实数培优讲义

实数培优讲义
考点·方法·破译
1．平方根与立方根：
若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根．
若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a．
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对
应．任何有理数都可以表示为分数p
q
（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2n
a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．
02．已知m是小于152
的最大整数，则m的平方根是____．
03．9的立方根是____．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．
输入x
取算术平方根输出y
是无理数
是有理数
【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于
( )
A ．－1
B ． 0
C ．1
D ．2
【变式题组】
0l 3b +＝0成立，则a b ＝____．
02()2
30b -=，则
a
b
的平方根是____．
03．若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009
x y ⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
04．已知x 1
x π
-的值是( )
A ．1
1π
-
B ．1
1π
+
C ．
1
1π
- D ．无法确定
【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．
【变式题组】
01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．
02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123
π
+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．
【例4】若a −2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．
【变式题组】
01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____．
02a ，小数部分为b a ）·b ＝____．
演练巩固 反馈提高
0l ．下列说法正确的是( )
A ．－2是(－2)2的算术平方根
B ．3是－9的算术平方根
C ． 16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝ －2，5
2
c =-
，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )
A ．－9与81的平方根
B ．4与
3
64- C ．4与364 D ．3与9
04．在实数1.414，2-，0.1•5•
，5−16，π，3.1•4•
，8
3125
中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个 05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A ．b >a
B ．a b >
C ． －a ＜b
D ．－b >a
06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝
()
2
3．则m ，n 的关系是( )
A . m ＝±n
B .m ＝n
C .m ＝－n
D .m n ≠
08．如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点
C 所表示的数为( )
A ．－23-
B ．－13-
C ．－2 ＋3
D ．l ＋3
09．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点
A 左边，则A 、
B 之间的距离为____．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，
12，13…，119，120
．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝
a b a b +-，如3※2＝32
32
+-＝5．那么12.※4＝____．
12．已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝____．
13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()
()
2
2
a b
a b ab
a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m
＝____．
14．设a 是大于1的实数．若a ，
23a +，21
3
a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．
15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴
正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．
16．已知整数x 、y 满足x ＋2
y ＝50，求x 、y ．
17．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．
18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇
形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．
19．若b ＝315a - ＋153a - ＋2且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，
求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．
20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2的值．
培优升级 奥赛检测
01．一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )
A ． 2
B ．－1
C ． 1
D ． 0
02( )
A ．0
B ． 1
C ．1
D ． 2
03−2的最小值为____．
04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．
06．已知实数a 满足2009a a -=，则a − 20092＝_______．
07．若m 满足关系式
199y x =--，试
确定m 的值．
08．若a 、b 满足5b ＝7，S ＝3b ，求S 的取值范围．
09．已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+
++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣
⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．
10．已知实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的
值．
11．巳知x ＝
b
a
，a 、b 为互质的正整数．且a ≤8−1<x 1， (1)试写出一个满足条件的x ；(2)求所有满足条件的x ．。