出的结论，它的正误尚无定论，因此仅仅叫做猜想．然而有些不完全归纳法导出的结论，也被人们所认可．例如在初中，我们通过度量各种三角形的内角大小，得出“三角形内角和为180︒”的结论，因为我们并未能(实际上也不可能)对全部三角形作验证，因此它也是一种由不完全归纳法得出的结论．

完全归纳法必须穷尽被考察对象的一切特例后才能作出结论，因而结论是确凿可靠的．但是要无一遗漏地考察所有特例往往是困难的，只有在某些特定的情况，才有作出完全归纳的可能．

课内练习1

1. 作出直线0.5y =+，并从图象上观察这条直线是否经过整点．(注：整点是指在直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点)

2. 请你猜想：直线0.5y =+是否永远不会经过整点．

3. 你能写出一个“直线y =kx +b 永远不经过整点”的充分条件吗？

4. 你能证明你对第2题的猜想吗？

5. 下表列出了一些多面体的顶点数、棱数和面数，请你先将表格填写完整，然后猜想任意多面体的顶点数、棱数和面数之间有没有关系．

6. 判断分段函数1(0),()0(0),1(0)x f x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

的奇偶性．

7. 回忆指数函数x y a =的单调性是怎样得出的．是完全归纳还是不完全归纳？能再举出一些归纳法推理的例子吗？

8. 请归纳一下“已知三角形的两边和其中一边的对角，解此三角形”的所有情形．

(2)类比推理

类比你一定经常应用，例如，“学习如逆水行舟不进则退”、“光阴似箭，一去不复回”之类的比方，就是以逆水行舟来类比学习，推出不进则退的结论；以箭来类比光阴，推理出一去不复回的结论．这些结论激励你珍惜时间，不断求进．

数学上也有一种叫做类比推理的方法．它是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式．

例如，下表对正方形和正方体作了类比．

请你在类比中推测正方体有几条对称轴(注意：绕轴旋转180︒后应该与原正方体重合)． 类比推理也仅是一种合情推理，与归纳推理一样，主要用类比的方法，从已知规律探