选修2-2第二章推理与证明复习学案

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、知识清单 1、合情推理包括 归纳推理是由 类比推理是由 比数列之间，其结论 2、演绎推理是由 情况下是 3、直接证明是从 推理与证明复习学案

高二、二部赵业峰

例2、做下面实验：假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面的操作后，糖水的甜度是否改变?

(1) 将所有糖水倒在一起；

(2) 将一杯糖水中再加入一小勺糖，糖全部融化

.

类比这一实验，你能得到数学上怎样的关系式？

的推理，常用于数列中，其结论

的推理，常用于立体与平面几何、向量与实数运算、等差与等

的推理，遵循严格的逻辑推理规律， 因此其结论在

.推理的一般模式“三段论”包括 例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，是给出空间四面体性质的猜想并证明

出发，根据已知的 直接推证结 论的真实性.直接证明中的两种方法是: 4、综合法：禾U 用 等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立的一种推理方法 5、分析法：从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直到最后，把要 证明的结论归结为 的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的一种 推理方法. 6、反证法：一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设 错误，从而证明原命题成立的一种推理方法 例4、设a, b 是两个正实数，且 a H b ，试用三种方法证明：

a 3 +

b 3》a 2b + ab 2

二、典型例题 X + —x 例"、设 f

(八

L^,g (x)

x —x a -a

(1) 5=3+2，请你推测g(5)能否用f (2), f (3), g (2), g (3)来表示;

(2)如果(1)中获得了一个结论，请你将其推广并给与证

明

4

例

5、已知实数a , b ,c 为' ABC 的三边,

求证：ab 2 2 2

+ ac + be < a + b + c < 2( ab + ac + bc ).

例

8、

(1) ⑵

已知数列｛a n ｝满足S1+ a n = 2n + 1, 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式;

用数学归纳法证明所得的结论。 例6、已知 a, b, c 是不全相等的正实数，且 0 V X <

1

用数学归纳法证明1 +召+

2

求证：log + log X

b

+ c

丄 I

a + c

+

lo

g X

log X a + log x b + log

例10、用数学归纳法证明：(3n + 1)7n

-1(n 迂N 』能被9整除.

例7、已知 a,b,c 忘(0,1)，求证(1 - a)b, (1 - b)c, (1

1 -c)a 不能同时大于丄

1

三、巩固练习

1、 下列表述正确的是( ).

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般 到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理

A .①②③；

B .②③④；

C .②④⑤； 下面使用类比推理正确的是 (

“若a 3 = b 3,则a =b ”类推出“若 A . 2k + 1

B . 2(2k +

1)

2k + 1 C. ------

k + 1

2k + 2

D. ------

k + 1

2、 A. B . “若(a +b)c =ac +bc ”类推出“(a bjc = ac be ” C. "若(a +b)c =ac +bc ”

“(ab)n =a n b n ” 类推出’ 有一段演绎推理是这样的：

b 耳平面a ，直线a 匚平面a 这是因为 “ A.大前提错误 4、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 (A)假设三内角都不大于 60度； (B) (C)假设三内角至多有一个大于 60度；(D) 5、 在十进制中 2004 4 01 0 1 1 © X02

进制为 “ ) A.29 B. 254 C. 602

D. 3、 丰 ) B.小前提错误

类推出“ =2 +b

c c c

“ (a +b)n =a n +b n ” “直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线 直线b //平面a ,则直线b //直线a ”的结论显然是错误的, (C 丰 0)”

C. 推理形式错误

D. 非以上错误 60度”时，反设正确的是( 假设三内角都大于 60度； 假设三内角至多有两个大于 60度。 1-0 X,那么在5进制中数码2004折合成十 D.2004

6、利用数学归纳法证明“ 1 + a +a 2+…+ a^ 1

=1

n 42

-a 1 -a

(a 丰1, n € N)”时，在验证 n=1成

9、已知n 为正偶数, 用数学归纳法证明

—=2(丄 +

n-1 n+2 n+4

+…+ —)时，若已假设n =k(k>2为偶

2n

数) 时命题为真，则还需要用归纳假设再证

n = k +1时等式成

立

n=2k+2时等式成立 n = k + 2时等式成

立

n = 2(k+2)时等式成立

10、数列｛a n ｝中，a i =1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S i 成等差数列，通过计算 S i ，S 2,

S 3,猜想当n > 1时，S n =

( )

n_J

2n -1

B.——

2

n_J C n(n + 1) C .

11、一同学在电脑中打出如下若干个圈

：O ・OO ・OOO ・OOOO ・OOOOO •…若将此

若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的•的个数 是

/ 2 + b2

12、在RtAABC 中，若N C = 900

,AC = b,BC = a,则三角形ABC 的外接圆半径r=

-----

2

立时，左边应该是 (A)1 但)1 + a

(C)1 + a + a 2

2 3 (D)1 +a + a + a 7、某个命题与正整数 n 有关，如果当n = k(k 亡N+)时命题成立，那么可推得当n = k +1时命 题也成立. 现已知当n =7时该命题不成立，那么可推得

A .当 n=6时该命题不成立

B .当n=6时该命题成立

C .当 n=8时该命题不成立

D .当n=8时该命题成立 8、用数学归纳法证明“ (n +1)(n +2)・"(n + n)=2n

「2"' *2n —1) ” (n € N+) 时，从

“ n = k 至Jn =k +1 ”时，左边应增添的式子是

把此结论类比到空间类似的结论为 __________________________

13、从 1=1， 1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),

…，推广到第n 个等式为

14、设平面内有n 条直线 (n> 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一

点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则 f (4)=

当n>4 时，f

(n)=

(用含n 的数学表达式表示)o

15、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统

加密、解密原理如下图：

(Private Key Cryptosystem ),

其

加密密钥密码

明文 ------------------ 密文

发送

密文

解密密钥密码

明文

现在加密密钥为y = log a (x + 2)，如上所示，明文“ 6”通过加密后得到密文“ 3”，再发送，接