第2讲 方向导数与梯度 偏导数的几何应用

第2讲 方向导数与梯度 偏导数的几何应用

一、 方向导数与梯度

1．向量的方向余弦（复习） (,)a x y =

cos α=

，cos β=

(,,)a x y z =

cos α=

，cos β=

cos γ=

2．方向导数的定义

00000(,)(,)lim

x f x x y f x y z

x x

∆→+∆-∂=∂∆ 00000(,)(,)lim x f x y y f x y z

y y

∆→+∆-∂=∂∆ 设l 为xOy 平面上以000(,)P x y 为始点的一条射线,指向终

点00(,)P x x y y +∆+∆，它的方向向量(cos ,cos )l e αβ=是与l

同方向的单位向量.显然

，

cos α=

，cos β=

.

函数沿方向l 的方向导数为:

00(,)

x y f l

∂∂00000

(,)(,)

lim

f x x y y f x y ρρ

→+∆+∆-=

(ρ=如果函数(,)f x y 在点

(,)P x y 可微,那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在,且有

其中cos ,cos αβ是方向l 的方向余弦.

类似地,如果函数(,,)u f x y z =在点000(,,)x y z 可微,那么函数在该点沿方向

(cos ,cos ,cos )l e αβγ=的方向导数为

cos ,cos ,cos αβγ是方向l 的方向余弦.

例 1. 求函数22x

z xy ye =+在点(0,1)P 处沿着从点(0,1)P 到点(1,2)Q -的方向的方向导

数.

x

练习;求函数2y

z xe =在点(1,0)P 处沿(1,0)P 到(2,1)Q -的方向的方向导数. 答案

:2

-

3、梯度

函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的梯度,记作

000000(,)(,)(,)x y gradf x y f x y i f x y j =+

00(,)

x y f l

∂∂0000(,)cos (,)cos x y f x y f x y αβ=+

0000((,),(,))(cos ,cos )x y f x y f x y αβ=⋅

00(,)l gradf x y e =⋅

0000|(,)|||cos |(,)|cos l gradf x y e gradf x y θθ=⋅=

这一式子表明函数在某点沿l 的方向的方向导数,等于梯度在l 方向上的投影,特别当

0θ=时,方向导数取得最大值

00(,)

x y f l

∂∂00|(,)|gradf x y =.

梯度是向量,它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向,它的模等于方向导数的最大值.

函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 的梯度

000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)x y z gradf x y z f x y z i f x y z j f x y z k =++

最大方向导数为000(,,)gradf x y z 例1. 求22

1

grad x y +

例 2. 求函数2

2

2

32u x y z =+-在点(1,2,1)P -处,分别沿什么方向时方向导数取得最大值和最小值?并求出其最大值和最小值.

二、 偏导数的几何应用

（一）、空间曲线的切线与法平面 空间曲线的割线: 空间曲线的切线:

空间曲线的法平面:过切点垂直于切线的平面

1.空间曲线方程为参数方程()()()x t y t z t ϕψω=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

其中(),(),()t t t ϕψω可导且导数不全为零.

0000(,,)M x y z 对应0t t =

000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆对应0t t t =+∆

则割线0M M 的方向向量为(,,x y z

t t t

∆∆∆∆∆∆)

割线0M M 的方程为:000

x x y y z z x y z t

---==

∆∆∆∆ 令0M M →,即得切线方程为:

切向量:

('(),'(),'())s t t t ϕψω= 法平面方程为:

例1 求曲线23

,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.

解:

21,2,3dx dy dz

t t dt dt dt

=== 在点(1,1,1)处的切向量为(1,2,3)s =

切线方程:111

123

x y z ---==

法平面方程:(1)2(1)3(1)0x y z -+-+-=,即236x y z ++=

练习: 求曲线2,,t

x t y t z e ===在点(1,1,)e 处的切线及法平面方程. 对应点1t =

切线方程:1112x y z e

e

---==

法平面方程(1)2(1)()0x y e z e -+-+-= 2.空间曲线方程为()()y y x z z x =⎧⎨=⎩,可化为()()

x x

y y x z z x =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

,在对应点000(,,

)x y z 处

切向量: (1,'(),'())s y x z x = 切线方程: