2无限深势阱

一维无限深方形势阱中的波函数与能量
U(x)
U(x)
U=U0
U=U0
U→∞
U→∞
E
极
U=0 限
0
x
金属
a
E
U=0
a /2 0 a /2 x
无限深方势阱 （potential well）
x a / 2 U( x) ， 0
x

a / 2 U(x)

0 ，Hˆ


2 2m
d2 d x2
由此得： ka / 2 l1 ka / 2 l2
其中l1 和 l2是整数
ka / 2 l1 ka / 2 l2
其中l1 和 l2是整数
将上两式相加得：
2 （l1 l2 ) l l 也是整数
即


l

2
l
2
l = 0 时， = 0， o Asinkx
问题：为什么
？
由 e(a / 2) Acos(ka / 2) 0 ka n , n 1，3，5，
两者合并在一起，可得
ka n , n 1，2，3，4，5，
ka n , n 1，2，3，4，5，
由
2m E 2

k
2
（ n ）2
a
得
En

22
无限深方势阱中的粒子
定态薛定谔方程
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2m
从数学上来讲：E 不论为何值该方程都有解 从物理上来讲： E只有取某些特定值，该方
程的解才能满足波函数的条件单值、有限、
连续和归一， 特定的E值称为能量本征值。 特定的E值所对应的方程称为能量本征方程， 相应波函数称为能量本征函数。
Hˆ E
d2
d x2


2mE 2

∵
E
>
0， ∴
可令
2mE 2

k2
d2
d x2
k 2

0
通解：( x) Asin（kx ）
待定常数A、 由 应满足的物理条件决定
以上的解已自然满足单值，有限的条件
连续条件： 由于边界外 = 0，所以有：
(a / 2) 0 Asin(ka / 2 ) 0 (a / 2) 0 Asin(ka / 2 ) 0
a
a
2
2
量子 经典
玻尔对应原理
a
所以有能量本征函数：
on
a sin n x 2a
en
a n cos x
2a
0
xa 2
x a 2
（2）全部波函数
考虑振动因子有
n
(
x,
t
)

n
(
x)


e
i
Ent
“能量本征波函数”，“能量本征态”
（3）概率密度：|n( x, t) |2 |n( x) |2
En n |n |2
势阱内粒子概率 分布与经典情况
束缚态
(bound state)
n
, n
2a不同 n
E4
n

4
, 4

a 2
E3
n

3
,
3

2a 3
E2
n 2 , 2 a
E1
n 1 ,1 2a
a
0
ax
2
2
n很大时，势阱内粒子概率分布 趋于均匀
|n | 2
En
本征波函数
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（1）波函数的空间部分
o

Asinkx
Asin n
a
x on
（n 2，4，6，）
e

Acos kx
Acos n
a
x
en
（n 1，3，5，）
归一化条件：
1
a/
a
2 /2
o
n
2
d
x

A2
a/
a
2 /2
s
in2
n
a
d
x

a 2
A2
由此得 A 2
是奇函数
(odd function)
l =1 时， = /2，e Acos kx
是偶函数
(even function)
l 为其他整数值时，给出相同结果
（可能差正负号，但不影响| |2 ）
由 o (a / 2) Asin(ka / 2) 0
ka n , n 2，4，6，
2ma 2
n2
n 1，2，3，
这表明，束缚在势阱内的粒子的能量只能 取离散值En — 能量量子化 每一能量值对应一个能级， En称为能量本征值， n称为量子数
最低能量
E1

22
2ma 2
0
—— 零点能
Δ
En

En1

En

22
2ma 2
(2n 1)
1 ma 2
Δ En En

2n 1 n2
2 n1 n

1 n
a
m

Δ
En

，
n Δ En En
宏观情况或量子数很大时，可认为 能量连续
n

2a n
由于势阱中德布罗意波只有形成驻 波才能稳定，所以也可以反过来说， 势阱中的能量量子化是德布罗意波 形成驻波的必然结果
问题：能不能说每一个能量本征 态对应的动量是确定的p？