高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44

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高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人

教B 版选修44

学习目标:1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程.(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程.(难点)

1.摆线 (1)定义

一圆周沿一直线作无滑动滚动时,圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线. (2)参数方程

⎩⎪⎨⎪⎧

x =a (t -sin t )y =a (1-cos t )

(t 是参数).

2.圆的渐开线 (1)定义

把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上,把绳拉紧逐渐展开,绳的外端点随之移动,且绳的拉直部分始终和圆相切.绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线,固定的圆称为渐开线的基圆.

(2)参数方程

⎪⎨

⎪⎧

x =a (cos t +t sin t )y =a (sin t -t cos t )(t 是参数).

思考:圆的渐开线和摆线的参数方程中,参数t 的几何意义是什么?

[提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母a 是指基圆的半径,而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度,如图,其中的∠AOB 即是角

t .显然点M 由参数t 惟一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐

标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.

同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母a 是指定圆的半径,参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.

1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A .只有圆才有渐开线

B .渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形

C .正方形也可以有渐开线

D .对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.

[答案] C

2.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( ) A .π B .2π C .12π D .14π

[解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x =3t -3sin t

y =3-3cos t (t 为参数),把y =0代

入可得cos t =1,所以t =2k π(k ∈Z ).而x =3t -3sin t =6k π(k ∈Z ).根据选项可知应选C.

[答案] C

3.半径为4的圆的渐开线的参数方程是________. [解析] 将a =4代入圆的渐开线方程即可.

[答案] ⎩

⎪⎨

⎪⎧

x =4(cos t +t sin t )

y =4(sin t -t cos t )

4.给出某渐开线的参数方程⎩

⎪⎨

⎪⎧

x =3cos t +3t sin t

y =3sin t -3t cos t (t 为参数),根据参数方程可以看

出该渐开线的基圆半径是______,当参数t 取π

2

时,对应的曲线上的点的坐标是________.

[解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知,a =3,即基圆半径是3,然后把t =π

2代入,

可得⎩⎪⎨⎪⎧

x =3π2,y =3.

[答案] (3π

2

,3)

求圆的摆线的参数方程

【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方

程以及对应的圆的渐开线的参数方程.

[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程

⎪⎨

⎪⎧

x =a (t -sin t )y =a (1-cos t )(t 为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出a 的表达式,根据表达

式求出a 的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可.

[解] 令y =0,可得a (1-cos t )=0,由于a >0, 即得cos t =1,所以t =2k π(k ∈Z ).

代入x =a (t -sin t ),得x =a (2k π-sin 2k π). 又因为x =2,所以a (2k π-sin 2k π)=2, 即得a =

1

k π

(k ∈Z ). 又由实际可知a >0,所以a =

1k π(k ∈N +).易知,当k =1时,a 取最大值为1π

. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧ x =1

π

(t -sin t )

y =1

π(1-cos t )

(t 为参数);

圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x =1

π

(cos t +t sin t )y =1

π(sin t -t cos t )(t 为参数).

求圆的渐开线的参数方程

渐开线的参数方程.

[思路探究] 直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可.

[解] 因为基圆的直径为22 mm ,所以基圆的半径为11 mm ,因此齿廓线所在的渐开线的

参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x =11(cos t +t sin t )

y =11(sin t -t cos t ).

圆的渐开线的参数方程的应用

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