灰色预测法GM(1,1)总结

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Matlab+灰色预测模型模型GM(1,1)

GM(1,1)灰色预测模型IntroductionInitial给定原始序列：x(0) =(x(0)(1), x(0)(2), x(0)(3)…, x(0)(n))Step 1一次AGO(1-AGO)生成序列，以弱化原始序列的随机性和波动性：x(1) =(x(1)(1), x(1)(2), x(1)(3)…, x(1)(n)) Matlab Programclearsyms a b;c=[a b]';fid=fopen('.\Grey Model\test.txt');x0=fscanf(fid,'%f');x0=x0';fclose(fid);x1=cumsum(x0); %原始数据累加n=length(x0);for i=1:(n-1)z(i)=(x1(i)+x1(i+1))/2; %生成累加矩阵end%计算待定参数的值Y=x0;Y(1)=[];Y=Y';B=[-z;ones(1,n-1)];B=B';c=inv(B'*B)*B'*Y;c=c';a=c(1);b=c(2);%预测后续数据%预测之后10个时间单位的数据xx1=[];xx1(1)=x0(1);for i=2:(n+10)xx1(i)=(x0(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; endxx0=[];xx0(1)=x0(1);Step 2(1) dx (1)dt+ax (1)(t )=u ，式中a, u 为待定系数。

灰微分方程模型为：x (0)(k )+az (1)(k )=u ，z 为背景值z (1)(k )=1/2(x (1)(k )+x (1)(k −1))(2) 构造矩阵B 和数据向量Y nY n =Ba ̂Y n =[ x (0)(2)x (0)(3)⋮x (0)(n )] , B =[ −1/2(x (1)(1)+x (1)(2)),−1/2(x (1)(2)+x (1)(3)),⋮−1/2(x (1)(n −1)+x (1)(n )), 1 1 ⋮ 1]a ̂=(au)=(B T B)−1B T Y nStep 3模型响应函数x ̂(1)(k +1)=(x (0)(1)−u a )e −ak +u ax ̂(0)(k +1)=x ̂(1)(k +1)−x ̂(1)(k )Step 4检验和判断GM(1,1)模型的精度 (1) 残差检验for i=2:(n+10)xx0(i)=xx1(i)-xx1(i-1); end%关联度检验 for i=1:ne(i)=abs(x0(i)-xx0(i)); endmmax=max(e); for i=1:nee(i)=0.5*mmax/(e(i)+0.5*mmax); endr=sum(ee)/n; %后验差检验x0bar=sum(x0)/n; s1=0; for i=1:ns1=s1+(x0(i)-x0bar)^2; ends1=sqrt(s1/n); s2=0;ebar=sum(e)/n; for i=1:ns2=s2+(e(i)-ebar)^2; ends2=sqrt(s2/n); C=s2/s1; p=0;for i=1:nif abs(e(i)-ebar)<0.6745*s1绝对误差：ε(k)=|x(0)(k)−x̂(0)(k)|相对误差：Φ(k)=ε(k)x(0)(k)(2) 关联度检验分辨率β一般取0.5，此时若关联度大于0.6则认为模型可接受(3) 后验差检验和小误差概率原始序列标准差：S1=√∑[x(0)(i)−x̅(0)]2n绝对误差序列标准差：S2=√∑[ε(i)−ε̅]2n计算方差比：C=S2S1小误差概率：P=P{|ε(i)−ε̅|<0.6745S1}p=p+1;endendp=p/n;Cpif p>0.95&C<0.35disp('预测精度好');else if p>0.8&C<0.5disp('预测合格');else if p>0.7&C<0.65disp('预测勉强合格'); elsedisp('预测不合格'); endendend%原始数据与预测数据进行比较t1=1:n;t2=1:(n+10);xx0plot(t1,x0,'o',t2,xx0)。

GM(1_1)模型,灰色预测

小额贷款远程智能预警系统人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。

目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。

特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。

灰色模型的优点（一）不需要大量的样本。

（二）样本不需要有规律性分布。

（三）计算工作量小。

（四）定量分析结果与定性分析结果不会不一致。

（五）可用于近期、短期，和中长期预测。

（六）灰色预测精准度高。

二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。

灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。

同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。

因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。

GM （1,1）的具体模型计算式设非负原始序列()()(){}n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1=对)0(X作一次累加()()∑==ki i x k x1)0()1( ;k=1,2,…,n得到生成数列为()()(){}n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1=于是()k x)0(的GM （1,1）白化微分方程为u ax dtdx =+)1()1( (1—1)其中a,u 为待定参数，将上式离散化，即得()()()()u k x az k x =+++∆11)1()1()1(（1—2）其中()()1)1()1(+∆k x 为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，()()()[]()[])1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(+=-+=∆-+∆=+∆k x k x k x k x k x k x r（1—3）()()1)1(+k x z 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x 的取值）()()()()()k x k x k x z )1()1()1(1211++=+ （1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得()()()()u k x k x a k x +++-=+]121[1)1()1()0( （1—5）将（1—5）式展开得()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡u a n x n x x x x x n x x x 1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）令()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x Y )0()0()0(:32，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，[]Tu a =Φ 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成Φ=B Y （1—7）参数向量Φ可用最小二乘法求取，即[]()Y B B B u a T T T 1ˆ,ˆˆ-==Φ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为()()a u e a u x k xk a ˆˆˆˆ11ˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- （1—9）还原到原始数据得()()()()()ka a e a u x e k x k x k x ˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+=+ （1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM （1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM （1,1）模型灰色预测的具体计算公式。

灰色预测GM(1,1)模型在环境空气质量变化趋势预测中的应用

123智能环保NO.10 2020智能城市 INTELLIGENT CITY 灰色预测GM（1，1）模型在环境空气质量变化趋势预测中的应用许发明1 李优良2 （1.中央民族大学，北京 100081；2.湖南泸溪县环境监测站，湖南泸溪 416100）摘要：利用灰色系统理论，以泸溪县环境空气自动监测数据为样本，构建GM（1，1）预测模型，分析预测该县“十四五”期间的环境空气质量变化趋势。

预测结果显示，该县未来5年环境空气质量将持续好转。

关键词：灰色模型；环境空气质量；趋势预测空气清新评估指标作为美丽中国建设评估指标体系的五类指标之一，包含细颗粒物（PM2.5）浓度、可吸入颗粒物（PM10）浓度、城市空气质量优良天数比例 3 个指标。

因此聚焦美丽中国建设评估指标，开展细颗粒物浓度、可吸入颗粒物浓度变化趋势预测，对于科学确定泸溪县“十四五”期间这两项控制目标值具有很好的参考意义。

泸溪县环境空气自动监测站2013年建站，2016年具备六参数全自动24 h监测能力，从当前有限数据，要开展该县“十四五”大气环境质量趋势预测，必须选择适当的预测方法，通过构建数理统计模型开展预测。

灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论[1]。

灰色预测是对灰色系统所做的预测，灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具[2]。

因此，尝试采用灰色系统理论来开展环境质量趋势预测工作[3]。

1 影响空气质量优良天数比例的因子识别为筛分出影响泸溪县环境空气质量的主要污染因子，我们对2016~2019年空气质量监测中的首要污染物，最大单项污染物和最大单项指数污染因子进行了分析与判别。

（1）环境空气中首要污染物占比统计分析。

通过数据统计，发现各年中细颗粒物（PM2.5）、可吸入颗粒物（PM10）和臭氧（O3）3个因子为我县的首要污染物，它们所引起的污染天数共149 d，其中细颗粒物作为首要污染物的天数最多，为112 d，占总天数的75.17%；臭氧作为首要污染物的天数居第2位，为23 d，占总天数的15.44%；可吸入颗粒物作为首要污染物的天数为14 d，占总天数的9.39%。

灰色预测模型

灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题（所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。

二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即：由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。

一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。

软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。

(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。

我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。

一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。

灰色预测模型GM(1_1)及其应用

灰色预测模型GM(1,1)的应用一、问题背景：蠕变是材料在高温下的一个重要性能。

处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。

高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。

为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。

过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。

而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。

如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。

二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。

在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。

数列序数 K1 2 3 4 5载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.581、建立GM （1,1）模型（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。

即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==kn n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。

（2）建立矩阵B,y:根据⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B 得到 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=19.2118.12130.7178.3B根据 T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( =，得到 T N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=（3）求出逆矩阵1()T BB - （4）作最小二乘估计，求参数u a ,N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α 可得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα a = -0.5, u=0.97(5)建立时间响应函数，计算拟合值把a 和u 分别代入au e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(可得到解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X，取t 为应力序数k 时，即得到时间响应方程为：2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X 。

灰色预测GM(1,1)

南昌市民用汽车保有量灰色GM(1,1)模型预测灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色模型适合于小样本情况的预测，当然对于大样本数据，灰色模型也可以做，并且数据个数的选择有很大的灵活性。

原始序列X (0)：表1 南昌市民用汽车保有量年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 南昌市民用汽车保有量(万辆)24.410926.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1第一步：构造累加生成序列X (1)；第二步：计算系数值；通过灰色关联分析软件GM 进行灰色模型拟合求解，得到：α= -0.101624 ， μ=25.290111 ，平均相对误差为4.685749%第三步：得出时间响应预测函数模型为：()()858996.248269896.2731101624.01-=+⋅k e k X第四步：进行灰色关联度检验。

真实值：{24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000} 预测值：{24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056}计算得到关联系数为： {1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986} 于是灰色关联度：r=0.661163关联度r=0.661163满足分辨率ρ=0.5时的检验准则r>0.60，关联性检验通过。

基于灰色gm(1,1)模型的民航飞行员需求预测

飞行员需求曲线是一条波浪式前进的曲线。由
于对中国民航飞行员需求产生影响的因素具有
灰色性，并且灰色系统在对民航飞行员需求进
行预测时，无需考虑影响民航飞行员需求的因
素，只需从民航飞行员需求自身的时间序列数
据中寻找有用信息和其内在的运行规律，因此
采用灰色系统理论预测更加符合民航飞行员需
求的客观状况。
1.1 数据生成
（2）
k
∑ ( ) 其= 中 x(1) (k)
= x k (0) (i)
1, 2,, n
。
i =1
1.2 用微分方程拟合数据序列得到预测的

累加值
建立一阶单变量的民航飞行员需求微分方程预测模型 GM(1,1)，其具体形式为：
dx(1) + ax(1) = u dt
（3）
在公式（3）中 a、u 为待识别的灰色参数。
(1)
(k
))
1
（7）
由式 (5)~ 式 (7) 求得 a ，u ，得微分方程 (4) 的解。
1.3 预测值还原
灰色 GM(1,1) 的预测结果需要对预测累加
值进行还原处理，即对 (4) 式得到的模型计算
值进行如下的累减：
Ù
Ù
Ù
x(0) (k) = x(1) (k) - x(1) (k - 1)
（8）
公式 (3) 表示单变量 x 对时间 t 的一阶微分方
程是连续的。考虑民航飞行员需求的实际情况，
其离散形式为：
xˆ(1) (k ) = (x(0) (1) - u )e- a(k- 1) + u
a
a
（4）
∧
公式 (4) 中的 a 和 u 是由参数列 α 确定的

灰色系统预测GM(1,m)

灰色GM （1,1）模型及其原理1灰色GM （1,1）模型的构建GM （1,1）模型是将离散的随机数经过依次累加成算子，削弱其随机性，得到较有规律的生成数，然后建立微分方程、解方程进而建立模型。

设所要预测的某项指标的原始数据序列为：()()()()()()()()(){}n X X X X X 00000,,3,2,1 =对原始数据序列作一次累加生成处理，获得新的数据序列： ()()()()()()(){}n X X X X1111,,2,1 = 式中：()()()()∑==i k k X i X 101 n i 3,2,1=经过累加处理，新生成的数据序列与原始的数据序列相比，具有平稳性增强而波动性减弱的特点。

对生成数列建立GM （1，1）白化形式的微式方程[4]：()()()u aX dt t dX =+11式中：a 称为发展系数，u 称为内控发展灰数。

利用最小二乘法拟合求得估计参数：()n TT X B BB u a 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 式中：()()()()[]()()()()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=1121121211111n X n X X X B()()()()()()[]n X X X X n 000,,3,2 =将B 带入公式，最终确定GM （1,1）预测模型()()()()a e a X t X at μμ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∧∧100 n t 2,1,0= 将值代入离散模型公式求()()t X ∧1，预测的累加值还原为预测值：()()()()()()1110--=∧∧∧t X t X t X2模型精度的检验2.1残差检验计算残差()()t 0ε及其相对残差()()t q 0，即：()()()()()()1000--=∧t x t x t ε，()()()()()()%100000⨯=t x t t q ε n t ,,2,1 =相对残差()0q 越小，表示模型精度越高。

灰色预测GM(1,1)模型分析

SPSS分析SPSS教程SPSSAU 灰色预测模型GM11 灰色模型灰色预测GM(1,1)模型分析Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。

但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。

灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。

特别提示：GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测；GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。

灰色预测模型案例Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)1背景当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。

数据如下：年份城市交通噪声/dB(A)198671.10198772.40198872.40198972.10199071.40199172.00199271.602理论灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。

在进行模型构建时，通常包括以下步骤：第一步：级比值检验；此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。

级比值=当期值/上一期值。

一般情况下级比值介于[0.982,1.0098]之间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。

第二步：后验差比检验；在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差/ 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。

灰色系统GM(1,1)模型

n n 2 0 k =1 2 1 0 k =1
ε=
1 ε 0 ( k ), ∑ n k =1
2 S2 =
1 ε 0 (k ) − ε ∑ n k =1
(
)
分别为残差的均值、方差。
s2 1. C = 称为均方差比值，对于给定 s1
的 C0 > 0 ,当 C < C0 时，称模型为均方差比合格模型。 p = p ( ε 0 ( k ) − ε < 0.6745S1 ) 称为小误差概率，对 2. 于给定的 p0 > 0 ,当 p > p0 差概率合格模型。，称模型为小误
则 ε0 (k ) △ 1.对于 k ≤ n ，称，k = x ( k ) 为 k 点的模拟相

0

对误差，称为平均相对误差。 2.称1− ∆ 为平均相对精度，1 − ∆ k 为 k点的模拟精度。 3.给定α ，当 ∆ < α 且∆ n < α 成立时，称模型为残差合格模型
,均方差比值为一
计算小误差概率： 0.6745S1 = 4116.80
ε (1) − ε = 18.75, ε ( 3) − ε = 55.25, ε ( 2 ) − ε = 24.75 ε ( 4 ) − ε = 11.75
所以p = p ( ε ( k ) − ε < 0.6745S1 ) = 1>0.95,小误差概率为一级，故可用
精度检验等级参照表
指标精度等级
相对误差α 0.01 0.05 0.10 0.20
关联度
ε0
0.90 0.80 0.70 0.60
均方差比小误差概值 C 率 p
0
0
一级二级三级四级

灰色预测与GM(1,1)

(k )
ˆ 0 k X 0 k max max X ˆ 0 k X 0 k min min X ˆ 0 k X 0 k max max X ˆ 0 k X 0 k X
1 1 X X k z 1 X k 1 k 1 2

从而有：
1 1 X X 0 k 1 k X k 1 a 2
0 令： y X
X k11 X k1 ，x ，利用最小二乘拟合直线： 2
联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一
部分信息是未知的，系统内各因素间有不
确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定
信息的系统进行预测，就是对在一定范围内
变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数
据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列
的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作
为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可
得到生成列。
记原始时间序列为：
X 0 X 0 1, X 0 2, X 0 3,... X 0 n
1,1.063,1.1227,1.1483 X2
1,.097,1.0294,1.0294 X3
1,1.0149,0.805,0.7 X4
第二步：求序列差。
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
3 0,0.0225,0.1059,0.1146

GM(1,1)模型对烟草产量的灰色预测

ＴｅｆｒｃｓｏｅｔｂｃｏｏｔｕｙｕｉｇＧＭ（，）ｄｌｈｏｅａｔｆｔａｃｕｐｔｓｈｏｂｎ１１ｍｏｅ
ＺＮＧＺｉａ，ＵＭｉ（ｇｉｌｒｌｏｌｅＧｉｏｎｖｒｔ，ｕｚｏｕｙｎ５０５ＣｉａＥｈ— ｎＧｎＡｒｕｔａｌｇ，ｕｈｕＵｉｓｙＧｉｕＧｉａｇ５０２，ｈｎ）ｓｇｃｕＣｅｚｅｉｈ
ｃｓｈｏａｃｕｐｔｆｈｏｎｙＷｉｈｒｃｓｓｌｆｈｄｅ，ｈｅｉｕｌｄｇｅｆｏｌｂｒｔｎａｄｅｒｒａｔｅｔｂｃｏｏｔｕｅｃｕｔ．ｔｔｅｆｅａｔｒｕｔｏｅｍｏｌｔｅｒｓｄａ，ｅｒｅｏｌｏａｉｎｒｏｔｏｔｈｏｅｓｔｃａｏｉｓｅｔｎｏｏｔａｌａｅａｓｅｔｄＴｈｓｔｓｏｈｔｈｖｒｇｅａｉｅｅｏｆｅｔｂｉｈｄｍｏｅｓ．８，ｎｐｃｉｆｓ— ｍｐｅｒｏｔｓｅ．ｅｒｕｓｈｗｔａｅａｅａｅｒｌｔｒｒｏｓａｌｅｄｌ２％ｏｐｓｌｅｌｔｖｓｉ２
起伏弱化，而平稳性大大增加，显逐渐递增的形式。其步骤为：
曾志三，顾明
（州大学农学院，州贵阳贵贵
摘
５０２）５０５
要：了科学规则福建省宁化县烟草种植，用灰色系统理论对该县１９为运９６～２００４年烟草产量数据进行分

数学建模算法：灰色预测模型GM（1,1）及Python代码

数学建模算法：灰⾊预测模型GM（1,1）及Python代码灰⾊预测模型GM(1,1)灰⾊预测模型\(GM(1,1)\)是在数学建模⽐赛中常⽤的预测值⽅法，常⽤于中短期符合指数规律的预测。

其数学表达与原理分析参考⽂章尾部⽹页与⽂献资料。

经过整理，以下附上Python代码：灰⾊模型要求数据前后级⽐落⼊范围 \(\displaystyle \Theta\left(e^{-\frac{2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+2}}\right)\) ，因此做线性平移预处理使得元数据满⾜要求。

线性平移：将数据平移⾄不⼩于1，检查级⽐，若不满⾜要求则将数据向上平移⼀个最⼩值直到满⾜要求。

可以推断出，级⽐的上下界在给定数据点数越多的情况下，越趋于1。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 线性平移预处理，确保数据级⽐在可容覆盖范围def greyModelPreprocess(dataVec):"Set linear-bias c for dataVec"import numpy as npfrom scipy import io, integrate, linalg, signalfrom scipy.sparse.linalg import eigsfrom scipy.integrate import odeintc = 0x0 = np.array(dataVec, float)n = x0.shape[0]L = np.exp(-2/(n+1))R = np.exp(2/(n+2))xmax = x0.max()xmin = x0.min()if (xmin < 1):x0 += (1-xmin)c += (1-xmin)xmax = x0.max()xmin = x0.min()lambda_ = x0[0:-1] / x0[1:] # 计算级⽐lambda_max = lambda_.max()lambda_min = lambda_.min()while (lambda_max > R or lambda_min < L):x0 += xminc += xminxmax = x0.max()xmin = x0.min()lambda_ = x0[0:-1] / x0[1:]lambda_max = lambda_.max()lambda_min = lambda_.min()return c# 灰⾊预测模型def greyModel(dataVec, predictLen):"Grey Model for exponential prediction"# dataVec = [1, 2, 3, 4, 5, 6]# predictLen = 5import numpy as npfrom scipy import io, integrate, linalg, signalfrom scipy.sparse.linalg import eigsfrom scipy.integrate import odeintx0 = np.array(dataVec, float)n = x0.shape[0]x1 = np.cumsum(x0)B = np.array([-0.5 * (x1[0:-1] + x1[1:]), np.ones(n-1)]).TY = x0[1:]u = linalg.lstsq(B, Y)[0]def diffEqu(y, t, a, b):return np.array(-a * y + b)t = np.arange(n + predictLen)sol = odeint(diffEqu, x0[0], t, args=(u[0], u[1]))sol = sol.squeeze()res = np.hstack((x0[0], np.diff(sol)))return res# 输⼊数据x = np.array([-18, 0.34, 4.68, 8.49, 29.84, 50.21, 77.65, 109.36])c = greyModelPreprocess(x)x_hat = greyModel(x+c, 5)-c# 画图t1 = range(x.size)t2 = range(x_hat.size)plt.plot(t1, x, color='r', linestyle="-", marker='*', label='True')plt.plot(t2, x_hat, color='b', linestyle="--", marker='.', label="Predict")plt.legend(loc='upper right')plt.xlabel('xlabel')plt.ylabel('ylabel')plt.title('Prediction by Grey Model (GM(1,1))')plt.show()误差分析部分：可就绝对误差、相对误差、级⽐、残差做数据分析，以下⽰例为最⼩⼆乘法线性回归分析。

《灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》范文

《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不精确的系统的理论。

其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为重要和常用的预测模型之一。

该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，具有较高的预测精度和实用性。

然而，传统的灰色GM（1,1）模型在某些情况下仍存在模型参数不够准确、预测精度不高等问题。

因此，对灰色GM（1,1）模型进行优化及其应用的研究具有重要意义。

本文将首先介绍灰色GM（1,1）模型的基本原理，然后探讨其优化方法，并最后分析其在不同领域的应用。

二、灰色GM（1,1）模型的基本原理灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，主要用于处理小样本、不完全信息的数据。

该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，将原始数据序列转化为微分方程的形式，从而进行预测。

其基本步骤包括：数据累加、建立微分方程、求解微分方程、模型检验等。

三、灰色GM（1,1）模型的优化针对传统灰色GM（1,1）模型的不足，学者们提出了多种优化方法。

其中，基于数据预处理、模型参数优化和预测结果修正的优化方法较为常见。

1. 数据预处理：通过对原始数据进行处理，如去趋势、归一化等，以提高模型的适应性和预测精度。

2. 模型参数优化：通过引入其他因素或变量，如时间序列的波动性、随机性等，对模型参数进行优化，提高模型的预测精度。

3. 预测结果修正：通过对预测结果进行修正，如引入专家知识、其他预测方法的结果等，进一步提高预测精度。

四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在各个领域都有广泛的应用。

下面以几个典型领域为例，介绍其应用。

1. 经济学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测经济增长、股市走势等经济指标，为经济决策提供参考。

2. 农业领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测农作物产量、农业气候等指标，为农业生产提供指导。

3. 医学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测疾病发病率、死亡率等指标，为医学研究和卫生政策制定提供参考。

GM(1,1)灰度模型预测方法

GM(1,1)灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。

灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。

同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

1．GM(1,1)模型预测方法已知参考数据列()(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()x x x x n =⋅⋅⋅,1次累加生成序列(1AGO)- ()()(1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()(1),(1)(2),,(1)()x x x x n x x x x x n =⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+其中：(1)(0)1()(),1,2,,ki x k x i k n ===⋅⋅⋅∑。

(1)x 的均值生成序列 ()(1)(1)(1)(1)(2),(3),,()z z z z n =⋅⋅⋅其中：(1)(1)(1)()0.5()0.5(1),2,3,,z k x k x k k n =+-=⋅⋅⋅。

建立灰微分方程(0)(1)()(),2,3,,,x k az k b k n +==⋅⋅⋅相应的白化微分方程为(1)(1)()dx ax t b dt+= 记T [,]u a b =，T (0)(0)(0)(2),(3),,()Y x x x n ⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z z B z n ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则由最小二乘法，求得使T ()()()J u Y Bu Y Bu =--达到最小值的u 的估计值为()T1T T ˆˆˆ,u a b B B B Y -⎡⎤==⎣⎦于是求解其白化微分方程得ˆ(1)(0)ˆˆ(1)(1),0,1,,1,ˆˆak b b x k x e k n a a -⎛⎫+=-+=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭2. GM(1,1)模型预测步骤（1）数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列作必要的检验处理。

灰色预测法GM(1,1)总结

灰色预测模型一、灰色预测的概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。

灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。

2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。

尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。

4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。

i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==。

如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。

灰色GM(1,1)模型在物流运输预测中的应用

灰色GM（1，1）模型在物流运输预测中的应用
作者：刘玥
来源：《财讯》2018年第27期
本文讨论了灰色预测模型以及灰色预测模型在物流运输预测中的应用。

建立了基于灰色预测理论的GM（1，1）模型，并以物流公司年度总运输量为例进行了实际应用。

灰色模型需求预测物流运输
引言
物流运输是物流系统的重要组成部分，对区域经济的发展具有服务引导作用，因此物流需求预测通过选择合适的预测模型实现。

灰色预测模型的建立
设非负原始序列
对X{0}作一次累加，得到新的生成数列为x{0}（k）的GM（1，1）白化微分方程为将上式离散化，即得
z（1）（x（k+1））为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x的取值）则
（1-5）可以寫成y=Bφ（1-4）
把求取的参数带人，并求出其离散解为
（1-5）、（1-6）式是GM（1，1）模型灰色预测的具体计算公式。

应用实例
（1）资料来源：某物流公司2009-2015年年运输总量数据
（2）建立预测建模
1.对原始数据x{0}作一次累加：得
第一，构造数据矩阵B以及数据向量Y可得：
第二，用最小二乘法估计求参数列
第三，建立模型
解得时间响应序列为
第四，求生成数列值x（1）（k+1）及模型还原值x（0）（k+1）；
[1]李万秋.物流中心运作与管理.北京：清华大学出版社，2003.162
[2]汪忐华，朱国宝.灰色预测模型GM（1，1）及其在交通运量预测中的应用.武汉理工大学学报（交通科学与工程版），2004，28（2）：305～307。

灰色预测总结

灰色系统建模灰色系统理论在建模中的应用:灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。

与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更高，计算更简便。

常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍. 累加生成:(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)[(1),(2),,()],,[(1),(2),,()],:x x x x x n x x x x x n x x ==令为原始序列,记生成数为如果与之间满足如下关系(1)(0)1()();1,2,,(21)ki x k x i k n===-∑,1AGO -一次累加生成则称为记为累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的的,递增的数列.累减生成:累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆.()()(),,:r r i x r x i ∆令为次生成数列对作次累减生成记为其基本关系式为(0)()()(1)()(0)()(0)()(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()[()]()[()][()][(1)][()][()][(1)](25)[()][()][(1)]r r r r r r r r i r i r i r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k --∆=∆=∆-∆-∆=∆-∆--∆=∆-∆-(0)(1)(),(0)0,;(0)1(0)11.i k k i k k i ∆∆-∆--式中为次累减即无累减为1次累减,即与时刻两个零次累减量求差,为次累减,即与时刻两个次累减量求差(25):-从式还可得到以下关系(1)()(0)()(0)()()()1(1)(1)11(1)[()][()][(1)]()(1)(26)()()()r r r r r kk r r i i r x k x k x k x k x k x i x i xk ---==-∆=∆-∆-=---=-=∑∑(2)()(1)()(1)()(1)(1)1(2)(2)11(2)[()][()][(1)]()(1)(27)()()()r r r r r kk r r i i r x k x k x k x k x k x i x i x k -----==-∆=∆-∆-=---=-=∑∑:同理可得()()()[()]()(28)i r r i x k xk -∆=-()()(0)[()]()(29)r r x k x k ∆=-(29),,.,,.:1,r r r -=从式可以看出对次生成数列作次累减即还原为非生成数列事实上累加中包含着累减累减中包含着累加比如时有1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)()()()()(1)()(210)k k i i x k x i x i x k x k x k -====+=---∑∑(0)(1)(1)()()(1)x k x k x k =--进一步有(1)()()()()(1)(211)r r r x k x k x k -=---.均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种 σρ级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法.对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填补空缺,只能采用级比生级比生成.成是级比级比生(k 成在建模中可以获得较好的灰)与光滑比(k)生成指数律.的总称.(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()],(),(),X x x x n K k σρ=设序列为原始序列称为级比为光滑比其表达式为(0)(0)(0)(1)()()/(1)()()/(1)(212)k x k x k k x k x k σρ=-=--(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,(1),()],(1)(1),()(),(1)()X x x n n x n x n x x n ϕϕϕϕ=-设为端点是空穴的序列若用右邻的级比生成用的左邻级比生成则称和为级比生成GM(1.1)模型建模机理 GM(1.1)原理步骤原始数列：{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()X x x x n =对(0)X 进行一次累加，得到新数列：{}(1)(1)(1)(1)(1),(2),,()X x x x n =(1),()()ki xk x i ==∑其中于是(0)()x k 的GM （1.1）白化形式的微分方程为： (1)(1)(216)dx ax u dt+=- 其中，a,u 为待定系数，将（2-16）式离散化，即得：(1)(1)(1)((1))((1))(217)x k az x k u∆+++=-其中，(1)(1)((1))x k ∆+为(1)x 在（k+1）时刻的背景值因为：(1)(1)(1)(1)(0)((1))(1)()(1)(218)x k x k x k x k ∆+=+-=+-(1)(1)(1)1(1)((1)())(219)2z k x k x k +=++-将（2-18），（2-19）式代入（2-17）式，得(0)(1)(1)1(1)[(()(1))](220)2x k a x k x k u+=-+++-将（2-20）(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3)(221)2()1((1)())12x x x x x x x n x n x n ⎡⎤-+⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3),2()1((1)())12x x x x x x Y B x n x n x n ⎡⎤-+⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦令[]T a u Φ=为待辨识参数向量，则（2-21）可写成：(222)Y B =Φ-参数向量Φ可用最小二乘法求取，即1ˆˆˆ[,]()T T T a u B B B Y -Φ== 把求取的参数代入（2-16）式，并求出其离散解ˆ(1)(1)ˆˆˆ(1)[(1)](224)ˆˆak uu x k x e a a -+=-+-(0)(1)(1)ˆˆ(1)ˆˆˆ(1)(1)()ˆ(1)[(1)](225)ˆa akxk x k x k u e x e a-+=+-=---还原到原始数据得(224),(225)(1.1),(1.1).GM GM --式称为模型的时间相应函数模型它是模型灰色预测的具体计算公式（GM1.1）模型的精度检验模型选定之后,一定要经过检验才能判定其是否合理,只有通过检验的模型才能用来作预测,灰色模型的精度检验一般有三种方法:相对误差大小检验法,关联度检验法和后验差检验法.下面对这三种方法做个简单介绍.1 级比检验：为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。

灰色GM(1,1)模型预测吉林省高粱播种面积

Ｓ２
（） ” Ⅳ ｝２，‘ （）
（）Ｇ１１微分方程为：２Ｍ（，）
Ｐ＝｛ｌｑ一 ‘ ｌ０６４ｓ）（ ‘ （）ｑ＜．７５．。。
根据后验比Ｃ和小误差概率Ｐ对模型时行诊断，时这
可根据模型对系统进行预测。
维普资讯
安徽农学通报，ｎｕＡｒＳｉＢｌ２０１（０）Ａｈｉｇｉｅ．ｕ１０７，３２．．
７９
灰色Ｇ１１模型预测吉林省高梁播种面积Ｍ（，）
王江红于丽莹马英慧刘红欣栾天浩
中国高粱生产在世界高粱生产中占有重要地位，历来
是我国主要谷物之一。据统计，０世纪初叶（９４ — ２１０
ａ＝
／ｚ
＝
（
） …Ｂ
１３）播种面积曾占耕地总面积１％一２％，次于稻９３，６６仅麦居第３位。近年来随着水稻、米等的播种面积不断增玉加，致高粱面积逐渐减少。了解高粱播种面积，高粱导对育种和生产研究具有指导意义。
表一２模型等级精度表
氅＋（Ｍ１）
ｄ
（）构造累加矩阵曰与常数项向量Ｙ即：３Ｎ，
一
１（Ｉ（）＋Ｉ（）（１（２）１（（（）＋１（）２１（３）１（１（（ Ⅳ
＝
Ｂ＝
一

灰色预测GM（1，1）方法

灰色预测法一、相关知识1、灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。

2、灰数简介：（1）灰数的定义：是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。

灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“⊗”表示灰数。

（2）灰数的分类：(Ⅰ)有下界而无上界的灰数[)∞∈⊗,a 或()a ⊗，如大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量,所以其重量为灰数[)∞∈⊗,0。

(Ⅱ)有上界而无下界的灰数(,]a ⊗∈-∞或()a ⊗，如一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。

(Ⅲ)既有下界a 又有上界a 的灰数称为区间灰数，记为[]a a ,∈⊗。

如海豹的重量在20--25公斤之间，某人的身高在1.8-1.9米之间，可分别记为[]25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗(Ⅳ)黑数：当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称⊗为黑数。

(Ⅴ)白数：当[,]a a ⊗∈且a a =时，称⊗为白数。

(3)本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。

非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。

我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。

如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。

例：（1）气温不超过36℃，[]36,0∈⊗。

（2）预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，[)∞∈⊗,100；（3）估计某储蓄所年底居民存款总额将达7000万到9000万，[]9000,7000∈⊗；（4）如某人希望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，[)∞∈⊗,10000；（5）有的数，从系统的高层次，即宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的，可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。