4.一元二次方程的特殊根问题(教师)

一元二次方程的特殊根问题模块一 一元二次方程的公共根1．一元二次方程公共根问题的一般解法：（1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个参数的一个方程，解得参数．（2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的值和所有方程的根．模块二 一元二次方程的整数根1．判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路：判断整系数一元二次方程ax bx c 2++=0是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、判别式与根系关系起十分重要的作用．2．解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法 （1）直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质讨论当根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑）．（2）利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式△必须是完全平方式，且△≥0，利用这条性质可以确定整参数的值，但需要验证这些值是否使方程的根为整数．（3）利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母得出不定方程来求解，或利用“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解．但后者必须进行检验所求的参数值要满足判别式△≥0．（一般用于实参数） 模块一 一元二次方程的公共根例1、已知关于x 的方程x kx 2+-2=0的一个解与方程x x x 2+7=3-1的解相同．（1）求k 的值（2）求方程x kx 2+-2=0的另一个解．【解析】（1）由题意可以得到x xx 2+7=3-1，即x x 2+4+3=0，解得x 1=-1，x 2=-3，经检验x 1=-1，x 2=-3都是方程x xx 2+7=3-1的解．①当两方程相同的解为x =-1时，则得k 1--2=0，解得k =-1；②当两方程相同的解为x =-3时，则得k 9-3-2=0，解得k 7=3．综上所述k =-1或者k 7=3．（2）由（1）得x =-1或者x =-3是方程x kx 2+-2=0的一个解，由韦达定理得方程的另外一个解为x =2或x 2=3，【点评】这是一道中考题，难度偏基础，主要是把我们前面的方程综合起来的这样一道公共解的题目，还有就是考查孩子们对于多种情况一一进行讨论的思想，也就是强调数学学习的严谨性，希望同学们学会解决这种基础题的方法．例2、（1）求k 的值，使得关于x 的一元二次方程x kx 2+-1=0，()x x k 2++-2=0有相同的根，并求两个方程的根． （2）已知1x 为方程x kx 2+-2=0的根，x 2为方程x kx 22+7+3=0的根，且x x 12=2，求k 的值． 【解析】（1）不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a ka 2+-1=0 ……①， ()a a k 2++-2=0……②．①-②有，()ka a k -1---2=0，即()()k a -1-1=0，∴k =1，或a =1．当k =1时，两个方程都变为x x 2+-1=0，∴两个方程有两个相同的根,x 12，没有相异的根；当a =1时，代入①或②都有k =0，此时两个方程变为x 2-1=0，x x 2+-2=0．解这两个方程，x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x x 2+-2=0的根为x 1=1，x 2=-2．x =1为两个方程的相同的根，综上x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1；x x 2+-2=0的根为x 1=1，x 2=-2． （2）由已知可知x kx 211+-2=0和x kx 2222+7+3=0．又x x 12=2，则x kx 2224+2-2=0，即x kx 2222+-1=0，消去二次项可解得kx 22=-3．代入x kx 2222+7+3=0，整理得x 225=6，此时k =，考虑两个方程的判别式：k 21∆=+8≥0，k 22∆=49-24≥0，∴≥k 224，k =≥k 22449，∴k =【点评】在这个公共解中，对于这种两个方程均含有参数值k ，通常情况下可以分三步：1设2代3消．这种问题考察起来通常较难．所以对于这种含参的题目要敢于去想，敢于去做． 模块二 一元二次方程的整数根例3、关于x 的一元二次方程为()m x mx m 2-1-2++1=0，m 为何整数时，此一元二次方程的两个根都为整数？ 【解析】根据题意得m ≠1，()m x mx m 2-1-2++1=0，即[()()]()m x m x -1-+1-1=0．∴m x m 1+1=-1，x 2=1．由题意知m x m m 1+12==1+-1-1，∵方程的两个根都是整数， ∴m 2-1是为整数，∴m -1=±1或±2，∴m =2或0或3或1-． 【点评】这道题主要锻炼孩子们利用因式分解法讨论整数根问题的思维，但是这种题，有的时候要看清是否为题目是否给出一元二次方程的条件，如果没有，就需要讨论，而这道题也可以利用求根公式求出解．例4、已知关于x 的方程()()()k k x k x 24-8--80-12+32=0的解都是整数，求整数k 的值． 【解析】①当k =4时，原方程化为x -32+32=0，解得x =1，故当k =4时，原方程的解都是整数．②当k =8时，原方程化为x 16+32=0，解得x =-2，故当k =2时，原方程的解都是整数． ③当k ≠4或k ≠8时，原方程可化为[()][()]k x k x 4--88--4=0，∴x k 18=4-，x k24=8-．k 为整数，且x 1、x 2均为整数，k ∴4-=±1，±2，±4，±8，得,,,,,,,k =352608-412， k 8-=±1，±2，±4，得,,,,,k =79610124． 故当k 的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数．【点评】这个题由于含有参数，因此运用了因式分解的方法，并且都进行了讨论． 【注意】如果含参方程没有告诉是什么类型方程，一定要记得分类讨论． 例5、当m 为何整数时，方程x mx m 222-5+2=5有整数解．【解析】解法1：将方程x mx m 222-5+2=5左边因式分解可得()()x m x m 2--2=5，故x m x m 2-=5⎧⎨-2=1⎩，或x m x m 2-=1⎧⎨-2=5⎩，或x m x m 2-=-5⎧⎨-2=-1⎩，或x m x m 2-=-1⎧⎨-2=-5⎩，解得x m =3⎧⎨=1⎩，x m =-1⎧⎨=-3⎩，x m =-3⎧⎨=-1⎩，x m =1⎧⎨=3⎩．故m =±1或m =±3．解法2：将方程x mx m 222-5+2=5整理成标准形式：x mx m 222-5+2-5=0，由原方程有整数解，首先必须满足()()m m m 222∆=5-4⨯2⨯2-5=9+40为一个完全平方数，不妨设()n n 2∆=>0，则有()()m n m n m n 229+40=⇒3-3+=-40，又m n 3-、m n 3+的奇偶性相同，且m n m n 3-<3+（由于n >0）．则有m n m n 3-=-2⎧⎨3+=20⎩，m n m n 3-=-4⎧⎨3+=10⎩，m n m n 3-=-10⎧⎨3+=4⎩，m n m n 3-=-20⎧⎨3+=2⎩，解得m n =3⎧⎨=11⎩，m n =-1⎧⎨=7⎩，m n =1⎧⎨=7⎩，m n =-3⎧⎨=11⎩．m n5±=4中检验可知，均满足题意．故m =±1或m =±3． 【点评】这道题首先可以使用因式分解来做，但是这里主要提出用判别式法去求整数解问题，让孩子们感受下不同方法间的不同技巧．例6、（全国初中联赛）已知方程x x n n 22-6-4-32=0的根都是整数，求整数n 的值． 【解析】由题方程x x n n 22-6-4-32=0的根都是整数，则)（-n n 2∆=36-44-32（）n n 2=44+32+9为一个完全平方数，所以n n 24+32+9为一个完全平方数，不妨设=n n k 224+32+9()k ≥0，（这种方法在处理完全平方数的问题中很常用）配方得到()n k 222+8-=55，即()()n k n k 2+8+2+8-=55，考虑到k 是非负的，所以n k 2+8+=55，11，-1，-5，对应的n k 2+8-=1，5，-55，-11．得到n =10，0，-18，-8． 【点评】这道题主要锻炼利用判别式法求整数解问题，设“△=k 2（k 为非负整数）”，再利用平方差求解；关于这道题，老师可以总结a b +和a b -是同奇偶的． 例7、（1）当m 是什么整数时，关于x 的方程()x m x m 2--1++1=0的两根都是整数? （2）已知关于x 的方程()x a x a 2+-6+=0的两根都是整数，求a 的值．【解析】（1）设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得：x x m x x m 1212+=-1⎧⎨=+1⎩，从上面两式中消去m ，可得x x x x 1221--=2，()()()x x 12-1-1=3=1⨯3=-1⨯-3则有x x 12-1=1⎧⎨-1=3⎩或x x 12-1=-1⎧⎨-1=-3⎩，解得：x x 12=2⎧⎨=4⎩或x x 12=0⎧⎨=-2⎩，由此x x 12⋅=8或0，所以m x x 12=-1=-1或7．（2）设两个根为x x 12≥，由韦达定理得x x ax x a 1212+=6-⎧⎨=⎩．从上面两式中消去a 得x x x x 1212++=6，所以()()x x 12+1+1=7，所以x x 12+1=7⎧⎨+1=1⎩或x x 12+1=-1⎧⎨+1=-7⎩．即x x 12=6⎧⎨=0⎩或x x 12=-2⎧⎨=-8⎩．所以a x x 12==0或16．【点评】这道题主要用韦达定理去解决整数根问题，本质是得到关于两根的不定方程．这道题也可利用判别式的方法去解，但是在用判别式的方法解之前，需要先说明a 、m 为整数．在此处老师们可以引入：()()ab a b a b +++1=+1+1，()()ab a b a b --+1=-1-1；对于实数参问题可以考虑使用韦达定理去消参进行求解．课后作业1．一元二次方程x x 25-2-=04的某个根，也是一元二次方程()x k x 29-+2+=04的根，则k 的值为（ ）． A ．75B ．-7C ．k 7=-5或7 D ．k 7=5或-7【解析】答案：D ．由题意x x 25-2-=04，解得x 15=2，x 21=-2．当x 5=2是方程()x k x 29-+2+=04的根时，解得k 7=5，当x 1=-2是方程()x k x 29-+2+=04的根时，解得k =-7，综上，k 7=5或-7．2．已知m 为非负实数，当m =__________时，关于x 的方程x mx 2+-1=0与x x m 2++-2=0仅有一个相同的实根．【解析】设相同的根为α，则由题意我们有m m αααα22⎧+-1=0⎪⎨++-2=0⎪⎩．所以m m αααα22+-1=++-2．即()m m α-1=-1．（1）当m ≠1时，α=1，代入原方程求得m =0，方程为x 2-1=0与x x 2+-2=0，满足题意；（2）m =1时，代入原方程，两方程均为x x 2+-1=0，解得x =，即它们的两根都相同，不合题意，舍去，故只有当m =0时，两方程仅有一个相同的实根．3．方程x kx 2+-2=0和方程x kx 22+7+3=0有一个根互为倒数，则k 的值为__________．【解析】由已知可知x kx 2+-2=0和方程x kx 23+7+2=0必有一个公共根．消去二次项可解得kx =-2．代入x kx 2+-2=0，整理得x 2=4，即k =±1时原方程有一根互为倒数．4．关于x 的二次方程()()k k x k k x k 2222-6+8+2-6-4+=4的两根都是整数．求满足条件的所有整数k 的值． 【解析】由()()k k x k k x k 2222-6+8+2-6-4+=4可知，[()()][()()]k x k k x k -4+-2-2++2=0，故k x k 1-2=--4，k x k 2+2=--2（由题意可知，k k k 2-6+8≠0⇒≠2且k ≠4），k x k k 1-22⎛⎫=-=-1+ ⎪-4-4⎝⎭，k x k k 2+24⎛⎫=-=-1+ ⎪-2-2⎝⎭，故k -4=±1，±2，k -2=±1，±2，±4，同时满足两式的k 值为3或6，故k =3或k =6．5．当m 是何整数时，关于x 的一元二次方程mx x 2-4+4=0与x mx m m 22-4+4-4-5=0的根都是整数． 【解析】由题意可知，方程mx x 2-4+4=0的判别式()()m m m 21∆=-4-16=161-≥0⇒≤1，方程x mx m m 22-4+4-4-5=0的判别式为()()()m m m m 222∆=4-44-4-5=44+5≥0，故m 5≥-4，又m 为整数，m ≠0，故m =-1或m =1，当m =1时，题干中的两个方程分别为x x 2-4+4=0、x x 2-4-5=0，满足题意；当m =-1时，题干中的两个方程分别为x x 2+4-4=0、x x 2+4+3=0，不合题意．故m =1．6．已知关于x 的方程()x a x a 222+4-+=0（a ≥0）的两根都是整数，求a 的值．【解析】设两个根为x x 12≥，由韦达定理得x x a x x a212212⎧+=-4⎪⎨=⎪⎩．从上面两式中消去参数a 得x x x x 1212--=4，所以()()x x 12-1-1=5，所以x x 12-1=5⎧⎨-1=1⎩或x x 12-1=-1⎧⎨-1=-5⎩．即62x x 12=⎧⎨=⎩或0x x 12=⎧⎨=-4⎩．所以12a x x 212==或0，故a =或0．。