二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)
二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)
高中数学专题训练二次函数与幂函数一、选择题1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>14．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( )A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2]6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则( ) A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定二、填空题8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________．9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.10．设函数f1(x)＝x 12，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝________.11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．12．已知幂函数f(x)＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．三、解答题14．已知函数f(x)＝2x－x m，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．练习：1．若函数f(x)＝log 12(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．(3，＋∞)C．(－∞，3) D．[5，＋∞)2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为( )A．1 B．－1C.－1－52D.－1＋523.如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于( )A.caB．－caC．±caD．无法确定4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝( ) A．3 B．2或3C．2 D．1或25．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是( )A．0≤a≤1 B．0≤a≤2C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0B组1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________.2．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数3．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α、β是方程f (x )＝0的两个根(α<β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．α<a <b <βB ．a <α<β<bC ．a <α<b <βD ．α<a <β<b4．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c5．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ≥0C ．a ≤3D ．a ≤16．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．答案：一、1.A 2 C 3 C 4 C 5 C 6 D 7 B8．解析 由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤19． 9或25 10． 1201011． 大 －312． 3 13． 2<m <52三、解答题14 (1)m ＝1 (2)递减练习；1． D 2. B 3． B 4 C 5 DB 组1． x 2－x ＋12 D 3A 4 B 5A 详析1． A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2． C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－b a<0，不符合，∴选C.3． C解析 类比函数y ＝x 12即可．4． C解析 ∵f (4)＝f (1)∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．5． C解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.6． D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7． B解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B.二、填空题8．解析 由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤1 9． 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10． 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11． 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0 ∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a ＝－3.12． 313． 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知⎩⎨⎧f 1<0f 2>0⇒2<m <52.三、解答题14 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1. (2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．15． [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a≤2.①当－32≤a<1时，g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2＋4，∴由二次函数图象可知，－94≤g(a)<4.②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)2，∴当a＝1时，g(a)min＝4；当a＝2时，g(a)max＝9；∴4≤g(a)≤9.综上所述，g(a)的值域为[－94，9]．练习；1．D解析f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．B解析∵b>0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a>0，∴a<0.故应是第3个图形．∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.3.B解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|ca|＝－ca(∵a<0，c>0)．4．C解析函数在[1，＋∞)上单增∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．5．D解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.B组1．x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a ＋b＝2x∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.3．A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.4．B解析由f(－1)＝f(3)得－b2＝－1＋32＝1，所以b＝－2，则f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．5．A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1 则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0 得－1≤a≤3 ∴－1≤a<1综上：a≥－1.6．c解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.。
高中数学必修一函数专题：二次函数值域
高一数学必修一函数专题：二次函数值域第一部分：计算二次函数的值域题型一：计算二次函数c bx ax x f ++=2)(在定义域R x ∈上的值域。
解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴ab x 2-=。
第二步：第一种情况：当0>a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向上。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最小值。
最大值为∞+。
第二种情况：当0<a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向下。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最大值。
最小值为∞-。
例题一：已知：二次函数121)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴12121=⇒⨯--=x x 。
第二步：二次函数121)(2+-=x x x f 图像开口向上。
2111121)1()(2min =+-⨯==f x f 。
+∞=max )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：),21[)(+∞∈x f 。
例题二：已知：二次函数2)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴21)1(21-=⇒-⨯--=x x 。
第二步：二次函数2)(2+--=x x x f 图像开口向下。
49221412)21()21()21()(2max =++-=+----=-=f x f 。
-∞=min )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：]49,()(-∞∈x f 。
跟踪训练一：已知：二次函数x x x f 32)(2+=。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
跟踪训练二：已知：二次函数2)(2++-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
专题1.3 二次函数的图象与性质(二)【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】【浙教版】【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】 (4)【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】 (6)【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】 (9)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (11)【题型6 二次函数的对称性的运用】 (13)【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】 (16)【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】 (19)【题型1利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(5,y3)在二次函数y=−3x2+k 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y1<y3<y2【答案】C【分析】根据题意可得二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，从而得到点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，再由当x>0时，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，∴点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，∵−3<0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∵1<2<5，∴y3<y1<y2．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点C(x1,m)、D(x2,n)在抛物线y=−2(x−3)2的图象上，且x1>x2 >3，则m与n的大小关系为______．【答案】m<n【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由抛物线y=−2(x−3)2可得，a<0，开口向下，对称轴为x=3，∴当x>3时，y随x的增大而减小，又∵x1>x2>3，∴m<n故答案为：m<n【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（）A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小【答案】B【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．【详解】解：在y=ax2−2ax−3a(a≠0)中，=1，对称轴为直线x=−−2a2a令ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，∴函数图像与x轴交于(−1,0)，(3,0)，∵−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，∴(x3,y3)离对称轴最远，(x2,y2)离对称轴最近，当a>0时，开口向上，∴y3>y1>y2；当a<0时，开口向下，∴y3<y1<y2；∴y2和y3可能最大，也可能最小，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，下列选项正确的是（ ）A ．若a <0，则y 1>y 2B ．若0<a <23，则y 1<y 2C ．若23<a <1，则y 1<y 2D ．若a >1，则y 1>y 2【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x =1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，∴二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大；∵a <0，∴2a <0，∴a >2a ，∴y 1<y 2，故A 错误；∵二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴抛物线的对称轴为直线x =1，若a 2a 2=1，∴解得：a =23，∴当a =23时，a 和2a 关于x =1对称，∴当0<a <23时，y 1>y 2；当23<a <1时，y 1<y 2，故B 错误，C 正确；当a >1时，y 随x 的增大而增大，∵a <2a ，∴y 1<y 2，故D 错误；故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型2利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为___________．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是______．【答案】n>4【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．【详解】解：y=−x2+4x−n，化为顶点式为：y=−(x−2)2+4−n，∵4−n<0，∴n>4，故答案为：n>4．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k 的取值范围是______．【答案】0<k<1或−1<k<0【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和k<0两种情况列不等式即可解答．【详解】解：∵y=kx2−x−4k=k(x2−4)−x，∴x2−4=0，∴x=±2，当x=2时，y=−2，当x=−2时，y=2，∴二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点−2，2，2，−2，∴m=2，∵函数y=kx2−x−4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点，∴分两种情况：①当k>0时，x=3时，y<2，即9k−3−4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②当k<0时，当x=1时，y<2，即k−1−4k<2，∴k>−1，∴−1<k<0，综上所述，k的取值范围是0<k<1或−1<k<0，故答案为：0<k<1或−1<k<0．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(0,−1)，则a+b+c的取值范围是（）A ．−2<a +b +c <0B ．−2<a +b +c <−1C ．−32<a +b +c <0D ．−32<a +b +c <−1【答案】A【分析】由函数图象的开口方向可知a >0，由抛物线与y 轴的交点判断c 的值，当x =1时，二次函数的值小于零，由此可求出a 的取值范围，将a +b +c 用a 表示即可得出答案．【详解】由图象开口向上，可得a >0，∵图象过点(0,−1)，∴c =−1，∵图象过点(−1,0)，∴a−b−1=0，∴b =a−1，∵对称轴在y 轴的右侧，∴当x =1时，y =a +b +c =a +a−1−1=2a−2<0，∴a <1，∴0<a <1，∴−2<2a−2<0，即−2<a +b +c <0，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y =ax 2−4x +1有最小值−3，则 a 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．2【答案】A【分析】把二次函数y =ax 2−4x +1变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．【详解】∵y=ax2−4x+1∴y=ax2−4x+1=ax−−4a+1∵二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3,∴a>0−4a+1=−3∴a=1故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=−x2+bx−3（b为常数）的图象经过点(−6,−3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（）A．−2或−3+B．−2或−4C．−2或D．【答案】C【分析】将点(−6,−3)代入y=−x2+bx−3即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】把(−6,−3)代入y=−x2+bx−3，得b=−6，∴y=−x2−6x−3，∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6∴当x=−3时，y有最大值为6；①当−3<x≤0时，当x=0时，y有最小值为−3，当x=m时，y有最大值为y=−m2−6m−3∵y的最大值与最小值之和为2，∴−m2−6m−3+(−3)=2，∴m=−2或m=−4(舍去)。
二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版
二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。
二次函数值域 专题
二次函数值域专题姓名在函数的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应的法则所确定的，因此，值域应注重函数对应法则的作用和定义域对函数的值域的影响，也就是我们常说的函数定义域优先法则。
本专题我们重点讨论二次函数在自变量不同取值时的值域问题。
例1：指出下列函数的对称轴，顶点坐标，定义域，值域.（1）{EMBED Equation.DSMT4 |223=--y x x （2）正向型：求已知函数在给定区间上的值域问题。
例2 求函数在下列定义域中的值域：（2）（3）例3、求函数例4、已知，求函数的值域。
逆向型：是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例5、若函数的定义域为[0 ，m],值域为，则 m的取值范围是（）A、[0 ，4]B、[ ，4]C、[ ，3]D、画图分析：例6、已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。
根的分布问题：（参考之前的讲义）例1、已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.例2、设，，若，求实数的取值范围．二次函数的值域问题专题练习1．函数在区间上的最小值是（）22．若函数的值域是______________________3．已知函数上的最大值是1，则实数a的值为_____________. 4．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的值（）(A) (B) (C) (D)5. 已知函数上具有单调性，求实数k的取值范围。
6. 若函数恒成立，则a的取值范围（）A. B. C. D.7.求函数的单调区间。
8、已知函数若，有恒成立，求a的取值范围。
9、已知二次函数的函数值总为负数，求a的取值范围。
10、设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
(完整版)二次函数值域习题
完整版)二次函数值域习题完整版) 二次函数值域习题引言二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
在学习二次函数时，我们不仅需要了解其基本知识和性质，还需要掌握如何求解二次函数的值域。
为了帮助大家更好地掌握二次函数值域的求解方法，本文将提供一些习题，并给出详细解答。
希望通过这些习题的练习，大家能够加深对二次函数值域的理解，提高解题能力。
习题部分1.求解函数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$ 的值域。
2.求解函数 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$ 的值域。
3.求解函数 $h(x) = x^2 + x + 1$ 的值域。
解答部分习题1给定函数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$，我们需要求解其值域。
首先，我们可以通过求导的方法来确定函数的开口方向。
求导得到 $f'(x) = 4x - 5$，令 $f'(x) = 0$ 可得 $x = \frac{5}{4}$。
由于二次函数的开口方向由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，开口方向向上；反之，开口方向向下。
因此，由于 $a = 2$，二次函数 $f(x)$ 的开口方向为向上。
接下来，我们需要找出二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标。
通过求导可得知，顶点的横坐标为 $x = \frac{5}{4}$。
将其代入原函数$f(x)$ 可得 $f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 3 = \frac{1}{8}$。
因此，二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标为 $(\frac{5}{4}。
\frac{1}{8})$。
由于二次函数的值域与其顶点的纵坐标有关，因此我们可以得出二次函数 $f(x)$ 的值域为 $[\frac{1}{8}。
+\infty)$。
习题2给定函数 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$，我们需要求解其值域。
九年级数学二次函数取值范围20专题训练
九年级数学二次函数取值范围20专题训练九年级数学二次函数取值范围20专题训练一、单选题二、填空题1.已知抛物线 $y=2(x-1)+1$，当 $1<x<3$ 时，$y$ 的取值范围是 $\boxed{3<y<7}$。
2.函数 $y=\dfrac{2}{3(x+2)}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是 $\boxed{x\neq -2}$。
3.如果抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的开口向上，那么 $a$ 的取值范围是 $\boxed{a>0}$。
4.已知二次函数 $y=(m+1)x^2$ 有最大值，则 $m$ 的取值范围是 $\boxed{m<-1}$。
5.如果抛物线 $y=(2+k)x-k$ 的开口向下，那么 $k$ 的取值范围是 $\boxed{k>0}$。
6.已知二次函数 $y=x^2-4x+2$，关于该函数在 $-1\leqx\leq 3$ 的取值范围内，$y$ 的取值范围为 $\boxed{1\leq y\leq 7}$。
7.函数 $y=x^2-4x+3$，当 $y3}$。
8.已知 $y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+4$，$-10\leqx\leq 2$，则函数 $y$ 的取值范围是 $\boxed{\dfrac{11}{2}\leqy\leq 14}$。
9.已知抛物线 $y=(a+3)x^2$ 开口向下，那么 $a$ 的取值范围是 $\boxed{a<-3}$。
10.若抛物线 $y=(a-3)x^2$ 开口向上，则 $a$ 的取值范围是 $\boxed{a>3}$。
11.设二次函数 $y=x^2+ax+b$ 图像与 $x$ 轴有 $2$ 个交点，$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$；且 $-1<x_1<1$；$1<x_2<2$，那么$5a+2b$ 的取值范围是 $\boxed{-13\leq 5a+2b\leq -9}$；$a^2-2b$ 的取值范围是 $\boxed{0<a^2-2b<8}$。
二次函数专题训练(含答案)
二次函数专题训练（含答案）一、 填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a -时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 .10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=xy 的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 .二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21C.（-1，5）D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当 a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax y bx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b a （ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数2ax y =与xa y =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ）A.a >0，Δ>0B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-16 34.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b.（1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由.38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHED AH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C.（1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值；（2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；（3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标.（2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.（3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1） 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值， 二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.（2） 在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同 的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.（1） 求点C 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ）件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.2.∵43432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时m m m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1） 当AC=BC 时， 94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2） 当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y . （3） 当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-m m ， ∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m0)1(122222+=++=m m m图代13-3-21∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点.令y=0，得062)5(222=+++-m x m x0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====，∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ②解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1；△ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0.同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；8.四，增大； 9.向上，向下，a b x a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10. 二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ²122+-=b x .∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根，∴ x 1+x 2=a-3，x 1²x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意.∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a .解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ，01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b .∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ a cx x a bx x =⋅-=+2121,.又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a ca b .① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b.③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1， 得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2）当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y .33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ²OC. 又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1³4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y .解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ²OB=OC 2.∴ x 1²x 2=c 2. 又由方程032=+-c x ax 知ac x x =⋅21， ∴acc =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ， ∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切. 35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5³4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ） =74（米）. 答：cc ＇的长为74米.（2）∵4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3）在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y .∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0. ∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0 ∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2， ∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0， 解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0， ∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2）， ∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+=.111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8， ∴1821⨯=⨯⨯y AB .即8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y . 当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x . ∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+. 38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ²AB=2³（2+6）=16. ∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHEDAH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB. 又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB =90°-∠HDB =∠DBH. 在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ， ∴ △DFB ∽△DHB. ∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH. ∴ED ∥FH ，∴FHEDAH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF. 又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH. 以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH. ∴FHEDAH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y .∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPBOD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ， 由ED 2=EF ²EB 得12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）.39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ，化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ²OC=BC ²AD. ∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB.图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21.1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45.40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛524,0.∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴ OBOCAB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-4512,516，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===.∴交点)31,32(m m M .此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有0329413422=-+⎪⎭⎫⎝⎛--m m x m x .⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422.013891613891622>=+-+-=mm m m ∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3）， ∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CP MP=+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,56.42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ²OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1²x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y.图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x . ∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ D CA D PB ABPC S S S ∆∆-=四边形 ).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
高中数学必修一函数专题：二次函数值域
[ f (x)]2 2 x2 x 2 3 3 [ f (x)]2 0 。
f (x) 2 x 1 x ， 2 x 0 ， 1 x 0 2 x 1 x 正负都有可能。
3 [ f (x)]2 0 3 f (x) 3 f (x) [ 3, 3] 。
跟踪训练一：已知：函数 f (x) 2x 3 2 2x 。计算：函数 f (x) 的值域。
假设： 3x 2 k(1 x) b 3x 2 k kx b 3x 2 kx (k b) 。 根据对应系数相等得到： k 3 ， k b 2 k 3 ， b 5 3x 2 3(1 x) 5 。
f (x) 3x 2 1 x ， 3x 2 3(1 x) 5 f (x) 3(1 x) 5 1 x 3( 1 x )2 1 x 5 。
本题解析：第一步：计算函数的定义域。
根据根号下的数大于等于零得到： 2 x 0 ，1 x 0 x 2 ， x 1 x [2,1] 。
第二步：对函数进行平方。
f (x) 2 x 1 x [ f (x)]2 ( 2 x 1 x )2 ( 2 x )2 2 2 x 1 x ( 1 x )2
本题解析：第一步：计算二次函数的对称性
x
3 2 (1)
x
3 2
。
第2页共6页
第二步：对称轴 x 3 不在给定范围 x (1,1) 内。 2
二次函数在给定的范围 x (1,1) 的两个边界 x 3 和 x 0 处取得两个最值。 f (1) (1)2 3 (1) 4 。 f (1) 12 31 2 。
第三步：计算二次函数 y 4x2 1 在定义域 x [ 1 , 1 ] 上的值域。 22
二次函数的对称轴 x 0 x 0 。 2 (4)
对称轴 x 0 在定义域 x [ 1 , 1 ] 内，二次函数 y 4x2 1开口向下。 22
初中数学二次函数经典练习题
二次函数的概念、图像与性质【知识梳理】考点1：二次函数以及二次函数的定义域、值域等有关概念 考核要求：（1）知道二次函及其定义域、值域等概念； （2）判断函数解析式是否是二次函数的解析式；（3）会根据已知条件判断函数解析式中字母的值或取值范围． 考点2：用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求：（1）掌握求函数解析式的方法；（2）在求函数解析式中熟练运用待定系数法.（3）求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原．【例题剖析】例1、若函数()22214m m y m m x−−=++是二次函数，求m 的取值范围．例2、某产品每千克成本为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它的日销售量为100千克，如果每千克售价每降低(或增加)1元，日销售量就增加(或减少)10千克，设该产品每千克售价为x 元．（1）日销售利润为为y 元，写出y 关于x 的函数解析式及函数的定义域． （2）如果日销售量为300千克，那么日销售利润为多少元？例3、已知抛物线2y ax =与直线23y x =+交于点()1,A b 与点B ，直线与y 轴交于点P ．求：（1）求抛物线2y ax =的解析式，并求顶点的坐标和对称轴； （2）判断点()1,4C −是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标； （4）求ABO S ．笔记 思考【经典习题】（A ）组1．二次函数223y x x =++的定义域为（ ）A ．x ＞0B ．x 为一切实数C ．y ＞2D ．y 为一切实数 2．若函数241y x =+的函数值为5，则自变量x 的值应为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D3．抛物线2y ax = （a ＜0）的图象一定经过（ ）A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限 4．在同一坐标系中，抛物线22214414y x y x y x ===−，，的共同特点是（ ） A ．关于y 轴对称，开口向上 B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小 D ．关于y 轴对称，顶点是原点 5．不透明的布袋里装有4个白球和1个黑球，除颜色外其它都相同，从中任意取出2个球，那么取到1个白球和1个黑球的概率为 ． 6．在函数①2y ax bx c ++，②()221y x x −−=，③2255x y x =−，④22y x =−+中，y 关于x 的二次函数是 ．（填写序号） 7．如果()221mmym x −=−是二次函数，则m= ．8．关于x 的函数()()211y m x m x m =++−+，当0m =时，它是 函数；当1m =− 时，它是 函数． 9．观察二次函数2y x =的图象，并填空．图象与x 轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ．当x ＜0时，随着x 值的增大，y 的值 ；当x ＞0时，随着x 值的增大，y 的值 ． 10．把图中图象的号码，填在它的函数式后面： （1）y=3x 2的图象是 ； （2）y=x 2的图象是 ； （3）y=﹣x 2的图象是 ； （4）y=x 2的图象是 （填序号①，②等）．笔记 思考11．函数y=﹣a（x+a）与y=﹣ax2（a≠0）在同一坐标系上的图象是（）A．B．C．D．点，F是BC上一点，且BF=2BE．设BE=x，△DEF的面积为S，则S关于x的函数关系式为．13．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5m、长18m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm．（不考虑墙的厚度）（1）若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？14．如图，一条抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形ABCD有公共点．（1）求a的取值范围；（2）若a为整数，求函数的表达式．15．有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米；（1）在如图的坐标系中，求抛物线的表达式．（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2米的速度上升）16．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．笔记思考二次函数的图像与性质【知识梳理】1.二次函数的概念2.二次函数解析式3.二次函数图像特征4.二次函数的性质与图像【例题剖析】例1．已知二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A（﹣2，﹣）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点B（2，﹣2）在这个函数图象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案．例2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），且与y轴相交于点C．（1）求此二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）求∠CPB的正弦值．例3．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）．（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米、宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？【经典习题】（A ）组1．若在同一直角坐标系中，作y =x 2，y =x 2+2，y =﹣2x 2+1的图象，则它们（ ）A ．都关于y 轴对称B ．开口方向相同C ．都经过原点D ．互相可以通过平移得到2．抛物线y =2x 2﹣4的顶点在（ ）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．第三象限D ．第四象限3．抛物线y =2（x +3）2﹣4的顶点坐标是（ ）A ．（3，4）B ．（3，﹣4）C ．（﹣3，4）D ．（﹣3，﹣4）4．对于二次函数y =（x +1）2﹣3，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口方向向下B ．图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）C ．图象的顶点坐标为（1，﹣3）D ．抛物线在x ＞﹣1的部分是上升的 5．一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．6．如图，OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线y =ax 2（a ＜0）的图象上，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．7．如图，抛物线m ：y =ax 2+b （a ＜0，b ＞0）与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为C 1，与x 轴的另一个交点为A 1．若四边形AC 1A 1C 为矩形，则a ，b 应满足的关系式为（ ）A ．ab =﹣2B ．ab =﹣3C ．ab =﹣4D ．ab =﹣58．抛物线y =2（x ﹣3）2+4的在对称轴的 侧的部分上升．（填“左”或“右”） 9．如果点A （2，﹣4）与点B （6，﹣4）在抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线 ．笔记 思考10．抛物线y =mx 2+2mx +5的对称轴是直线 ．11．如果抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称轴是直线 ．12．如果二次函数y =x 2﹣8x +m ﹣1的顶点在x 轴上，那么m = ． 13．小迪同学以二次函数y =2x 2+8的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB =4，DE =3，则杯子的高CE 为 ．14．如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m 时，拱顶离水面4m ，当水面下降3m 时，水面的宽为 m ．（B ）组15．用配方法把二次函数y =﹣2x 2+6x +4化为y =a （x +m ）2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．16．已知抛物线y =（x ﹣2）2的顶点为C ，直线y =2x +4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC ．1．已知二次函数y =﹣x 2+（m ﹣2）x +m +1．（1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点． （2）当m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）当m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？笔记 思考（C）组笔记思考17．为了参加市科技节展览，同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架．在画设计图时，如果在直角坐标系中，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+c，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5：1，求：（1）抛物线解析式中常数c的值；（2）正方形MNPQ的边长．18．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值．笔记思考二次函数的图像与性质综合【知识梳理】5.二次函数的概念6.二次函数解析式7.二次函数图像特征8.二次函数的性质与图像【例题剖析】例1．根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）；（2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）；（3）抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）；（4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点；（5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5；（6）当x=2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．例2．如图是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为y=﹣x2+x+（单位：米），其中A点为出手点，C点为铅球运行中的最高点，B点铅球落地点．求：（1）出手点A离地面的高度；（2）最高点C离地面的高度；（3）该运动员的成绩是多少米？例3．如图，抛物线y =ax 2+2ax +3与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴的正、负半轴上），cot ∠OCA =3． （1）求抛物线的解析式；（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，求点E 的坐标．【经典习题】（A ）组1．函数y =x 2+2x ﹣2写成y =a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y =（x ﹣1）2+2B ．y =（x ﹣1）2+1C ．y =（x +1）2﹣3D ．y =（x +2）2﹣12．在同一坐标系下，抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x 2+4x ＞2x 的解集是（ ）A ．x ＜0B ．0＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜0或 x ＞2第2题 第7题 第12题 第13题3．已知点P 为抛物线y =x 2+2x ﹣3在第一象限内的一个动点，且P 关于原点的对称点P ′恰好也落在该抛物线上，则点P ′的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣2，﹣）C ．（﹣，﹣2﹣1） D ．（﹣，﹣2）4．若A （﹣4，y 1），B （﹣3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y =x 2﹣4x +m 的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 25．二次函数y =﹣x 2﹣2x +c 在﹣3≤x ≤2的范围内有最小值﹣5，则c 的值是（ ） A ．﹣6 B ．﹣2 C ．2D ．3笔记 思考6．将抛物线y=x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得笔记思考到的抛物线的解析式是（）A．y=（x﹣1）2﹣1 B．y=（x+3）2﹣1C．y=（x﹣1）2﹣7 D．y=（x+3）2﹣77．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．若抛物线的顶点为（﹣2，3），且经过点（﹣1，5），则其表达式为．9．对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为．10．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线y=2x2+4x﹣2上的点，坐标系原点O位于线段AB的中点处，则AB的长为．11．如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为．12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是．13．二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是．（B）组14．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．15．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点M从点A开始沿AB边向点笔记思考B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动．若M，N分别从A，B点同时出发，设移动时间为t（0＜t＜6），△DMN的面积为S．（1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；（2）当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积．（C）组16．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？17．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣6，0）、B（2，0），笔记思考与y轴交于点C（0，﹣6）．（1）求此抛物线的函数表达式，写出它的对称轴；（2）若在抛物线的对称轴上存在一点M，使△MBC的周长最小，求点M的坐标；（3）若点P（0，k）为线段OC上的一个不与端点重合的动点，过点P作PD∥CM交x于点D，连接MD、MP，设△MPD的面积为S，求当点P运动到何处时S的值最大？。
(完整版)含参数二次函数的值域习题
含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域(分类讨论）（一)正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形：（1)定轴定区间；（2）定轴动区间;(3)动轴定区间;（4)动轴动区间。
题型一：“定轴定区间”型例1、函数y x x =-+-242在区间［0,3]上的最大值是_________，最小值是_______.练习:已知232xx ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
题型二：“动轴定区间”型例2、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值.解:222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ①当a ＜0时，==min (0)3f f ，==-max (4)198a f f②当0≤a＜2时，2min (a)3a f f ==-max (4)198f f a ==-③当2≤a＜4时，2min (a)3a f f ==-，==max (0)3f f④当4≤a 时,min (4)198f f a ==-,==max (0)3f f练习：已知函数=+--2()(21)3f x ax a x 在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值题型三：“动区间定轴”型的二次函数最值例3．求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。
解：=-+2(x)(1)2f x 开口向上，对称轴x=1①当a ＞1，2minf(a)3f a ==-+；2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ②212a a a ++≤<,即0＜a≤1,min f(1)2f ==;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ③212a a a ++≤<即-1＜a≤0,min f(1)f =，max f(a)f = ④a+2≤1，即a≤-1时,,maxf(a)f =;min (a 2)f f =+练习:求函数=-+2()22f x x x 在x ∈［t,t+1］上的最值。
二次函数与幂函数典型例题(含答案)
二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b2a ，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递增，当x ＝－b2a 时，f (x )min ＝4ac －b 24a ；②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递减，当x ＝－b2a 时，f (x )max ＝4ac －b 24a .③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |. (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。
高二数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高二数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，令解得，由二次函数的对称性可知。
【考点】二次函数给定区间的最值问题。
2.下列函数中，与函数有相同定义域的是( ).A．B．C．D．【答案】A【解析】的定义域为，的定义域为选A.【考点】函数的定义域.3.已知直角坐标平面上任意两点，定义．当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是．【答案】.【解析】为了研究方便，取，又，所以M点的轨迹是以A为圆心，4为半径的圆，而定义所映的是P,Q两点横坐标的差距的绝对值大（包括相等）时，d的值为横坐标的差距的绝对值，而纵坐标的差距的绝对值大时，d的值为纵坐标的差距的绝对值，由圆的对称性因此只需以上图中第一象限的圆弧为研究对象即可，当M点在弧BC的中点时，M,A的横坐标差距与纵坐标的差距的绝对值相等且为，当M点向B运动，横坐标的差距变大，当到B点时，横坐标差距的绝对值最大为4，同样，当M向C运动时，纵坐标的差距变大，当到C点时，纵坐标差距的绝对值最大为4，综上可知的取值范围是.【考点】新定义下的信息题，圆的定义与性质，绝对值的意义，分段函数，函数的值域.4.若函数的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知，，故选B．【考点】函数的值域．5.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域即，即，解出即可.【考点】函数的定义域及其求法．6.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式其中为常数。
己知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】（1）（2）x=4时，利润最大值为42.【解析】（1）把（5,11）代入即可.（2）先求出函数f(x)的导函数，然后判断单调性，求出极大值也就是最大值.（1）由x=5，y=11得（2）由（1）知设所获利润为，则当3<x<4时，当4<x<6时，是的极大值点，也是最大值点。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。
二次函数含参最值问题精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）二次函数含参最值问题题型一、动轴定范围例1.当20≤≤x 时，函数()3142-++=x a ax y 在2=x 时，取得最大值，求实数a 的取值范围随堂练习练习1.已知2223t tx x y --=，当31-≤≤x 时，有0≤y 恒成立，求实数t 的取值范围。
练习2.已知t x x y ++-=232，当11≤≤-x 时，有0≥y 恒成立，求实数t 的取值范围。
练习3.已知2234a ax x y -+-=，当21≤≤x 时，有0≥y 恒成立，求实数a 的取值范围。
练习4.已知b bx x y +-=23，当12≤≤-x 时，有0≥y 恒成立，求实数b 的取值范围。
练习5.(1) 求2y x 2ax 1=++在12x -≤≤的最大值。
(2) 求函数)(a x x y --=在11x -≤≤上的最大值。
题型二、定轴动范围例1.已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。
随堂练习练习1.如果函数2(1)1y x =-+定义在区间1t x t ≤≤+上，求y 的最小值。
练习2.已知223y x x =-+，当1t x t ≤≤+时，求y 的最大值．练习3.求函数223y x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。
题型三、动轴动范围例1.已知函数6106922--+-=a a ax x y 在b x ≤≤31-上恒大于或等于０，其中实数a ≤3,求实数b 的范围．随堂练习练习1.已知抛物线c bx x y ++-=2交x 轴于点A(-1,0)、B （3,0），当43-≤≤x 时，求y最大值.练习2.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t练习3.在平面直角坐标系xoy 中，二次函数12)1(2++-=x x a y 的图像与x 轴有交点，a 为正整数.（1）求a 的值.（2）将二次函数12)1(2++-=x x a y 的图像先向右平移m 个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x ≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m 的值.练习4.已知关于x 的一元二次方程)0(02)1(22＞a a x a ax =-+--.（1）求证：方程有两个不等的实数根.（2）设方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x ＞）.若y 是关于a 的函数，且12x ax y +=,求这个函数的表达式.（3）在（2）的条件下，若使13-2+≤a y ，则自变量a 的取值范围为?在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。
人教版高中数学必修第一册-二次函数在给定区间上最值问题-专题强化训练【含答案】
二次函数在给定区间上最值问题二次函数的单调性与对称轴和开口方向有关，往往来讲，二次函数的开口方向一般是给定的，在此情况下，二次函数的单调性就和对称轴与闭区间的位置关系有关。
因而在求最值时，往往需要讨论对称轴和区间的位置关系，这类题目在后续学习中经常遇见。
例题精讲:一．选择题（共7小题）1．若函数2()5f x x mx =++在区间[1，5]上单调递增，则m 的取值范围为()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．[10-，)+∞D ．(-∞，10]-2．已知函数2247y x ax =++在区间[3-，1]-上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]B ．[6，)+∞C ．(-∞，2][6 ，)+∞D ．(-∞，1][3 ，)+∞3．若二次函数2()21f x ax ax =++在区间[2-，3]上的最大值为6，则(a =)A ．13B ．13-或5C ．13或5-D ．13-4．若函数2()43f x x x =--在区间[n ，]m 上的值域为[7-，2]，则m n -的取值范围是()A ．[1，5]B ．[2，7]C ．[3，6]D ．[4，7]5．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为()A ．0B ．12C ．1D ．26．已知函数2()2(2)1f x ax a x =--+，[1x ∈-，3]是单调函数，则a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[1-，0]C ．[1-，1]D ．[1-，2]7．函数2()2f x x x =--在[a ，]b 上的值域是[3-，1]，若1b =，则a b +的取值集合为()A ．[3-，1]-B ．[2-，0]C ．[4-，0]D ．[2-，1]二．解答题（共5小题）8．已知函数2()f x x ax=-（1）若在区间[1，)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．9．已知函数2()41f x x mx =-+，m R ∈．（1）若关于x 的不等式()0f x <解集为空集，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间[2-，)+∞上是单调增函数，求f （1）的最小值．10．山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略．济南新旧动能转换先行区肩负着山东新旧动能转换先行先试的重任，某制造企业落户济南先行区，该企业对市场进行了调查分析，每年固定成本1000万元，每生产产品x （百件），需另投入成本()R x 万元，且210300,060()10006103000,60x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩，由市场调研知，每件产品售价6万元，且全年内生产的产品当年能全部销售完．（1）求年利润()W x （万元）关于年产量x （百件）的函数解析式．（利润=销售额-成本）（2）年产量x 为多少（百件）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？11．已知函数2()3f x x ax =+-．（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()26f x ax - 对任意[1x ∈，3]恒成立，求实数a 的取值范围．12．已知函数2()1f x x ax =-+．（1）求()f x 在[0，1]上的最大值；（2）当1a =时，求()f x 在闭区间[t ，1]()t t R +∈上的最小值．参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】解：2()5f x x mx =++ 在区间[1，5]上单调递增，12m∴-，故2m - ．故选：A ．2．【解答】解：函数的对称轴是x a =-，若函数在区间[3-，1]-上是单调函数，则3a -- 或1a -- ，解得：3a 或1a ，故选：D ．3．【解答】解：显然0a ≠，有2()(1)1f x a x a =+-+，当0a >时，()f x 在[2-，3]上的最大值为f （3）151a =+，由1516a +=，解得13a =，符合题意；当0a <时，()f x 在[3-，2]上的最大值为(1)1f a -=-，由16a -=，解得5a =-，所以，a 的值为13或5-．故选：C ．4．【解答】解：2()43f x x x =-- ，f ∴（2）7=-，(1)f f -=（5）2=，()f x 在区间[n ，]m 上的值域为[7-，2]，∴当1n =-，2m =或2n =，5m =时m n -的最小值3，当1n =-，5m =时，m n -取得最大值6，故m n -的范围[3，6]故选：C ．5．【解答】解：因为2()2a f x x ax =-+的开口向上，对称轴2ax =，①122a 即1a 时，此时函数取得最大值g （a ）f =（1）12a=-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值g （a ）(0)2af ==，故g （a ）1,12,12aa a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，故当1a =时，g （a ）取得最小值12．故选：B ．6．【解答】解：当0a =时，函数()41f x x =+，为增函数，符合题意；当0a ≠时，函数2()2(2)1f x ax a x =--+的对称轴为2a x a-=，且函数在区间[1-，3]是单调函数，∴21a a -- ，或23a a- ，解得01a < 或10a -< ．综上，实数a 的取值范围是[1-，1]．故选：C ．7．【解答】解：22()2(1)1f x x x x =--=-++，1x ∴=-时，()f x 取到最大值1，方程223x x --=-的根是3x =-或1．若1b =，则31a -- ，a b ∴+的取值集合围是：[2-，0]．故选：B ．二．解答题（共5小题）8．【解答】解：（1）函数()f x 的对称轴是2a x =，若在区间[1，)+∞上是增函数，则12a，解得：2a ；（2）①12a即2a 时，()f x 在[1，2]递增，故()min f x f =（1）1a =-，②122a <<即24a <<时，()f x 在[1，)2a 递减，在(2a，2]递增，故2()()24mina a f x f ==-，③22a即4a 时，()f x 在[1，2]递减，故()min f x f =（2）42a =-．9．【解答】解：（1）()0f x < 解集为空集，∴判别式△2160m m =- ，解得016m ．（2）2()41f x x mx =-+，图象开口向上，对称轴8mx =，因为函数()f x 在区间[2-，)+∞上是单调增函数，所以28m- ，解得16m - ，f （1）4m =-是关于m 的减函数，所以当16m =-时，f （1）取最小值为20．10．【解答】解：（1）当060x <<时，22()600(10300)1000103001000W x x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，10001000()600(6103000)1000102000W x x x x x x=-+--=--．2103001000,060()1000102000,60x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+⎪⎩；（2）当060x <<时，22()10300100010(15)1250W x x x x =-+-=--+，当15x =时，()1250max W x =万元；当60x 时，()W x 单调递减，4150()(60)3max W x W ==．∴年产量x 为60（百件）时，企业所获利润最大，最大利润是41503万元．11．【解答】解：（1）由不等式()4f x >-的解集为R ，234x ax ∴+->-解集为R ，即210x ax ++>解集为R ，可得△0<，即240a -<，解得22a -<<，故a 的取值范围是(2,2)-．（2）由不等式()26f x ax - 对任意[1x ∈，3]恒成立，()26f x ax ∴- ，即2326x ax ax +-- 对任意[1x ∈，3]恒成立，即230x ax -+ 对任意[1x ∈，3]恒成立，3()min a x x ∴+ ，[1x ∈，3]；3x x += ；当且仅当3x x=，即x =a ∴故a 的取值范围是(-∞，．12．【解答】解：（1）2()1f x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =，所以在区间[0，1]的哪个端点离对称轴远，则在哪个端点处取得最大值，当122a 即1a 时，()f x 取得最大值f （1）2a =-，当122a >即1a >时，()f x 的最大值(0)1f =，（2）当1a =时，2()1f x x x =-+的对称轴12x =，当12t 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递增，所以2()()1min f x f t t t ==-+，当112t +即12t - 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递减，2()(1)1min f x f t t t =+=++，当112t t <<+即1122t -<<时，()f x 在1(,)2t 上单调递减，在1(2，1)t +上单调递增，故13()()24min f x f ==，令()()min g t f x =，则2211,2311(),42211,2t t t g t t t t t ⎧-+⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪++-⎪⎩．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学专题训练二次函数与幂函数一、选择题1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>14．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( )A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2]6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则( ) A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定二、填空题8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________．9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.10．设函数f1(x)＝x 12，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝________.11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．12．已知幂函数f(x)＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．三、解答题14．已知函数f(x)＝2x－x m，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．练习：1．若函数f(x)＝log 12(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．(3，＋∞)C．(－∞，3) D．[5，＋∞)2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为( )A．1 B．－1C.－1－52D.－1＋523.如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于( )A.caB．－caC．±caD．无法确定4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝( ) A．3 B．2或3C．2 D．1或25．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是( )A．0≤a≤1 B．0≤a≤2C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0B组1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________.2．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数3．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α、β是方程f (x )＝0的两个根(α<β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．α<a <b <βB ．a <α<β<bC ．a <α<b <βD ．α<a <β<b4．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c5．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ≥0C ．a ≤3D ．a ≤16．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．答案：一、1.A 2 C 3 C 4 C 5 C 6 D 7 B8．解析 由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤19． 9或25 10． 1201011． 大 －312． 3 13． 2<m <52三、解答题14 (1)m ＝1 (2)递减练习；1． D 2. B 3． B 4 C 5 DB 组1． x 2－x ＋12 D 3A 4 B 5A 详析1． A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2． C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－b a<0，不符合，∴选C.3． C解析 类比函数y ＝x 12即可．4． C解析 ∵f (4)＝f (1)∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．5． C解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.6． D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7． B解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B.二、填空题8．解析 由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤1 9． 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10． 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11． 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0 ∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a ＝－3.12． 313． 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知⎩⎨⎧f 1<0f 2>0⇒2<m <52.三、解答题14 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1. (2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．15． [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a≤2.①当－32≤a<1时，g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2＋4，∴由二次函数图象可知，－94≤g(a)<4.②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)2，∴当a＝1时，g(a)min＝4；当a＝2时，g(a)max＝9；∴4≤g(a)≤9.综上所述，g(a)的值域为[－94，9]．练习；1．D解析f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．B解析∵b>0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a>0，∴a<0.故应是第3个图形．∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.3.B解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|ca|＝－ca(∵a<0，c>0)．4．C解析函数在[1，＋∞)上单增∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．5．D解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.B组1．x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a ＋b＝2x∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.3．A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.4．B解析由f(－1)＝f(3)得－b2＝－1＋32＝1，所以b＝－2，则f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．5．A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1 则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0 得－1≤a≤3 ∴－1≤a<1综上：a≥－1.6．c解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.。