计量经济学第3章多元线性回归模型分析和解析
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
多元线性回归模型的估计与解释
多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。
一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。
其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。
它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。
残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。
2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。
将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。
三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。
系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。
此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。
假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。
对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。
F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。
对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。
通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
计量经济学(庞浩)第三章-多元线性回归模型(1)
矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。
Ran(X)= k
Rak(X'X)=k
即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定
ui ~ N (0, 2 )
u ~ N (0, 2I)
12
第二节 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘法（OLS）
原则：寻求剩余平方和最小的参数估计式 min : ei2 (Yi Yˆi )2
1
X 22
Xk
2
2
u2
Yn
1 X 2n
X
kn
k
un
Y
X
βu
n 1
nk
k 1 n1
9
9
矩阵表示方式
总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中： Y,Yˆ,u,e 都是有n个元素的列向量
β, βˆ 是有k 个 元素的列向量
多重可决系数：在多元回归模型中，由各个解释
变量联合起来解释了的Y的变差，在Y的总变差中占
的比重，用 R2表示 与简单线性回归中可决系数 r的2 区别只是 不Yˆi 同
多元回归中
Yˆi ˆ1 ˆ2 X2i ˆ3 X3i ˆk Xki
多重可决系数可表示为
R2 ESS TSS
(Yˆi Y )2 (Yi Y )2
0
2
X 2i
Yi
(ˆ1
ˆ2
X 2i
ˆ3
X 3i
ˆki
X ki )
0
(i 1, 2, n)
( j 1, 2, n)
ei 0
X2iei 0
2
计量经济学庞皓课件(第三章 多元线性回归模型)
怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
ˆk
k
c jj
~
N (0,1)
21 21
2 未知时βˆ 的标准化变换
因 2 是未知的， 可用 ˆ 2 代替 2 去估计参数的
标准误差:
●
当为大样本时，用估计的参数标准误差对
^
β
作
标准化变换，所得 Z 统计量仍可视为服从正态分
布
●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 βˆ 作标 准化变换，所得的 t 统计量服从 t 分布：
( X X )1 X 2 IX ( X X )1
2 ( X X )1
注意
βˆ 是向量
(i 1, 2,L ( j 1, 2,L
n) n)
(由无偏性)
(由OLS估计式)
(由同方差性)
其中：
ˆ ( X X )1 X Y ( X X )1 X ( Xβ + u) β ( X X )1 X u
0
两边左乘 X
X Y = X Xβˆ + X e
根据最小二乘原则 则正规方程为
Xe = 0
X Xβˆ = X Y
14
OLS估计式
计量经济学：一元线性回归模型和多元线性回顾模型习题以及解析
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。
首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。
总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。
同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。
统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。
后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。
本章还有三方面的内容不容忽视。
其一，若干基本假设。
样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。
其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。
Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。
其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。
二、典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为β+μβkids=educ+1（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
计量经济学-3多元线性回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节 概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期 望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节 参数的最小二乘估 计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0） 和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型
庞皓计量经济学第三章多元线性回归模型学习辅导
第三章 多元线性回归模型学习辅导一、本章的基本内容(一)基本内容图3.1 第三章基本内容(二)本章的教学目标在现实的计量经济分析中，事实上影响被解释变量的因素不止一个，通常会有多个影响因素；另外，即使我们的分析目的是仅考察某一个因素对被解释变量的影响，但为了得到该因素对被解释变量的“净”影响，也需要将其他影响因素作为“控制变量”，使其以显性形式出现在模型中，以提高模型估计精度。
因此，在对现实经济问题进行计量经济分析时，通常需要建立包含两个及两个以上解释变量的计量模型，此类模型称为多元回归模型。
多元回归模型是在简单回归模型理论基础上的扩展，其建模的理论基础、基本思路、模型估计等与一元回归模型基本一致，只是因解释变量增多，从而带来一些新的内容，比如模型整体显著性检验（F 检验）、修正的可决系数（2R ）以及解释变量之间多重共线性等问题。
本章的教学目标是：深刻理解建立多元回归模型的目的；掌握多元线性回归模型估计、检验的理论与方法；熟练掌握多元线性回归EViews 输出结果的解释。
二、重点与难点分析1.对多元线性回归模型参数意义的理解多元线性回归模型的参数与简单线性回归模型的参数有重要区别。
在多元线性回归模型中，解释变量对应的参数是偏回归系数，表达的是控制其他解释变量不变的条件下，该解释变量的单位变动对被解释变量平均值的“净”影响。
为了更深刻理解偏回归系数，可以两个解释变量的多元线性回归模型为例加以说明1。
例如，被解释变量Y 与解释变量2X 和3X 都有关，如果分别建立模型:多元线性回归: 12233i i i i Y X X u b b b =+++简单线性回归 : 1221i i i Y a a X u =++由于Y 与3X 有关，可以作回归:1332i i i Y b b X u =++，若用OLS 估计其参数，并计算残差213333ˆˆˆi i i i i e Y b b X y b x =--=-，这里的2i e 表示除去3i X 影响后的i Y 。
5、计量经济学【多元线性回归模型】
二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质 当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量， 这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也 具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。 也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提 下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性 （有效性）这样优良的性质， 即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS） 即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只 需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令 一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正 规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小 二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可 计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计 量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。
《中级计量经济学》非选择题参考答案
《中级计量经济学》非选择题参考答案第3章多元线性回归模型3.4.3 简答题、分析与计算题1．给定二元回归模型：yt=b0+b1x1t+b2x2t+ut （t=1，2，…n）(1) 叙述模型的古典假定；(2)写出总体回归方程、样本回归方程与样本回归模型；(3)写出回归模型的矩阵表示；(4)写出回归系数及随机误差项方差的最小二乘估计量，并叙述参数估计量的性质；(5)试述总离差平方和、回归平方和、残差平方和之间的关系及其自由度之间的关系。
2．在多元线性回归分析中，为什么用修正的决定系数衡量估计模型对样本观测值的拟合优度？3．决定系数R与总体线性关系显著性F检验之间的关系；在多元线性回归分析中，F检验与t检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？4．为什么说对模型施加约束条件后，其回归的残差平方和一定不比未施加约束的残差平方和小？在什么样的条件下，受约束回归与无约束回归的结果相同？5．观察下列方程并判断其变量是否呈线性，系数是否呈线性，或都是或都不是。
(1)yt=b0+b1xt3+ut (2)yt=b0+b1logxt+ut (3)logyt=b0+b1logxt+ut (4)yt=b0+b1(b2 xt)+ut(5)yt=b0/(b1xt)+ut (6)yt=1+b0(1 xt1)+ut (7)yt=b0+b1x1t+b2x2t/10+ut 6．常见的非线性回归模型有几种情况？7．指出下列模型中所要求的待估参数的经济意义：(1)食品类需求函数：lnY=α0+α1lnI+α2lnP1+α3lnP2+u中的α1,α2,α3（其中Yb2为人均食品支出额，I为人均收入，P。
1为食品类价格，P2为其他替代商品类价格）(2)消费函数：Ct=β0+β1Yt+β2Yt 1+ut中的β1和β2（其中C为人均消费额，Y为人均收入）。
8．设货币需求方程式的总体模型为ln(Mt/Pt)=b0+b1ln(rt)+b3ln(RGDPt)+ut其中M为名义货币需求量，P为物价水平，r为利率，RGDP 为实际国内生产总值。
计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原χ分布为检验统计量理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
多元线性回归模型计量经济学
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系 数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图 形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性 和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理 非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索 其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回 归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一 步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解 释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体， 提供了大量关于多元线性回归模 型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成 部分，特别是硕士和博士论文， 对多元线性回归模型计量经济学 进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回 归模型计量经济学领域的最新进 展和研究成果。
THANKS
感谢观看
模型定义
多元线性回归模型是一种用于描 述因变量与一个或多个自变量之 间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项 的均值为0，方差恒定；自变量与 误差项不相关；自变量之间不存在 完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价 与影响房价的因素之间的关系。
计量经济学3元线性回归模型
计量经济学作业物二 王阳 2008017241一、创立工作文件 create u 31二、输入数据 data GDP K L P三、数据转换GENR GDP1=GDP/P*100四、生成时间变量T ：GENR T=@TREND(2003)五、建立三元线性回归模型1LS GDP1 C T K1L()()()()110.47960.468917.2698 2.9625ˆ14285.977.0371 1.98640.3483Y T K L --=++--220.9676,0.9639,268.3779R R F === 11GDP Y =分析：T 值系数符号小于0不符合经济意义，2R =0.9639有很高的拟合度F 0.05(3,27)=2.96<268.3779落入拒绝域原假设不成立，所以F 检验高度显著。
说明资本K1就业人数L 时间变量T 联合起来对国内生产总值影响显著，T 0.05（27）=2.052小于2.9625和17.2698,说明K1 ，L 对GDP1的影响是显著的，但其他变量的t 值通不过t 检验。
因此调整该三元线性回归模型，剔除t 值最小变量时间序列T ，再建立二元线性回归模型。
六、建立二元线性回归模型2 LS GDP1 C K1 L()()()211.464919.3605 2.9732ˆ321.0325 2.00820.3361Y K L -=++-220.96720.9650413.9922R R F ===，，21GDP Y =分析：回归系数的符号和数值合理，模型可决系数很高；F 0.05(3,27)=2.96<413.9922落入拒绝域，说明就业人数L 和资本K 对GDP 的总影响是显著的，T 0.05（27）=2.052L 和K 均能通过t 检验，表明其各自对GDP 的影响均是显著的。
七、建立非线性回归模型3GENR LNGDP1=log(GDP1) GENR LNL=log(L) GENR LNK1=log(K1) 建立回归模型 LS LNGDP1 C LNL LNK1()()()30.9482 3.128016.4652ˆ10.25620.17670.9576LNY LNL LNK -=+--220.97230.9703490.6044R R F ===，，31GDP Y =分析：资本与劳动的回归系数都在0到1之间符合经济意义，，而且拟合优度较模型2还略有提高，解释变量都通过了显著性检验，模型中各解释变量依然显著。
计量经济学 詹姆斯斯托克 第3章 多元线性回归模型
i 2 i
10 21500 21500 53650000
1 X Y X1
1 X2
Y1 1 Y2 Yi 15674 X n X iYi 39468400 Yn
i i
638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530
ˆ 1
x y x
2 i
5769300 0.777 7425000
ˆ Y ˆ X 1567 0.777 2150 103 .172 0 0
因此，由该样本估计的回归方程（样本回归函数） 为：
i 1
n
2
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ))2 Q (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
i 1
n
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) Y ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki ) X ki Yi X ki
习惯上：把常数项看成为一个虚变量的系 数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（k +1）。
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
也被称为 总体回归函数 的 随机表达形式 。它的 非随机表达式为:
计量经济学_三元线性回归模型案例分析
计量经济学_三元线性回归模型案例分析计量经济学课程设计班级：学号：姓名：2011年1⽉⼀，问题设计改⾰开放以来，随着经济体制的改⾰深化和经济的快速增长，中国的财政收⽀状况发⽣了很⼤的变化，中央和地⽅的税收收⼊1978年为519.28亿元到2002年已增长到17636.45亿元25年间增长了33倍。
为了研究中国税收收⼊增长的主要原因，分析中央和地⽅税收收⼊的增长规律，预测中国税收未来的增长趋势，需要建⽴计量经济学模型。
⼆，理论基础影响中国税收收⼊增长的因素很多，但据分析主要的因素可能有：（1）从宏观经济看，经济整体增长是税收增长的基本源泉。
（2）公共财政的需求，税收收⼊是财政的主体，社会经济的发展和社会保障的完善等都对公共财政提出要求，因此对预算指出所表现的公共财政的需求对当年的税收收⼊可能有⼀定的影响。
（3）物价⽔平。
我国的税制结构以流转税为主，以现⾏价格计算的DGP等指标和和经营者收⼊⽔平都与物价⽔平有关。
（4）税收政策因。
我国⾃1978年以来经历了两次⼤的税制改⾰，⼀次是1984—1985年的国有企业利改税，另⼀次是1994年的全国范围内的新税制改⾰。
税制改⾰对税收会产⽣影响，特别是1985年税收陡增215.42%。
但是第⼆次税制改⾰对税收的增长速度的影响不是⾮常⼤。
因此可以从以上⼏个⽅⾯，分析各种因素对中国税收增长的具体影响。
为了反映中国税收增长的全貌，选择包括中央和地⽅税收的‘国家财政收⼊’中的“各项税收”（简称“税收收⼊”）作为被解释变量，以放映国家税收的增长；选择“国内⽣产总值（GDP）”作为经济整体增长⽔平的代表；选择中央和地⽅“财政⽀出”作为公共财政需求的代表；选择“商品零售物价指数”作为物价⽔平的代表。
由于税制改⾰难以量化，⽽且1985年以后财税体制改⾰对税收增长影响不是很⼤，可暂不考虑。
所以解释变量设定为可观测“国内⽣产总值（GDP）”、“财政⽀出”、“商品零售物价指数”三，数理经济学⽅程Y = C(1) + C(2)*XY i=β0+β2X2+β3X3+β4X4四，计量经济学⽅程设定线性回归模型为：Y i=β0+β2X2+β3X3+β4X4+µ五，数据收集从《国家统计局》获取以下数据：年份财政收⼊（亿元）Y 国内⽣产总值(亿元）X2财政⽀出（亿元）X3商品零售价格指数（%)X41985 2040.79 8964.4 2004.25 108.8 1986 2090.73 10202.2 2204.91 106 1987 2140.36 11962.5 2262.18 107.3 1988 2390.47 14928.3 2491.21 118.5 1989 2727.4 16909.2 2823.78 117.81990 2821.86 18547.9 3083.59 102.1 1991 2990.17 21617.8 3386.62 102.9 1992 3296.91 26638.1 3742.2 105.4 1993 4255.3 34636.4 4642.3 113.2 1994 5126.88 46759.4 5792.62 121.7 1995 6038.04 58478.1 6823.72 114.8 1996 6909.82 67884.6 7937.55 106.1 1997 8234.04 74462.6 9233.56 100.8 1998 9262.8 78345.2 10798.18 97.4 1999 10682.58 82067.5 13187.67 97 2000 12581.51 89468.1 15886.5 98.5 2001 15301.38 97314.8 18902.58 99.2 2002 17636.45 104790.6 22053.15 98.7六，参数估计利⽤eviews软件可以得到Y关于X2的散点图：可以看出Y和X2成线性相关关系Y关于X3的散点图：可以看出Y和X3成线性相关关系Y关于X4的散点图：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 01/09/10 Time: 13:16Sample: 1978 2002Included observations: 25Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -2582.755 940.6119 -2.745825 0.0121X2 0.022067 0.005577 3.956633 0.0007X3 0.702104 0.033236 21.12474 0.0000X4 23.98506 8.738296 2.744821 0.0121R-squared 0.997430 Mean dependent var 4848.366Adjusted R-squared 0.997063 S.D. dependent var 4870.971S.E. of regression 263.9591 Akaike info criterion 14.13511Sum squared resid 1463163. Schwarz criterion 14.33013Log likelihood -172.6889 F-statistic 2717.254Durbin-Watson stat 0.948521 Prob(F-statistic) 0.000000模型估计的结果为：Y i=-2582.755+0.022067X2+0.702104X3+23.98506X4(940.6119) (0.0056) (0.0332) (8.7383)t={-2.7458} {3.9567} {21.1247} {2.7449}R2=0.997 R2=0.997 F=2717.254 df=21七，相关检验1.经济意义检验模型估计结果说明，在假定其他变量不变的情况下，当年GDP 每增长1亿元，税收收⼊就会增长0.02207亿元；在假定其他变量不变的情况下，当年财政⽀出每增长1亿元，税收收⼊就会增长0.7021亿元；在假定其他变量不变的情况下，当零售商品物2.统计检验（1）拟合优度：R2=0.997，修正的可决系数为R2=0.997这说明模型对样本拟合的很好。
计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。 如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量， 残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减 小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量， 可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值， 例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型 系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值 是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测 的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3
计量经济学 实验3 多元回归模型
目录目录 (1)一、建立多元线性回归模型 (3)(一) 建立包括时间变量的三元线性回归模型； (3)1. 建立工作文件：CREATE A 78 94 (3)2. 输入统计资料：DATA Y L K (3)3. 生成时间变量t：GENR T=@TREND(77) (3)4. 建立回归模型：LS Y C T L K (3)(二) 建立剔除时间变量的二元线性回归模型； (4)(三) 建立非线性回归模型——C-D生产函数。
(5)二、比较、选择最佳模型 (8)(一) 回归系数的符号及数值是否合理； (8)(二) 模型的更改是否提高了拟合优度； (8)(三) 模型中各个解释变量是否显著； (8)(四) 残差分布情况 (8)实验三多元回归模型【实验目的】掌握建立多元回归模型和比较、筛选模型的方法。
【实验内容】建立我国国有独立核算工业企业生产函数。
根据生产函数理论，生产函数的基本形式为：()ε,tY=。
其中，L、K分别为生产过程中投入的劳动与资金，fL,K,时间变量t反映技术进步的影响。
表3-1列出了我国1978-1994年期间国有独立核算工业企业的有关统计资料；其中产出Y为工业总产值（可比价），L、K分别为年末职工人数和固定资产净值（可比价）。
资料来源：根据《中国统计年鉴－1995》和《中国工业经济年鉴-1995》计算整理【实验步骤】一、 建立多元线性回归模型(一) 建立包括时间变量的三元线性回归模型；在命令窗口依次键入以下命令即可：1. 建立工作文件： CREATE A 78 942. 输入统计资料： DATA Y L K3. 生成时间变量t ： GENR T=@TREND(77)4. 建立回归模型： LS Y C T L K则生产函数的估计结果及有关信息如图3-1所示。
图3-1 我国国有独立核算工业企业生产函数的估计结果 因此，我国国有独立工业企业的生产函数为：K L t y 7764.06667.06789.7732.675ˆ+++-= （模型1）t ＝(-0.252) (0.672) (0.781) (7.433)9958.02=R 9948.02=R 551.1018=F 模型的计算结果表明，我国国有独立核算工业企业的劳动力边际产出为0.6667，资金的边际产出为0.7764，技术进步的影响使工业总产值平均每年递增77.68亿元。
第3章 多元线性回归模型
TSS
TSS
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解 释变量， R2往往增大（Why?)
因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少。
这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加 解释变量即可。—— 但是，现实情况往往是，由增加 解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，因此在 多元回归模型之间比较拟合优度，R2 就不是一个合适 的指标，必须加以调整。
所以，在多元线性回归模型中，依然有
n
n
即
yi2 （[ Yˆi Y） ei ]2
i 1
i 1
n
n
n
（Yˆi Y）2 ei2 2 e（i Yˆi Y）
i 1
i 1
i 1
n
n
（Yˆi Y）2 ei2
i 1
i 1
（3-20）
TSS ESS RSS
（3-21）
可决系数
R 2 ESS 1 RSS
μ~ N(0, 2I)
假设5，回归模型的设定是正确的。
第二节 多元线性回归模型的 参数估计
任务
模型结构参数 0 、1、2 、L 、k 的估计
随机误差项的方差 2 的估计
方法
普通最小二乘法
内容
一、参数的普通最小二乘估计 二、参数的普通最小二乘估计量的性质 三、普通最小二乘样本回归函数性质 四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计 五、样本容量问题
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测
§3.1 多元线性回归模型
计量经济学第三章多元线性回归
ˆ ( X ' X )1 X 'Y
ˆ 就是 的最小二乘估计量。
第二节 最小二乘法
2. 最小二乘估计的矩阵微分法则
Q(ˆ0 , ˆ1, , ˆk ) ei2 (Yi Yˆi )2
e'e (Y Yˆ)'(Y Yˆ) (Y Xˆ)'(Y Xˆ) Y 'Y ˆ' X 'Y Y ' Xˆ ˆ' X ' Xˆ Y 'Y 2ˆ' X 'Y ˆ' X ' Xˆ
第一节 模型的建立及其假定条件
1. 为什么要引入多元线性回归模型？ 在实际经济问题中，一个经济变量往往不只受到一个
经济因素的影响，而是受到多个经济因素的影响。如，商 品的需求量不但受到商品本身价格的影响，还会受到消费 者偏好、消费者收入以及其它相关商品价格、预期价格等 因素的影响。
引入多元线性回归模型，为我们深入探究某经济问题 如何被多个经济因素所影响提供了可能，并有助于我们解 析出经济问题背后存在的内在规律。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的推广，其基 本原理和方法同一元模型完全相似。
第一节 模型的建立及其假定条件
2. 多元线性回归模型与一元模型的形式有什么不同？
Yi 0 1 X i ui Y 0 1 X1 2 X 2 k X k u
多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。
设 ( X1i , X 21i , , X ki ;Yi ), i 1,2, , n 是对总体 ( X1, X 2 , , X k ;Y ) 的n次独立样本观测值，则
可见，矩阵微分法与解方程组法的结果是一样的。
第二节 最小二乘法
例 3.1
由经济理论知，在市场上某种商品的需求量 Y 主要
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Yn n1
X 21 ... X 22 ... ... ... X 2n ...
X k1
X
k
2
...
X
k
n
n(
k
1)
0
1
2
...
u1
u2
...
un
n1
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回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E(Yi | X i ) 0 1 X i
总体回归模型 Yi 0 1 X i ui
样本回归函数 Yˆi ˆ0 ˆ1 Xi 样本回归模型 Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
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从"一元"到"多元" :一个实例
根据经济理论，在
市场上某种商品的需 求量(Y) ，主要取决于 该 商 品 的 价 格 (P) 和 消 费 者 的 平 均 收 入 (X) 。 假设某地区有关的统 计资料左下表所示， 试建立该商品的需求 量与商品价格和消费 者平均收入之间的线 性回归模型。
n
Y
必要考虑线性模型的更一般形式，即多元线性回归模型。
多元线性回归模型:在线性回归模型中，解释变量有多个。
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(1)多元总体线性回归模型
假设被解释变量Y是解释变量X1,X2,X3, …Xk和随机 误差项u的线性函数，它们可以表述为如下形式：
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui （i=1,2,…,n）
（i=1,2,…,n）
上式称为多元样本线性回归模型,简称样本回 归模型(SRM, Sample Regression Model).
ei称为残差 (residual)，可看成是总体回归模型中
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j(j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
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(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X2i L ˆk Xki ei
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Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui （i=1,2,…,n）
Y1 β0 β1X11 β2 X 21 β3 X 31 ... βk X k
Y2 β0 β1X12 β2 X 22 β3 X 32 ... βk X k ......
XXX..kkk..1n2.1k02.
+
u1
u2
...
un
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总体回归模型的矩阵表示
Y Xβ μ
其中：
Y 1 1 X11
Y X2
1 ...
X12 ...
Y 1 X1n
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(3)多元样本线性回归函数（方程）
由于总体回归模型的参数 j(j=0,1,…,k) 都是未知的,我们可
以利用样本观测值对它们进行估计。用来估计总体回归函 数的样本回归函数（方程）为：
Yˆi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X2i L ˆk Xki
（i=1,2,…,n）
(2)多元总体线性回归函数（方程）
描述被解释变量Y的（条件）期望值与解释变量 X1，X2，…，XK 线性关系的方程为：
E(Yi | X1i , X 2i , X ki) 0 1X1i 2 X 2i k X ki
（i=1,2,…,n）
这个式子称为多元总体线性回归函数（方程）, 简 称 总 体 回 归 函 数 （ 方 程 ） (PRF,Population
Regression Function).
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保
持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的均值 E(Y)的变化量。
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总体回归函数的矩阵表示
E(Y | X ) X
其中：
E(Y1)
E(Y
|
X
)
E
(Y2
)
E(Yn ຫໍສະໝຸດ n1 Yn β0 β1X1n β2 X 2n β3 X 3n ... βk X
Y1
Y2
=
Yn
Y
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1 1 ... 1
X 11 X12 ... X1n
X 21 X 22 ... X 2n
... ... ... ...
——计量经济学——
第3章多元线性回归模型分 析和解析
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教学目的
通过本章的学习，要求学生：
1、根据经济理论，对具体的经济问题建立适 当的多元线性回归模型； 2、对模型进行分析与评价； 3、应用模型，对现实经济问题进行具体分析。
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教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析
该模型称为多元总体线性回归模型，简称总体回 归模型(PRM ,Population Regression Model).
在这个模型中，Y由X1,X2,X3, …Xk所解释， k为解释变 量的数目，未知参数β0、β1、β2、…βk称为回归系数,
为随机i 扰动项(随机误差项,简称扰动项,误差项).
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9 108
10
88
PX 9 56 8 53 7 60 6 70 7 78 6 84 4 91 6 82 3 100 5 120
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3.1 模型的建立及其假定条件
1、 基本概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动可能不仅 与一个解释变量有关，而可能与多个解释变量有关。因此，有