计量经济学第3章多元线性回归模型分析和解析
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必要考虑线性模型的更一般形式，即多元线性回归模型。
多元线性回归模型:在线性回归模型中，解释变量有多个。
2/19/2020
6/60
(1)多元总体线性回归模型
假设被解释变量Y是解释变量X1,X2,X3, …Xk和随机 误差项u的线性函数，它们可以表述为如下形式：
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui （i=1,2,…,n）
2/19/2020
3/60
回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E(Yi | X i ) 0 1 X i
总体回归模型 Yi 0 1 X i ui
样本回归函数 Yˆi ˆ0 ˆ1 Xi 样本回归模型 Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
2/19/2020
7/60
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui （i=1,2,…,n）
Y1 β0 β1X11 β2 X 21 β3 X 31 ... βk X k
Y2 β0 β1X12 β2 X 22 β3 X 32 ... βk X k ......
Yn n1
X 21 ... X 22 ... ... ... X 2n ...
X k1
X
k
2
...
X
k
n
n(
k
1)
0
1
2
...
u1
u2
...
un
n1
2/19/2020
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(3)多元样本线性回归函数（方程）
由于总体回归模型的参数 j(j=0,1,…,k) 都是未知的,我们可
以利用样本观测值对它们进行估计。用来估计总体回归函 数的样本回归函数（方程）为：
Yˆi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X2i L ˆk Xki
（i=1,2,…,n）
Regression Function).
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保
持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的均值 E(Y)的变化量。
2/19/2020
10/60
总体回归函数的矩阵表示
E(Y | X ) X
其中：
E(Y1)
E(Y
|
X
)
E
(Y2
)
E(Yn )n1
XXX..kkk..1n2.1k02.
+
u1
u2
...
un
8/60
总体回归模型的矩阵表示
Y Xβ μ
其中：
Y 1 1 X11
Y X2
1 ...
X12 ...
Y 1 X1n
该模型称为多元总体线性回归模型，简称总体回 归模型(PRM ,Population Regression Model).
在这个模型中，Y由X1,X2,X3, …Xk所解释， k为解释变 量的数目，未知参数β0、β1、β2、…βk称为回归系数,
为随机i 扰动项(随机误差项,简称扰动项,误差项).
2/19/2020
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j(j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
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12/60
(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X2i L ˆk Xki ei
Yn β0 β1X1n β2 X 2n β3 X 3n ... βk X
Y1
Y2
=
Yn
Y
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1 1 ... 1
X 11 X12 ... X1n
X 21 X 22 ... X 2n
... ... ... ...
1
58
2
48
3
ຫໍສະໝຸດ Baidu63
4
68
5
73
6
98
7
98
8
78
9 108
10
88
PX 9 56 8 53 7 60 6 70 7 78 6 84 4 91 6 82 3 100 5 120
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3.1 模型的建立及其假定条件
1、 基本概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动可能不仅 与一个解释变量有关，而可能与多个解释变量有关。因此，有
（i=1,2,…,n）
上式称为多元样本线性回归模型,简称样本回 归模型(SRM, Sample Regression Model).
ei称为残差 (residual)，可看成是总体回归模型中
4/60
从"一元"到"多元" :一个实例
根据经济理论，在
市场上某种商品的需 求量(Y) ，主要取决于 该 商 品 的 价 格 (P) 和 消 费 者 的 平 均 收 入 (X) 。 假设某地区有关的统 计资料左下表所示， 试建立该商品的需求 量与商品价格和消费 者平均收入之间的线 性回归模型。
n
Y
(2)多元总体线性回归函数（方程）
描述被解释变量Y的（条件）期望值与解释变量 X1，X2，…，XK 线性关系的方程为：
E(Yi | X1i , X 2i , X ki) 0 1X1i 2 X 2i k X ki
（i=1,2,…,n）
这个式子称为多元总体线性回归函数（方程）, 简 称 总 体 回 归 函 数 （ 方 程 ） (PRF,Population
——计量经济学——
第3章多元线性回归模型分 析和解析
2/19/2020
1/60
教学目的
通过本章的学习，要求学生：
1、根据经济理论，对具体的经济问题建立适 当的多元线性回归模型； 2、对模型进行分析与评价； 3、应用模型，对现实经济问题进行具体分析。
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2/60
教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析
多元线性回归模型:在线性回归模型中，解释变量有多个。
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(1)多元总体线性回归模型
假设被解释变量Y是解释变量X1,X2,X3, …Xk和随机 误差项u的线性函数，它们可以表述为如下形式：
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui （i=1,2,…,n）
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回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E(Yi | X i ) 0 1 X i
总体回归模型 Yi 0 1 X i ui
样本回归函数 Yˆi ˆ0 ˆ1 Xi 样本回归模型 Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
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Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui （i=1,2,…,n）
Y1 β0 β1X11 β2 X 21 β3 X 31 ... βk X k
Y2 β0 β1X12 β2 X 22 β3 X 32 ... βk X k ......
Yn n1
X 21 ... X 22 ... ... ... X 2n ...
X k1
X
k
2
...
X
k
n
n(
k
1)
0
1
2
...
u1
u2
...
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(3)多元样本线性回归函数（方程）
由于总体回归模型的参数 j(j=0,1,…,k) 都是未知的,我们可
以利用样本观测值对它们进行估计。用来估计总体回归函 数的样本回归函数（方程）为：
Yˆi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X2i L ˆk Xki
（i=1,2,…,n）
Regression Function).
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保
持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的均值 E(Y)的变化量。
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总体回归函数的矩阵表示
E(Y | X ) X
其中：
E(Y1)
E(Y
|
X
)
E
(Y2
)
E(Yn )n1
XXX..kkk..1n2.1k02.
+
u1
u2
...
un
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总体回归模型的矩阵表示
Y Xβ μ
其中：
Y 1 1 X11
Y X2
1 ...
X12 ...
Y 1 X1n
该模型称为多元总体线性回归模型，简称总体回 归模型(PRM ,Population Regression Model).
在这个模型中，Y由X1,X2,X3, …Xk所解释， k为解释变 量的数目，未知参数β0、β1、β2、…βk称为回归系数,
为随机i 扰动项(随机误差项,简称扰动项,误差项).
2/19/2020
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j(j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
2/19/2020
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(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X2i L ˆk Xki ei
Yn β0 β1X1n β2 X 2n β3 X 3n ... βk X
Y1
Y2
=
Yn
Y
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1 1 ... 1
X 11 X12 ... X1n
X 21 X 22 ... X 2n
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ຫໍສະໝຸດ Baidu63
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9 108
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PX 9 56 8 53 7 60 6 70 7 78 6 84 4 91 6 82 3 100 5 120
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3.1 模型的建立及其假定条件
1、 基本概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动可能不仅 与一个解释变量有关，而可能与多个解释变量有关。因此，有
（i=1,2,…,n）
上式称为多元样本线性回归模型,简称样本回 归模型(SRM, Sample Regression Model).
ei称为残差 (residual)，可看成是总体回归模型中
4/60
从"一元"到"多元" :一个实例
根据经济理论，在
市场上某种商品的需 求量(Y) ，主要取决于 该 商 品 的 价 格 (P) 和 消 费 者 的 平 均 收 入 (X) 。 假设某地区有关的统 计资料左下表所示， 试建立该商品的需求 量与商品价格和消费 者平均收入之间的线 性回归模型。
n
Y
(2)多元总体线性回归函数（方程）
描述被解释变量Y的（条件）期望值与解释变量 X1，X2，…，XK 线性关系的方程为：
E(Yi | X1i , X 2i , X ki) 0 1X1i 2 X 2i k X ki
（i=1,2,…,n）
这个式子称为多元总体线性回归函数（方程）, 简 称 总 体 回 归 函 数 （ 方 程 ） (PRF,Population
——计量经济学——
第3章多元线性回归模型分 析和解析
2/19/2020
1/60
教学目的
通过本章的学习，要求学生：
1、根据经济理论，对具体的经济问题建立适 当的多元线性回归模型； 2、对模型进行分析与评价； 3、应用模型，对现实经济问题进行具体分析。
2/19/2020
2/60
教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析