学案导学 备课精选高中数学 2.6.1曲线与方程同步练习(含解析)苏教版选修21

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§2.6 曲线与方程

2.6.1 曲线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,会求两条曲线的交点的坐标,表示经过两曲线的交点的曲线.

1.一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ,y)=0的实数解建立如下关系:

(1)__________________________都是方程f(x ,y)=0的解;

(2)以方程f(x ,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上.

那么,方程f(x ,y)=0叫做________________,曲线C 叫做__________________.

2.如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0,点P 的坐标是(x 0,y 0),则①点P 在曲线C 上⇔______________;②点P 不在曲线C 上⇔________________.

一、填空题

1.已知直线l 的方程是f(x ,y)=0,点M(x 0,y 0)不在l 上,则方程f(x ,y)-f(x 0,y 0)=0表示的曲线是__________________.

2.已知圆C 的方程f(x ,y)=0,点A(x 0,y 0)在圆外,点B(x′,y′)在圆上,则f(x ,y)-f(x 0,y 0)+f(x′,y′)=0表示的曲线是________________.

3.下列各组方程中表示相同曲线的是________.

①y=x ,y x =1; ②y=x ,y =x 2

③|y|=|x|,y =x ;

④|y|=|x|,y 2=x 2.

4.“以方程f(x ,y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ,y)=0”的____________条件.

5.求方程|x|+|y|=1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________.

6.到直线4x +3y -5=0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________.

7.若方程ax 2+by =4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12,3,则a =________,b =________. 8.如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ,y)=0,则下列说法正确的是________.(写出所有正确的序号)

①曲线C 的方程是F(x ,y)=0;

②方程F(x ,y)=0的曲线是C ;

③坐标不满足方程F(x ,y)=0的点都不在曲线C 上;

④坐标满足方程F(x ,y)=0的点都在曲线C 上.

二、解答题

9.(1)过P(0,-1)且平行于x 轴的直线l 的方程是|y|=1吗?为什么?

(2)设A(2,0),B(0,2),能否说线段AB 的方程是x +y -2=0?为什么?

10.画出方程y=||x|-1|的曲线.

能力提升

11.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足PA=2PB,则点P的轨迹所包围的图形的面积为________.

12.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.

1.判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面.

2.判断方程表示的曲线,可以对方程适当变形,但要注意与原方程的等价性.

3.方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x,y)的关系.

§2.6曲线与方程

2.6.1 曲线与方程

知识梳理

1.(1)曲线C上点的坐标(x,y) (2)曲线C的方程方程f(x,y)=0的曲线

2.①f(x0,y0)=0 ②f(x0,y0)≠0

作业设计

1.与l平行的一条直线

解析方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示过点M(x0,y0)且和直线l平行的一条直线.2.过A点与圆C同心的圆

解析由点B(x′,y′)在圆上知f(x′,y′)=0.

由A (x 0,y 0)在圆外知f (x 0,y 0)为不为0的常数,

点A (x 0,y 0)代入方程f (x ,y )-f (x 0,y 0)=0成立.

所以f (x ,y )-f (x 0,y 0)=0表示的曲线过A 点.

3.④

解析 ①中y =x 表示一条直线,而y x =1表示直线y =x 除去(0,0)点;②中y =x 表示一条直线,而y =x 2表示一条折线;③中|y |=|x |表示两条直线,而y =x 表示一条射线;

④中|y |=|x |和y 2=x 2均表示两条相交直线.

4.必要不充分

解析 f (x ,y )=0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件:①以f (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上;②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ,y )=0.

5.2

解析 方程|x |+|y |=1所表示的图形是正方形ABCD (如图),其边长为 2. ∴方程|x |+|y |=1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.

6.4x +3y -10=0和4x +3y =0

解析 可设动点坐标为(x ,y ),则|4x +3y -5|5

=1,即|4x +3y -5|=5. ∴所求轨迹为4x +3y -10=0和4x +3y =0.

7.16-8 3 2

8.③

解析 直接法:

原说法写成命题形式即“若点M (x ,y )是曲线C 上的点,则M 点的坐标适合方程F (x ,y )=0”,其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ,y )=0,则M 点不在曲线C 上”,此即说法③.

特值方法:作如图所示的曲线C ,考查C 与方程F (x ,y )=x 2-1=0的关系,显然①、

②、④中的说法都不正确.

9.解 (1)如图所示,

过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为y =-1,因而在直线l 上的点的坐标都满足|y |=1,但是以|y |=1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上.

所以|y |=1不是直线l 的方程,直线l 只是方程|y |=1所表示曲线的一部分.

(2)由方程x +y -2=0知,当x =4时,y =-2.

故点(4,-2)的坐标是方程x +y -2=0的一个解,但点(4,-2)不在线段AB 上. ∴x +y -2=0不是线段AB 的方程.

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