普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章 动能和势能

第4章动能和势能

习题解答

4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？

解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。

分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：

N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）

4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为l l k l k f ,321+=表示弹簧的伸长量，k 1为正，⑴研究当k 2＞0、k 2<0和k 2=0时弹簧的劲度df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由l 1拉长至l 2时弹簧对外界所做的功。

解：弹簧的劲度df/dl=k 1+3k 2l 2

. k 2=0时，df/dl =k 1，与弹簧的伸长量 无关；当k 2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k 2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。在以上三种情况中，劲度df/dl 与弹簧伸长量l 的关系如图所示。

)

)](([)

()()(2

12

22

12

222

11214

1422412

1221213

213

212

1

2

1

2

1

l l l l k k l l k l l k dl

l k ldl k dl l k l k A l l l l l l -++-=--

--

=--=+-=⎰⎰⎰

4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。 证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1

变为r 2,θ2，由于忽略绳

的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F

F

T F r r r r r r r

T A A r r T r r F A r r T dr

T

Tdr

dr F

A =∴-=-=-==-

==

⎰⎰⎰),

()()(2121211

2

2

1

2

1

4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？

解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv

设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α

)mgv'.

令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：

v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.

4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。

解：以A 为原点建立图示坐标o-x ，木块由A 到B ，只有拉力T 做功：

⎰

⎰⎰

+--===

4

3

)4()4(4

4

02

2

cos x dx x x T dx T dx F A θJ

x x x d x T 100)35(50|9)4(50

|]

9)4[(2]9)4[(]9)4[(4

024

2

/122

504

2

2/122

=-⨯=+-=+-⨯-=+-+--

=⎰- 设木块到达B 时的速度为v ，由

动能定理：2

0212

2

1mv mv

A -

=

s m v m A v /88.2065.0/1002/22

2

≈+⨯=+=

，方向向右

4.3.2 质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F ,F=60N,木块在A 处有向上的速度v 0=2m/s,求木块被拉至B 时的速度。

解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy ，木块在由A 到B 的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是： A N = 0；A W = -mg(y B -y A )=-1.2×9.8×0.5= -5.88J ；F 大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。

J

F y y d y y d y dy

F dy F dy F A F F F y y y F 43.12)12(605.0)12(5.0|]

)5.0(5.0[2]

)5.0(5.0[]

)5.0(5.0[)

5.0(])5.0(5.0[cos 5

.00

2

/12

2

2

5

.00

2

2

2

/12

2

25

.002

2

/12

2

25

.00

)

5.0(5.05.05

.00

5

.00

2

2

=-⨯=-=-+⨯-

=-+-+-=--+-====⎰

⎰⎰

⎰

⎰

---+-θ

由动能定理：22

12

2

1A

B F W N mv

mv A A A -

=++

代入数据，求得 v B =3.86 m/s.

4.3.3 质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v 0 向右运动，弹簧的劲度系数为k ，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l

为

A

B

x