高三数学《解三角形》题型归纳

高三数学《解三角形》题型归纳（含解析）

题型一：求某边的值

（1）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c .已知2

5,2,cos 3

a c A ===

，则b =_______.

（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14， ∠BDA ＝60︒， ∠BCD ＝135︒ ，则BC ＝ ．

（3）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2

－c 2

＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ ．

（4）钝角△ABC 的面积是1

2

，AB ＝1，BC ＝ 2 ，则AC ＝ ．

（5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －

c ＝2，cos A ＝－1

4，则a 的值为________．

（6）在ABC △中，已知3,120AB A ==o

，且ABC △的面积为153

4

，则BC 边长为______．

（7）在ABC △中，已知5,3,2AB BC B A ===,则边AC 的长为________．

答案：（1）3 （2）8 2 （3）4 （4） 5 （5）8 （6）7 （7）26

题型二：三角形的角

（1）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1

3

BC ，则cos A ＝________．

（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，已知85,2b c C B ==,则cos C = （3）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c

B b

+=

．则A =________. （4）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且

cos sin a c

A C

=，则A =________. （5）在△ABC 中，若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则A =________.

（6）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>, 320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C =________.

答案：（1）－10

10

（2）

725

（3）π3A =

解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B

+=⇒+= 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=

， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=

，∴1cos 2

A = ∵0πA <<，∴π3A =． （4）

4π

（5）6

π

（6） 6:5:4

题型三：三角形面积的最值问题

（1）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为_________．

（2）已知ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，外接圆半径为1，且满足

，则ABC ∆面积的最大值为___________. （3）在ABC ∆中，若2

2

2,8AB AC BC =+=,则ABC ∆面积的最大值为___________.

（4）若2,AB AC ==

，则ABC ∆面积的最大值为___________.

（5）已知ABC ∆面积S 和三边,,a b c 满足：()2

2

,8S a b c b c =--+=则ABC ∆面积的最大值为___________.

答案：（1解析 由2a =，(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-得

()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-．由正弦定理得222()()(),a b a b c b c b c a bc +-=-+-=

，1

cos ,23

A A π==

．因为222b c a bc +-=，所以2222

4,42,4b c bc b c bc bc bc +-=+=+≥≤，当

且仅当b c =时取等号．所以1

sin 2

ABC S bc A =

≤V

（2）

解析:由可得,即

,也即A B A C B A cos sin cos sin 2cos sin -=,故A C B A cos sin 2)sin(=+,也即1cos 2=A ,则060=A ,由正弦定理可得

再由余弦定理可得cb b c 3)(32-+=,即cb b c cb 4)(332≥+=+,所

以3≤cb ,

（3

（4） （5）

64

17

题型四：求三角形边的最值或范围

（1）已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则_______. （2）在锐角ABC ∆，若2C B =，则

c

b

的取值范围是_______. （3）设A 是ABC ∆的最小角，它所对的边为a ，若，1

cos 1

a A a -=+，则a 的取值范围是_______.

（4）在△ABC 中，若3sin 2sin C B =，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则值范围为 ．

（5）在钝角ABC ∆中，已知1,2a b ==，则最大边的取值范围是 .

（6）已知顶点在单位圆上的△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且

cos cos a c B b C =+，若b a ≥，则2b c -的取值范围是 .

（7）在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 .

答案：（1解析：由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得

为B A 2=，又因为锐角三角形，且

（2