含参一元二次不等式解法及简单恒成立

2．解关于 x 的不等式：ax 2－(a－1)x －1＜0(a∈R)．
解：原不等式可化为： (ax＋1)(x－1)＜0，当 a＝0 时，x＜1，当 a＞0 －1)＜0 1 ∴－a＜x＜1.当 a＝Βιβλιοθήκη Baidu1 时，x≠1，
1 时x＋a(x
当－1＜a＜0
1 1 时，x＋a(x－1)＞0，∴x＞－a或
[解]
原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1＜0，对 x∈R 恒成立，
当 m＝0 时，0· x2＋0· x－1＜0 对 x∈R 恒成立．当 m≠0 时，由题意，
m＜0， 得 2 Δ＝m －4mm－1＜0 m＜0， ⇔ 2 3m －4m＞0
m＜0， ⇔ 4 ⇔ m＜0，或m＞3
a＞0， 需 2 Δ＝2 －4×2a＜0， 1 ，＋∞. 2
1 解得 a＞ .综上，所求实数 a 的取值范围为 2
2、已知 f (x )＝x 2＋2(a－2)x ＋4， 如果对一切 x ∈R ，f (x )＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
[ 解]
由题意可知，只有当二次函数 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4
m＜0.综上，m 的取值范围为 m≤0.
[类题通法] 不等式对任意实数 x 恒成立， 就是不等式的解集为 R， 对于一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 ， 它 的 解 集 为 R 的 条 件 为
a＞0， 2 Δ＝b －4ac＜0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0， 它的解集为 R
的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点时，才满足题意，
则其相应方程 x2＋2(a－2)＋4＝0 此时应满足 Δ＜0，即 4(a－2)2－ 16＜0，解得 0＜a＜4.故 a 的取值范围是{a|0＜a＜4}．
变式1、是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒 成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．
这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x ∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．
变式 2、已知函数 y＝x 2＋2(a－2)x ＋4，对任意 a∈[－3,1]，y＜0 恒 成立，试求 x 的取值范围．
解：原函数可化为g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次 函数．要使对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需满足
4 、 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的 解 集 是 1 x |x ＜－2 或 x ＞－ 2 ，求 ax 2－bx ＋c＞0 的解集．
二、不等式恒成立
关于 x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1 对 x ∈R 恒成立， 求实数 1、 m 的取值范围．
[解] 若对任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意
的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所 示．由图象可知，此时a应该满足 f－3＜0， f1＜0， －3＜2－a＜1，
25－6a＜0， 即1＋2a＜0， 1＜a＜5，
25 a＞ 6 ， 1 解得 a＜－2， 1＜a＜5.
a＞0， 的条件为 2 Δ ＝ b －4ac≤0； a＜0， 集为∅的条件为 Δ≤0.
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解
2．若关于 x 的不等式 ax 2＋2x ＋2＞0 在 R 上恒成立，求实数 a 的取 值范围．
解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足题意，舍去；当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只
g1＜0， g－3＜0，
2 x －2x＋4＜0， 即 2 x －10x＋4＜0.
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y ＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
x＜1.
1 1 当 a＜－1 时，－a＜1，∴x＞1 或 x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0
1 时， x|－a＜x＜1； 1 时，x|x＜1或x＞－a .
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 当 a＜－1
一、含参一元二次不等式解法
1、解关于 x 的不等式 x 2＋(1－a)x －a＜0.
[解]
方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数
y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式 解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
1 时，x|x＜－a或x＞1，
[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
a＝－3， 得 b＝2，
代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 1 由 2x －3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜ 或 x＞1. 2
2
∴bx ＋ax＋1＞0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．
3、已知关于 x 的不等式 x 2＋ax ＋b＜0 的解集为{x |1＜x ＜2}，求 关于 x 的不等式 bx 2＋ax ＋1＞0 的解集．
[ 解] ∵x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2 是 x2＋ax＋b＝0 的两根．
－a＝1＋2， 由韦达定理有 b＝1×2，