能被11整除的数的特征

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小学数学四年级奥数讲与练第6讲《能被11整除的数的特征》(习题含答案)

第6讲：能被11整除的数的特征（含答案）这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。

也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。

例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。

例1判断七位数1839673能否被11整除。

分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。

一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。

如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。

例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。

分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余数是7。

（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。

因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。

（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。

如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。

例3求除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。

能被十一整除的数的规律

《能被十一整除的数的规律》一、奇数位数字之和与偶数位数字之和的差：嘿，你知道吗？一个数能不能被十一整除，有个挺有趣的规律哦！就是看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差。

如果这个差能被十一整除，那这个数就能被十一整除啦！比如说 121 这个数，奇数位数字是 1 和 1，它们的和是 2；偶数位数字是 2。

奇数位数字之和与偶数位数字之和的差就是 2 - 2 = 0，而0 能被十一整除呀，所以 121 就能被十一整除。

我有一次和同学玩数字游戏，我就问他：“你知道1331 能不能被十一整除吗？”他一脸茫然，我就告诉他这个规律，然后我们一起算，奇数位数字之和是1 + 3 = 4，偶数位数字之和是 3 + 1 = 4，差是 4 - 4 = 0，哇，果然能被十一整除呢！同学惊讶地说：“这规律太神奇啦！”你觉得呢？二、从右往左数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的关系：还有一个规律也很有意思哦！就是把一个数从右往左数，奇数位数字之和与偶数位数字之和的关系。

如果它们相等，或者它们的差是十一的倍数，那么这个数也能被十一整除。

比如说990 这个数，从右往左数，奇数位数字之和是 9 + 0 = 9，偶数位数字之和是 9。

它们相等，所以 990 能被十一整除。

有一次我在做数学作业的时候，遇到一个数 561，我就按照这个规律来算，奇数位数字之和是5 + 1 = 6，偶数位数字之和是6，哇，它也能被十一整除呢！我高兴地对自己说：“又发现一个能被十一整除的数啦！”你有没有试过用这个规律来判断一个数能不能被十一整除呢？三、三位一截后数字的特点：你知道吗？把一个数三位一截，然后看这些截出来的数的和也能判断它能不能被十一整除哦！如果这些数的和能被十一整除，那么原来的数就能被十一整除。

比如说 123456 这个数，我们把它三位一截，就得到123 和456。

123 + 456 = 579，我们再看看579 能不能被十一整除，579 的奇数位数字之和是 5 + 9 = 14，偶数位数字之和是 7，差是 14 - 7 = 7，7 不能被十一整除。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征之老阳三干创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字辨别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包含0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不克不及被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种办法叫"奇偶位差法".除上述办法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不克不及被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除. （3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除. (4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除. （5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除.（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除.（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推. （8）能被8整除的数的特征若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除. （9）能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除.若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除.（11）能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不合的是：倍数不是2而是1！（12）能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除.（13）能被13整除的数的特征若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不容易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.（14）能被17整除的数的特征1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不容易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除.（15）能被19整除的数的特征1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除.如果差太大或心算不容易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除.（16）能被23整除的数的特征若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除.。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征 (2)

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被11整除的数的特征

能被11 整除的数的特征能被11 整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11 的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11 整除.例如:判断491678 能不能被11 整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678 能被11 整除."奇偶位差法".这种方法叫除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11 的10 倍,20 倍,30 倍⋯⋯到余下一个100 以内的数为止.如果余数能被11 整除,那么,原来这个数就一定能被11 整除.又如:判断583 能不能被11 整除.用583 减去11 的50 倍(583- 11×50=33)余数是33, 33 能被11整除,583 也一定能被11 整除.（1）1 与0 的特性：1 是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0 是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6 或8，则这个数能被 2 整除。

（3）若一个整数的数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。

（5）若一个整数的末位是0 或5，则这个数能被 5 整除。

（6）若一个整数能被 2 和3 整除，则这个数能被 6 整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。

如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133 是否7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133 是7 的倍数；又例如判断6139 是否7 的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49 ，所以6139 是7 的倍数，余类推。

能为11 13 17整除的数的特征

能为11 13 17整除的数的特征一、概述在数学领域中，整除是一个非常重要且基础的概念。

当一个整数能够被另一个整数整除时，我们就称其为能整除。

而在特定的情况下，我们希望研究能够被某一系列特定整数整除的数，以寻找这些数的特征。

本文将针对能够同时被11、13和17整除的数展开讨论，探究其特征和规律。

二、11、13、17的简要介绍1. 11是自然数中的质数，它大于10，小于12。

它的倍数有11、22、33、44、55等。

2. 13是自然数中的质数，它大于12，小于14。

它的倍数有13、26、39、52、65等。

3. 17是自然数中的质数，它大于16，小于18。

它的倍数有17、34、51、68、85等。

三、能为11、13、17整除的数的特征1. 能被11整除的数有什么特征？11的倍数有一个特征，那就是它们的个位数和十位数的差的符号是相反的，且它们的绝对值相等。

22、33、44等都满足这一特征，因为它们的个位数和十位数的差的符号相反，而且绝对值相等。

2. 能被13整除的数有什么特征？13的倍数有一个特征，那就是它们的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身。

例如26、39、52等都满足这一特征，因为它们的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身。

3. 能被17整除的数有什么特征？17的倍数有一个特征，那就是它们的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。

例如34、51、68等都满足这一特征，因为它们的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。

四、能被11、13、17整除的数的特征1. 能被11、13、17整除的数，有什么样的特征？当一个数同时满足能被11、13、17整除的条件时，那么这个数必须同时满足以上三个条件所规定的特征。

这个数的特征是：它的个位数和十位数的差的符号是相反的，且它们的绝对值相等；它的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身；它的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。

五、结论通过对能够同时被11、13和17整除的数的特征的探究，我们得出了上述结论。

能被11整除的数的特征

能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为5不是11的倍数，所以11不是123456789的因数。

再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）
整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再
把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征

（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

能被7、11、13整除数的特点

能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

—→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

除上述方法外，还可以用割减法进行判断。

即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。

如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。

又如：判断583能不能被11整除。

用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。

能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

如：判断1284322能不能被13整除。

128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33,33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4）能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5 ×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征 (1)

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

可被7、11、13整除的整数特征及推倒证明过程

一、能被7 整除的数的数字特性。

能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

证明过程设一六位数ABCDEF.所以，ABCDEF = 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F= (100100A - 100A) + (10010B - 10B) + (1001C - C) + 100D + 10E + F= (100100A + 10010B + 1001C) + (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)= 7*(14300A + 1430B + 143C) + (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)以上式子第一括号为7 的倍数，故判断该六位数ABCDEF 能否被7 除尽，须看(100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)，即前后两个三位数之差DEF - ABC 能否除尽7 。

但此方法又是否适用于单数位的数字？方法雷同。

另设一七位数ABCDEFG.ABCDEFG = 1000000A + 100000B + 10000C + 1000D + 100E + 10F + G= (1001000A - 1000A) + (100100B - 100B) + (10010C - 10C) + (1001D - D) + 100E + 10F + G= (1001000A + 100100B + 10010C + 1001D) + (100E + 10F + G) - (1000A + 100B + 10C + D)= 7*(143000A + 14300B + 1430C + 143D) + (100E + 10F + G) - (1000A + 100B + 10C + D)同理，判断该六位数ABCDEFG 能否被7 除尽的方法，须看前边四位数和后边三位数之差EFG - ABCD 能否除尽7 。

【题目】探究并证明能被11整除的5位正整数的特征

探究并证明能被11整除的5位正整数的特征1. 前言在数学中，我们常常会遇到对整数的性质进行探究和证明的问题。

其中，能够被某个整数整除是一个重要的性质。

本文将探究并证明能被11整除的5位正整数的特征，通过推导和证明，最终得出结论。

2. 5位正整数的表示我们来考虑5位正整数的表示。

一个5位正整数可以表示为$N=xxxa+1000b+100c+10d+e$，其中a、b、c、d、e分别为个位数、十位数、百位数、千位数和万位数。

3. 11的整除特征接下来，我们来分析11的整除特征。

一个数能被11整除的充分必要条件是，该数的各个位数之和的奇偶性相同。

121是11的倍数，因为1+2+1=4，而4是偶数。

而123则不是11的倍数，因为1+2+3=6，而6是奇数。

4. 探究5位正整数的特征基于以上分析，我们在此探究5位正整数的特征。

假设一个5位正整数N能被11整除，则根据第3点的结论，$a+c+e=b+d$，且$a+c+e-b-d=11k$，其中k为某个整数。

5. 证明现在，我们来证明上述结论。

假设$N=xxxa+1000b+100c+10d+e$能被11整除，则$a+c+e-b-d$必能被11整除。

而根据第3点的结论，$a+c+e-b-d=11k$成立。

我们证明了5位正整数N能被11整除的特征。

6. 结论一个5位正整数能被11整除的充分必要条件是，该数的各个位数之和的奇偶性相同。

我们成功地探究并证明了能被11整除的5位正整数的特征。

7. 总结在数学中，我们常常通过推导和证明来探究整数的性质。

本文通过分析5位正整数的表示以及11的整除特征，最终得出了能被11整除的5位正整数的特征。

这一过程充分展现了数学推理和证明的重要性，也为我们理解整数的性质提供了有益的参考。

8. 参考文献1. 王军. 数学分析[M]. 高等教育出版社, 2008.2. 张三, 李四. 离散数学基础[M]. 清华大学出版社, 2010.以上便是本文对能被11整除的5位正整数的特征的探究和证明，希望能对读者有所帮助。

能被11整除的数的奥秘

能被11整除的数的奥秘这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。

也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。

例1判断七位数1839673能否被11整除。

分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。

一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。

如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。

例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。

分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11=0……7，所以41873除以11的余数是7。

（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。

因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。

（17+11×2）-32＝7,所以296738185除以11的余数是7。

如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。

例3求除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。

（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征之巴公井开创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数, 即对任何整数a, 总有1|a.0是任何非零整数的倍数, a≠0,a为整数, 则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8, 则这个数能被2整除. （3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除, 则这个整数能被3整除. (4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除, 则这个数能被4整除. （5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5, 则这个数能被5整除.（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除, 则这个数能被6整除.（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 减去个位数的2倍, 如果差是7的倍数, 则原数能被7整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否7的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相减、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.例如, 判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7, 所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49, 所以6139是7的倍数, 余类推.（8）能被8整除的数的特征若一个整数的未尾三位数能被8整除, 则这个数能被8整除. （9）能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除, 则这个整数能被9整除. （10）能被10整除的数的特征若一个整数的末位是0, 则这个数能被10整除.（11）能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除, 则这个数能被11整除.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处置！过程唯一分歧的是：倍数不是2而是1！（12）能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除, 则这个数能被12整除.（13）能被13整除的数的特征若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 加上个位数的4倍, 如果差是13的倍数, 则原数能被13整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否13的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相加、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.（14）能被17整除的数的特征1、若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 减去个位数的5倍, 如果差是17的倍数, 则原数能被17整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否17的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相减、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除, 则这个数能被17整除.（15）能被19整除的数的特征1、若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 加上个位数的2倍, 如果差是19的倍数, 则原数能被19整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否19的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相加、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除, 则这个数能被19整除.（16）能被23整除的数的特征若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除, 则这个数能被23整除.。

11的整除特征原理

11的整除特征原理咱先从简单的数字说起哈。

你看一个两位数，比如说11，它本身就能被11整除，这是最直白的啦。

那要是22呢，也能被11整除。

这时候你可能会想，这里面是不是有啥规律呢？咱就拿个三位数来说吧，像121。

你把这个数的奇数位数字加起来，1 + 1 = 2，再把偶数位数字加起来，这里偶数位就一个2，然后你把奇数位数字之和与偶数位数字之和相减，2 - 2 = 0。

这个数能被11整除，而且相减得到的差是0呢。

再看个数字，363。

奇数位数字相加3 + 3 = 6，偶数位数字是6，6 - 6 = 0，又能被11整除。

那要是四位数呢？比如说1331。

奇数位数字相加1 + 3 = 4，偶数位数字相加3 + 1 = 4，4 - 4 = 0，它也能被11整除哦。

这时候你可能有点感觉了吧。

其实啊，11这个数很特别。

对于一个整数，如果从右到左把它的数字依次编号为第1位、第2位、第3位……那么这个数能被11整除的一个特征就是：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。

咱再举个例子，1463。

奇数位数字相加1 + 6 = 7，偶数位数字相加4 + 3 = 7，7 - 7 = 0，0是11的0倍，所以1463能被11整除。

你要是问为啥会这样呢？咱可以这么想哈。

11这个数就像一个特殊的小怪兽，它对数字有着独特的“口味”。

当我们按照奇数位和偶数位把数字分开来计算的时候，就像是找到了这个小怪兽的“弱点”。

如果奇数位数字之和与偶数位数字之和的差符合它的要求，那这个数字就能被11这个小怪兽“吞掉”，也就是能被11整除啦。

再看个数字928。

奇数位数字相加9 + 8 = 17，偶数位数字是2，17 - 2 = 15，15不是11的倍数，所以928不能被11整除。

咱再拿一个比较大的数字来试试，123456。

奇数位数字相加1 + 3 + 5 = 9，偶数位数字相加2 + 4 + 6 = 12，12 - 9 = 3，3不是11的倍数，所以123456不能被11整除。