《高数(同济六版)》第五章定积分练习题参考答案

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高等数学(同济版)第五章复习资料

第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 、x 轴以及两条直线a x =、b x =所围成,求其面积A . ①．大化小(分割)：在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，用直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用i A ∆表示第i 个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：在第i 个窄曲边梯形的底上任取],[1i i i x x -∈ξ，有i i i x f A ∆ξ∆)(≈. ③．近似和(求和)：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ.④．取极限：令}{max 1i ni x ∆λ≤≤=，则∑=→=n i i A A 1lim ∆λ∑=→=ni i i x f 1)(lim ∆ξλ.2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度)(t v v =在时间间隔],[21T T 上连续，且0)(≥t v ，求在运动时间内物体所经过的路程s .①．大化小(分割)：在区间],[21T T 内任意插入1-n 个分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 ，将它分成n 个小段),,2,1(],[1n i t t i i =-，用i s ∆表示物体第i 个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第i 个小段上经过的路程任取],[1i i i t t -∈ξ，有i i i t v s ∆ξ∆)(≈. ③．近似和(求和)： i ni i t v s ∆ξ∑=≈1)(.④．取极限：令}{max 1i ni t ∆λ≤≤=，则i ni i t v s ∆ξλ∑=→=1)(lim .这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念1．定积分 :设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，若在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点b x x x x a n =<<<<= 210，任取],[1-∈i i i x x ξ，记1--=i i i x x x ∆，只要0}{max 1→=≤≤i ni x ∆λ，和式极限i ni i x f ∆ξλ∑=→1)(lim 总存在，则称此极限为)(x f 在],[b a 上的定积分,记作⎰bax d x f )(，即=⎰bax d x f )(i ni i x f ∆ξλ∑=→1)(lim ，此时也称)(x f 在区间],[b a 上黎曼可积. 注：1°.引例中，曲边梯形的面积A ⎰=bax d x f )(；路程⎰=21)(T T t d t v s .2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即⎰b ax d x f )(⎰=b at d t f )(⎰=ba u d u f )(.3°.在定积分定义中，要求积分上限b 大于积分下限a ，为了方便起见，规定：当b a >时，⎰b ax d x f )(⎰-=abx d x f )(；当b a =时，⎰bax d x f )(0=.4°.定积分定义中0→λ意味着区间的分割越来越细.0→λ时必有小区间的个数∞→n ，但∞→n 并不能保证0→λ(不等分的时候，当等分的时候∞→⇔→n 0λ.)5°.若已知)(x f 在],[b a 上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如n 等分)和特殊的取点i ξ(例如取i i x =ξ或1-=i i x ξ)来计算定积分.2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件：定理1.若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界.反之未必，例如：狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(在]1,0[上有界，但不可积,因为定义中的积分和的极限不总存在. (2). 充分条件：定理2. 若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积.反之未必，例如⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,0)(x x x f 在]2,0[上可积，但)(x f 在]2,0[上有一个间断点1=x .定理3. 若)(x f 在],[b a 上有界，并且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积.定理4. 若)(x f 在],[b a 上单调且有界，则)(x f 在],[b a 上可积. 例1. 利用定义计算定积分x d x ⎰102.解：将区间]1,0[进行n 等分, 分点为n i x i =),,1,0(n i =，取n i i =ξ，nx i 1=∆，),,2,1(n i =.则i ii i x x f ∆ξ∆ξ2)(=32ni =，于是i i ni x f ∆ξ)(1∑=∑==n i i n 1231)12)(1(6113++⋅=n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 121161，所以 i ni i x x d x ∆ξλ∑⎰=→=120102lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim 31=.例2. 用定积分表示下列极限:1.∑=∞→+n i n n i n 111lim n n i n i n 11lim 1⋅+=∑=∞→x d x ⎰+=101.2. 121lim +∞→+++p p p p n n n n n i n i pn 1lim 1∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛=x d x p⎰=10. 三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性性质1. xd x f k x d x f k baba)()(⎰⎰=( k 为常数).性质2.⎰⎰⎰±=±b a ba b ax d x g x d x f x d x g x f )()()]()([.2.积分区间的可加性性质3. 设b c a <<，则有⎰⎰⎰+=bccabax d x f x d x f x d x f )()()(.3.保序性性质4. 若在],[b a ，0)(≥x f ，则0)(≥⎰x d x f ba .性质5. 若在],[b a ，)()(x g x f ≤，则x d x g x d x f bab a)()(⎰⎰≤.4.绝对不等式性性质6.x d x f b a)(⎰x d x f ba⎰≤)(.5.介值性性质7.设M 和m 是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值，则)()()(a b M x d x f a b m ba-≤≤-⎰.性质8.a b x d ba-=⎰1.6.中值性性质9.(积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得))(()(a b f x d x f b a-=⎰ξ.证明：设)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值为M 和m ，则由介值性得M x d x f a b m b a≤-≤⎰)(1，再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点],[b a ∈ξ，使x d x f a b f b a)(1)(⎰-=ξ. 注：1°.积分中值定理对b •a <或b a >的情形都成立. 2°.称x d x f ab f b a )(1)(⎰-=ξ为)(x f 在],[b a 上的平均值. 因为 ab x d x f b a-⎰)(n a b f a b ni i n -⋅-=∑=∞→)(lim 11ξ)(1lim 1∑=∞→=n i i n f n ξ，故它是有限个数的平均值概念的推广.3°.积分中值定理的几何意义: 以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以)(ξf 为的矩形的面积.第二节微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系在变速直线运动中, 已知位臵函数)(t s 与速度函数)(t v 之间满足：)()(t v t s ='，即)(t s 是)(t v 的原函数.又物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程为)()()(1221T s T s t d t v s T T -==⎰，即速度函数)(t v 在区间],[21T T 上的定积分t d t v T T ⎰21)(等于)(t v 的原函数在],[21T T 上的增量.这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数1.积分上限函数：若函数)(x f 区间],[b a 上可积，则称函数]),[()()(b a x t d t f x xa ∈=⎰Φ为积分上限函数，或变上限积分.注：积分上限函数t d t f x xa⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.推导：],[0b a x ∈∀，有t d t f t d t f x xx x a⎰⎰+=00)()()(Φ，当0x x →时，0)(0→⎰t d t f x x ，于是)()()(lim 000x t d t f x x ax x ΦΦ==⎰→，即t d t f x x a⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.2.积分上限函数的导数：定理1.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数t d t f x xa⎰=)()(Φ在],[b a 上可导，并且 )()()('x f t d t f x d d x d d x xa =⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰ΦΦ )(b x a ≤≤. 证明: ),(,b a x x x ∈+∀∆，则有x x x x ∆Φ∆Φ)()(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+x a x x a t d t f t d t f x )()(1∆∆⎰+=x x x t d t f x ∆∆)(1)(ξf =)(x x x ∆ξ+<<(积分中值定理)，又)(x f 在],[b a 上连续，故有xx x x x x ∆Φ∆ΦΦ∆)()(lim)('0-+=→)(lim 0ξ∆f x →=)(x f =. 若a x =，取0>x ∆，可证)('a +Φ)(a f =；若b x =，取0<x ∆，可证)('b -Φ)(b f =. 注：其它变限积分求导: 1°.⎰bx t d t f xd d )( ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x b t d t f x d d )( )(x f -=； 2°.⎰)()(x at d t f x d d ϕ )()]([x x f ϕϕ'=；3°.⎰)()()(x x t d t f x d d ϕψ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰)()()()(x a a x t d t f t d t f x d d ϕψ )()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=. 3.原函数存在定理：定理2.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数td t f x xa ⎰=)()(Φ)],[(b a x ∈就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路.例1. x x e •x t d e •x t d e •x x x t x x t x 2)(cos lim )'(lim lim 222cos 02'1cos 0021cos 0-→-→-→-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰x•e x •x x 2sin lim 2cos 0-→⋅=e•e •x x ••x x x 21lim sin lim 212cos 00=⋅=-→→.例2.设)(x f 在),0[∞+内连续且0)(>x f ，证明td t f t d t f t x F x x⎰⎰=00)()()(在),0[∞+内单调增加.证明：由于=')(x F ()200)()()()()(t d t f td t f t x f t d t f x f x xxx ⎰⎰⎰-()200)()()()()(t d t f td t f t x f t d t xf x f xxx ⎰⎰⎰-=()200)()()()(t d t f td t f t x x f xx ⎰⎰-=()20)()())((t d t f xf x x f x⎰⋅-=ξξ )0(x <<ξ(积分中值定理)0>，所以)(x F 在),0[∞+内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积.例如：对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1s i n )(22x x x x x f ，由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--≠-=→0,0001s i n l i m 0,1c o s 21s i n 2)('22022x x x x x •x x x x x f x ，令)(')(x f x g =，即函数)(x g 在区间],[a a -上具有原函数，但由于)(x g 在],[a a -无界，所以)(x g 在],[a a -不可积，事实上，取021→=πn x )(∞→n ，有 )2cos(22)2sin(2221πππππn n n n n g -=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→-=πn 220 )(+∞→n ，即)(x g 在],[a a -无界.(2).函数可积，但不一定存在原函数.例如：函数⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,0)(x x x f 在]2,0[除了一个间断点1=x 外都连续，所以)(x f 在]2,0[上可积，但)(x f 在]2,0[上不存在原函数.(3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x f ,0,1)(.三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3. (微积分基本定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，若函数)(x F 是)(x f 在],[b a 上的任一原函数，则)()()(a F b F x d x f b a-=⎰.证明：由于积分上限函数t d t f x a⎰)(是)(x f 的一个原函数，故)(x F C t d t f x a+=⎰)(，令a x =，得)(a F C =，因此)()()(a F x F x d x f xa-=⎰；再令b x =，得)()()(a F b F x d x f ba-=⎰ba x F )(= .注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分等于它的任意一个原函数)(x F 在],[b a 上的增量.微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数)(x f 在],[b a 上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：定理3’ 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数)(x F ，在)(x f 的间断点外，有)()('x f x F =，则)()()(a F b F x d x f b a-=⎰.证明：假设)(x f 在b x =不连续，不满足)()('b f b F =，),(b a x ∈∀，有)(t f 在区间],[x a 上连续，且满足)()('t f t F =，从而有)()()(a F x F t d t f xa -=⎰，由)(x F 以及积分上限函数t d t f x a⎰)(的连续，有)]()([lim )(lim )(a F x F t d t f t d t f bx xabx b a-==--→→⎰⎰)()(a F b F -=. 例3.⎰102x d x 123x = 31031=-=.例4.⎰-+31211x •d x 31arctan t =12743)1arctan(3arctan πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=. 例5.⎰--121x d x12||ln --=x 2ln 2ln 1ln -=-=. 例6.计算正弦曲线x y sin =在π],0[与x 轴所围成的平面图形的面积.解：⎰=πsin x d x A π0cos x -=2)11(=---=.例7.用微积分基本定理证明积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存一点),(b a ∈ξ，使得)())(()(b a a b f x d x f ba<<-=⎰ξξ.证明：因为)(x f 连续，故)(x f 具有原函数，设)(x F 为它的一个原函数，即)()('x f x F =，由牛顿—莱布尼茨公式有)()()(a F b F x d x f ba -=⎰.由)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存一点),(b a ∈ξ，使得)())(())((')()(b a a b f a b F a F b F <<-=-=-ξξξ，故)())(()(b a a b f x d x f ba<<-=⎰ξξ.第三节定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元法：定理1.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(t x ϕ=满足：(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ，并且当t 从α变到β时，对应的x 单调地从a 变到b ； (2). 函数)(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数，则有 t d t t f x d x f ba )(')]([)(ϕϕβα⎰⎰=.证明：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在，且它们的原函数也存在. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)]([t F ϕ是)(')]([t t f ϕϕ的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有⎰bax d x f )()()(a F b F -=)]([)]([αϕβϕF F -=t d t t f )(')]([ϕϕβα⎰=.注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回.2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法)]([)]([)(')]([x d x f x d x x f babaϕϕϕϕ⎰⎰=，积分限不换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算)0(022>-⎰a x d x a a .解：令t a x sin =，则t d t a x d cos =，当0=x 时，0=t ；a x =时，2/π=t ，于是x d x a a⎰-022t d t a •⎰=2022cos πt d t a )2cos 1(2202⎰+=π2/022sin 212π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t a 4π2a =.例2.x d x x •⎰25sin cos πx d x x •')cos (cos 205⎰-=π⎰-=205)cos (cos π•x d x 2/066cos πx -=61610=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.例3.x d x x ⎰-π53sin sin x d x x ⎰-=π023)sin 1(sin x d x x ⎰=π23cos sin x d x x ⎰=π2/3|cos |sinx d x x x d x x ⎰⎰-+=πππ22/3202/3)cos (sincos sin⎰⎰-=πππ22/3202/3sin sin sin sin x d x x d xπππ2/2/52/02/5sin 52sin 52xx -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=525254=. 例4.计算x d x x ⎰++40122. 解：令12+=x t ，则212-=t x ，t d t x d =，且当0=x 时，1=t ；当4=x 时，3=t ，于是x d x x ⎰++40122t d t t t ⎰+-=312221t d t )3(21312⎰+=31333121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 322=. 另解：x d x x ⎰++40122x d x x ⎰++=40124221x d x x ⎰++=40121221x d x ⎰++4012321x d x ⎰+=401221⎰+++4012)12(43x x d )12(124140++=⎰x d x ⎰+++4012)12(43x x d 4023)12(3241+⋅=x +421)12(243+⋅x 3313+=322= 例5. 设•x f )(为],[a a -上的连续函数，(1). 若)()(x f x f =-，则⎰⎰-=aaax d x f x d x f 0)(2)(.(偶倍)(2). 若)()(x f x f -=-，则0)(=⎰-aax d x f .(奇零)证明: 由于=⎰-x d x f aa)(x d x f a⎰-0)(x d x f a ⎰+0)(，对积分x d x f a⎰-0)(作变换，令t x -=，则有x d x f a⎰-0)(t d t f a⎰--=0)(t d t f a⎰-=0)(x d x f a⎰-=0)(，于是=⎰-x d x f aa)(x d x f x f a])()([0⎰+-=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰)()(,0)()(,d )(20x f x f x f x f x x f a 例6.若•x f )(在]1,0[上连续，证明 (1). ⎰⎰=2/02/0)(cos )(sin ππx d x f x d x f ；(2). ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin x d x f x d x xf ，并由此计算⎰+π02cos 1sin x d xxx .证明： (1).令t x -=2π，则t d x d -=，且当0=x 时，2π=t ；当2π=x 时，0=t ，于是 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02/2/02sin )(sin πππt d t -f x d x f ⎰⎰==2/02/0)(cos )(cos ππx d x f t d t f . (2). 令t x -=π，则t d x d -=，且当0=x 时，π=t ；当π=x 时，0=t ，于是⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππt d t f t x d x xf ⎰-=ππ0)(sin )(t d t f t⎰⎰⋅-=πππ0)(sin )(sin t d t f t t d t f ⎰⎰⋅-=πππ0)(sin )(sin x d x f x x d x f ,整理得⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin x d x f x d x xf .由此⎰+π02cos 1sin x d x x x ⎰+=ππ02cos 1sin 2x d x x ⎰+-=ππ02cos 1)(cos 2xx dππ0)arctan(cos 2x -=ππ0)arctan(cos 2x -=⎪⎭⎫⎝⎛---=442πππ22π=.例7. 设)(x f 是连续的周期函数，周期为T ，证明： (1). x d x f x d x f TT a a ⎰⎰=+0)()(;(2). )()()(0N n x d x f n x d x f T nT a a∈=⎰⎰+,并由此计算x d x n ⎰+π02sin 1.证明： (1).记x d x f a T a a⎰+=)()(Φ，则0)()()(=-+='a f T a f a Φ，即)(a Φ与a 无关，因此)0()(ΦΦ=a ，于是x d x f x d x f TT a a⎰⎰=+0)()(.(2).由于x d x f nT a a⎰+)( x d x f T kT a kTa n k ⎰∑+++-==)(1，又由(1)知x d x f x d x f TT kT a kTa ⎰⎰=+++0)()(，因此x d x f nT a a⎰+)(x d x f n T⎰=0)(.由于x 2sin 1+是以π为周期的周期函数，于是x d x n ⎰+π02sin 1x d x n ⎰+=π2sin 1x d x x n ⎰+=π2)sin (cos x d x x n ⎰+=πsin cosx d x n ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ04sin 2 (令4π+=x t )t d t n ⎰+=πππ4/4/sin 2t d t n ⎰=π0sin 2t d t n ⎰=π0sin 2πcos 2x n -=n 22=.例8. 计算x d x x x ⎰+-30222)33(.解：由于x d x x x ⎰+-30222)33(x d x x ⎰+-=30222)]2/3()2/3[(，令t x tan 2323=-，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt ，则t td x d 2sec 23=，t t x x 42222sec 169sec 43)33(=⎪⎭⎫⎝⎛=+-.当0=x 时，3π-=t ；3=x 时，3π=t ，于是x d x x x ⎰+-30222)33(t d t t t t 243/3/2sec 23sec 91649tan 233tan 43⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--⎰ππ t d t t t 23/3/2cos 49tan 233tan 43938⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππ (偶倍奇零) t d t t 23/02cos 49tan 439316⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πt d t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3/022cos 49sin 439316π ()t d t t ⎰+=3/022cos 3sin 334π()t d t ⎰+=3/02cos 21334π()t d t ⎰+=3/02cos 2334ππ2sin 212334⎪⎭⎫⎝⎛+=t t 1338+=π. 例9.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-0,cos 11,0,)(2x xx xe x f x π ，计算x d x f ⎰-41)2(.解：设t x =-2，则t d x d =，且当1=x 时，1-=t ；4=x 时，2=t ，于是x d x f ⎰-41)2( (由于)2/(tan 1)2/(tan 1cos 22t t t +-=)t d t f ⎰-=21)(t d t ⎰-+=01cos 11t d e t t ⎰-+202t d t ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0122tan 121)(212202t d e t t --⎰- 22sec 012t d t ⎰-=)(212202t d e t t --⎰-012tan -⎪⎭⎫⎝⎛=t 2221t e --⎪⎭⎫ ⎝⎛=21tan 21214+--e .二、定积分的分部积分法定理2. 设函数)(x u 、)(x v 在区间],[b a 上连续，则有定积分的分部积分公式：ba bax v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-bax d x v x u )()(.证明：由于)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='，两端在],[b a 上积分得，ba x v x u )()( x d x v x u x d x v x u bab a)()()()('+'=⎰⎰，整理得ba bax v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-bax d x v x u )()(.例10. 计算⎰2/10arcsin x d x .解：⎰2/10)'(arcsin x d x x 2/10arcsin xx =⎰-2/10)(arcsin x d x 2/10arcsin xx =⎰--2/1021x d xx2/10arcsin xx =⎰--+2/1022)1(11x d x2/10arcsin xx =2/1021x -+12312-+=π. 例11. 计算⎰1x d ex.解：令x t =，则2t x =，t d t x d 2=，于是⎰1x d ex⎰=102t d e t t⎰=10)'(2t d e t t102tte =⎰-102t d e t 102tte =102te -2=.思考题：x t d t x x d d x 1000100sin )(sin =-⎰. 提示: 令t x u -=，则t d t x x⎰-0100)(sin u d u x⎰-=0100sinu d u x⎰=0100sin .第四节反常积分一、无穷积分 1.引例：曲线21x y =和直线1=x 及x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰+∞=12x x d A ，其含义可理解为⎰∞+→=bb x x d A 12lim 11lim bb x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→b b 11lim 1= 将⎰∞+→=bb x xd A 12lim记作⎰∞+12xx d ，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，取a b >，若x d x f bab )(lim ⎰∞+→存在，则称此极限为)(x f 在无穷区间),[∞+a 上无穷积分,记作x d x f x d x f bab a)(lim)(⎰⎰∞+→∞+=，此时也称为无穷积分x d x f a)(⎰∞+收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分x d x f a)(⎰∞+发散，可类似定义：)(x f 在无穷区间),(b -∞上的无穷积分：x d x f x d x f baa b)(lim)(⎰⎰∞-→∞-=.)(x f 在无穷区间),(∞+-∞上的无穷积分：=⎰∞+∞-x d x f )(x d x f caa )(lim⎰∞-→x d x f bcb )(lim⎰∞+→+.注：上述定义中若出现∞-∞，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分.3.无穷积分的计算：设)(x F 是)(x f 在),[∞+a 上的一个原函数，引入记号:)(lim )(x F F x ∞+→=+∞;)(lim )(x F F x ∞-→=-∞,则有类似牛——莱公式的计算表达式:x d x f a )(⎰∞+∞+=a x F )()()(a F F -+∞=； x d x f b)(⎰∞-b x F ∞-=)()()(-∞-=F b F ； x d x f )(⎰∞+∞-∞+∞-=)(x F )()(-∞-+∞=F F .例1. 计算反常积分⎰+∞∞-+21x xd .解：⎰+∞∞-+21x xd ∞+∞-=xarctan π2π2π=⎪⎭⎫⎝⎛--=. 另解：⎰+∞∞-+21x xd ⎰+∞+=0212x x d ∞+=0arctan 2x π02π2=⎪⎭⎫⎝⎛-=. 注：012=+⎰+∞∞-x xd x 是否正确？因为∞-+∞∞+∞-+=+⎰)1ln(21122x x x d x ，故原积分发散，所以对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误 .例2. 计算反常积分)0(0>⎰+∞-p t d e t t p .解：⎰+∞-0t d e t t p ⎰+∞--=0)(1tp e d t p ∞+--=0pt e pt ⎰+∞-+01t d e ptp ∞+--=0pte p t)(102⎰+∞---t p d e pt p ∞+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0pt e p t ∞+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-021pt e p())10(110lim 12--⋅--=-+∞→p te p pt t 21lim 1p e t p pt t +-=+∞→ 211lim 1p pe p pt t +-=+∞→21p =. 例3. 证明p 积分⎰+∞a px xd )0(>a 当1>p 时收敛; 1≤p 时发散. 证明：当1=p 时，有⎰+∞a px x d ()∞+=a x ||ln +∞=，当1≠p 时，有⎰+∞ap x x d ∞+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=app x 11⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=-.1,1,1,1p p a p p因此当1>p 时, 反常积分收敛, 其值为11--p a p；当1≤p 时, 反常积分发散.二、瑕积分 1.引例：曲线xy 1=与x 轴及y 轴和直线1=x 所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰=10xxd A ，其含义可理解为⎰+→=10lim εεx x d A 102lim εεx +→= )1(2lim 0εε-=+→ 2=.将⎰+→=1lim εεx xd A 记作⎰10xx d ，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分.易知左端点0是被积函数x /1的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函数的反常积分也称为瑕积分.2.瑕点：若函数)(x f 在点a 的任意邻域内都无界，则称a 为)(x f 的无界间断点，又称为瑕点.3.瑕积分：设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，点a 为)(x f 的瑕点，取0>ε，若xd x f ba )(lim 0⎰+→+εε存在，则称此极限为)(x f 在区间],(b a 上的瑕积分,记作x d x f ba)(⎰x d x f ba )(lim 0⎰+→+=εε，此时也称瑕积分x d x f b a)(⎰收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分x d x f ba)(⎰发散，可类似定义：若)(x f 在区间),[b a 内连续，b 为)(x f 的瑕点，则有：x d x f x d x f b aba )(lim )(0⎰⎰-→+=εε.若)(x f 在区间],[b a 上除了点c 外连续，c 为)(x f 的瑕点，则有：=⎰x d x f ba)(x d x f c a)(⎰x d x f bc)(⎰+x d x f c a)(lim 110⎰-→+=εεx d x f bc )(lim 220⎰+→++εε.注：若出现∞-∞，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注：1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 例如: x d x x ⎰---11211x d x ⎰-+=11)1(. 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如⎰-1021xx d ⎰=2/0πt d (令t x sin =)x d x x ⎰++104211⎰++=10222/1/11x d x x x ⎰+--=1022)/1()/1(x x x x d ⎰∞-+=022t t d (令xx t 1-=) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则有类似牛——莱公式的计算表达式:若b 为瑕点, 则x d x f ba)(⎰)()(lim a F x F bx -=-→)()(a F b F -=-;若a 为瑕点, 则x d x f ba)(⎰)(lim )(x F b F ax +→-=)()(+-=a F b F ;若a 和b 都为瑕点, 则x x f bad )(⎰)(lim )(lim x F b F ax bx +-→→-=)()(+--=a F b F . 思考题：若瑕点),(b a c ∈，则=⎰x x f bad )()()(+-c F b F )()(a F c F -+-)()(a F b F -=是否正确？提示：)(+c F 和)(-c F 不一定相等. 例4.)0(022>-⎰a x a x d a-=a axarcsin1arcsin =2π=. 例5. 讨论反常积分⎰-112x xd 的收敛性.解：由于⎰-112x x d ⎰-=012x x d ⎰+102x x d --⎪⎭⎫⎝⎛-=011x 101+⎪⎭⎫⎝⎛-+x ∞=，所以反常积分⎰-112x xd 发散. 例6. 证明反常积分⎰-ba qa x xd )(当1<q 时收敛; 1≥q 时发散.证明：当1=p 时，a 为被积函数的瑕点，有⎰-ba qa x xd )(()b a x +-=|1|ln +∞=，当1≠p 时，有⎰-ba qa x xd )(ba qq a x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1)(1⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<<--=-.1,,10,1)(1q q q a b q因此当1<q 时, 反常积分收敛, 其值为q a b q---1)(1；当1≥q 时, 反常积分发散.例7. 计算反常积分⎰∞++03)1(x x x d .解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分.令t x =，则2t x =，t d t dx 2=，当+→0x 时，0→t ；当+∞→x 时，+∞→t ，于是⎰∞++03)1(x x x d ⎰∞++=02/32)1(2t t t d t ⎰∞++=02/32)1(2t t d . 再令u t tan =，()2/,0π∈u ，u d u dt 2sec =，t u arctan =，当0=t 时，0=u ；当+∞→t 时，2/π→u ，于是⎰∞++03)1(x x x d ⎰=2/032sec sec 2πuud u ⎰=2/0cos 2πu d u 2=. 三.两类反常积分之间的关系：瑕积分积分可转化为无穷积分，例如：设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点，由定义有⎰⎰+→+=b a ba x d x f x d x f εε)(lim )(0，令ta x 1+=，有⎰⎰-→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+εε/1)/(12011lim )(a b b at d t t a f x d x f t d t t a f a b ⎰∞+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)/(1211.第五节反常积分的审敛法 Γ函数一、无穷积分的审敛法由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则：定理1. 无穷积分x d x f a⎰+∞)(收敛的充要条件是：对0>∀ε，0>∃A ，当A A A >'','时，有ε<⎰x d x f A A ''')(成立.下面讨论无穷积分x d x f a⎰+∞)(的另外几种收敛判别法，首先考虑非负函数的无穷积分.2.有界审敛法：定理2. 设非负函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，若函数t d t f x F xa⎰=)()(在),[∞+a 上有界，则反常积分x d x f a⎰+∞)(收敛.证明：由于0)()('≥=x f x F ，则)(x F 在),[∞+a 上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知⎰+∞→+∞→=x ax x t d t f x F )(lim)(lim 存在 ,即反常积分x d x f a⎰+∞)(收敛.由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法：定理3.设函数)(x f 、)(x g 在区间),[∞+a 上连续，且a x ≥∀，有)()(0x g x f ≤≤， (1). 若x d x g a ⎰+∞)(收敛，则x d x f a ⎰+∞)(收敛； (2). 若x d x f a⎰+∞)(发散，则x d x g a⎰+∞)(发散.证明：设a t >，由于)()(0x g x f ≤≤，有x d x f ta)(⎰x d x g ta)(⎰≤. (1). 若x d x g a⎰+∞)(收敛，则有x d x f t a)(⎰x d x g t a )(⎰≤x d x g a)(⎰∞+≤，即x d x f t F ta)()(⎰=在),[∞+a 单调递增且有上界, 由定理1知x d x f a ⎰+∞)(收敛.(2).用反证法：假设x d x g a⎰+∞)(收敛，则由x d x f ta)(⎰ x d x g ta)(⎰≤x d x g a)(⎰∞+≤知，xd x f a⎰+∞)(收敛，出现矛盾，故x d x g a⎰+∞)(发散.注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散.由于反常积分)0(1>⎰∞+a x d x a p 当1>p 时，收敛；当1≤p 时，发散，故通常取)0()(>=A x Ax g p作为比较函数，即有下面的柯西审敛法： 4．柯西审敛法：定理4.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续，对常数p ，记l x f x p x =+∞→)(lim ，(1). 当1>p 时，若0>∃M ，a x ≥∀, 有p xMx f ≤)(，则x d x f a ⎰+∞)(收敛；(2). 当1≤p 时，若0>∃N ，a x ≥∀, 有p xNx f >)(则x d x f a ⎰+∞)(发散.例1. 判别反常积分x d x ⎰+∞+13411的敛散性.解：由于3/4343411110x xx =<+<，而x d x⎰+∞13/41收敛，故x d x ⎰+∞+13411收敛.在比较审敛法的基础上，可以得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法：定理5.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续，对常数p ，记l x f x p x =+∞→)(lim ，(1). 当1>p 时，若+∞<≤l 0，则x d x f a ⎰+∞)(收敛； (2). 当1≤p 时，若+∞≤<l 0，则x d x f a⎰+∞)(发散.证明：(1). 当1>p 时，若0)(lim ≥=+∞→l x f x p x ，则由极限定义知：对任意给定的0>ε，当x 充分大时，必有M l x f x p=+≤ε)(，即p xMx f ≤≤)(0，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(收敛.(2). 当1≤p 时, 若0)(lim >=+∞→l x f x p x , 则由极限定义，可取0>ε，使0>-εl ，当x 充分大时，必有N l x f x p =-≥ε)(，即p xNx f ≥)(，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(发散.若+∞==+∞→l x f x p x )(lim ，则对任意+∈N N ，当x 充分大时，N x f x p ≥)(，即px Nx f ≥)(，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(发散.例2. 判别反常积分x d xx ⎰+∞+1211的敛散性.解法(一)：由于221110xxx <+<，而x d x⎰+∞121收敛，故x d xx ⎰+∞+1211收敛.解法(二)：由于2211lim xx x x +⋅+∞→ 11lim21+=+∞→x x 1=，极限审敛法知x d xx ⎰+∞+1211收敛.例3. 判别反常积分x d xx ⎰∞++122/31的敛散性. 解：由于22/31lim x x x x +⋅+∞→ 221lim x xx x +⋅+∞→+∞=，极限审敛法知x d x x ⎰∞++122/31发散. 例4. 判别反常积分x d xx⎰+∞1arctan 的敛散性.解：由于x x x x arctan lim ⋅+∞→ x x arctan lim +∞→2π=，极限审敛法知x d xx ⎰+∞1arctan 发散. 当被积函数不是非负函数时，我们可以考虑被积函数取绝对值的积分，即引入绝对收敛的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法：(1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分x d x f a)(⎰+∞收敛，若⎰∞+a x d x f )(收敛，则称x d x f a )(⎰+∞绝对收敛；若⎰∞+ax d x f )(发散，则称x d x f a)(⎰+∞条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理6.若函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，且⎰∞+ax d x f )(收敛，则x d x f a)(⎰+∞收敛.证明：令])()([21)(x f x f x +=ϕ，则)()(0x f x ≤≤ϕ，由于⎰∞+a x d x f )(，故x d x a )(⎰+∞ϕ收敛，而)()(2)(x f x x f -=ϕ，又x d x f x d x x d x f aaa)()(2)(⎰⎰⎰+∞+∞+∞-=ϕ，故x d x f a)(⎰+∞收敛.例5. 判断反常积分x d bx x a ⎰∞+-0sin e b a ,(为常数，)0>a 的敛散性.解:由于 x a x a x b --≤e sin e ，而x xa d e⎰∞+-收敛，根据比较审敛原理知⎰∞+-ax a x bx d sin e ，再由绝对收敛定理知x d bx x a ⎰∞+-0sin e 收敛.二、瑕积分的审敛法由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则：定理7. 瑕积分x d x f b a⎰)((a 为)(x f 的瑕点)收敛的充要条件是：对0>∀ε，0>∃δ，当δηη<<'','0时，有εηη<⎰-+x d x f b a ''')(成立.2．比较审敛法：定理8.设非负函数)(x f 、)(x g 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 、)(x g 的瑕点，且a x ≥∀，有)()(0x g x f ≤≤， (1). 若x d x g b a ⎰)(收敛，则x d x f b a ⎰)(收敛； (2). 若x d x f b a⎰)(发散，则x d x g b a⎰)(发散.利用反常积分⎰-ba qa x xd )(当10<<q 时收敛; 1≥q 时发散的结论，瑕积分有如下的柯西审敛法和极限审敛法：3．柯西审敛法：定理9.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点， (1). 若0>∃M ，当1<q 时，],(b a x ∈∀, 有qa x Mx f )()(-≤，则x d x f b a⎰)(收敛；(2).若0>∃N ，当1≥q 时，],(b a x ∈∀, 有qa x Nx f )()(->则x d x f b a⎰)(发散.4．极限审敛法：定理10.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点，对常数q ，记l x f a x q ax =-+→)()(lim ，(1). 当10<<q 时，若+∞<≤l 0，则x d x f b a⎰)(收敛；(2). 当1≥q 时，若+∞≤<l 0，则x d x f b a⎰)(发散.例6. 判别反常积分⎰31ln xxd 的敛散性. 解：易知1=x 是被积函数的瑕点，由于1/11lim ln 1)1(lim 11==-++→→xx x x x ，由极限判别法知瑕积分⎰31ln xxd 发散. 例7.判定椭圆积分)1()1)(1(210222<--⎰k x k x x d 的敛散性.解：易知1=x 是被积函数的瑕点，由于)1(21)1)(1(1lim )1)(1(1lim 22212221k x k x x x k x x x x -=-+-=---++→→，故由极限判别法知⎰--10222)1)(1(x k x x d 收敛.5．绝对审敛法：(1). 瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分x d x f ba)(⎰(a 为)(x f 的瑕点)收敛，若x d x f b a|)(|⎰收敛，则称x d x f ba)(⎰绝对收敛；若x d x f b a|)(|⎰发散，则称x d x f ba)(⎰条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理11.若函数)(x f 在区间],(b a 上连续上连续，且x d x f ba|)(|⎰收敛，则x d x f ba)(⎰收敛.例8.判定反常积分⎰101sin 1x d x x的敛散性. 解:易知0=x 是被积函数的瑕点，由于xx x 11sin 1≤，而⎰101x d x 收敛，根据比较审敛法知⎰101sin 1x d x x，再由绝对收敛定理知⎰101sin 1x d x x 收敛. 例9.判定反常积分x d xx⎰10ln 的敛散性解: 易知0=x 是被积函数的瑕点，由于x x x x ln lim 430+→0ln lim 410==+→x x x ,从而0ln lim 430=+→xx x x ，即x d xx⎰10ln 收敛，从而x d x x ⎰10ln 收敛. 三、Γ 函数1. Γ 函数：称参变量α的反常积分为)0(01>⎰∞+--ααx d e x x 为Γ函数，记作 )0()(01>=⎰∞+--ααΓαx d e x x .2. Γ函数的收敛性：)0()(01>=⎰∞+--ααΓαx d e x x 收敛.证明：由定义式可知，函数可分解为⎰∞+--=01)(x d e xxααΓ⎰--=11x d e xxα⎰∞+--+11x d e x x α.当1>α时，⎰--101x d e x x α为定积分；当10<<α时，⎰--11x d e x x α为瑕积分，0=x 为瑕点，此时，由于x x e x e x 1111⋅=---αα α-<11x ，又由于11<-α时，瑕积分⎰-1011x d xα收敛，于是⎰--11x d e x x α收敛.对无穷积分⎰∞+--11x d e xxα，由于⋅+∞→2lim x x )(1xa e x --x a x ex 1lim ++∞→=0=，从而⎰∞+--11x d e x x α收敛.综上可得⎰∞+--=01)(x d e x x ααΓ收敛.3. Γ 函数的性质：(1). 递推公式：)()1(αΓααΓ=+. 证明：应用分部积分法，有⎰⎰∞+-∞+--==+0)1(xxed x x de x αααΓ[]⎰+∞---+-=+∞010x d e x ex x xααα)(αΓα=.当•α介于两个整数之间时，则)1()1()()1(--==+αΓαααΓααΓ)2()2)(1(---=αΓααα=)()()2)(1(n n ----=αΓαααα )10(<-<n α.当•α为正整数n 时，则)1()1()()1(--==+n n n n n n ΓΓΓ)2()2)(1(---=n n n n Γ=)]1([)]1([)2)(1(------=n n n n n n n Γ )1(1)2)(1(Γ --=n n n )1(!Γn =，而1)1(0==⎰+∞-x d e x Γ，所以⎰∞+-==+0!)1(x d e x n n x n Γ.(2). 当+→0s 时，+∞→)(s Γ. 证明：由于ααΓαΓ)1()(+=且1)1(=Γ，又)(αΓ当0>α时连续(可证)，于是 +∞=+=++→→ααΓαΓαα)1(lim )(lim 00. (3). 余元公式: )10()sin(ππ)1()(<<=-αααΓαΓ.注：π2102/1==⎪⎭⎫⎝⎛⎰∞+--x d e x x Γ.(4). Γ 函数的其它形式：)0(2)(0122>⋅=⎰∞+--ααΓαt•d e t t .推导：对Γ 函数⎰∞+--=01)(x d e x x ααΓ，令2t x =得，⎰∞+--⋅=01222)(t •d e t t ααΓ.注： 1°.)1(212102->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰∞+-t t x d e x x t Γ.推导：令u x =2，则u x =，u d ux d 21=，于是⎰∞+-02ex d x x t⎰∞+--=021221x d e u u t ⎰∞+--+=0121221x d e u u t )1(2121->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t Γ.2°.概率积分：⎰∞+-02x d ex ⎪⎭⎫⎝⎛=2121Γ 2π=. 例10. 计算反常积分⎰∞+-0198x d e x x .解：令u x =8，则u d x d x =78，u d u x d 8781-=，于是⎰∞+-0198x d ex x ⎰∞+-=02381u d e u u ⎰∞+--=012581u d e u u⎪⎭⎫ ⎝⎛=2581Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=232381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=1212381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=21212381Γ323π=.。

同济大学第六版高数练习册答案上册

高等数学习题解答第一章（7-11）第六节极限存在准则两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明：令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。

4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。

同济大学高等数学第六版第五章课后习题答案(包括5.1,5.2,5.3,5.4,总习题五)

习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i n a b a x i -+=(i =1,2, ⋅⋅⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: na b x i -=∆(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ).第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅⋅⋅, n )上取右端点i n a b a x i i -+==ξ, 作和n a b i n a b a x f S ni i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ∑=+-+-+-=ni i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅⋅⋅, ∆x n }na b -=, 取极限得所求面积∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 1)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→nn n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba⎰(a <b );解取分点为i na b a x i -+=(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n -1), 则n a b x i -=∆(i =1, 2,⋅⋅⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i na b a x i i -+==ξ(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba n ab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)dx e x ⎰10.解取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点ni x i i ==ξ(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e n n e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e ee e nnnn nnn n n .3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ;解⎰12xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积,显然面积为1. (2)41102π=-⎰dx x ;解⎰-121dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)⎰-=ππ0sin xdx ;解由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nH x i =(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n -1)将区间[0,H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为n H x i =∆(i =1, 2, ⋅⋅⋅, n ).在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为∆P i =9.8x i L ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为∑∑=∞→=∞→⋅=∆⋅⋅=ni n ni i i n n H i n H L x L x P 11lim 8.98.9lim 228.42)1(lim 8.9H L nn n H L n ⋅=+⋅=∞→.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(;证明∑⎰=→∆=n i iibax kf dx x kf 1)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→bani iidx x f k x f k )()(lim 1ξλ.(2)a b dx dx baba-==⋅⎰⎰1.证明a b a b x x dx ni in i iba-=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 1011λλλ. 6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ;解因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 51)1(6412≤+≤⎰dx x .(2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;解因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以)445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)⎰331arctan xdx x ;解先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(x x x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan 31)31(π===f m ,33arctan 3)3(π===f M .因此 )313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即 32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x .(4)⎰-022dx e xx.解先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m . )12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f , 得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(22412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx ee xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0;证明假如0/)(≡x f , 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰⎰⎰++=bdd cc abadx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(0)(2)()(0>-≥≥⎰c d x f dx x f dc. 这与条件0)(=⎰badx x f 相矛盾. 因此在[a , b ]上f (x )≡0.(2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0/)(≡x f , 则0)(>⎰badx x f ;证明证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时,2)()(0x f x f >. 于是 ⎰⎰>-≥≥b a d c c d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0.证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰badx x f . 假如0)(>⎰badx x f 不成立. 则只有0)(=⎰badx x f ,根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰badx x f .(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=bab adx x g dx x f )()(, 则在[a , b ]上f (x )≡g (x ).证明令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a , b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰bab ab ab adx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:(1)⎰12dx x 还是⎰13dx x ？解因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥13102dx x dx x .又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>13102dx x dx x .(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？解因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x .又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？解因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx .又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx .(4)⎰1xdx 还是⎰+1)1ln(dx x ？解因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥11)1ln(dx x xdx .又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>110)1ln(dx x xdx .(5)⎰10dx e x 还是⎰+1)1(dx x ？解设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥110)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x>1+x , 所以⎰⎰+>110)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=t udu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y对x 的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t , t t x t y dx dy cos )()(=''=.3. 求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y ,于是 y ex dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数: (1)⎰+2021x dtt dxd ;解 dx du dt t du d dt t dx d u ux x ⋅+====+⎰⎰=02021122令421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰+32411x x dt tdx d ; 解 ⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312x x x x +++-=. (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. (2)⎰+2142)1(dx x x ;解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解 94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰ 6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx3022; 解 aa a axa x a dx a a 30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ; 解 60arcsin 21arcsin 2arcsin 410102π=-==-⎰x x dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 013012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e x dx;解 1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e . (10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰2)(dx x f , 其中⎩⎨⎧>≤+=12111)(2x x x x x f .解 38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;证明⎰--=--==ππππππ0)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2)⎰-=ππ0sin kxdx ;证明 )(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk k k k .(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;证明 πππππππ=+=+=---⎰⎰|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx kx dx kx kxdx . (4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 πππππππ=-=-=---⎰⎰|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx kx dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;证明 ⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;证明 ⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 ⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ;解 11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx .(2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 22222202200)(2lim )(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dtte dt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim 2lim x x t x x x x t x xe dte xe edt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→xe x e e x x x x x .10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[]1 ,0[)(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx ===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时,6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎩⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或000sin 21)(. 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式. 解当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时, πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10)cos 1(2100)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .习题5-31. 计算下列定积分: (1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解0212132cos 34cos )3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx ;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx . (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ. (4)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解⎰⎰⎰+=-πππθθθθθ0203cos sin )sin 1(d d d⎰-+=ππθθθ020cos )cos 1(d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解 22262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰ 836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解tdt t dx x t x cos 2cos 2 220sin 222⎰⎰⋅======-=π令dt t ⎰+=2)2cos 1(π2)2sin 21(20ππ=+=t t . (7)dy y ⎰--22228;解dy y dy y ⎰⎰---=-2222224228⎰-=⋅=====44sin 2cos 2cos 22ππxdx x x y 令⎰-+=44)2cos 1(22ππdx x)2(2)2sin 21(224+=+=-πππy x . (8)⎰-121221dx x x ; 解⎰⎰⋅=====-=242sin 12122cos sin cos 1ππtdt tt dx x x tx 令 41)cot ()1sin 1(2422πππππ-=--=-=⎰t t dt t. (9)⎰-adx x a x 0222;解⎰⎰⋅⋅=====-=2022sin 0222cos cos sin πtdt a t a t a dx x a x t a x a令⎰=20242sin 4πtdt a 164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xx dx ;解⎰⎰⋅⋅=====+=3422tan 3122sec sec tan 11ππtdt t t x x dx tx 令 3322sin 1sin cos 3432-=-==⎰ππππt dt t t .(11)⎰--1145xxdx ; 解 61)315(81)5(81451313324511=--=-======-⎰⎰=--u u du u x xdx u x 令. (12) ⎰+411xdx;解 221112141=⋅+=====+⎰⎰=udu u x dx u x 令 )32ln 1(2)|1|ln (2)111(2121+=+-=+-⎰u u du u .(13)⎰--14311x dx ; 解du u u x dx u x )2(11110211143-⋅-======--⎰⎰=-令 2ln 21)|1|ln (2)111(221021-=-+=-+=⎰u u du u . (14)⎰-a x a xdx 20223; 解 ⎰⎰---=-a a x a d xa x a xdx 2022222022)3(31213 )13(32022-=--=a x a a .(15)dt te t ⎰-1022;解 2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e e t d e dt te t tt .(16)⎰+21ln 1e x x dx ; 解 )13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e x x d x x x dx . (17)⎰-++02222x x dx ;解 ⎰⎰--++=++022022)1(1122dx x x x dx 2)1arctan(1arctan )1arctan(02π=--=+=-x .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解 32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 2322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x⎰⎰+-=-202sin cos )sin (cos ππxdx x dx x x34cos 32cos 3220230223=-=-ππx x . (20)⎰+π2cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 100=-==+⎰⎰πππx xdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x .(2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰++=202)2cos 2cos 21(2πθd x x⎰++=20)4cos 212cos 223(2πθd x x 23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx x x ; 解⎰⎰-=--210222121221)(arcsin 21)(arcsin dx xx dx x x ⎰=2102)(arcsin )(arcsin 2x d x324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx .解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x . 3. 证明:⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bbbbdx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是 ⎰⎰⎰----=--=bb bbb bdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bbbb dx x f dt t f )()(,所以⎰⎰---=bbbbdx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=ba baa bdt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰-+=-+baba dx xb a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(.6. 证明: ⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dx x dx . 证明令t x 1=, 则dt t dx 21-=, 当x =x 时xt 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111x x x dt t dt t t x dx ,而 ⎰⎰+=+x xdx x dt t 1121121111, 所以 ⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx .7. 证明:⎰⎰-=-110)1()1(dx x x dx x x m n nm.证明令1-x =t , 则 ⎰⎰⎰⎰-=-=--=-11110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n nm nm nm,即⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n nm.8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx n n .证明 ⎰⎰⎰+=ππππ22sin sin sin xdx xdx xdx n nn,而 ⎰⎰⎰⎰==--=====-=202022sin sin ))((sin sin πππππππxdx tdt dt t xdx nn n tx n 令,所以⎰⎰=ππ20sin 2sin xdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a adx x f 的值与a无关.证明已知f (x +l )=f (x ).⎰⎰⎰⎰++++=la ll aa a dx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(001⎰⎰⎰-+=+ala lldx x f dx x f dx x f 00)()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=+=====+=+aaalt x la l dx x f dx l x f dt l t f dx x f 0)()()()(令, 所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数;若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数.证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而 ⎰⎰--======--=-xut xdu u f dt t f x F 0)1)(()()(令)()()(0x F dx x f dx u f xx ===⎰⎰,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而 ⎰⎰--======--=-xut xdu u f dt t f x F 0)1)(()()(令)()()(0x F dx x f dx u f xx -=-=-=⎰⎰,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ;解11011101121--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e ee dx e xexde dx xe x xx xx.(2)⎰e xdx x 1ln ;解 ⎰⎰⎰⋅-==e e e edx xx x x xdx xdx x 0212121121ln 21ln 21ln)1(4141212122+=-=e x e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数);解⎰⎰-=ωπωπωωω2020cos 1sin t td tdt t⎰+-=ωπωπωωωω2020cos 1cos 1tdt t t220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t . (4)⎰342sin ππdx xx ; 解 ⎰⎰⎰+-=-=34334342cot cot cot sin ππππππππxdx x x x xd dx x x 34sin ln 4313ππππx ++⋅-=23ln 21)9341(+-=π. (5)⎰41ln dx x x;解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx x x x x x xd dx xx)12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰1arctan xdx x ;解 ⎰⎰=1021arctan 21arctan xdx xdx x x d xx x x ⎰+⋅-=10221021121arctan 21 10102)arctan (218)111(218x x x d x --=+--=⎰ππ214)41(218-=--=πππ. (7)⎰202cos πxdx e x ;解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e x e x d e xdx e x xxx⎰⎰-+=+=202202202cos 4cos 2cos 2πππππxdx e x e e x d e e x x x ⎰-+=202cos 42ππxdx e e x所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x.(8)⎰212log xdx x ;解 ⎰⎰=2122212log 21log xdx xdx x⎰⋅-=21221222ln 121log 21dx x x x x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π2)sin (dx x x ;解 ⎰⎰⎰-=-=ππππ20302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x ⎰⎰-=⋅+-=πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416x xd x xd x x x 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x . (10)⎰edx x 1)sin(ln ;解法一 ⎰⎰⋅======1ln 1sin )sin(ln dt e t dx x t tx e令.因为⎰⎰⎰-==⋅11011cos sin sin sin tdt e t e tde dt e t t ttt⎰⎰--⋅=-⋅=1101sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t tt⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t ,所以)11cos 1sin (21sin 1+⋅-⋅=⎰e e tdt e t . 因此 )11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e.解法二⎰⎰⋅⋅-⋅=eeedx xx x x x dx x 1111)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰-⋅=edx x e 1)cos(ln 1sin⎰⋅⋅-⋅-⋅=eedx xx x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin ,故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. (11)dx x ee⎰1|ln |;解dx x dx x dx x eee e⎰⎰⎰+-=1111ln ln |ln |⎰⎰-++-=eeeedx dx x x x x 111111ln ln )11(2)1()11(1e e e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx x m(m 为自然数);解⎰⎰+======-201sin 122cos )1(πtdt dx x m t x m令. 根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰. ,325476 34121, ,2214365 34121)1(1022为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m π(13)⎰=πsin xdx x J m m (m 为自然数).解因为⎰⎰---=====-=0)1)((sin )(sin πππππdt t t xdx x m tx m令⎰⎰-=πππ0sin sin tdt t tdt m m,所以 ⎰⎰==πππ0sin 2sin xdx xdx x J m mm⎰⎰=⋅=2020sin sin 22ππππxdx xdx m m (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=. ,325476 45231, ,2214365 452312为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m ππ习题5-41. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值: (1)⎰∞+14x dx ; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→∞+-∞+⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰∞+14x dx 收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰∞+1xdx;解因为+∞=-==+∞→∞+∞+⎰22lim 211x x x dx x , 所以反常积分⎰∞+1x dx发散.(3)dx e ax ⎰∞+-0(a >0);解因为aa e a e a dx e ax x ax ax11)1(lim 100=+-=-=-+∞→∞+-∞+-⎰, 所以反常积分dx e ax⎰∞+-0收敛, 且adx e ax 10=⎰∞+-.(4)⎰∞+-0ch tdt e pt (p >1);解因为⎰⎰∞++--∞+-+=0)1()1(0][21ch dt e e tdt e t p t p pt1]1111[2120)1()1(-=+--=∞++--p pe p e p t p t p ,所以反常积分⎰∞+-0ch tdt e pt收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p ptdt e pt .(5)⎰∞+-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0);解 ⎰⎰∞+-∞+--=0cos 1sin t d e tdt ept ptωωω⎰∞+-∞+--⋅+-=00)(cos 1cos 1dt pe t t e pt ptωωωω ⎰∞+--=02sin 1t d e p pt ωωω ⎰∞+-∞+--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t p t e p pt pt ωωωωω⎰∞+--=022sin 1tdt e p pt ωωω, 所以220sin w p tdt e pt +=⎰∞+-ωω. (6)⎰+∞∞-++222x x dx ;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dx x x dx . (7)dx x x ⎰-121; 解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 1121102102=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-202)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dx x dx x dx , 而+∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx 发散. (9)⎰-211x xdx ; 解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx 322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-e x x dx 12)(ln 1. 解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.x d x x x dx e eln )(ln 11)(ln 11212⎰⎰-=- 2)arcsin(ln lim )arcsin(ln 1π===-→x x e x e. 2. 当k 为何值时, 反常积分⎰∞+0)(ln kx x dx 收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时,+∞=-==∞++-∞+∞+⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x kx d x x x dx ;当k =1时,+∞===∞+∞+∞+⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d xx x dx k ;当k >1时,k k k k k x k x d x x x dx -∞++-∞+∞+-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln .因此当k >1时, 反常积分⎰∞+0)(ln kx x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰∞+0)(ln kx x dx 发散.当k >1时, 令k k k x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(112k k k k k f ------=' )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 21+---=-k k k . 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k .因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点, 同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值3. 利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=0dx e x I x n n .解因为⎰⎰∞+-∞+--==0x n x n n de x dx e x I1010-∞+--∞+-=+-=⎰n x n x n nI dx e x n ex ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅⋅⋅2⋅I 1. 又因为 1001=-=+-=-==∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-⎰⎰⎰x x x xxe dx e xexde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限: (1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n nn p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f a x x a xa a x ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim)(lim )(lim a af x xf dt t f ax dt t f x dt t f a x x xa ax xa ax xa a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim202+⎰+∞→x dtt xx .解 4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由: (1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx x xdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111px dx p p. 证明 p pp pp p px xx x x x x->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111p xdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba b a b a b a dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222 212222])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⋅++≤ba ba ba ba dx x g dx x f dx x g dx x f ,又()2212212212222])([])([])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅++ba ba ba ba ba ba dx x gdx x fdx x gdx x f dx x g dx x f,所以()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f . 6. 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 且f (x )>0. 证明⎰⎰-≥⋅b a baa b x f dxdx x f 2)()()(. 证明已知有不等式⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222, 在此不等式中, 取)(1)(x f x f =, )()(x f x g =, 则有⎰⎰⎰⋅≥⋅⋅ba ba ba dx x f x f dx x f dx x f 222])(1)([])(1[])([,即⎰⎰-≥⋅ba baa b x f dxdx x f 2)()()(. 7. 计算下列积分: (1)⎰++2cos 1sin πdx xxx ;解 20202020220)cos 1ln()2(tan cos 1)cos 1(2cos2cos 1sin πππππ⎰⎰⎰⎰+-=++-=++x xxd x x d dx x x dx xxx⎰=++=+-=2022022ln 2cos ln 222ln 2tan )2tan (πππππx dx x xx .(2)⎰+40)tan 1ln(πdx x ;解 ⎰⎰+=+4040cos )4sin(2ln)tan 1ln(πππdx xx dx x ⎰⎰⎰-++=404040cos ln )4sin(ln 2ln ππππxdx dx x dx .令,4u x =-π则。

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

t1 t1 t0 , t2 t2 t1,L , tn tn tn1.
相应地在各段时间内物体经过的路程依次为
s1, s2 ,L , sn .
2
在时间间隔 ti1, ti 上任取一个时刻 i (ti1 i ti ), 以 i 时刻的速度 v( i ) 来代替 ti1, ti 上各个时刻的速度得到部分路程 si 的近似值即
(x)dx

7
推论
2
|
b
a
f
(x)dx| ab|
f
(x) | dx
(ab)
这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以
ab|
f
(x) | dx

b
a
f
(x)dx

ab|
f
(x) | dx

b
b
即 | a
f (x)dx | a
f (x)dx.
求近似路程
我们把时间间隔 T1,T2 分成 n 个小的时间间隔 ti 在每个小的时间间隔 ti 内物体
运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔 ti 内某点 i 的速度 v( i ) 物体在时间
间隔 ti 内运动的路程近似为 si v( i )ti . 把物体在每一小的时间间隔 ti 内运动的路
程加起来作为物体在时间间隔 T1,T2 内所经过的路程 S 的近似值具体做法是在时间间隔 T1,T2 内任意插入若干个分点
Ti t0 t1 t2 L tn1 tn T2 ,
T1,T2 分成 n 个小段
各小段时间的长依次为
t0 ,t1 ,t1,t2 ,L tn1,tn ,

大学高等数学第五章定积分及其应用答案

第五章定积分及其应用习题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A AA A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆ni i i ni i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大？解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。

高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案

0
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
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同济大学第六版高等数学上下册课后答案全集word资料104页

同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

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同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=;(4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

高等数学第五章课后习题答案

班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级姓名姓名学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小：（1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。

（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。

高等数学第五章习题附答案

利用定积分定义计算由抛物线y=x 2 , 两直线x =a,x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积. 题型：计算题答案：第一步: 在区间[a,b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a, b]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[xi -1, xi] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i n a b a x i i -+==ξ, 作和 n ab i n a b a x f S n i i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i n a b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-=]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令l =max {∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==n i i i b a x f dx x f S 10)(lim )(ξl]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b na b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b);题型：计算题答案：取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ)(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6利用定积分定义计算下列积分: dx e x ⎰10. 题型：计算题答案：取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点ni x i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6利用定积分的几何意义说明下列等式 1210=⎰xdx ;题型：证明题答案：⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1. 分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式41102π=-⎰dx x ;题型：证明题答案：⎰-1021dx x )表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1的面积的41: 414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x .分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰-=ππ0sin xdx ;.题型：证明题答案：由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx . 分数：12难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .题型：证明题答案： ⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积.因为cos x 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9×8h (kN/m2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 题型：计算题答案：建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆Pi =9.8x il ×∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7证明定积分性质 (1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 题型：证明题答案：(1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i n i i i ba dxx f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξl l (2)a b a b x x dx n i i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010l l l 分数：8难度：5估计下列各积分的值: ⎰+412)1(dx x 1); 题型：计算题答案：因为当1£x £4时, 2£x2+1£17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即51)1(6412£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰+ππ4542)sin 1(dx x题型：计算题答案：因为当ππ454££x 时, 1£1+sin2x £2, 所以)445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰331arctan xdx x ;题型：计算题答案：先求函数f(x)=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m.21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331££x 时, f '(x)>0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间]3 ,31[上单调增加. 于是 3631arctan31)31(π===f m ,33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-££-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ££⎰xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰-022dx e xx .题型：计算题答案：先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m.)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x . 比较f(0)=1, f(2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅££-⎰--e dx e e x x ,即 41022222---££-⎰e dx dx e e xx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上f(x)³0, 且0)(=⎰ba dx x f ,则在[a, b]上f(x)º0; (2)若在[a, b]上, f(x)³0, 且f(x)≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a, b]上, f(x)£g(x), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[a b]上f(x)ºg(x). 题型：证明题答案：(1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a , b]上的连续性, 在[a , b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a , b]上的最大值. 再由连续性,存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-³³++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a .这与条件0)(=⎰badx x f 相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0. (2)证法一因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-³³badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f(x)³0, 所以0)(³⎰b a dx x f .假如)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰badx x f ,根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在[a, b]上F(x)³0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba ba ba ba dx x f dx x g dx x f x g dx x F , 由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：7根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？(4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？(5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？题型：计算题答案：(1)因为当0£x £1时, x2³x3, 所以⎰⎰³103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x2>x3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1£x £2时, x2£x3, 所以⎰⎰£213212dx x dx x . 又因为当1<x £2时, x2<x3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x . (3)因为当1£x £2时, 0£ln x <1, ln x ³(ln x)2, 所以⎰⎰³21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x £2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x)2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0£x £1时, x ³ln(1+x), 所以⎰⎰+³1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x £1时, x >ln(1+x), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx . (5)设f(x)=ex -1-x , 则当0£x £1时f '(x) =ex -1>0, f(x)=ex -1-x 是单调增加的. 因此当0£x £1时, f(x)³f(0)=0, 即ex ³1+x , 所以⎰⎰+³1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x £1时, ex >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5 求由⎰⎰=+xyttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y, 于是y ex dx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt t dx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π.题型：计算题答案：(1)dxdudt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令421221x x x u +=⋅+=. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d)()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ分数：15所属所属知识点：微积分的计算难度：6⎰+-adx x x 02)13(;题型：计算题答案：a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+2142)1(dx x x ; 题型：计算题答案：852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案：94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+= 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案：66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰--212121x dx ; 题型：计算题答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰+ax a dx 3022; 题型：计算题答案：aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰-124x dx ; 题型：计算题答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x x x ⎰-+++012241133; 题型：计算题答案：13012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=分数：5所属所属知识点：微积分的计算 . 难度：5⎰---+211e xdx ; 题型：计算题答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰42tan πθθd ;题型：计算题答案：4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 2111)(2x x x x x f . 题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：6设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx .(4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx 分数：20所属所属知识点：微积分的计算设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k 分数：15所属知识点：微积分的计算难度：6求下列极限: (1)xdtt xx ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题答案：(1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)222222022)(2lim)(limx xt x t x xt x t x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→22222202lim2limxxt x x x xt x xe dte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x .所属知识点：变上限积分函数难度：6设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性.题型：计算题答案：当0£x £1时,302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(221102-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ. 因此⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x)在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：7设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(00+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x xx -=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算难度：7设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f a x --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内 0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：8试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0, 于是 y exdx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点.分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dxd ;题型：计算题答案：(1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: ⎰+32411x x dt tdx d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx xx +++-=.分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数:⎰xx dt t dxd cos sin 2)cos(π题型：计算题答案：⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dxd dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x)(sin x)'+ cos(πcos 2x)( cos x)' =-cos x ×cos(πsin 2x)-sin x ×cos(πcos 2x) =-cos x ×cos(πsin2x)- sin x ×cos(π-πsin2x) =-cos x ×cos(πsin2x)+ sin x ×cos(πsin2x) =(sin x -cos x)cos(πsin2x) 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+-adx x x02)13(;题型：计算题答案： a a a x x x dx x x aa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+2142)1(dx x x ;题型：计算题答案： 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx xx 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案： 6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案： 66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰--212121xdx ;题型：计算题答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰xx dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+axa dx 3022;题型：计算题答案：aa a a x a x a dxa a30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰-124xdx ;题型：计算题答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰x x dx . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x x x ⎰-+++012241133;题型：计算题答案：41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰---+211e x dx ;题型：计算题答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰402tanπθθd ;题型：计算题答案：4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x|π0+cos x|ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 211 1)(2x x x x x f .题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5设k 为正整数. 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2). (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 分数：20所属所属知识点：微积分的计算难度：6设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 分数：15所属所属知识点：微积分的计算难度：6求下列极限: (1)xdt t x x ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题答案：(1)11cos lim cos lim 2002==→→⎰x xdtt x xx .(2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k k k k k k k k kx k kxdx2212lim22lim2020222=+=+=→→x ex ee x x x x x .分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：7设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性. 题型：计算题答案：当0£x £1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim)(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：8设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式. 题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx xϕ; 当x >π时,10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x xx . 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算难度：8设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：8所属所属知识点：微积分的计算难度：8⎰+πππ2)3sin(dx x ;题型：计算题答案：0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-+123)511(x dx;题型：计算题答案：51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰203cossin πϕϕϕd ;题型：计算题答案：⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-πθθ03)sin1(d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰262cosππudu ;题型：计算题答案：2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5dx x ⎰-222;题型：计算题答案：dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5dy y ⎰--22228;题型：计算题答案：⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dyy dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-121221dx x x ;题型：计算题答案：41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx xx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰+31221xxdx ;题型：计算题答案：⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--1145xxdx ;题型：计算题答案：61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x xxdx 令. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+411xdx ;题型：计算题答案：)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x xdx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--14311x dx ;题型：计算题答案：2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-axa xdx 20223;题型：计算题答案：)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6dt tet ⎰-1022;题型：计算题答案：2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e e t d edt tet t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+21ln 1e xx dx ;题型：计算题答案：)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-++02222x x dx;题型：计算题答案：2)1arctan(1arctan )1arctan()1(1122022222π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-222cos cos ππxdx x ;题型：计算题答案：32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--223cos cos ππdx x x ;题型：计算题答案：⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+π2cos 1dx x .题型：计算题答案：22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππx xdx dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;(2)⎰-224cos 4ππθθd ;(3)⎰--2121221)(arcsin dx x x ;(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 题型：计算题答案：(1) 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(2πθπ=++=x x .(3) ⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .分数：20所属所属知识点：定积分的计算难度：6证明: ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中(u)为连续函数.题型：证明题答案：因为被积函数(x2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有 ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ. 分数：6所属所属知识点：定积分的计算难度：5设f(x)在[-b, b]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =-t, 则dx =-dt, 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb b b dt t f dt t f dx x f )()1)(()(, 而⎰⎰---=-bb b b dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=b b bb dx x f dx x f )()(.分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：6设f(x)在[a, b]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =a +b -t , 则dx =dt , 当x =a 时t =b, 当x =b 时t =a , 于是⎰⎰⎰-+=--+=b a b a abdt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba b a dx x b a f dt t b a f )()(, 所以 ⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：7 证明: ⎰⎰>+=+11122)0(11xx x x dx x dx .题型：证明题答案：令tx 1=, 则dt t dx 21-=, 当x =x 时xt 1=, 当x =1时t =1, 于是 ⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111x x xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7证明: ⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 题型：证明题答案：令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：6证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx n n . 题型：证明题答案：⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sinxdxxdx xdx n n n, 而 ⎰⎰⎰⎰==---=202022sin sin ))((sin sinπππππππxdxtdt dt t tx xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx nn .分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：8设f(x)是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 题型：证明题答案：已知f(x +l)=f(x).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala llla lla a adxx f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令, 所以 ⎰⎰=+l a adx x f dx x f 01)()(. 因此⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：8若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 题型：证明题答案：设⎰=xdt t f x F 0)()(. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx===---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数. 若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx-=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.分数：12所属所属知识点：定积分的计算。

《高等数学教程》第五章定积分习题参考答案-推荐下载

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高等数学课后习题答案第五章

习题五1．求下列各曲线所围图形的面积：（1）与x2+y2=8(两部分都要计算)；解：如图D1=D2解方程组得交点A(2，2)(1)∴,．（2）与直线y=x及x=2；解：.(2)（3）y=e x，y=e-x与直线x=1；解：．(3)（4）y=ln x，y轴与直线y=ln a，y=ln b．(b>a>0)；解：．(4)（5）抛物线y=x2和y=-x2+2；解：解方程组得交点(1，1)，(-1，1)．(5)（6）y=sin x，y=cos x及直线；解：．(6)（7）抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2． ∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(，3)．故所求面积为(7)()()()()()33222302332223024343d 2643d d 69d 9.4D x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰（8）摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴；解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ．所以()()()2π2π2π2202d 1cos d sin 1cos d 3π.aS y x a t a t t a t ta ==--=-=⎰⎰⎰(8)（9）极坐标曲线 ρ=a sin3φ；解：．(9)（10） ρ=2a cos φ；解：．(10)2．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1） r =a (1+cos θ)及r =2a cos θ; 解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a 的圆，故D =πa 2．(11)（2）及．解：如图12，解方程组得cosθ=0或,即或．(12)．3．已知曲线f(x)=x-x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a．解：如图13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1-a，a(1-a))∴依题意得得a=-2．(13)4．求下列旋转体的体积：（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；解：求两曲线交点得(0，0)，(1，1)．（14）（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；解：见图14，．（2）星形线绕x轴旋转；解：见图15，该曲线的参数方程是：，由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为(15)5．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

高等数学(同济五版)第五章定积分练习题册

42文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、填空题：在⎰+1031dx x 与⎰+141dx x 中值比较大的是．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ，其中：(A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．答：( )2．曲线xe y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ⎰-10)(dx ex e x ； (B)⎰-edy y y y 1)ln (ln ；(C)⎰-e xx dx xe e 1)(； (D)⎰-1)ln (ln dy y y y ．答：( )第二节微积分基本公式一、填空题： 1．=-⎰-2121211dx x．2．0)32(02=-⎰kdx xx )0(>k ，则=k ．二、选择题(单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则2)(limxdt t f x x ⎰→(A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．答：( )三、试解下列各题：1．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(32x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ．43文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.2．设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f ,0,00,sin 21)(，求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰⎰+=x axbt f dtdt t f x F )()()(．证明： (1)2)('≥x F ；(2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节定积分的换元法和分部积分法一、填空题： 1．=-⎰-212121arcsin dx xx ．2．⎰-=++43432cos 1)arctan 1(ππdx x x ．3．{}=⎰-222,1max dx x ．4．设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ．二、选择题(单选)：⎰>=aa dx x f x I 023)0()(，则I 为：(A)⎰20)(a dx x xf ；(B) ⎰adx x xf 0)(； (C) ⎰20)(21a dx x xf ； (D) ⎰a dx x xf 0)(21．答：( )三、试解下列各题： 1．⎰+21ln 1e xx dx．2．)0(0222⎰>-a a dx x a x ．3．设⎩⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31)2(dx x f ．五、计算下列定积分：44文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.1．⎰e xdx x 2ln ．2．⎰20cos πxdx e x ．六、已知1)(=πf ，)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0=''+⎰πxdx x f x f ，求)0(f ．第四节反常积分一、填空题： 1．=⎰∞+12ln dx x x． 2．=-⎰121)1(arcsin dx x x x ．二、选择题(单选)： 1．若⎰∞+adx x f )(及⎰∞+adx x g )(均发散，则dx x g x f a⎰∞++)]()([一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．答：( )2．若⎰∞-a dx x f )(发散，⎰∞+adx x f )(发散，则⎰∞+∞-dx x f )(一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．答：( )三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-202)1(x dx．2．⎰∞++0)1(1dx xx ．四、利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=dx e x I x n n (n 为自然数)．第五章自测题一、填空题(每小题5分，共20分)：1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim20=+-⎰→x x dt ta t x bx ，则=a ，=b ． 2．=-⎰201dx x ．45文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.3．=+⎰-ππdx xxx 21cos ． 4．=⎰→xdt t x x 020cos lim．二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．⎰-x dt t dxd sin 021等于： (A) x cos ； (B) x x cos cos ； (C) x 2cos -； (D) x cos ．答：( )2．设)(x f 连续，则⎰+ba dy y x f dxd )(等于： (A)⎰+'bady y x f )(；(B) )()(a x f b x f +-+；(C) )(a x f +；(D) )(b x f +．答：( )三、试解下列各题(每小题10分，共40分)： 1．⎰-21224dx x x ． 2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x e x xx f x，求⎰-20)1(dx x f ．3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ)()(在],[ππ-上的表达式．4．求位于曲线21xy =)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积．四、试解下列各题(每小题15分，共30分)： 1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-+-=badx x a b a f a b dx x f 1])([)()(．2．证明：⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ，其中)(u ϕ为连续函数．。

第五章定积分习题参考答案

第五章定积分习题参考答案习题5-1 (A)1.(1) )(2122a b - (2) 1-e 2. 343.(1) 23 (2) 22R π(3) dx x dx x ⎰⎰=-2022cos 2cos πππ(4) ⎰⎰--=020sin 2sin ππxdx xdx4. dt e I Q T T ⎰=21)(5. KN 2.886. ⎰=ldx x M 0)(ρ8.(1) ⎰⎰<213212dx x dx x (2) ⎰⎰>2020sin ππxdx xdx(3) ⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx (4) ⎰⎰>43243)(ln ln dx x xdx(5) ⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx9.(1) e dx e x <<⎰1021 (2) e e dx xe e e e -<<-⎰222ln 1)(21(3) ππ32arctan 9331<<⎰xdx x (4) 41022222---<<-⎰e dx e e xx习题5-1 (B)1.(1) ⎰10xdx (2) ⎰+10211dx x(3) dx x a b ba ⎰-)(1ϕ 3. dx x R V RR ⎰--=)(22π 4. 约6.7升/分习题5-2 (A)1. x sin -, 22- 2.(1)412xx + (2)81221213xx xx +-+ (3))sin cos()cos (sin 2x x x π-(4) 2'222')](sin[)()](sin[)(2x x x x x ϕϕϕϕ- 3. t t cot 4. 2cos y ex -5. 极小值0)0(=I6. )41,0( 7. 338a 8. -1；29.(1)821 (2) a 3π (3) 14+π(4) -1 (5) 41π- (6) 4)(arctan 2π-e (7) )1(211--e(8) 24 (9) )221(158+ (10) 2cos 4cos 12+-+e10.(1) 0; 0 (2) π (3) 0 (4) )(),(0l k l k =≠π 11.(1) 1 (2) 2 (3) 32(4) 31习题5-2 (B)1.(1) 2ln (2)11+k (3) π22. )(x f 在0=x 处连续，可导，且0)0('=f3. 123)(--=x e x x f ，e14.2π，π21- 5. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤=Φ时当时当216112211031)(22x x x x x x8. 2；5 9. -1习题5-3 (A)1.(1) 51251 (2) 34-π (3) 211--e (4) 0(5) 2ln 21- (6))32ln(23+- 或 )32(ln 23-+(7) 41π- (8) 3322-2.(1) 32(2) π (3) 3243π (4) 243.(1) )12(913+e (2) 22ωπ- (3) 23ln 21)9341(+-π (4) )1(21--e (5) )1(51-πe (6) 358 8. e习题5-3 (B)1.(1) 424- (2) )2(2+π (3) )11cos 1sin (21+-e e (4) 2ln 418-π(5) 8π (6) 12-e(7) 0 (8) 4π(9) 4π(10) 当m 为奇数，2!!)1(!!π⋅+m m 当m 为偶数，!)!1(!!+m m(11) π=1J ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=的奇数为大于为偶数1!!!)!1(2!!!)!1(2m m m m m m J m ππ2. )()(a x f b x f +-+3. 414. x 2ln 219. 0, 2!!48!!474π⋅⨯习题5-41. 145.6(平方米)2.(1) 0.7188 (2) 0.6938 (3) 0.69313.(1) 1.3890 (2) 1.3506 (3) 1.3506习题5-5(A)1.(1) 收敛，2ln 1- (2) 0≤b 时发散，0>b 时收敛于1)(-ab be (3) 收敛于2π (4) 收敛于2 (5) 收敛于2ln 214+π2.(1) 收敛，3 (2) 收敛，1 (3) 发散 (4) 收敛，2π (5) 收敛，38 (6) 收敛，3π 3. 2e 4. !n习题5-5(B)1.(1) 2ln 31 (2) 发散 (3) 发散 (4) 0 (5) π- (6)π22(7) 2 (8) )23ln(2++π2. 1≤λ时发散，1>λ时收敛于λλ--1)ln (ln 11a 3. 1≤k 时发散，1>k 时收敛于1)2)(ln 1(1--k k ，2ln ln 11-=k 时取最小值 4. 2π习题5-61.(1) 发散 (2) 收敛 (3) 收敛 (4) 收敛 (5) 收敛 (6) 发散 (7) 发散 (8) 收敛 (9) 发散 (10)绝对收敛2.(1) 0,)1(1>Γααα(2) 1,)1(->+Γp p总复习题五一. 1. D 2. A 3. B 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 二.1. x x f 3sin )3(cos 3- 2. 4202cos 2cos 2x x dt t x -⎰3. x y 2=4.121 5. 2sin x 6. > 7. ππ-4 8. 154 9. 3ln 10. 14-π 11. 2112. 2三.1. 21 2. 当01<≤-x 时，2)1(21x +，当0>x 时，2)1(211x --3.31 4. 23)32ln(-+ 5. 2ln 31 6.)31(22--e7. 0 8. 43 9.)0(21'f n10. 21,0,1===c b a 11. π2六.(定积分)练习题选解习题5-1(B)4.设)(x f 与)(x g 在],[b a 上连续，证明：(1) 若在],[b a 上0)(≥x f ，且⎰=ba dx x f 0)(，则在],[b a 上0)(≡x f . (2) 若在],[b a 上0)(≥x f ，且)(x f 不恒为零，则⎰>ba dx x f 0)(. (3) 若在],[b a 上)()(x g x f ≥，且⎰⎰=babadx x g dx x f )()(，则在],[b a 上)()(x g x f ≡.证：(1)用反证法.假设)(x f 在],[b a 不恒为零，则至少存在一点],[0b a x ∈使0)(0>=A x f .不妨设),(0b a x ∈，由)(x f 在0x x =处连续及极限的局部保号性，存在0>δ，使),(),(00b a x x ⊂+-δδ，且在),(00δδ+-x x 上2)(A x f ≥，于是0222)()(0000>⋅=≥≥⎰⎰⎰+-+-δδδδδAdx A dx x f dx x f x x x x b a .这与题设⎰=ba dx x f 0)(矛盾.(2)由在],[b a 上0)(≥x f ⎰≥⇒ba dx x f 0)(.而如果⎰=ba dx x f 0)(，则由(1)知在在],[b a 上0)(≡x f 与条件矛盾，故只有⎰>b a dx x f 0)(. (3)由(1)即得. 习题5-2(B).3.设)(x f 是连续函数，且满足⎰-=102)(3)(dx x f e x x f x ，求)(x f 与⎰10)(dx x f .解：设I dx x f =⎰1)(，由题设I e x x f x -=23)(，两边在]1,0[上dx e I dx x dx x f x⎰⎰⎰-=10102103)(，即eI e I I 1)1(1=⇒--=. 即edx x f 1)(10=⎰，而123)(--=x e x x f .6.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)('≤x f ，dt t f a x x F xa⎰-=)(1)(.证明在),(b a 内0)('≤x F . 证明：设),(b a x ∈，2')()()()()(a x dtt f x f a x x F xa ---=⎰2)())(()()(a x a x f x f a x ----=ξb x a ax f x f <≤≤--=ξξ)()(，而由条件在在],[b a 上)(x f 单调不增，0)()()('≤⇒≤x F f x f ξ.8.已知函数)(x g 连续，且5)1(=g ，2)(10=⎰dt t g ，设dt t g t x x f x ⎰-=02)()(21)(. 证明：⎰⎰-=xxdt t tg dt t g x x f 00')()()(，从而计算)1(''f ，)1('''f .证明：])()(2)([21)(02002dt t g t dt t tg x dt t g x x f x x x⎰⎰⎰+-=)]()(2)(2)()(2[21)(22020'x g x x g x dt t tg x g x dt t g x x f x x +--+=⎰⎰ dt t tg dt t g x xx ⎰⎰-=00)()(dt t g t xg t xg dt t g x f xx⎰⎰=-+=0'')()()()()(2)()1(1''==⎰dt t g f)()('''x g x f =，5)1()1('''==g f .9.已知)(x f 连续，x dt t x tf xcos 1)(0-=-⎰，求⎰20)(πdx x f . 解：dt t x tf x⎰-0)(中令u t x =-，得du u f u x dt t x tf xx⎰⎰--=-0)()()(⎰-=xdu u f u x 0)()(⎰⎰-=xxdu u uf du u f x 0)()(.于是x du u uf du u f x xx cos 1)()(00-=-⎰⎰ 两边求导，得x du u f xsin )(0=⎰ 于是12sin )(20==⎰ππdx x f .10.设)(x f 在]1,0[上可微，且满足⎰=210)(2)1(dx x xf f . 试证:存在)1,0(∈ξ使得0)()('=+ξξξf f .证明：设)()(x xf x F =，由定积分中值定理，]21,0[1∈∃ξ使)(21)()(1210210ξF dx x F dx x xf ==⎰⎰，由已知条件，有 )()(212)(2)1(11210ξξF F dx x xf f =⋅==⎰.又由于)()1(1)1(1ξF f F =⋅=，且)(x F 在]1,[1ξ上连续，在)1,(1ξ 内可导，故由罗尔定理，)1,0()1,(1⊂∈∃ξξ，使得0)('=ξF . 即0)()('=+ξξξf f . 习题5-3(B).1.(1)dx x ⎰-π0sin 1=dx x x x x⎰-+π0222cos 2sin 22cos 2sin=⎰⎰-=-πππ00)42sin(22cos 2sin dx x dx x x =⎰⎰-+--πππππ0220)42sin(2)42sin(2dx x dx x=)12(4-.1.(7)⎰+-20cos sin 1sin cos πdx x x x x 令t x -=2π，⎰+-=20cos sin 1sin cos πdx x x x x I dt tt t t ⎰+--=02sin cos 1cos sin πdt t t tt ⎰+-=20cos sin 1cos sin πI -= 0cos sin 1sin cos 2=+-=⇒⎰πdx xx xx I .1.(8)dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+-++=+2020cos sin )sin (cos )sin (cos 21cos sin cos ππ4]cos sin ln 2[21])cos (sin cos sin 1[21202020πππππ=++=+++=⎰⎰x x x x d x x dx . 1.(11) 计算dx x x J m m ⎰=π0sin (为自然数m ). 解：dx x dx x x J m mm ⎰⎰==πππ0sin 2sin 令t x +=2πdx x m ⎰=20sin ππ于是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=------=时当的奇数时为大于当为偶数时当113254231221432312m m m m m m m m m m m J m πππ . 3.设)(x f 在点0=x 的某个领域内连续，且0)0(=f ，1)0('=f . 试求 4220)(limxdtt x tf xx ⎰-→.解：)()(21)(22022022t x d t x f dt t x tf x x---=-⎰⎰ ⎰-=-0222)(21x du u f u t x 令du u f x ⎰=2)(21 于是，400402202)(21lim )(lim x du u f x dt t x tf x x xx ⎰⎰→→=-32042)(21lim xx x f x ⋅=→ 41)0(414)0()(lim '220==-=→f xf x f x . 6.设)(x f 为连续函数.证明：⎰⎰⎰=-x tx dt du u f dt t x t f 000])([))((.证明：设)()(0t du u f t Φ=⎰，则dt t dt du u f tx t ⎰⎰⎰Φ=000)(])([⎰Φ-⋅Φ=xxdt t t t t 0'0)()(dt t tf x x x⎰-⋅Φ=0)()(dt t tf du u f x xx⎰⎰-=0)()(⎰⎰⎰-=-=xx x dt t f t x dt t tf dt t xf 0)()()()(.7.设1,tan 40>∈=⎰n N n xdx I n n 且π. 证明：(1)112-=+-n I I n n (2) 221221-<<+n I n n 证明：(1)dx x x dx x dx x I I n n nn n )1(tan tan tantan 2402402402+=+=+⎰⎰⎰---πππ11tan tan 402-==⎰-n x d x n π. (2) 由(1)知，112-=+-n I I n n ，112+=++n I I n n 而在]4,0[π上，x x x n n n 22tan tan tan -+≤≤ 于是22-+<<n n n I I I ，222-++<<+n n n n n I I I I I 即11211-<<+n I n n ，)1(21)1(21-<<+n I n n . 习题5-5(B).1.(7)dx xe dx e x x x x ⎰⎰+∞-+∞∞--=+02)( 2][2200=-⋅-=-=⎰⎰+∞-+∞-+∞-dx e ex xde x x x1.(8)⎰⎰⎰-+-=-1212222111x dx xdx x dx)32ln(21ln arcsin 21210++=-++=πx x l x .3． ;2ln ln ln ln lim ln ln ln ln 1)(ln 222∞=-===+∞→∞+∞+∞+⎰⎰x x x x d k x x dx x k 时当])2(ln )(ln lim [11)(ln 111)(ln 11212k k x k k x k x k k x x dx --+∞→∞+-∞+--=-=≠⎰时当 ;11)2)(ln 1(11⎪⎩⎪⎨⎧<∞>-=-k k k k求其最小值，时，收敛于时，原式发散；当.)2)(ln 1(1111-->≤∴k k k k 的最大值：即求1)2)(ln 1()(--=k k k I,2ln ln 110)(],2ln ln )1(1[)2(ln )(1-=⇒='-+='-k k I k k I k 令,0,2ln ln 11,0,2ln ln 11>'-><'->I k I k 且当。

同济高数第六版课后习题答案解析

（3）
+
+
不存在
-
0
+
+
0
-
不存在
+
+
拐点
拐点极大
极小
在区间 , 上递增，在上递减；在区间，上是凹的；在上是凸的。点，是函数的拐点，函数在处取得极大值，在处取得极小值
2、求函数的极值。
3、在区间上给定函数，任取，问取何值时，曲线、、及轴所围平面图形面积最大？
所以当时所围面积最大。
18121218是函数的拐点函数在处取得极小值的点存在不可导点没有是函数的拐点是函数的拐点函数在minmax时所围面积最大
同济大学高等数学
一、
1、；
解一：解二：
2、
解一：
解二：
3、
解：
4、
解一：
解二：
5、
解一：
解二：
6、
解一：
解二：
7、
解：
8、
解：
9、
解：
10、
解：
11、。
二、求下列导数或微分
4、求曲线与所围成平面图形的面积，将此平面图形绕轴旋转一周求所得立体的体积。
解：所围面积。
旋转所得体积为
。
5、求曲线与以及轴所围成平面图形的面积，将此平面图形绕轴旋转一周求所得立体的体积。
解：所围面积。
旋转所得体积为。
五、空间解析几何
1、已知向量，，，求：
（1）；（2）；（3）；（4）。
（4）
, ，
所以： =(-8,16,0) -（-4，12，-4）=(-4,4,4).

高数同济版第五章答案

习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx b a ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10. 解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→.(2)取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nn n n n n n .3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)4112π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ; (4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2 ,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m, 宽L =2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质:(1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ; (4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 1)21(-=e f ,得1-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 1022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[a ,b ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd dc ca ba . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0.证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x . 又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x . 习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0,于是 y exdx dy cos -=.4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ;(2)⎰+32411x x dt tdx d ;(3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解 (1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt tdx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x12281312xx xx +++-=.(3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x )(sin x )'+ cos(πcos 2x )( cos x )'=-cos x ⋅cos(πsin 2x )-sin x ⋅cos(πcos 2x ) =-cos x ⋅cos(πsin 2x )- sin x ⋅cos(π-πsin 2x ) =-cos x ⋅cos(πsin 2x )+ sin x ⋅cos(πsin 2x ) =(sin x -cos x )cos(πsin 2x ).6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x xaa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx x x ;解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ; 解6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x .(4)⎰+33121xdx;解66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx . (5)⎰--212121xdx ;解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 121121212πππ=--=--==---⎰xx dx .(6)⎰+axa dx3022;解aa a a xax a dxa a 30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. (7)⎰-124xdx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰xx dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . (9)⎰---+211e xdx;解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e .(10)⎰402tan πθθd ; 解4144tan)(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |; 解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 211 1)(2x x x x x f .解38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2)⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k kk k k k k k kx k kxdx . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限:(1)xdtt xx ⎰→02cos lim;(2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdtt x xx . (2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=2212lim 22lim2020222=+=+=→→x e x e e x xx xx . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x x x ===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时, 21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx x ϕ; 当x >π时, 10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x x x . 因此 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=xadt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0. 证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有 ))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(2=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解 410cos 412cos 41cos 41sin cos cos sin 33203203203=+-=-=-=⎰⎰πϕϕϕϕϕϕπππd s d . (4)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰22cos ππudu ;解222222sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-02022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228; 解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 122212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰.(10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-22cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 23222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-2223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x . 解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-24cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-0244)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x .(3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--1021022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx x x dx x x324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是 ⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x dx x dx.证明令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+1112112211)1(1111x x xdt t dt t t x dx , 而⎰⎰+=+xx dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m .证明令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ00sin 2sin xdx xdx nn .证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n ,而 ⎰⎰⎰⎰==---=20200sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n n n 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数.证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e. (3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx ;解344344342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππx xdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx xx;解⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx xx x xd dx xx)12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d xx x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan 214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x .(7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 02-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x 2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x x x 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t t x dx x te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt et.因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1e e e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx x m (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(102π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sintdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===202000sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m m m m (用第8题结果). 根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解因为1]1111[21][21ch 20)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt ept ptωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102x x x dx x , 所以反常积分⎰-202)1(x dx发散.(9)⎰-211x xdx ;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k kk x k x d x x x dx ; 当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时, kk k k k x k x d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln kx x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散.当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点, 同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !. 总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限: (1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n nn p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→1ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰x x x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim)(lim )(lima af x xf dt t f ax dt t f x dt t f a x x xa ax xa ax xa a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则).(5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx x x d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba b a b a ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222212222])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⋅++≤ba ba ba ba dx x g dx x f dx x g dx x f ,又()2212212212222])([])([])()([2)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅++ba ba b a ba b a badx x g dx x f dx x g dx x f dx x g dx x f ,所以()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f . 6. 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 且f (x )>0. 证明⎰⎰-≥⋅ba baa b x f dxdx x f 2)()()(. 证明已知有不等式⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222, 在此不等式中, 取)(1)(x f x f =, )()(x f x g =, 则有⎰⎰⎰⋅≥⋅⋅ba ba ba dx x f x f dx x f dx x f 222])(1)([])(1[])([,即⎰⎰-≥⋅b a baa b x f dxdx x f 2)()()(.。

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

插入若干个分点（图 5-1）
a x0 x1 x2 L xn1 xn b,
把 a,b分成 n 个小区间
x0 , x1 , x1, x2 , x2 , x3 , L ,xn1, xn ,
它们的长度依次为 x1 x1 x0 , x2 x2 x1,L , xn xn xn1. 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形在每个小区
求曲边梯形的面积的精确值
显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值因此要求曲边梯形面积 A 的精确值只需无限地增加分点使
每个小曲边梯形的宽度趋于零记 maxx1, x2 ,L , xn , 于是上述增加分点使每
程加起来作为物体在时间间隔 T1,T2 内所经过的路程 S 的近似值具体做法是在时间间隔 T1,T2 内任意插入若干个分点
Ti t0 t1 t2 L tn1 tn T2 ,
T1,T2 分成 n 个小段
各小段时间的长依次为
t0 ,t1 ,t1,t2 ,L tn1,tn ,
si v( i )ti (i 1,2,L , n).
于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值即
n
S v(i)ti i 1
求精确值
记 maxt1, t2 ,L , tn , 当 0 时取上述和式的极限即得变速直线运动的
个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令 0. 所以曲边梯形的面积为
n
A lim 0
i 1
f (i )xi .
1
图 5-1

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高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。

解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。

证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。

3. 设映射f : X Y, A X, B X。

证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。

4。

设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。

证明：f 是双射，且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明因为对于任意的yY ，有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。

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