第2讲 方向导数与梯度 偏导数的几何应用
第7-6节(偏导数的几何应用(二)、方向
第 六 节
偏导数的几何应用(二)
方向导数与梯度
江西理工大学理学院
一、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) = 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
r n
M
r T
⎧ x = φ (t ) ⎪ Γ : ⎨ y = ψ ( t ), ⎪ z = ω (t ) ⎩ r 曲线在M处的切向量 T = {φ ′( t 0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t0 )},
F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3, 解 令
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4, Fy′ (1, 2 , 0 ) = 2 x (1, 2 , 0 ) = 2,
Fz′ (1, 2 , 0 ) = 1 − e z (1, 2 , 0 ) = 0,
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 = = , ⇒ 2 x 0 = y0 = z 0 . 1 4 6
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
江西理工大学理学院
通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.
高中数学备课教案多元函数的方向导数与梯度的应用
高中数学备课教案多元函数的方向导数与梯度的应用高中数学备课教案多元函数的方向导数与梯度的应用在高中数学中，多元函数是一个重要的概念。
而方向导数和梯度则是研究多元函数的常用方法。
本教案将重点介绍多元函数的方向导数和梯度的应用。
一、方向导数的引入在一元函数中，导数表示函数在某点的变化率。
那么在多元函数中，如何描述函数在某点沿着一定方向的变化率呢？这就需要引入方向导数。
方向导数的定义：设函数z=f(x,y)在点P（x0,y0）的某邻域内有定义，若沿着单位向量$\boldsymbol{i} \cdot \cos \alpha+\boldsymbol{j} \cdot \cos \beta$ 方向，函数在点P的一个变化率$$\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\rho \cos \alpha,y_{0}+\rho \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\rho}$$存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P的方向导数，记作$D_\alphaf(x_0,y_0)$。
二、方向导数的计算公式方向导数的计算公式为：$$D_\alpha f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \cos \beta$$其中，$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$分别表示函数f(x,y)对x和y的偏导数。
三、梯度的引入与性质梯度是用来描述多元函数的斜率的向量。
在二维平面上，梯度是一个二维向量。
在三维空间中，梯度是一个三维向量。
梯度的性质如下：1. 梯度的模表示函数在某点的最大变化率，即梯度的模为函数在某点的方向导数的最大值。
方向导数与梯度在工程和生活中的应用
方向导数与梯度一、方向导数1．概念 设是平面上以为始点的一条射线．是与同方向的单位向量射线的参数方程为设函数在点的某个邻域内有定义，为上另一点，且,到的距离若当沿着趋于即时的极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数．记作 即有定义可知是在点沿方向的变化率． 若在点偏导数存在则又若则但反之 若 存在．则不一定存在．如在点处沿方向的方向导数，而偏导数不存在．类似．对三元函数来说，它在空间一点沿方向的方向导数为2．方向导数的存在性及其计算方法 函数具备什么条件才能保证在点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏导数又有什么l xoy ()000,y x P ()cos ,cos l e αβ=l l αcos 0t x x +=βcos 0t y y +=()0≥t =z ()y x f ,()000,y x P ()0p U ()βαcos ,cos 000t y t x P ++l ()0p U p ∈p0p t pp =0()()t y x f t y t x f 0000,cos ,cos -++βαp l 0p ()+→0t ()y x f ,0p l ()00,|y x l f∂∂()00,|y x l f∂∂()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim -++=+→βα()00,|y x l f∂∂()y x f ,()000,y x P l ()y x f ,()000,y x P i e l=()0,1=()00,|y x l f∂∂()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f x =l e j =()1,0=()00,|y x l f∂∂()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f y =i e l =()0,0|z l ∂∂()0,0|z x ∂∂22y x z +=()0,0i l =()00,|y x l z ∂∂1=()00,|y x x z ∂∂()z y x f ,,()0000,,z y x P ()γβαcos ,cos ,cos =l e()000,,|z y x l f∂∂()t t z t y t x f t γβαcos ,cos ,cos lim 0000+++=+→()000,y x P关系？有如下定理定理 若在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数存在且有其中是方向的方向余弦证在点可微分点在以 为始点的射线上时应有， ，所以这就证明了方向导数存在，且其值为同样可以证明在点可微分，则函数在该点沿着方向的方向导数二、梯度1． 二元函数梯度定义 设在区域内具有一阶连续导数，点，则向量称为在点的梯度，记作，即2． 二元函数梯度与方向导数的关系若在点可微分，是与方向同向的单位向量，则()y x f ,()000,y x P l ()00,|y x l f∂∂()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=βαcos ,cos L ()y x f ,()00,y x ∴()y y x x f ∆+∆+00,()00,y x f -()()()()2200000,,y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=()y y x x ∆+∆+00,()00,y x l αcos t x =∆βcos t y =∆()()22y x ∆+∆t =()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim -+++→βα()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=()00,|y x l f∂∂()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=()z y x f ,,()000,,z y x ()γβαcos ,cos ,cos =→l e ()()()()γβαcos ,,cos ,,cos ,,000000000,,000z y x f z y x f z y x f lfz y x z y x ++=∂∂()y x f ,D ()D y x P ∈000,()()→→+jy x f i y x f y x 0000,,()y x f ,()000,y x P ()00,y x gradf ()()()→→+=jy x f i y x f y x gradf y x 000000,,,()y x f ,()000,y x P ()βαcos ,cos =→l e l ()()()()()()000000,000000,cos ,cos ,,cos ,cos x y x y ll ff x y f x y l gradf x y e gradf x y e gradf x y αβθθ→→∂=+∂=⋅==其中当时，方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模．由上知：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值．在几何上表示一个曲面这曲面被平面（是常数）所截得曲线的方程为，在面上的投影是一条平面曲线，它在平面直角坐标系中的方程为，对上一切点，已给函数的函数值都是，称为的等值线．若，不同时为零，则等值线上任一点处的一个单位法向量为这表明的方向与等值线上这点的一个法线方向相同．而沿这个方向的方向导数就等于于是，这一关系式表明函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线．梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数．3．三元函数梯度概念与方向导数关系 类似 设在空间区域G 内具有一阶连续偏导数,则对于每一点都可以定出一个向量，为在点的梯度，记做即，与二元函数类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与取得最大导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值．若曲面=，为的等量面，则在点的梯度方向与过点的等量面=在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较()⎪⎭⎫ ⎝⎛=→l e y x gradf ,,00θ0=θ()00,y x lf∂∂()00,y x gradf ()y x f z ,=c z =c L ()⎩⎨⎧==c z y x f z ,L xoy L xoy ()c y x f =,L c L ()y x f z ,=xf yf ()c y x f =,()000,y x P ()()()()()002002,,,,,1y x f y x f y x f y x fn yxyx+=→()00,y x gradf n f∂∂()00,y x gradf ()nn fy x gradf ∂∂=00,()z y x f ,,()G z y x P ∈0000,,()()()κ000000000,,,,,,z y x f j z y x f i z y x f y x Z ++()z y x f ,,()0000,,z y x p ()000,,z y x gradf ()=000,,z y x gradf ()()()κ000000000,,,,,,z y x f j z y x f i z y x f y x Z ++()z y x f ,,c ()z y x f ,,()z y x f ,,()0000,,z y x P ()0000,,z y x P ()z y x f ,,c低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．。
第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用
第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用一、方向导数与梯度1．向量的方向余弦（复习） (,)a x y =cos α=，cos β=(,,)a x y z =cos α=，cos β=cos γ=2．方向导数的定义00000(,)(,)limx f x x y f x y zx x→+?-?=?? 00000(,)(,)lim x f x y y f x y zy y→+?-?=?? 设l 为xOy 平面上以000(,)P x y 为始点的一条射线,指向终点00(,)P x x y y +?+?，它的方向向量(cos ,cos )l e αβ=是与l 同方向的单位向量.显然cos α=，cos β=.函数沿方向l 的方向导数为:00(,)x y f l00000(,)(,)limf x x y y f x y ρρ→+?+?-=(ρ=如果函数(,)f x y 在点(,)P x y 可微,那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在,且有其中cos ,cos αβ是方向l 的方向余弦.类似地,如果函数(,,)u f x y z =在点000(,,)x y z 可微,那么函数在该点沿方向(cos ,cos ,cos )l e αβγ=的方向导数为cos ,cos ,cos αβγ是方向l 的方向余弦.例 1. 求函数22xz xy ye =+在点(0,1)P 处沿着从点(0,1)P 到点(1,2)Q -的方向的方向导数.练习;求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿(1,0)P 到(2,1)Q -的方向的方向导数. 答案:2-3、梯度函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的梯度,记作000000(,)(,)(,)x y gradf x y f x y i f x y j =+00(,)x y f l0000(,)cos (,)cos x y f x y f x y αβ=+0000((,),(,))(cos ,cos )x y f x y f x y αβ=?00(,)l gradf x y e =?0000|(,)|||cos |(,)|cos l gradf x y e gradf x y θθ=?=这一式子表明函数在某点沿l 的方向的方向导数,等于梯度在l 方向上的投影,特别当0θ=时,方向导数取得最大值00(,)x y f l00|(,)|gradf x y =.梯度是向量,它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向,它的模等于方向导数的最大值.函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 的梯度000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)x y z gradf x y z f x y z i f x y z j f x y z k =++最大方向导数为000(,,)gradf x y z 例1. 求221grad x y +例 2. 求函数2232u x y z =+-在点(1,2,1)P -处,分别沿什么方向时方向导数取得最大值和最小值?并求出其最大值和最小值.二、偏导数的几何应用（一）、空间曲线的切线与法平面空间曲线的割线: 空间曲线的切线:空间曲线的法平面:过切点垂直于切线的平面1.空间曲线方程为参数方程()()()x t y t z t ?ψω=??=??=?其中(),(),()t t t ?ψω可导且导数不全为零.0000(,,)M x y z 对应0t t =000(,,)M x x y y z z +?+?+?对应0t t t =+?则割线0M M 的方向向量为(,,x y zt t t)割线0M M 的方程为:000x x y y z z x y z t---==令0M M →,即得切线方程为:切向量:('(),'(),'())s t t t ?ψω= 法平面方程为:例1 求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解:21,2,3dx dy dzt t dt dt dt=== 在点(1,1,1)处的切向量为(1,2,3)s =切线方程:111123x y z ---==法平面方程:(1)2(1)3(1)0x y z -+-+-=,即236x y z ++=练习: 求曲线2,,tx t y t z e ===在点(1,1,)e 处的切线及法平面方程. 对应点1t = 切线方程:1112x y z ee---==法平面方程(1)2(1)()0x y e z e -+-+-= 2.空间曲线方程为()()y y x z z x =??=?,可化为()()x xy y x z z x =??=??=?,在对应点000(,,)x y z 处切向量: (1,'(),'())s y x z x = 切线方程:法平面方程:3.空间曲线方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?,()()y y x z z x ==?()()x xy y x z z x =??=??=?方程组对x 求导数得切向量0(1,'(),'())s y x z x =切线方程法平面方程:例 2 求球面22240x y z ++-=与圆柱面2220x y x +-=的交线Γ在点0(1,1P 处的切线方程与法平面方程.解:2222212220401202220dy x dy dz x y z x y z dx ydx dxdy dz x y x x y dx dx z -??=++=++-=??+-=+-==-在点0(1,1P 处,切向量(1,0,s = 切线方程: 11110x y z --==,即1z y ==? 法平面方程:(1)0x z -=0z -= 练习:求曲线2226x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处的切线及法平面.答案: 切线方程:121101x y z -+-==- 法平面方程:0x z -= （二）、曲面的切平面与法线1.曲面S 方程为(,,)0F x y z =0000(,,)M x y z 为曲面上的一点,并设函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零.过0M 任意引一条曲线Γ,其参数方程为(),(),()x t y t z t ?ψω===,(t αβ≤≤),0t t =对应点0000(,,)M x y z 且000'(),'(),'()t t t ?ψω不同时为零.则Γ在点0M 的切向量为000('(),'(),'())s t t t ?ψω=.因为Γ完全在曲面S 上,所以[(),(),()]0F t t t ?ψω=,两端对t 求导,并令0t t =得000000000000(,)'()(,)'()(,)'()0x y z F x y z t F x y z t F x y z t ?ψω++=记000000000((,),(,),(,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 则0n s ?= 这表明曲面S 上过点0M 的任一条曲线在这一点的切向量s 都与同一个向量n 垂直,所以曲面上过0M 的一切曲线的切线都在同一平面上,称此平面为切平面.2.令(,,)(,)F x y z f x y z =-法向量:切平面的方程法线方程:例1 求椭球面236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程及法线方程.练习:求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.答案:法向量: (2,4,6)n =切平面方程:23140x y z ++-=法线方程:123123x y z ---==即123x y z== 例2 求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解: 22(,)1f x y x y =+-(2,2,1)n x y =-切平面方程:4(2)2(1)(4)0x y z -+---=法线方程: 214x y z ---==- 练习:求3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.例 3 (0)a a =>上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之和为一个常数.例4 已知旋转抛物面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，求点P 的坐标及平面在点P 处的切平面方程和法线方程。
梯度与方向导数的应用
梯度与方向导数的应用梯度和方向导数是微积分中重要的概念，它们在许多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍梯度和方向导数的概念，并探讨它们在不同领域中的具体应用。
一、梯度的概念及应用梯度是一个矢量，表示函数在某一点上的变化率最大的方向。
在二维空间中，梯度就是函数的偏导数，可以用矢量表示为(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
在三维空间中，梯度是一个向量，可以用矢量表示为(∂f/∂x, ∂f/∂y,∂f/∂z)。
梯度的大小表示了函数在该点上的变化率的大小。
梯度在很多领域中有着广泛的应用。
例如在物理学中，梯度可以用来描述场量（如温度、压力、电势等）在空间中的分布情况。
在工程中，梯度可以用来优化设计，寻找设计空间中的最优解。
在计算机图形学中，梯度可以用来生成真实感的渐变效果。
在机器学习中，梯度可以用来优化模型的参数，提升模型的性能。
二、方向导数的概念及应用方向导数是函数在一点上沿着某一给定方向的变化率。
以二维空间为例，函数f(x, y)在点(x0, y0)沿着向量v=(a, b)的方向导数定义为∇f·v，其中∇f是梯度，·表示点积运算。
方向导数可以用来表示函数在某一方向上的变化快慢，其大小表示了函数在该方向上的变化率的大小。
方向导数在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
例如在流体力学中，方向导数可以用来描述流体在某一方向上的速度变化。
在热传导中，方向导数可以用来描述热量在不同方向上的传导情况。
在经济学中，方向导数可以用来描述产品价格在某一方向上的变化率。
三、梯度和方向导数的应用案例1. 地质勘探：在地质勘探中，梯度和方向导数可以用来分析地下资源的分布情况。
通过计算地下资源（如石油、煤炭等）的梯度和方向导数，可以帮助勘探人员确定最佳的勘探方向和位置，提高勘探效率。
2. 机器人导航：在机器人导航中，梯度和方向导数可以用来规划机器人的移动路径。
通过计算机器人所在位置的梯度和方向导数，可以确定机器人应该沿着哪个方向移动，并调整移动的速度，从而实现快速而安全的导航。
多元微分学的几何应用方向导数和梯度
f x ( x0 , y0 ) tan a
第十章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
7.6.1 空间曲线的切线与法平面
1 曲线方程为参数式
( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0, x 2 y 3z 6.
即
2 当曲面方程为一般式 空间曲线方程为
y ( x) , z ( x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处, 切向量 T (1, ( x0 ), ( x0 ))
x
o
M
y
割线 MM 的方程为
z
M
x x 0 y y0 z z 0 x y z
M
x
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t ,
x x0 y y0 z z0 , x y z t t t
当M M ,即t 0时 ,
同一平面上， 这个平面就是 曲面在点 M 的切平面. 这些与 n垂直
的切线构成了曲面
n
切平面
M
在点 M 0处的切平面。
法线
曲面 F ( x , y , z ) 0 在M(x0, y0, z0)处 切平面的法向量： n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) 切平面方程：
z=f (x,y)在(x0, y0)的全微分，表示
《数学分析》 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用
§3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用一、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示）本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。
1、 参数方程的情形设空间曲线l 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩()a t b ≤≤ 其中t 的参数。
又设,,x y z '''都在[,]a b 连续，并且对每一[,],(),(),()t a b x t y t z t '''∈不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。
向量表示：()()()(),[,]r r t x t i y t j z t k t a b ==++∈。
()r t 的导数定义为000()()()limlim()()()()()()lim()()()()t t t r r t t r t r t t t x t t x t y t t y t z t t z t i j k t t t x t i y t j z t k∆→∆→∆→∆+∆-'==∆∆+∆-+∆-+∆-=++∆∆∆'''=++(,,)x y z '''存在几何意义：()()r r t t r t ∆=+∆-表示通过曲线l 上两点P 、Q 的割线的方向向量，令0t ∆→，即点Q 得l 通过点P 时，rt∆∆的极限位置就是曲线l 在点P 的切向量τ，即()((),(),())r t x t y t z t τ''''== 有了切向量τ，就可写出曲线l 在任一点0000(,,)p x y z 的切线方程：000000()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' 法平面：过点0p 可以作无穷多条切线与切线x 垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L 在点0p 处的法平面，其方程为：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=例1 求螺旋线l ：cos ,sin ,x a t y a t z ct ===，（其中,,a b c 为常数）在点（a ，0，0）的切线方程和法平面方程。
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
2.1方向导数与梯度ppt课件
证明:i). fx(0,0,0)
条件 , 但不必要 .
limf( x,0,0)f(0,0,0)
x 0
x
lim x , x0 x
fx(0 ,0 ,0 )不 存 在 ;同 理 , fy ( 0 ,0 ,0 ) ,fz ( 0 ,0 ,0 ) 不 存 在 .
:
i i ) .记 l 的 方 向 数 为 l 0 l x , l y , l z, 则
l
对 二 元 函 数 f(x,y),
•P
y
定义 定理1
fl(P0)li m 0 f(P)f(P0)
••
P 0 x
o
fx (P 0 )c o s fy (P 0 )c o s
x
其 中 和 是 l的 方 向 角 . :
例 1. 设 f(x,y,z)xy2z3, 求 f在 点 P0(1,1,1)处 沿 l方 向 的 方 向 导 数 . 其 中 i).l为 方 向 (2, 2,1);
i i i ) . g r a d u v u g r a d v v g r a d u ,
iv ). g ra du vug ra d v u 2 vg ra d u,
v ) . g r a d fu f( u ) g r a d u .
:
证明:iv). u v xuvxu 2uxv, u v yuvyu 2uyv
l
0
0
存在 , 则称此极限值为函数 f 在点P0沿l 方向的方向导数。
P P0
o
y
记为 f l
或 fl (P0 )、 fl (x0, y0, z0 ).
P0
:
x
在方向导数定义式 f lim f (P) f (P0) 中，
高等数学方向导数与梯度
cos 1 , cos 4
17
17
y
P
O 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l (cos , cos , cos )
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、方向导数
l
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
梯度在点处沿梯度的方向导数
梯度在点处沿梯度的方向导数梯度在点处沿梯度的方向导数一、概念解释1.1 梯度在数学中，梯度是一个重要的概念，它表示的是一个多元函数在某一点处的方向导数的向量，是函数在该点处最快增加的方向。
通常情况下，梯度的计算需要使用偏导数的概念。
1.2 方向导数方向导数是一个向量在另一个向量方向上的导数，它表示的是函数在某一方向上的变化率。
在多元函数中，方向导数可以描述函数在某一点上沿着某一方向的变化情况。
二、深度探究2.1 梯度在点处的方向导数梯度在点处的方向导数，也就是函数在该点处沿着梯度方向的方向导数。
这个概念可以帮助我们更好地理解函数在某一点处的增长趋势，并且指导我们如何更有效地优化函数。
2.2 梯度与方向导数的计算梯度在点处的方向导数的计算方法是通过梯度向量与方向向量的点积来实现的。
通过这一计算方法，我们可以得到函数在某一点处沿着指定方向的增长率，从而更好地掌握函数的变化规律。
2.3 梯度在点处的方向导数的意义梯度在点处的方向导数不仅可以告诉我们函数在某一点的变化率，更重要的是它可以告诉我们函数在何处增长最快、何处增长最慢。
这对于优化问题、最值求解等数学问题都有着重要的指导意义。
三、个人观点在我看来，梯度在点处沿梯度的方向导数是一个非常重要的数学概念。
它不仅可以帮助我们更好地理解函数的变化规律，还可以指导我们在实际问题中更好地解决优化、最值等数学问题。
对于这一概念，我深感其重要性并希望能够更深入地学习和研究。
总结回顾梯度在点处沿梯度的方向导数是一个重要的数学概念，它可以帮助我们更好地理解多元函数的变化规律，并在优化问题中发挥重要作用。
通过深入地研究和理解这一概念，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
梯度在点处沿梯度的方向导数这一数学概念，不仅具有理论意义，更具有重要的应用价值。
希望通过我们的学习和实践，能够将这一概念运用到更广泛的领域中，推动数学知识的发展和应用。
梯度在点处沿梯度的方向导数是一个在数学和实际应用中非常重要的概念。
偏导数与梯度
偏导数与梯度在数学和物理学的领域中，偏导数和梯度是两个相互关联的重要概念。
它们在解决多元函数中的极值、导数方向等问题上具有广泛的应用。
本文将介绍偏导数和梯度的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
1. 偏导数的概念偏导数是指多元函数对于其中一个变量的导数。
对于一个函数 f(x1, x2, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi，其中∂ 表示偏导数的符号。
偏导数表示了函数在某一个方向上的变化率。
2. 偏导数的计算方法计算偏导数的方法与计算普通导数的方法相似，只需要将其他变量视为常数进行求导。
例如，对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，需要计算∂f/∂x 和∂f/∂y，可以按照以下步骤进行计算：- 对于∂f/∂x，将 y 视为常数，对 x 进行求导，得到 2x + 2y。
- 对于∂f/∂y，将 x 视为常数，对 y 进行求导，得到 2x + 2y。
3. 偏导数与方向导数的关系偏导数可以被看作是方向导数在坐标轴上的投影。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率，而偏导数为我们提供了函数在坐标轴上的变化率，从而可以用来求解方向导数。
4. 梯度的概念梯度是一个向量，由函数的偏导数组成。
对于一个函数 f(x1, x2, ..., xn)，其梯度表示为 grad(f) 或∇f，其中∇表示梯度的符号。
梯度指向函数上升最快的方向，其大小表示了函数变化率的大小。
5. 梯度的计算方法梯度的计算方法与偏导数的计算方法类似，只需要将所有的偏导数放在一个向量中。
例如，对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，其梯度可以表示为 [2x + 2y, 2x + 2y]。
6. 偏导数与梯度的应用偏导数和梯度在各个领域中都有广泛的应用，以下是其中一些例子：- 在最优化问题中，通过求解函数的偏导数和梯度，可以找到函数的极值点。
- 在物理学中，梯度被用来表示场的变化率，例如电场、温度场等。
第2讲 方向导数与梯度 偏导数的应用题型参考答案
r Ｐ处沿方向 n 的方向导数．
解： F (x, y, z) = 2x2 + 3y2 + z2 - 6
r
曲面在 P(1,1,1) 处指向外侧的法矢量为 n = (4x, 6 y, 2z) = (4, 6, 2) = 2(2,3,1)
P
6x2 + 8y2 在点 z
3
第 2 讲 方向导数与梯度 偏导数的几何应用
2
第 2 讲 方向导数与梯度 偏导数的几何应用
r
4 、 [2012 精 解 Ｐ 68] 设 曲 面 F (u, v, w) = 0 在 点 (1,1,1) 处 的 法 向 量 为 n = {1, 2,3} ， 则 曲 面
F
(
x,
y
2
,
z
3
)
=
0
在点
(1,1,1)
处的切平面方程为
r
r
解：设 u = x, v = y2, w = z3 ，则 n = (Fu , Fv × 2 y, Fw × 3z2 ) ，在点 (1,1,1) 处 n = (1, 4,9)
=
-t, z0
=
2
代入方程 x02 + 2 y02 + 3z02 = 21 得 t1 = 0, t2 = -2
故所求切平面方程为 x + 2z - 7 = 0 和 x + 4 y + 6z - 21 = 0 。
r 7、[BHP210]设 n 是曲面 2x2 + 3y2 + z2 = 6 在 P(1,1,1) 处指向外侧的法矢量，求 u =
ìx -2y = 0 L : íîx + 2 y - 7 = 0
过 L 的平面束方程为： (x - 2 y) + l(x + 2z - 7) = 0 即 (1+ l)x - 2 y + 2l z - 7l = 0
方向导数与梯度
方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。
它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。
理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。
方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。
给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。
具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。
方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。
例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。
梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。
给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。
具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。
梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。
在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。
例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。
梯度是方向导数的最大值。
换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。
这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。
这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。
这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。
方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。
《方向导数与梯度》课件
方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于 梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束 优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向 搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向 表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个 方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。 常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直 观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最 快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度 下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02
2.5方向导数和梯度
1.方向导数的定义 P′ ρ 定义5.1 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某 定义 P(x0,y0) 邻域U(p0)内有定义，l 是一非零向量， 0 el = (cos α , cos β ) 如果存在下列极限: f ( x 0 +t cos α , y0 + t cos β ) − f ( x0 , y0 ) 记作 ∂f = lim ( x0 , y 0 ) + t →0 ∂l t ∂f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数 方向导数. 方向导数 ∂l
f (x0 + t cos α , y0 + t cos β ) − f ( x0 , y0 )
设l为空间上非零向量，其方向余弦为 (cos α , cos β , cos γ ) 则函数u=f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处沿方向l的方向导数为 ∂u ( x0 , y 0 , z 0 ) ∂l f ( x0 + t cos α , y0 + t cos β , z0 + t cos γ ) − f ( x0 , y0 , z0 ) = lim t →0 + t 如果函数u=f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)可微，则 ∂u ( x0 , y 0 , z 0 ) ∂l = f x (x0 , y0 , z0 ) cos α + f y (x0 , y0 , z0 ) cos β + f z (x0 , y0 , z0 ) cos γ .
5.2 梯度 ∂f ∂f ∂f ∂f = cos α + cos β + cos γ 方向导数公式 ∂l ∂ x ∂y ∂z ∂f, ∂f, ∂f 令向量 G = ∂x ∂y ∂z l 0 = (cosα , cos β , cos γ )
全微分方向导数和梯度
contents
目录
• 全微分概念 • 方向导数 • 梯度 • 全微分、方向导数和梯度的关系 • 实际应用案例
01 全微分概念
全微分的定义
函数在某点的全微分
若函数在某点的可微性成立，则函数 在该点的全微分等于该点的导数与自 变量增量之积，再加上二阶微量之和 。
表达式
若函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可 微，则全微分为$df(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)dx + f_y(x_0, y_0)dy$。
全微分的几何意义
切线斜率
全微分的几何意义可以理解为函 数图像在某点处切线的斜率，即 函数在该点的变化率。
函数图像的变化
全微分的大小反映了函数图像在 该点附近的小幅度变化，全微分 的符号决定了函数图像在该点附 近的凹凸性。
全微分的性质
线性性质
若函数$f(x, y)$和$g(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则$[f(x, y) + g(x, y)]_{x=x_0}^{x=x_1} = f_{x}(x_0, y_0)dx + f_{y}(x_0, y_0)dy + [g(x, y)]_{x=x_0}^{x=x_1}$。
神经网络的训练
在训练神经网络时，梯度下降法是常 用的优化算法，通过计算梯度来更新 网络权重，以最小化损失函数。
支持向量机
自然语言处理
在自然语言处理任务中，如词向量表 示、语言模型等，梯度下降法常用于 优化模型参数。
在支持向量机中，利用梯度信息来计 算超平面的决策边界。
在物理和工程中的应用
01
02
03
VS
注意事项
梯度与方向导数的关系
梯度与方向导数的关系梯度与方向导数是两个在数学和物理学中经常用到的概念，它们之间有着密切的关系。
在深入讨论这个关系之前，我们先来了解一下梯度和方向导数的定义。
梯度是一个向量，表示函数在某一点上的变化率最快的方向。
在多元函数中，梯度由各个偏导数组成。
具体而言，对于一个函数f(x, y, z)：f在点P(x0, y0, z0)上的梯度为∇f(x0, y0, z0) =(∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
方向导数是函数在某一点上沿着某个给定方向上的变化率。
它告诉我们在一个给定的方向上，函数在某一点上的变化快慢程度。
方向导数可以用梯度来表示。
具体而言，对于一个函数f(x, y, z)和一个单位向量u = (a, b, c)：f在点P(x0, y0, z0)上，沿着方向u的方向导数可以表示为∂f/∂u = ∇f(x0, y0, z0)·u = (∂f/∂x,∂f/∂y, ∂f/∂z)·(a, b, c)。
了解了梯度和方向导数的定义之后，我们可以开始探讨它们之间的关系了。
首先，梯度的方向是函数在某点上变化最快的方向，而方向导数告诉我们函数在某点上沿着某个给定方向的变化快慢程度。
因此，如果我们希望函数变化得更快，我们应该沿着梯度的方向前进，这样可以最大限度地提高函数值的变化速度。
其次，梯度的模长是函数变化率最大的值。
梯度的模长告诉我们函数在某点上的最大变化率是多少。
而方向导数的值告诉我们函数在某点上，沿着某个给定方向的最大变化率是多少。
因此，梯度的模长和方向导数的值是相等的。
另外，梯度的方向与方向导数的方向并不总是一致的。
方向导数是表示函数在某一点上沿着某个给定方向的变化率，而梯度则是表示函数在某一点上变化率最大的方向。
因此，梯度的方向与方向导数的方向可以不一致。
不过，当我们沿着梯度的方向前进时，方向导数取得最大值。
综上所述，梯度和方向导数有着密切的关系。
梯度指示了函数变化率最快的方向和变化率的大小，而方向导数告诉我们在某个给定方向上的变化率。
微分学中的方向导数与梯度-教案
微分学中的方向导数与梯度-教案一、引言1.1微分学的核心概念1.1.1微分学是数学分析的一个重要分支，主要研究函数的局部性质，如导数、微分等。
1.1.2微分学在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，是现代科学技术发展的重要基础。
1.1.3方向导数与梯度是微分学中的重要概念，它们描述了函数在某一点沿特定方向的瞬时变化率。
1.1.4理解方向导数与梯度的概念和性质，对于深入掌握微分学具有重要意义。
1.2教学目标1.2.1使学生理解方向导数与梯度的定义及其物理意义。
1.2.2培养学生运用方向导数与梯度解决实际问题的能力。
1.2.3帮助学生建立微分学的整体观念，为后续课程学习打下基础。
1.2.4培养学生的逻辑思维能力和数学素养，提高学生分析和解决问题的能力。
1.3教学重点与难点1.3.1教学重点：方向导数与梯度的定义、计算方法和应用。
1.3.2教学难点：方向导数与梯度的物理意义、方向导数的计算公式。
二、知识点讲解2.1方向导数2.1.1定义：方向导数是函数在某一点沿特定方向的瞬时变化率。
2.1.2物理意义：方向导数可以描述物体在空间中沿某一方向的运动速度。
2.1.3计算方法：方向导数可以通过函数的偏导数和方向向量来计算。
2.1.4应用：方向导数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如流体力学、电磁学等。
2.2梯度2.2.1定义：梯度是一个向量，其方向与函数在该点增长最快的方向一致，大小为该方向上的方向导数。
2.2.2物理意义：梯度可以描述函数在某一点的局部变化趋势。
2.2.3计算方法：梯度可以通过函数的偏导数来计算。
2.2.4应用：梯度在优化问题、图像处理等领域有着广泛的应用。
2.3方向导数与梯度的关系2.3.1方向导数与梯度的方向相同。
2.3.2梯度的大小等于方向导数的最大值。
2.3.3梯度的方向是函数增长最快的方向。
2.3.4方向导数与梯度的概念可以相互转化，用于解决实际问题。
三、教学内容3.1方向导数的计算3.1.1单变量函数的方向导数：单变量函数的方向导数可以通过函数的导数和方向向量来计算。
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度1. 引言1.1 概述微积分是数学中一个重要的分支，研究的是变化与无限小量的关系。
在微积分中，导数、偏导数和梯度是最基础的概念之一。
它们能够描述函数在某一点上的变化率以及方向性，并且在许多科学和工程领域中都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将围绕导数、偏导数、方向导数和梯度展开讨论。
首先介绍导数的定义、性质和计算方法，接着详细讲解偏导数及其与多元函数的关系以及计算方法。
然后深入探究方向导数的定义、意义以及如何计算方向导数。
最后，将介绍梯度的概念，并探讨其在微积分中的应用。
1.3 目的本文旨在全面介绍和阐述微积分中与导数、偏导数、方向导数以及梯度相关的知识。
通过对这些概念进行详细解析，读者可以加深对它们背后原理和运用方法的理解。
同时，希望能够激发读者对微积分更深层次的思考，并提供进一步学习和研究的方向建议。
2. 导数2.1 导数的定义导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某一点上的变化率。
在数学上，给定函数y=f(x)，如果它在点x处有定义且在该点附近存在极限，那么它在点x 处的导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以理解为函数的瞬时变化率。
2.2 导数的性质导数具有以下几个基本性质：- 可加性：若f(x)和g(x)可导，则(f+g)(x)也可导，并且其导函数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
- 常数倍性：若f(x)可导，则对于任意实常数a，af(x)也可导，并且其导函数为(a*f)'(x)=af'(x)。
- 乘积法则：若f(x)和g(x)可导，则(f*g)(x)也可导，并且其导函数为(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
- 商法则：若f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f/g)(x)也可导，并且其导函数为(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g^2 (x)]。
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第2讲 方向导数与梯度 偏导数的几何应用一、 方向导数与梯度1．向量的方向余弦（复习） (,)a x y =cos α=，cos β=(,,)a x y z =cos α=，cos β=cos γ=2．方向导数的定义00000(,)(,)limx f x x y f x y zx x∆→+∆-∂=∂∆ 00000(,)(,)lim x f x y y f x y zy y∆→+∆-∂=∂∆ 设l 为xOy 平面上以000(,)P x y 为始点的一条射线,指向终点00(,)P x x y y +∆+∆，它的方向向量(cos ,cos )l e αβ=是与l同方向的单位向量.显然，cos α=，cos β=.函数沿方向l 的方向导数为:00(,)x y f l∂∂00000(,)(,)limf x x y y f x y ρρ→+∆+∆-=(ρ=如果函数(,)f x y 在点(,)P x y 可微,那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在,且有其中cos ,cos αβ是方向l 的方向余弦.类似地,如果函数(,,)u f x y z =在点000(,,)x y z 可微,那么函数在该点沿方向(cos ,cos ,cos )l e αβγ=的方向导数为cos ,cos ,cos αβγ是方向l 的方向余弦.例 1. 求函数22xz xy ye =+在点(0,1)P 处沿着从点(0,1)P 到点(1,2)Q -的方向的方向导数.x练习;求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿(1,0)P 到(2,1)Q -的方向的方向导数. 答案:2-3、梯度函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的梯度,记作000000(,)(,)(,)x y gradf x y f x y i f x y j =+00(,)x y f l∂∂0000(,)cos (,)cos x y f x y f x y αβ=+0000((,),(,))(cos ,cos )x y f x y f x y αβ=⋅00(,)l gradf x y e =⋅0000|(,)|||cos |(,)|cos l gradf x y e gradf x y θθ=⋅=这一式子表明函数在某点沿l 的方向的方向导数,等于梯度在l 方向上的投影,特别当0θ=时,方向导数取得最大值00(,)x y f l∂∂00|(,)|gradf x y =.梯度是向量,它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向,它的模等于方向导数的最大值.函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 的梯度000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)x y z gradf x y z f x y z i f x y z j f x y z k =++最大方向导数为000(,,)gradf x y z 例1. 求221grad x y +例 2. 求函数22232u x y z =+-在点(1,2,1)P -处,分别沿什么方向时方向导数取得最大值和最小值?并求出其最大值和最小值.二、 偏导数的几何应用（一）、空间曲线的切线与法平面 空间曲线的割线: 空间曲线的切线:空间曲线的法平面:过切点垂直于切线的平面1.空间曲线方程为参数方程()()()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中(),(),()t t t ϕψω可导且导数不全为零.0000(,,)M x y z 对应0t t =000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆对应0t t t =+∆则割线0M M 的方向向量为(,,x y zt t t∆∆∆∆∆∆)割线0M M 的方程为:000x x y y z z x y z t---==∆∆∆∆ 令0M M →,即得切线方程为:切向量:('(),'(),'())s t t t ϕψω= 法平面方程为:例1 求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解:21,2,3dx dy dzt t dt dt dt=== 在点(1,1,1)处的切向量为(1,2,3)s =切线方程:111123x y z ---==法平面方程:(1)2(1)3(1)0x y z -+-+-=,即236x y z ++=练习: 求曲线2,,tx t y t z e ===在点(1,1,)e 处的切线及法平面方程. 对应点1t =切线方程:1112x y z ee---==法平面方程(1)2(1)()0x y e z e -+-+-= 2.空间曲线方程为()()y y x z z x =⎧⎨=⎩,可化为()()x xy y x z z x =⎧⎪=⎨⎪=⎩,在对应点000(,,)x y z 处切向量: (1,'(),'())s y x z x = 切线方程:法平面方程:3.空间曲线方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩,()()y y x z z x =⎧⇒⇒⎨=⎩()()x xy y x z z x =⎧⎪=⎨⎪=⎩方程组对x 求导数得切向量0(1,'(),'())s y x z x =切线方程法平面方程:例 2 求球面22240x y z ++-=与圆柱面2220x y x +-=的交线Γ在点0(1,1P 处的切线方程与法平面方程.解:2222212220401202220dy x dy dz x y z x y z dx ydx dxdy dz x y x x y dx dx z -⎧⎧=++=⎪⎪⎧++-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-=⎪⎩⎪⎪+-==-⎪⎪⎩⎩在点0(1,1P 处,切向量(1,0,s = 切线方程: 11110x y z --==,即1z y ==⎩ 法平面方程:(1)0x z -=0z -= 练习:求曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线及法平面.答案: 切线方程:121101x y z -+-==- 法平面方程:0x z -= （二）、曲面的切平面与法线1.曲面S 方程为(,,)0F x y z =0000(,,)M x y z 为曲面上的一点,并设函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零.过0M 任意引一条曲线Γ,其参数方程为(),(),()x t y t z t ϕψω===,(t αβ≤≤),0t t =对应点0000(,,)M x y z 且000'(),'(),'()t t t ϕψω不同时为零.则Γ在点0M 的切向量为000('(),'(),'())s t t t ϕψω=.因为Γ完全在曲面S 上,所以[(),(),()]0F t t t ϕψω=,两端对t 求导,并令0t t =得000000000000(,)'()(,)'()(,)'()0x y z F x y z t F x y z t F x y z t ϕψω++=记000000000((,),(,),(,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 则0n s ⋅=这表明曲面S 上过点0M 的任一条曲线在这一点的切向量s 都与同一个向量n 垂直,所以曲面上过0M 的一切曲线的切线都在同一平面上,称此平面为切平面.2.令(,,)(,)F x y z f x y z =-法向量:切平面的方程法线方程:例1 求椭球面236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程及法线方程.练习:求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.答案:法向量: (2,4,6)n =切平面方程:23140x y z ++-=法线方程:123123x y z ---==即123x y z== 例2 求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解: 22(,)1f x y x y =+-(2,2,1)n x y =-切平面方程:4(2)2(1)(4)0x y z -+---=法线方程: 214421x y z ---==- 练习:求3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.例 3 (0)a a =>上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之和为一个常数.例4 已知旋转抛物面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，求点P 的坐标及平面在点P 处的切平面方程和法线方程。
（书P93）例 5 设曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处指向外侧的法向量为n ,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.历届试题1、[2009首届，5分]求曲面2222x z y =+-平行于平面220x y z +-=的切平面方程。
2、[2013第四届决赛，5分]过直线102227:0x y z L x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求此切平面的方程，3、[2014第五届决赛，7分]设(,,)F x y z 和(,,)G x y z 有连续偏导数，(,)0(,)F G x z ∂≠∂，曲线(,,)0:(,,)0F x y z G x y z =⎧Γ⎨=⎩过点0000(,,)P x y z 。
记Γ在xoy 平面上的投影曲线为S ，求S 上过点00(,)x y 的切线方程。