北师大版数学八年级下册4.1因式分解课件

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北师大版八年级下册第四章因式分解第一节因式分解课件 (共18张PPT)

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（ factorization), 例如： a3-a=a(a+1)(a-1) 、 am+bm+cm=m(a+b+c), 从左到右的变形都是因式分解。因式分解也可称为分解因式。
一辨: 下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？（1）24x2y=4x· 6xy (2)(a+3)(a-3)=a2-9 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r) 1 （5）x+1=x(1+ ) (6)m2-4=(m+2)(m-2)
式分解
拓展提升：若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为(x+1)2 ，则 m=___,n=___ 因式分解与整式乘法密切联系, 逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助我们解决有关因式分解的问题三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求ab-ac的值。特殊问题背景下,因式分解可以使运算更简便
193-19 = 19×192－19×1 = 19（192－1） = 19×360 = 19×18×20
类比、猜测
式
你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3-a = a× a2 － a × 1 = a（ a2 － 1 ）形 = a(a+1)(a-1)
我校第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传，我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系式。
整式乘法

北师大初中数学八下《4.1因式分解》PPT课件 (3)

(1) a2-b2 = (a+b)(a-b) (2) ma+mb+mc=m(a+b+c))
(3)
2 2 a +18a+81=(a+9)
(4) 9x2-16y2=(3x+4y)(3x-4y) 左边：是一个多项式．
右边：是整式(单、多)的积．
多项式的因式分解（或分解因式）
因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2 2 当a=101，b=99时，则a -b =？
当x=101，y=99时，x2-2xy+y2=？当x= -3时，20x2+60x=？
交流自己的算法
议一议
2 2 a -b 由(a-b)(a+b)得到_______ 2 2 由 a -b
(a-b)(a+b) 得到_________
你能再举几个类似的例子吗？
2
y 6y 9 (4) ( y 3) = _______________
2
2
整式的乘法运算．以上各式属于___________
根据前面的算式填空： 3x(x-1) 3x 3x = _________ 2 (m+4)(m-4) m 16 = _________
2
m(a+b+c) ma mb mc = _________
强调：
1、符合因式分解的条件是……多项式．
2、结果：化成几个整式（单、多）的积的形式．
做一做，计算下列各式：
3x 3x (1) 3x(x-1)=___________
2
ma mb mc (2) m(a+b+c)=_____________

北师大版数学八年级下册4.1因式分解教学课件

为逆运算关系.
【例1】下列从左到右的变形，是因式分解的是( D )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
变式练习
C
1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( C )
4.1 因式分解
1. 什么是整式? 单项式:数与字母的积
整式多项式：几个单项式的和
复
2.整式乘法有几种形式?
习
(1) 2ab3·3a2b=6a3b（4 单项式×单项式）
巩
单单
整
固
(2) n(a+b+c)=na+nb+nc （单项式×多项式）
式
单多 (3) (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
(2)10x2－5x＝5x(2x－1)；
多项式几个整式的积
解：是整式乘法；（单项式×多项式）
(m+4)(m-4)= ____
解：是因式分解；
（单项式×多项式）
(3) (5a-1)2=25a2-10a+1 ∴2a－5＝3，－5a＝－k，
(2)10x2－5x＝5x(2x－1)；(4)t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
课堂小结：
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点：
1、分解的对象必须是多项式. 2、分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3、要分解到不能分解为止.
x
2
x
1
x 2 3x 2 (x 2)(x 1)

北师大版八年级数学下册 4.1 因式分解课件

合作探究
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
导引：紧扣因式分解的定义进行判断．
因为 1 不是整式，所以a2＋1＝a(a＋ 1 )不是因式分解，
北师大版数学八年级下册
第四章因式分解
4.1 因式分解
学习目标
1．了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
2．认识因式分解与整式乘法的相互关系— —互逆关系（即相反变形）。
复习导入
口答： x x 1 __x_2___x__ x 1 x 1 __x_2___1__ 2x 3x 7 _6__x_2 ___1_4_x__
6．分解因式 x2＋ax＋b 时，甲看错了 a 的值，分解的结果是 (x＋6)(x－1)，乙看错了 b 的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，求 a，b 的值．
解：由已知得，甲没有看错 b 的值，乙没有看错 a 的值． ∵(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6，∴b＝－6， ∵(x－2)(x＋1)＝x2－x－2，∴a＝－1.
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项式化成几个整式的积的形式．
2 (中考·海南)下列式子从左到右的变形是因式分解的是( B ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
反过来 x2 x __x__x___1___ x2 1 __x___1___x___1__
合作探究
知识点 1 因式分解的定义

北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件

合作探究
探究点三问题1：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )

北师大版八年级下册数学因式分解课件

议一议:
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 的变形与上面的变形互为逆过程 .
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
计算下列式子：
（1）3x(x-1)=
3x2 -3x
；
（2）m(a+b+c)= ma+mb+mc ；（3）(m+4)(m-4)= m2-16 ；
（4）(y-3)2 = y 2-6y+9 ；（5）a(a+1)(a-1)= a3 -a ．
根据上面的算式填空：（1）ma+mb+mc= m(a+b+c)；（2）3x 2-3x= 3x(x-1) ；（3）m2-16= (m+4)(m-4)；（4）a3-a= a(a+1)(a-1) ；（5）y 2-6y+9= (y-3)2 ．
以下两种运算有什么联系与区分? （1）a(a+1)(a-1)= a 3-a （2）a 3-a= a(a+1)(a-1)
在上面的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算；区分：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式是将多项式化为乘积情势。
北师大版八年级下册
4.1 因式分解
第1课时
复习：
1.整式乘法有几种情势 ? (1) 单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 : a(m+n)=am+an (3) 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+ bm+bn

因式分解北师大数学八年级下册PPT课件

B. − + = − +
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.

如果多项式

+

么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5

− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版八年级数学下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝

北师大初中数学八下《4.1因式分解》PPT课件 (5)

逆变形
am bm
因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形．
m (a+b+c)=ma+mb+mc 整式的积结果是多项式
整式乘法
ma+mb+mc= m(a+b+c) 多项式结果是整式的积
因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式 , 叫做因式分解.(与整式乘法正好相反)
1、判断哪些是因式分解？并说明理由．
2
像上面这样把一个多项式化成几个整式积的形式，这样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解．
(一)、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． (二)、整式乘法与因式分解的关系
m(a b)
整式乘法
整式乘法
因式分解
2
(6) x 2 x 6 ( x 2)(x 3)
2、下列因式分解错误的是 (
)
A、x y ( x y )(x y )
2 2
B、x 2 6 x 9 ( x 3) 2 C、x 2 xy x( x y ) D、x y ( x y )
1 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式．
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2 x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积
(1)a( x y ) ax ay (2)3a bc 3 a a b c
2

北师大版八年级下册 4.1因式分解课件 (共20张PPT)

分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变是因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)，求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)

八年级数学下册《4.1因式分解》课件3(新版)北师大版

因式分解
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6)m2-4=(m+4)(m-4)
不是因式分解
(7)2π R+2π r=2π (R+r)
因式分解
灿若寒星
例1、检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y－xy2=xy(x－y)
正确
(2)2x2－1=(2x+1)(2x－1) 不正确
(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2) 正确
你知道每一步的根据吗？
想一想：993-99还能被灿若哪寒星些整数整除？
bb a
a
a2-b2=（a+b）（a-b）
灿若寒星
例3、你能用几种不同的方法计算20112 －20102，哪种方法最简单？
20112－20102 =（2011+2010）（2011－2010） =4021×1 =4021
灿若寒星
看谁算得快
(1) 若 a=1001 ， b=999 ，则 a2-b2=___________ ； (2)若a=99，b=-1，则a2-2ab+b2=_______； (3)若x=-3，则20x2+60x=____________．
多项式整式的积
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =(a+b)2 am+bm =m(a+b)
整式乘法
因式分解
灿若寒星
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．
多项式 x2－xy
几个整式的积＝ x（x－y）
灿若寒星
因式分解与整式乘法的关系

八年级数学下册《4.1 因式分解》课件4 (新版)北师大版

1 因式分解(yīn shì fēn jiě)
第一页，共9页。
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式．
二、整式(zhěnɡ shì)的乘法： 1、单项式乘单项式：形如2x y 2、单项式乘多项式：形如m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如(m n)(a b) am an n shì fēn
jiě)的关系
整式乘法
m(a b)
am bm
因式分解
整式
逆变形
因式分解
(zhěnɡ s整h式ì)乘乘法法与因式分解是相反方向的逆变形．
第五页，共9页。
m (a+b+c)=ma+mb+mc
整式(zhěnɡ
结果(jiē guǒ)是
shì)的积整式乘法多项式
• 2、因式分解的对象应是多项式． • 3、因式分解的结果一定是积的形式． • 4、结果中的每一个因式都必须是整式． • 5、要分解到再也不能分解为止．
第九页，共9页。
ma+mb+mc= m(a+b+c)
多项式
结果(jiē guǒ)是整
因式分解式的积
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解. (与整式乘法正好相反)
第六页，共9页。
1、判断哪些是因式分解？并说明(shuōmíng)
理(1)由a(．x y) ax ay (2)3a2bc 3 a a b c (3)x2 2x 1 x(x 2) 1 (4)x2 2xy y2 1 x(x 2 y) ( y 1)( y 1) (5)ax2 9a a(x 3)(x 3) (6)x2 x 6 (x 2)(x 3)
整式的乘法(chéngfǎ)实际上把几个多项式的积

北师大版八年级数学下册《因式分解》ppt

思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
左边式子的变形为整式乘法，右边式子的变形为因式分解，两种变形互为逆运算变形过程.
巩固练习
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
=99 ×(992-1) =99×9800 = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
你是怎么想的？与同伴交流
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
范例讲解
观察下列拼图过程，写出相应的关系式。
am+bm+cm
m(a+b+c)
x2+x+x+1
(x+1)2
am+bm+cm=m(a+b+c) x2+x+x+1= x2+2x+1 =(x+1)2
问：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
联系：等式的左右两边是同一个多项式的不同表现形式. 区别：等号的左边是多项式的乘法，等号的右边是把多项式化成了几个整式的积。二者的过程恰好相反。
整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
因式分解
(6).m2-4=(m+2)(m-2)
整式乘法
4.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是 ( B )

北师大版八年级数学下册4.1《1 因式分解》课件2 (共16张PPT)

业人士组成了九家分公司。二、实习岗位的简介
本人在工作岗位是负责集团财务部门工作。集团财务有三个人,信贷经理xx,财务xx 和我 ,她们负责带我 ,她们对我特别照顾,我
1、你能否先写出整式相乘的
两个例子；
2、你能由此得到相应的两个
多项式的因式分解吗？
m(a+b+c)=ma+mb+mc 反过来，ma+mb+mc=m(a+b+c)
(a+9)2=a2+18a+81 那么，a2+18a+81=(a+9)2
(3x+4y)(3x-4y)=9x2-16y2 则有，9x2-16y2=(3x+4y)(3x-4y)
下列式子的表示形式与乘法运算有什么关系？
(1) a2-b2 = (a+b)(a-b) (2) ma+mb+mc=m(a+b+c))
以上各式属于_整__式__的__乘__法__运算．
根据前面的算式填空：
3x2 3x = _3_x_(_x-_1_)___ m2 16= _(m__+_4)_(_m_-_4)_
m ambm=c_m__(a_+_b_+_c_)_ y2 6y9 = _(_y___3_)2___
以上各式属于__分__解__因__式___运算．
（1） ∵3a(a+4) =3a2+12a（乘法运算） ∴ 3a2+12a = ( 3a )( a＋4 )；
（因式分解）
（2） ∵ (a+3)2=a2+6a+9 （乘法运算）