学案导学 备课精选高中数学 2.6.1曲线与方程同步练习(含解析)苏教版选修21
苏教版高中数学选修(2-1)-2.6《求曲线的方程》导学案1
求曲线的方程一．学习目标1.通过具体实例的研究，掌握求曲线方程的一般步骤，会求简单的曲线方程2.掌握求动点的轨迹方程（曲线的方程）的常用方法。
二．重点、难点：求曲线的方程或轨迹三、知识链接1.曾用“建、设、限、代、化（证——非等价变形时要查漏补缺）”求出我们熟悉的曲线方程，如圆的方程，椭圆的方程，双曲线的方程，抛物线的方程等。
2.在本课中，对三种常用方法——直接法、转移法、参数法作如下表述：①直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线的定 义直接确定曲线类型。
②转移法：根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系，用所求动点坐标 表示相关动点的坐标，并代人相关动点所在的曲线的方程，从而得 到所求动点的轨迹方程。
此法也称代人法。
③参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数（如角度、直线斜率等） 解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程。
四、学习过程（一）基础扫描以下各小体，是我们熟悉的，完成各题，并注明使用方法1. 已知ABC ∆中，B(-3,0),C(3,0),周长为16，求顶点A 的轨迹方程。
（使用方法： ）2. 将圆922=+y x 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线方程。
（使用方法： ）3. 已知点M 与椭圆112132222=+y x 的左焦点和右焦点的距离之比为2：3，求点M 的轨迹方程。
（使用方法： ）4. 直线032=+-y x 关于点P （1，1）对称的直线方程是 （使用方法： ）5. 动点P （x ，y ）到定点A （3，0）的距离比它到定直线x= -5的距离少2。
求：动点P 的轨迹方程。
（使用方法： ）（二）典例研究例1、设圆C ：1122=+-y x ）（，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。
苏教版数学高二-【新学案】 选修2-1学案 2.6.1 曲线与方程
2.6.1曲线与方程教学过程一、问题情境在解析几何中,为了研究曲线的性质,我们首先建立了直线、圆及圆锥曲线的方程,那么对于一般的曲线,曲线的方程的含义是什么?二、学生活动问题1我们知道以原点O为圆心、半径为5的圆O的方程为x2+y2=25,那么为什么圆O的方程不是y=呢?解因为圆O上的点的坐标不都是方程的解,如圆O上的点(4,-3)不是方程y=的解,所以圆O的方程不是y=.问题2已知A(4,0),B(0,2),O为坐标原点,D为Rt△AOB的斜边AB的中点,那么线段OD的方程是否为y=x呢?解因为满足方程y=x 的点(-2,-1)不在线段OD上,所以线段OD的方程不是y=x.问题3由上面两个问题,请同学们思考,曲线C与方程f(x,y)=0之间需要满足什么样的条件才能说“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”呢?解一般地,如果曲线C 上的点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解;以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么,这个方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程,这条曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线.三、数学运用【例1】判断点A(1,-2),B(2,-3)是否在曲线x2-xy+2y+1=0上.根据曲线与方程的关系,要判定点是否在曲线上,看点的坐标是否满足曲线的方程.解因为12+2-4+1=0,故点A满足曲线的方程,所以点A在曲线上.又因为22-2×(-3)+2×(-3)+1=5≠0,故点B不满足曲线的方程,所以点B不在曲线上.解决此问题的依据是曲线方程的定义.依据定义可知,点P(x,y)在曲线C上⇔(x,y)是方程f(x,y)=0的解.变式已知方程x2+y2=20表示的曲线F经过点A(2,m),求m的值.解因为方程x2+y2=20表示的曲线F经过点A(2,m),所以22+m2=20,解得m=±4.(例2)【例2】(教材第60页例2)已知一座圆拱桥的跨度是36 m,圆拱高为6 m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图),求圆拱的方程.先让学生根据圆的相关知识自行解答,再引导学生利用曲线方程的定义进一步完善解题过程.解法一由题意可知,圆拱所在的圆O1的圆心在y轴的负半轴上,所以可设O1(0,b).设圆O1的半径为r,则解得因为圆拱只是它所在的圆位于x轴上方的一部分(包括x轴上的点),所以圆拱的方程是x2+(y+24)2=900(0≤y≤6).解法二由题意可知,圆拱所在的圆O1的圆心在y轴的负半轴上,所以可设O1(0,b).设圆O1的半径为r,则圆O1的方程为x2+(y-b)2=r2.又由题意可知,B(18,0),C(0,6),所以解得因为圆拱只是它所在的圆位于x轴上方的一部分(包括x轴上的点),所以圆拱的方程是x2+(y+24)2=900(0≤y≤6).解决此类问题的依据是曲线方程的定义,因此必须在圆的方程的基础上加限制条件,使得方程为曲线的方程.不能将所求曲线的方程写为x2+(y+24)2=900(-18≤x≤18),因为此时方程的曲线为两段圆弧.变式已知△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(2,-1),C(5,7),则边AB上的中线的方程为3x-2y-1=0(-1≤x≤5).提示AB的中点D的坐标为(-1,-2),所以直线CD的方程为y-7=(x-5),即3x-2y-1=0.所以边AB上的中线的方程为3x-2y-1=0(-1≤x≤5).【例3】求曲线9x2+y2=9与曲线y2=-4(x-1)的交点坐标.求曲线的交点坐标,等价于求由两曲线方程联立的方程组的解.解联立方程得消去y得9x2-4x-5=0,解得x=1或x=-,代入②得y=0或y=±.因此,交点坐标为(1,0)或.求曲线交点问题可转化为联立曲线方程求解问题,方程组有几解,两条曲线就有几个交点.变式已知直线y=x+m与曲线y=x2-x+2有两个公共点,求实数m的取值范围.解由消去y整理得x2-2x+2-m=0,所以Δ=4-4(2-m)>0,得m>1.所以实数m 的取值范围是(1,+∞).此题方程组的解的个数与一元二次方程的解得个数相同,因此可以利用判别式来研究解的个数.【例4】(教材第67页习题第7题)已知直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求实数b的值.解设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2).因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.又y1=x1+b,y2=x2+b,所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2,所以2x1x2+b(x1+x2)+b2=0.由消去y整理得x2-2x-2b=0,所以x1x2=-2b,x1+x2=2,所以-4b+2b+b2=0,解得b=0(舍去)或b=2.所以实数b的值为2.由向量知识可知,OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程根与系数的关系来解决问题.变式已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过坐标原点O,求实数a的值.解设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2).因为以AB为直径的圆经过坐标原点O,所以·=0,所以x1x2+y1y2=0.又y1=ax1+1,y2=ax2+1,所以y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,所以(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.由消去y整理得(3-a2)x2-2ax-2=0.因为直线与双曲线有两个交点,所以解得a2<6且a2≠3.由根与系数的关系可知x1+x2=,x1x2=,所以(a2+1)·+a·+1=0,解得a2=1,满足a2<6且a2≠3,所以a=±1.所以实数a的值为±1.四、课堂练习1. 椭圆x2+4y2=13与圆x2+y2=4的交点的个数为4.2.若点M(m,)与点N在方程x2(x2-1)=y2(y2-1)所表示的曲线上,则实数m=±,n=±或±.提示因为点M(m,),N在曲线上,所以它们的坐标都是方程的解,即m2(m2-1)=2,且×=n2(n2-1),解得m=±,n=±或±.3. 若直线2x-y+k=0与直线x-y-2=0的交点在曲线x2+y2=4上,则k的值为-4或-2.4.已知直线l:y=k(x-)与双曲线x2-y2=1的右支相交于A,B两点,则直线l的倾斜角的取值范围是∪.提示由得(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0,所以解得k>1或k<-1.所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.五、课堂小结1.体会曲线的方程的定义(两个方面的含义).2.会判断点是否在曲线上.3.掌握利用方程研究曲线的交点坐标的方法.。
苏教版数学高二 选修2-1学案 2.6.1 曲线与方程
2.6曲线与方程2.6.1曲线与方程1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点)2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点)3．曲线与方程的对应关系．(易错点)[基础·初探]教材整理曲线的方程方程的曲线阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题．1．方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．2．方程与曲线的关系1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f (x ，y )＝0就是曲线的方程．( )(2)如果f (x ，y )＝0是某曲线C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )(3)若曲线C 上的点满足方程f (x ，y )＝0，则坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( )(4)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( )(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，则m ＝________. 【解析】 据题意，有14m 2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或－185.【答案】 2或－1853．方程|y |＝|2x |表示的曲线是________．【解析】 ∵|y |＝|2x |，∴y ＝±2x ，表示两条直线．【答案】 两条直线4．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋2y －7＝0，则下列四点中，在曲线C 上的点有________(填序号)．①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．【答案】 ①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3： 解惑：[小组合作型]曲线与方程概念的理解(1)判断点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知，只要点M 的坐标适合曲线的方程，则点M 就在方程所表示的曲线上；而若点M 为曲线上的点，则点M 的坐标(x 0，y 0)一定适合曲线的方程．【自主解答】 (1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．[再练一题]1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．【解析】只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．【答案】②由方程确定曲线方程2【精彩点拨】由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．【自主解答】方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0， ∴x －1＝0且y ＋1＝0，即x ＝1，y ＝－1.∴方程表示点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.[再练一题]2．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？【解】 方程(x ＋y －1)x －1＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1).点与曲线的关系及应用(1)点P (a ．(2)若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，则实数k 的取值范围是________．【精彩点拨】 (1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a ，－a )在曲线上，则点(a ，－a )适合方程，把k 用a 表示出来，利用求值域的方法得k 的范围．【自主解答】 (1)因为点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，所以a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5.(2)∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，∴a 2＝－a 2＋2a ＋k ，∴k ＝2a 2－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－12， ∴k ≥－12，∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 【答案】 (1)－1或－5 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，点P 的坐标为(x 0，y 0)．(1)点P (x 0，y 0)在曲线C ：f (x ，y )＝0上⇔f (x 0，y 0)＝0.(2)点P (x 0，y 0)不在曲线C ：f (x ，y )＝0上⇔f (x 0，y 0)≠0.[再练一题]3．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________.【导学号：09390055】【解析】 ∵点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，∴m －m 2＝0，解得m ＝0或m ＝1.【答案】 0或1[探究共研型]曲线与方程的关系探究1 【提示】 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．探究2 理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？【提示】 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74，D (8,0)中的________个点． 【精彩点拨】 方程表示两条直线x －4y －12＝0和x ＋2y －8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x ＋2y >0.【自主解答】 由对数的真数大于0，得x ＋2y >0.∴A (0，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74不符合要求； 将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．【答案】 2点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.[再练一题]4．已知直线l ：x ＋y ＋3＝0，曲线C ：(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，若P (1，－1)，则点P与l，C的关系是________．【解析】由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P∉l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴点P在曲线C上，即P∈C.【答案】P∉l，P∈C[构建·体系]1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.【解析】因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．【答案】④2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.【导学号：09390056】【解析】∵f(x0，y0)＝0，可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．【答案】 充要3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为_______________________．【解析】 ∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13.【答案】 134．如图2-6-1中，方程表示图中曲线的是________．图2-6-1【解析】 ∵x 2＋y 2＝1表示单位圆，故①错；x 2－y 2＝0表示两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故②错；lg x ＋lg y ＝0可化为xy ＝1(x >0，y >0)，故④错；只有③正确．【答案】 ③5．方程(x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0表示什么曲线？【解】 (x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0变形为x 2＋y 2－9＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－9≥0，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题 1．如图2-6-2所示，方程y ＝|x |x 2表示的曲线是________．图2-6-2【解析】 y ＝|x |x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，所以图②满足题意．【答案】 ②2．方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示的曲线是________．【解析】 方程(x ＋y －1)x －y －3＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －3≥0，x ＋y －1＝0，或x －y －3＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥2)或x －y －3＝0，故方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝0.【答案】 射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝03．条件甲“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则甲是乙的________条件．【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．【答案】 必要不充分4．在平面直角坐标系中，方程|x 2－4|＋|y 2－4|＝0表示的图形是________．【解析】 易知|x 2－4|≥0，|y 2－4|≥0，由|x 2－4|＋|y 2－4|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点． 【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点5．下列命题正确的是________(填序号)．①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.【解析】 对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y ≠2；②中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有④是正确的．【答案】 ④6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).【导学号：09390057】①y＝x与y2＝x；②y＝x与xy＝1；③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lg x2与y＝2lg x.【解析】①中y＝x时，y≥0，x≥0，而y2＝x时，x≥0，y∈R，故不表示同一曲线；②中xy＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．【答案】③7．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.【解析】由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.【答案】 58．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线是________(填序号)．①过点P且垂直于l的直线；②过点P且平行于l的直线；③不过点P但垂直于l的直线；④不过点P但平行于l的直线．【解析】点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．【答案】②二、解答题9．分析下列曲线上的点与方程的关系．(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程y＝x2的关系；(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．【解】(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y ＝x2.(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程．10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－25，2)是否在这个圆上．【解】①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x20＋y20＝5，也就是x20＋y20＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x20＋y20＝25，两边开方取算术平方根，得x20＋y20＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．[能力提升]1．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．【解析】 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.【答案】 π3或5π3 2．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是____________(填序号)．图2-6-3【解析】 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0， 它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．【答案】 ③3．由方程(|x |＋|y |－1)(x 2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．【解析】 表示的曲线为|x |＋|y |＝1，其图形如图所示，为一正方形，S ＝(2)2＝2.【答案】 24．已知点P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．【证明】因为P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，所以P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，P在曲线g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0，所以f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ0＝0，故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.。
苏教版高中数学选修2-12.6曲线与方程同步练测.docx
2.6 曲线与方程（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共40分）1．方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示的曲线 是__________.2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是__________.3．已知双曲线C ：x 2－24y ＝1，过点(1,1)作直线l ，使l 与双曲线C 只有一个交点，满足这个条件的直线l 共有__________条.4．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 作一条直线l 交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则1212y y x x =__________. 5．若点P(－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，则圆心M 的轨迹方程为____________．6．设为双曲线2214x y -=上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．7. 已知点A (-2，0)，B (3，0)，若动点P 满足·＝2，则动点P 的轨迹方程是__________.8. 已知两定点A (-2，0)，B (1，0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等 于__________. 二、解答题(共60分)9.（10分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2.若l 1交x 轴于点A ，l 2交y 轴于点B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．10.（10分）设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足PA·PB ＝1的点，求点P的轨迹方程11.（12分）已知定点A(0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，点F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值.(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G 在圆F 内，且满足MG ·NG ＝OG 2(O 为坐标原点)，求MG ·NG 的取值范围．12.（12分）已知，椭圆C 经过点A ⎝⎛⎭⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值13.（16分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- .(1)求动点P的轨迹方程.(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△P AB和△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由一、填空题1. 两个点 解析：(x －y)2＋(xy －1)2＝0⇔0,10,x y xy -=⎧⎨-=⎩ 故1,=1,x y =⎧⎨⎩或1,1.x y =-⎧⎨=-⎩因此方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示两个点.2. 2x －y ＋5＝0 解析：设点Q(x ，y)，则点P 为(－2－x ,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.4 解析：数形结合可知,当斜率不存在、与两条渐近线平行时所作的直线都符合．除此之外还应考虑设直线方程为y ＝kx ＋(1－k)，并将其与双曲线方程联立消元，利用判别式为0可求得k ＝52，也符合．所以共有4条．4.-4 解析：特殊值法．设直线l 的方程为x ＝p 2，则x 1＝x 2＝p2.∴ y 1＝－y 2＝p.∴2122124y y p p x x -=＝－4.5. 22+1167x y = 解析：已知圆的方程为(x －3)2＋y 2＝64，其圆心为C(3,0)，半径为8，由于动圆M 过P 点，所以MP 等于动圆的半径r ，即MP ＝r.又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差，即MC ＝8－r ，从而有MC ＝8－MP ，即MC ＋MP ＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8＞6＝CP ，所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7.因此M 点的轨迹方程为22+1167x y =.6. 解析：设,，则00,22x y x y ==，即，.将代入双曲线方程得点的轨迹方程为224414x y -=，即.7.-x -8=0 解析：设P (x ，y )，则＝(-2-x ，-y )，＝(3-x ，-y )，由·＝2可得-x -8=0. 8. 4π 解析：设P (x ，y )为轨迹上任一点，由PA ＝2PB 得=4，即，∴ 所求面积为4π.二、解答题9. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，∵ M 是线段AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)．∴ PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，即x ＋2y －5＝0. ∴ 线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 10.解：设P 点的坐标为(x ，y)，则由方程x 2＋2y 2＝4，得2y 2＝4－x 2，y ＝±242x -，∴ A ，B 两点的坐标分别为(x, 242x -)，(x ，－242x -)，又PA ·PB ＝1，∴ (0, 242x -－y )·(0，－242x -－y)＝1，即y 2－242x -＝1，∴ 22163x y +=， 又直线l 与椭圆交于两点，∴ －2＜x ＜2，∴ 点P 的轨迹方程为22163x y += (－2＜x ＜2)． 11.解：(1)由题意得PA ＝PB.∴ PA ＋PF ＝PB ＋PF ＝4＞AF ＝2，∴ 动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为2222+1y x a b= (a ＞b ＞0)，则2a ＝4，2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴ 动点P 的轨迹E 的方程为22+143y x =. ∵ x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1，即(x －a)2＋y 2＝1，∴ 曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆． 而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1，∴ a 的最小值为－3＋1.(2)设G(x ，y)，由22222(2)(2)x y x y ∙++∙-+得MG NG OG ＝＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2，∴ MG NG ∙＝(x ＋2，y )·(x －2，y)＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)．∵ 点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴ x 2＋(y －1)2＜16，∴ 0≤(y －1)2＜16⇒－3＜y ＜5⇒0≤y 2＜25，∴ －2≤2(y 2－1) ＜48， ∴MG NG ∙的取值范围为[－2,48)．12.解：(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为222211x y b b+=+. 因为点A 在椭圆上，所以2219114b b+=+，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去). 所以椭圆方程为22143x y +=. (2)设直线AE 的方程为y ＝k(x －1)＋32，代入22143x y +=，得(3＋4k 2)x 2＋4k(3－2k)x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0. 设E(x E ，y E )，F(x F ，y F ),因为点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝223412234k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+，y E ＝kx E ＋32－k.又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝223412234k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+，y F ＝－kx F ＋32＋k. 所以直线EF 的斜率k EF ＝()2F E E F F E F Ey y k x x k x x x x --++=--＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.13. (1)解：因为点B 与点A (-1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，-1). 设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得 · =- ，化简得x 2+3y 2=4(x ≠±1). 故动点P 的轨迹方程为x 2+3y 2=4 (x ≠±1).(2)解法一：设点P 的坐标为，，点M ，N 的坐标分别为(3，，(3，，则直线AP 的方程为，直线BP 的方程为. 令x =3得，.于是△PMN 的面积 .又直线AB 的方程为x +y =0，AB ＝2 ，点P 到直线AB 的距离d = . 于是△PAB 的面积= AB ·d =||. 当=时，｜｜= .又｜｜≠0，所以=||，解得= .因为=4，所以=± .故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为( ，± ).解法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为，，则PA·PB sin ∠APB＝PM·PN sin∠MPN.因为sin∠APB=sin∠MPN，所以＝ .所以 = ，即=||，解得= .因为=4，所以=± .故存在点P使得△P AB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为( ，± )。
【课堂新坐标】高中数学苏教版选修2-1练习：2.6.1曲线与方程
学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2-6-2所示，方程y ＝|x |x 2表示的曲线是________．图2-6-2【解析】 y ＝|x |x 2＝⎩⎨⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，所以图②满足题意．【答案】 ②2．方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示的曲线是________．【解析】 方程(x ＋y －1)x －y －3＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≥0，x ＋y －1＝0，或x －y －3＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥2)或x －y －3＝0，故方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝0.【答案】 射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝03．条件甲“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则甲是乙的________条件．【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．【答案】 必要不充分4．在平面直角坐标系中，方程|x 2－4|＋|y 2－4|＝0表示的图形是________．【解析】 易知|x 2－4|≥0，|y 2－4|≥0，由|x 2－4|＋|y 2－4|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点． 【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点5．下列命题正确的是________(填序号)．①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.【解析】 对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y ≠2；②中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有④是正确的．【答案】 ④6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).【导学号：09390057】①y ＝x 与y 2＝x ；②y ＝x 与x y＝1； ③y 2－x 2＝0与|y |＝|x |；④y ＝lg x 2与y ＝2lg x .【解析】 ①中y ＝x 时，y ≥0，x ≥0，而y 2＝x 时，x ≥0，y ∈R ，故不表示同一曲线；②中x y＝1时，y ≠0，而y ＝x 中y ＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．【答案】 ③7．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.【解析】 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.【答案】 58．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的直线是________(填序号)．①过点P 且垂直于l 的直线；②过点P 且平行于l 的直线；③不过点P 但垂直于l 的直线；④不过点P 但平行于l 的直线．【解析】 点P 的坐标(x 0，y 0)满足方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0，因此方程表示的直线过点P .又∵f (x 0，y 0)为非零常数，∴方程可化为f (x ，y )＝f (x 0，y 0)，方程表示的直线与直线l 平行．【答案】 ②二、解答题9．分析下列曲线上的点与方程的关系．(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；(2)作出函数y ＝x 2的图象，指出图象上的点与方程y ＝x 2的关系；(3)说明过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 与方程|x |＝2之间的关系．【解】 (1)第一、三象限两轴夹角平分线l 上点的横坐标x 与纵坐标y 相等，即y ＝x . ①l 上点的坐标都是方程x －y ＝0的解；②以方程x －y ＝0的解为坐标的点都在l 上．(2)函数y ＝x 2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y ＝x 2，即方程y ＝x 2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y ＝x 2.(3)如图所示，直线l 上点的坐标都是方程|x |＝2的解，然而坐标满足方程|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程．10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．【解】 ①设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．②设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．由①②可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．能力提升]1．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．【解析】 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.【答案】 π3或5π32．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是____________(填序号)．图2-6-3【解析】 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0， 它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．【答案】 ③3．由方程(|x |＋|y |－1)(x 2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．【解析】 表示的曲线为|x |＋|y |＝1，其图形如图所示，为一正方形，S ＝(2)2＝2.【答案】 24．已知点P (x 0，y 0)是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )＝0的交点，求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R)上．【证明】 因为P 是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )＝0的交点，所以P 在曲线f (x ，y )＝0上，即f (x 0，y 0)＝0，P 在曲线g (x ，y )＝0上，即g (x 0，y 0)＝0，所以f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ0＝0，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R)上.。
苏教版高二数学选修2-1讲义(含答案)：第1部分 第2章 2.6 2.6.1 曲线与方程
_2.6曲线与方程2．6.1曲线与方程[对应学生用书P38]在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？提示：不对．问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.曲线的方程和方程的曲线如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．正确理解曲线与方程的概念(1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．[对应学生用书P39]曲线与方程的概念[例1]如果曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，有以下说法：①曲线C的方程是F(x，y)＝0；②方程F(x，y)＝0的曲线是C；③坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线C上；④坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．其中正确的是________．(填序号)[思路点拨]根据曲线与方程的概念进行判断．[精解详析]依据曲线的方程及方程的曲线的定义，曲线上的点应具备纯粹性和完备性．由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性．[答案]④[一点通]判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．1．判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到y轴距离为2的点的直线方程为x＝－2.解：(1)正确．理由如下：∵满足曲线方程的定义．∴结论正确．(2)错误．理由如下：∵到y轴距离为2的点的直线方程还有一个，∴结论错误．2.下列方程表示如图所示的直线c，对吗？为什么？(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.解：第(1)题中，曲线C 上的点不全都是方程x －y ＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C 上的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点不全在曲线C 上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：点与曲线的位置关系[例2] 方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0的曲线经过点A (0，－3)、B (0,4)、C ⎝⎛⎭⎫53，－74、D (8,0)中的________个． [思路点拨] 方程表示两条直线x －4y －12＝0和x ＋2y －8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x ＋2y >0.[精解详析] 由对数的真数大于0，得x ＋2y >0， ∴A (0，－3)、C (53，－74)不符合要求；将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求． [答案] 2[一点通] 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．3．已知直线l ：x ＋y ＋3＝0，曲线C ：(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，若P (1，－1)，则点P 与l 、C 的关系是________．解析：由1－1＋3≠0，∴P 不在l 上，即P ∉l ；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴点P在曲线C上，即P∈C.答案：P∉l，P∈C4．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)、M2(－25，2)是否在这个圆上．解：(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x20＋y20＝5，也就是x20＋y20＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．(2)设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x20＋y20＝25，两边开方取算术平方根，得x20＋y20＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由(1)、(2)可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－25，2)的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边不等，(－25，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．坐标法在求曲线的方程中的应用[例3]如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．[思路点拨]按照对称建系，把中心放在坐标原点上，焦点放在坐标轴上，然后用待定系数法求解．[精解详析]如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且CC′＝13×2，BB′＝25×2.设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，易知a＝12，令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55)．因为点B，C在双曲线上，所以⎩⎨⎧252122－(y －55)2b 2＝1， ①132122－y2b 2＝1. ②由方程②，得y ＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得252122－⎝⎛⎭⎫5b 12－552b 2＝1，化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b ≈25.所以，所求双曲线的方程为x 2144－y 2625＝1.[一点通] 对于此类已知曲线类型求曲线方程的实际应用问题，求解的关键是建立适当的平面直角坐标系，利用待定系数法求解．采用此法要善于联系平面图形的性质，建立恰当的直角坐标系．5.一种卫星接收天线的轴截面如图，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8 m ，深度为0.5 m ．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程．解： 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合．设抛物线的标准方程是 y 2＝2px (p ＞0)．由已知条件可得，点A 的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.42＝2p ×0.5，即p ＝5.76.所以，所求抛物线的标准方程是y 2＝11.52x .1．理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可． 2．点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.[对应课时跟踪训练(十五)]1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的序号是________． ①(0,0)；②⎝⎛⎭⎫15，15；③(1,5)；④(4,4)． 解析：∵y ＝x (1≤x ≤5)， ∴(4,4)在曲线C 上． 答案：④2．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________． 解析：∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上， ∴4－9a ＝1，解得a ＝13.答案：133．以下各组方程表示的曲线相同的是________(填序号)． ①x 2＝y 2与y ＝|x | ②y ＝x 2与y ＝10lg x ③xy ＝1与y ＝|x |x 2 ④x y ＝1与yx＝1解析：①、②、③中方程表示的曲线不相同． 答案：④4．方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线是________．解析：由题意，得⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x ≥1或x ＝1，故方程表示的是一条射线与一条直线．答案：一条射线与一条直线5．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________． 解析：∵点M 在曲线x －y 2＝0上， ∴m －m 2＝0， 解得m ＝0或m ＝1. 答案：0或16．下列命题是否正确？若不正确，说明原因．(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x |＝2； (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝x .解：(1)错误，因为以方程|x |＝2的解为坐标的点，不都在直线l 上，直线l 只是方程|x |＝2所表示的图形的一部分．(2)错误，因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故命题错误． 7．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.8. 如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，AM ＝17，AN ＝3，且BN ＝6，建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．解：如图，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，点O 为坐标原点．依题意可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则p ＝MN .由题意知x 1≤x ≤x 2，y >0，其中x 1、x 2分别为A 、B 的横坐标． ∵M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0、N ⎝⎛⎭⎫p2，0， AM ＝17，AN ＝3，∴⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x 1＋p 22＋2px 1＝17，⎝⎛⎭⎫x 1－p 22＋2px 1＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，p ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，p ＝2.∵△AMN 为锐角三角形，∴p2>x 1，故舍去⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，p ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，p ＝4. 由点B 在曲线C 上，得x 2＝BN －p 2＝4.综上得，曲线C 的方程为y 2＝8x (1≤x ≤4，y >0)．。
【精品】高中数学2.6.1曲线与方程学案苏教版选修2_15
2.6.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点曲线与方程的概念思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上(条件②，即完备性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3.(√)2．到y轴距离为2的点的直线方程x＝－2.(×)3．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线．(×)类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号) ①方程f (x ，y )＝0的曲线是C ； ②方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C ； ③f (x ，y )＝0是曲线C 的方程；④以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上． 答案 ②解析 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，给出下列命题： ①坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上； ②曲线C 上的点的坐标都不满足方程f (x ，y )＝0；③坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上； ④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0. 其中判断正确的是________．(填序号) 答案 ④解析 “坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错． 类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0表示的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74，D (8,0)中的________个．答案 2解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74不符合要求；将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可． 跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点． 由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上． 类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由． (1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误． (2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0； ②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上； ③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0. 答案 ③2．已知方程9(x －1)2＋y24＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1) 答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.答案 －185或2解析 依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.所以m 的值为2或－185.4．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________． 答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， 即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0. 5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号) ①一条直线 ②一条射线 ③一条线段 ④不能确定答案 ②解析 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线．2．曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是________．(填序号) ① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4) 答案 ③解析 由y ＝2x －1(1<x <5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________． 答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)①y ＝a log a x ；②y ＝x 2；③y ＝log a a x；④y ＝3x 3. 答案 ③④解析 由y ＝log a a x＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线． 5．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是____________． 答案 点(1,2)解析 由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0，且y －2＝0，即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．6．若点M 到两坐标轴的距离的积为2016，则点M 的轨迹方程是________． 答案 xy ＝±2016解析 设M (x ，y )，则由题意得|x |·|y |＝2016， 所以xy ＝±2016.7．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，则“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 由(kx ＋1)2＝4x ，得k 2x 2＋2(k －2)x ＋1＝0， 则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0， 得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件． 8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有一个公共点，则k 的值为________．答案 ±54解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0， 即k ＝±54时，直线与椭圆有一个公共点． 9．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法： ①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0； ②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上； ④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号) 答案 ④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________． 答案 4π解析 设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2， ∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， ∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案 ③解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的． 二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解， 故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上． 三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________． 答案 ①解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y＝1. 15．方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。
高中数学 2.6.1曲线与方程同步练习(含解析)苏教版高二选修2-1数学试题
§2.6 曲线与方程2.6.1 曲线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线．1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立如下关系：(1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解；(2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________．2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔______________；②点P 不在曲线C 上⇔________________.一、填空题1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________．2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是________________．3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．①y＝x ，y x＝1； ②y＝x ，y ＝x 2；③|y|＝|x|，y ＝x ；④|y|＝|x|，y 2＝x 2.4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件．5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)①曲线C 的方程是F(x ，y)＝0；②方程F(x ，y)＝0的曲线是C ；③坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上；④坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上．二、解答题9．(1)过P(0，－1)且平行于x 轴的直线l 的方程是|y|＝1吗？为什么？(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．能力提升11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.1．判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面．2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性．3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x，y)的关系．§2.6曲线与方程2．6.1 曲线与方程知识梳理1．(1)曲线C上点的坐标(x，y) (2)曲线C的方程方程f(x，y)＝0的曲线2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠0作业设计1．与l平行的一条直线解析方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．2．过A点与圆C同心的圆解析由点B(x′，y′)在圆上知f(x′，y′)＝0.由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数，点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立．所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点．3．④解析 ①中y ＝x 表示一条直线，而y x ＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；②中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；③中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；④中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．4．必要不充分解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0.5．2解析 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形是正方形ABCD (如图)，其边长为 2.∴方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.6．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.7．16－8 3 28．③解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法③.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然①、②、④中的说法都不正确．9．解 (1)如图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为y ＝－1，因而在直线l 上的点的坐标都满足|y |＝1，但是以|y |＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上．所以|y |＝1不是直线l 的方程，直线l 只是方程|y |＝1所表示曲线的一部分．(2)由方程x ＋y －2＝0知，当x ＝4时，y ＝－2.故点(4，－2)的坐标是方程x ＋y －2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB 上． ∴x ＋y －2＝0不是线段AB 的方程．10．解①x∈R，y≥0，②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.∴曲线关于y轴对称．④当x≥0时，有y＝|x－1|，此时，若x≥1，则y＝x－1，若0≤x<1，则y＝1－x.先画出图象在y轴右侧的部分，再根据图象关于y轴对称，便可得到方程的曲线，如图所示．11．4π12．证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．。
2019-2020年苏教版高中数学选修(2-1)2.6《曲线与方程》word学案
2019-2020年苏教版高中数学选修（2-1）2.6《曲线与方程》word学案一、学生自主学习阅读课本P56—57曲线与方程的内容.，书本P58—59内容。
二、结合学习的内容思考如下问题：（1）“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是什么？（2）求曲线的方程基本步骤是什么？三、自主解答几道题目1.P57练习1—4题；P59练习1、2。
2. （1）画出方程所表示的曲线；（2）画出方程x2+y2=4所表示的曲线。
3．下列方程是否表示一、三象限角平分线C呢？说明理由（1）（2）（3）教案一、教学内容：曲线与方程二、教学目标：1、知识目标：了解曲线与方程的概念；能根据定义判断方程与曲线的关系，并解决一些简单的问题.；通过具体实例的学习，掌握求曲线方程的一般步骤。
2、能力目标：学生在学习新知识的过程中，了解概念形成的过程，培养学生的抽象概括能力，并进一步学习用代数的方法去讨论图形的性质。
3、情感目标：在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。
在教学优化学生的思维品质，培养学生辨证统一的思想。
三、教学重难点：教学重点：形成“方程的曲线”与“曲线的方程”的概念，掌握求曲线方程的方法、步骤，领会数形结合的思想方法教学难点：正确理解曲线和方程的关系。
（一）课前自主学习检查（二）导入(创设情景)1. 交流：（1）画出方程所表示的曲线；（2）画出方程x2+y2=4所表示的曲线。
问题1：方程F的解与曲线上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程F表示曲线C，同时曲线C 也表示方程F归纳总结出：（1）曲线C上点的坐标都是方程F的解（2）以方程F的解为坐标的点都是曲线C上的点2．下列方程是否表示一、三象限角平分线C呢？说明理由（1）（2）（3）（学生思考，讨论回答）问题2：通过2的学习，对方程F和曲线C的关系又有什么新的想法吗？什么情况下，才能用方程F表示曲线C，同时曲线C也表示方程F呢？（学生回答）问题3：如何定义曲线的方程，方程的曲线？（三）分析（互动对话）学生思考，讨论回答【建构数学】1．定义：如果曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点。
数学2.6.1《曲线与方程》课件(苏教版选修2-1)
2．6 曲线与方程
2．6.1 曲线与方程
学习目标 1.了解曲线与方程的定义． 2．会处理一些简单的曲线与方程问题．
2．6.1
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．椭圆的标准方程有__xa_22＋__by_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_)或 xb_22_＋__ay_22_＝__1_(a_>_b_>__0_) __； 2．双曲线的标准方程有_xa_22－__by_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_) 或 ay_22_－__xb_22_＝__1_(a_>_b_>__0_) ；
• 【答案】④
• 【名师点评】 本题主要考查对曲线 与方程等基本概念的理解以及命题形
式的等价转换．曲线与方程的定义表 明：曲线C的方程是F(x，y)＝0的充分 必要条件是曲线C上所有点的坐标都 是方程F(x，y)＝0的解，并且以方程 F(x，y)＝0的实数解为坐标的点都在 曲线C上，这是识别曲线和方程关系 的基本依据．
• 自我挑战1 (1)作出函数y＝x2的图象， 指出图象上的点与方程x2－y＝0的关 系；
• (2)说明过点ห้องสมุดไป่ตู้(2,0)平行于y轴的直线 与方程|x|＝2之间的关系．
• 解：(1)函数y＝x2的图象如图所示是
一条抛物线，这条抛物线上的点的坐 标满足方程x2－y＝0.以方程x2－y＝0 的解为坐标的点都在曲线y＝x2上， 故此曲线是方程x2－y＝0的曲线，方 程x2－y＝0是此曲线的方程．
数学苏教版选修2-1教案：2.6.1 曲线与方程 Word版含解析
2.6曲线与方程2．6.1曲线与方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．(2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(3)学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论．(4)强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．2．过程与方法(1)通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；(2)在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点．3．情感、态度与价值观能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．●重点难点重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．难点：怎样利用定义理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．由于学生已经具备了用方程表示直线、抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程是本节的难点．为了突破难点，本节课设计了三种层次的问题，幻灯片9是概念的直接运用，幻灯片10是概念的逆向运用，幻灯片11是证明曲线的方程．(教师用书独具)●教学建议此前，学生在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系，已有了用方程(有时以函数式的形式出现)表示曲线的感性认识(特别是二元一次方程表示直线)，现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系．学生在学习时容易产生的问题是，不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用．新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，教师要由传统意义上的知识的传授者和学生的管理者，转变为学生发展的促进者和帮助者，简单的教书匠转变为实践的研究者．从实例、到类比、到推广的问题探究，对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利．启发引导学生得出概念，深化概念，并应用它解决问题．本节课从实例引入→类比→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考●教学流程回顾实例，导入新课．回顾直线上点与直线方程的对应关系，圆上点与圆的方程的对应关系，圆锥曲线上点与圆锥曲线方程的对应关系，由特殊到一般，归纳出曲线与方程的概念．⇒曲线与方程的定义的深化与理解，从集合的角度，合者在与在者合的角度，纯粹性与完备性等不同的角度认识定义中的两个条件．并通过具体的实例分析，体会曲线与方程的对应关系，通过反例，说明二者缺一不可，不可替代．⇒在对曲线与方程的定义的深化理解基础上，探究点与曲线的位置关系，利用转化思想，化为点的坐标与曲线方程的对应关系，也体现数形结合思想的应用．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握曲线与方程的定义内涵，即定义中的两个条件二者缺一不可，不可替代．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握点与曲线的位置关系的应用，会利用点的坐标与曲线的方程的关系判断点与曲线的位置关系，会根据点与曲线的位置关系求参数的取值范围．⇒通过例3及变式训练，使学生会由方程判断曲线类型，从而研究曲线的几何性质．判断过程中要注意对方程等价转化，范围不能扩大也不能缩小．⇒通过易错易误辨析，体会曲线与方程定义的严谨性，曲线上的点与方程的解必需一一对应．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________．①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．【思路探究】已知条件只是纯粹性，而不具备完备性．【自主解答】本题重在考查曲线和方程的定义．只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．【答案】②判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是________．①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上．【解析】本题考查命题形式的等价转换．所给语句不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①②③错误．【答案】④若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，求k的取值范围．【思路探究】点(a，－a)在曲线上，则点(a，－a)适合方程，把k用a表示出来，利用求值域的方法得k的范围．【自主解答】∵曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，∴a2＝－a2＋2a＋k.∴k＝2a2－2a＝2(a－12－12.2)∴k ≥－12.∴k 的取值范围是[－12，＋∞)．1．点与曲线的位置关系有两种，检验的方法就是检验点的坐标是否为方程的解． 2．点在曲线上，点的坐标就是曲线方程的解，满足方程，代入后，可对参数讨论求解．若点M (m2，－m )在曲线x 2＋(y －1)2＝10上，求m 的值．【解】 因为点M (m2，－m )在曲线上，所以该点坐标是方程x 2＋(y －1)2＝10的解，即x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，代入得(m 2)2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.故m 的值为2或－185.的性质(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？【思路探究】 将方程进行同解变形，转化为已知曲线的方程的形式，从而判断出原方程表示的曲线．【自主解答】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y－1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)． (2)将方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)2＝0(y ＋1)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1.∴方程表示的图形是点A (1，－1)．1．解本例过程中，一是要把已知方程转化为我们熟悉的方程；二是要判断转化后两方程是“且”还是“或”的关系．2．判断方程表示什么曲线，需要对方程作适当变形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程的曲线．另外，变形的方法有配方法、因式分解法等．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示什么曲线？【解】方程4x2－y2＋6x－3y＝0可变形为(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝0，即(2x－y)(2x＋y＋3)＝0.∴2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.故方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.片面理解曲线与方程的定义而致错方程y＝－x2＋1(0≤x≤1)表示的图形是________(填序号)【错解】①或②或③.【错因分析】没能从曲线和方程的定义入手，忽视变量x，y的限制范围．【防范措施】注意方程的解与曲线上点之间的一一对应关系，将多余的点去掉．【正解】∵y＝1－x2，∴x2＋y2＝1(0≤x≤1,0≤y≤1)，∴曲线如图形④.1．曲线与方程的定义有两个内涵即“在者合”与“合者在”，也就是纯粹性与完备性缺一不可，不可替代．2．点与曲线位置关系有两种，即点在曲线上和点不在曲线上，验证的方法是检验点的坐标是否是方程的解．3．根据方程作曲线，应注意变量x，y的范围，方程变形时，要做到同解变形，范围既不能扩大，也不能缩小．1．方程|y|＝|2x|表示的曲线是________．【解析】∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x表示两条直线．【答案】两条直线y＝±2x2．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y－7＝0，则下列四点中，在曲线C上的点有________．①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】各点的坐标代入检验知只有(－1,2)满足方程．【答案】①3．到两坐标轴距离之和为6的点的轨迹方程为________．【解析】设M(x，y)，则|x|＋|y|＝6.【答案】|x|＋|y|＝64．下列方程表示如图2－6－1所示的直线c，对吗？为什么？图2－6－1(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.【解】(1)不对．曲线c上的点不全都是方程x－y＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)不对．尽管“曲线c上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2＝0的解为坐标的点不全在曲线c上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；(3)不对．类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：(1)x －y ＝0 (2)x 2－y 2＝0 (3)|x |－y ＝0一、填空题1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是________．(填序号) ①圆； ②两条直线； ③一个点； ④两个点． 【解析】∵(x －2)2＋(y ＋2)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2表示一个点(2，－2)． 【答案】 ③2．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是________________．①y ＝x 与y 2＝x ；②y ＝x 与xy＝1；③y 2－x 2＝0与|y |＝|x |；④y ＝lg x 2与y ＝2lg x .【解析】 ①中y ＝x 中y ≥0，x ≥0，而y 2＝x 时x ≥0，y ∈R 故不表示同一曲线；②中xy ＝1时，y ≠0，而y ＝x 中y ＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．【答案】 ③3．点A (1，－2)在x 2－xy ＋ay ＋1＝0上，则a ＝________. 【解析】 ∵点A 在x 2－xy ＋ay ＋1＝0， ∴12－1·(－2)＋a ·(－2)＋1＝0，∴a ＝2. 【答案】 24．方程(x ＋y －1)(x －y ＋2)＝0表示的曲线是________．【解析】 ∵(x ＋y －1)(x －y ＋2)＝0，∴x ＋y －1＝0或x －y ＋2＝0， ∴表示两条相交直线． 【答案】 两条相交直线5．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是________． 【解析】 由截距式得x ＋y ＝5，且x ∈[0,5]． 【答案】 x ＋y ＝5，且x ∈[0,5]6．下图中方程表示图中曲线的是________．【解析】 ∵x 2＋y 2＝1表示单位圆，故①错；x 2－y 2＝0表示二直线y ＝x 和y ＝－x ，故②错；lg x ＋lg y ＝0可化为xy ＝1(x >0，y >0)，故④错；只有③正确．【答案】 ③7．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 【解析】 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.【答案】 π3或5π38．方程|x －1|＋|y －1|＝1的曲线所围成的图形的面积是________．【解析】 |x －1|＋|y －1|＝1可写成 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，y ≥1，x ＋y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，y <1，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，y <1，x ＋y ＝1.其曲线如图所示．它是边长为2的正方形，其面积为2.【答案】 2 二、解答题9．方程：①2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；②(x ＋y －1)x －y －2＝0分别表示什么曲线？【解】 ①∵2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0， ∴2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴方程①表示一点A (1，－1)． ②∵(x ＋y －1)x －y －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，或x －y －2＝0. ∴②表示如图所示的一直线与一射线．10．已知方程(x －a )2＋(y －b )2＝36的曲线经过点O (0,0)和点A (0，－12)，求a 、b 的值． 【解】 ∵点O 、A 都在方程(x －a )2＋(y －b )2＝36表示的曲线上，∴点O 、A 的坐标都是方程(x －a )2＋(y －b )2＝36的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧(0－a )2＋(0－b )2＝36，(0－a )2＋(－12－b )2＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－6，即a ＝0，b ＝－6为所求．11．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．【解】方程可化x2＋y2＝4(x≥0)，∴曲线C表示的是以原点为圆心，2为半径的圆在y轴上及其右边的部分．＝2π.∴其面积S＝π×222(教师用书独具)已知方程y＝－25－x2.(1)判断点P(－4,3)，Q(5，－25)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(m，m－1)在此方程表示的曲线上，求m.【思路探究】(1)将点P、Q坐标代入方程进行检验．(2)将点M坐标代入方程，得出关于字母m的方程，进行求解．【自主解答】(1)∵y≤0，显然P(－4,3)一定不在方程表示的曲线上，将Q(5，－25)代入到方程y＝－25－x2，满足方程．∴Q(5，－25)在此方程表示的曲线上．(2)∵点M(m，m－1)在此方程表示的曲线上．∴m－1＝－25－m2，两边平方整理得，m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3.当m＝4时，点M(4,3)不满足y≤0，应舍去．故m＝－3.1．解答本题时，应注意方程的同解变形问题，由于平方不属于同解变形，因此应注意根据原方程进行范围的限制．2．点与曲线的位置关系的判定，一般转化为点的坐标是否为曲线的方程的根的问题进行求解．(1)判断点A (－4,3)、B (－32，－4)、C (5,25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N (32，n )在曲线C 上，求m 、n 的值．【解】 (1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示的曲线上．对于C 点，∵5>0，∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．(2)∵M (m ，2)、N (32，n )在曲线C 上， ∴它们的坐标都是方程的解．∴m 2(m 2－1)＝2×1，34×(－14)＝n 2(n 2－1)． ∴m ＝±2，n ＝±12或±32.。
2.6.1曲线与方程 学案 2017-2018学年高中数学选修2-1 苏教版
2.6.1 曲线与方程2．会分析曲线和方程的关系.曲线的方程，方程的曲线如果曲线C上点的坐标(x，y)都是__________，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在________，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．预习交流如果曲线C的方程是x－y＝3，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是__________．一、曲线与方程的概念分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．思路分析：按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．判断下列命题是否正确．(1)若点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,2)，则线段AB的方程为y＝－x＋2.(2)以坐标原点为圆心，半径为3的圆方程为y＝9－x2.(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的；坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．二、曲线与方程关系的应用已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．思路分析：(1)只需判断点P ，Q 的坐标是否满足方程即可；(2)将点M 的坐标代入方程，从而得到关于m 的方程，进而求m 的值．(1)若曲线y 2－xy ＋2x ＋m ＝0过点(1，－2)，则m 的值为__________．(2)若曲线y ＝log 3(x ＋1)过点(a,1)，则a ＝__________.(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．三、已知方程画曲线如图，图形的方程与图中曲线的方程对应不正确的是__________．(填序号)已知曲线如图所示，曲线对应的方程为__________．解决此类问题要充分依据已知曲线方程的特点，综合考虑曲线的性质如曲线的范围、对称性、坐标轴的交点、曲线的类型等．这部分知识常与方程、集合、不等式有密切联系，对于较为熟悉的曲线方程，可根据曲线类型、性质、特征作出曲线．1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是__________．2．如果方程ax 2＋6y ＝0的曲线经过点M (2，－1)，则a ＝__________.3．已知曲线方程为2x 2－3y 2＝6，有下列各点：A (3，1)，B (6，－2)，C (－3，0)，D (1，－3)，其中在给定曲线上的点的个数是__________．4．方程y ＝3x －2(x ≥1)表示的曲线是__________．5．到x 轴的距离是到y 轴距离的3倍的点的轨迹方程是__________．课前预习导学方程f (x ，y )＝0的解 曲线C 上预习交流：提示：如果点(x 0，y 0)在曲线C ：x －y ＝3上，则有x 0－y 0＝3；反之，若x 0－y 0＝3，则点P (x 0，y 0)在曲线C 上，故点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是x 0－y 0＝3.课堂合作探究活动与探究1：解：(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解；但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但满足方程xy ＝5的解的点的坐标与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0，反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上，因此第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.迁移与应用：解：(1)不正确，方程y ＝－x ＋2表示的是一条直线，线段AB 是此直线的一部分，∴线段AB 的方程应为y ＝－x ＋2(0≤x ≤2)．(2)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝9－x 2的解，则y 0＝9－x 20，∴x 20＋y 20＝9，两边开方得，x 20＋y 20＝3，即点(x 0，y 0)到原点的距离为3，所以点(x 0，y 0)在这个圆上．即符合以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，但以原点为圆心，3为半径的圆上一点如(0，－3)不是方程y ＝9－x 2的解，从而不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以以原点为圆心，半径为3的圆的方程不是y ＝9－x 2，而是y ＝±9－x 2.活动与探究2：解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，而点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)若点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则⎝⎛⎭⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解之得m ＝2或m ＝－185. 迁移与应用：(1)－8 解析：依题意可知(－2)2－1×(－2)＋2＋m ＝0，得m ＝－8.(2)2 解析：由已知log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝3，a ＝2.活动与探究3：①②③ 解析：对于①中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故①错．对于②中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故②错．对于③中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x(x ＞0)，此方程只表示第一象限的部分．故③错．对于④中的方程y ＝|x |去绝对值得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，表示两条射线．故④正确． 迁移与应用：y ＝－x ＋2(0≤x ≤2) 解析：线段AB 所在直线方程易求为y ＝－x ＋2. 当表示线段时，0≤x ≤2，∴图示中对应的曲线方程为y ＝－x ＋2(0≤x ≤2)．当堂检测1．点(2，－2) 解析：∵(x －2)2＋(y ＋2)2＝0，∴x ＝2且y ＝－2，∴表示的图形是点(2，－2)．2．3 解析：由已知得a ·(2)2＋6×(－1)＝0，解得a ＝3.3．2 解析：将A ，B ，C ，D 四个点的坐标依次代入曲线方程进行检验，可知只有B 点和C 点坐标适合曲线方程，它们在曲线上．4．射线5．|y |＝3|x | 解析：设动点为(x ，y )，则它到x 轴的距离是|y |，到y 轴的距离是|x |，依题意应有|y |＝3|x |.。
数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.1 Word版
§2.6曲线与方程2.6.1曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点曲线与方程的概念思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上(条件②，即完备性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3.(√)2．到y轴距离为2的点的直线方程x＝－2.(×)3．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线．(×)类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f (x ，y )＝0的曲线是C ；②方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C ；③f (x ，y )＝0是曲线C 的方程；④以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．答案 ②解析 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都不满足方程f (x ，y )＝0；③坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上；④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案 ④解析 “坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0表示的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫53，－74，D (8,0)中的________个． 答案 2解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C ⎝⎛⎭⎫53，－74不符合要求； 将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可． 跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0；②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0.答案 ③2．已知方程9(x －1)2＋y 24＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号) ①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1)答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.答案 －185或2 解析 依题意得⎝⎛⎭⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 所以m 的值为2或－185. 4．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2， ∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线 ③一条线段④不能确定答案 ②解析 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线．2．曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是________．(填序号) ① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4)答案 ③解析 由y ＝2x －1(1<x <5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)①y ＝a log a x ；②y ＝x 2；③y ＝log a a x ；④y ＝3x 3.答案 ③④解析 由y ＝log a a x ＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线．5．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是____________．答案 点(1,2)解析 由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0，且y －2＝0，即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．6．若点M 到两坐标轴的距离的积为2019，则点M 的轨迹方程是________．答案 xy ＝±2019解析 设M (x ，y )，则由题意得|x |·|y |＝2019，所以xy ＝±2019.7．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，则“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 由(kx ＋1)2＝4x ，得k 2x 2＋2(k －2)x ＋1＝0，则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0，得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有一个公共点，则k 的值为________． 答案 ±54解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得 (4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0，即k ＝±54时，直线与椭圆有一个公共点． 9．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法：①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0；②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上；④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号)答案 ④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________．答案 4π解析 设P (x ，y )，∵P A ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.答案 ③解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的．二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π. 所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解， 故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．答案 ①解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y＝1. 15．方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。
高中数学苏教版选修21【配套备课资源】第2章2.6.1
§2.6曲线与方程2．6.1曲线与方程一、基础过关1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为___________________________________．2．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，当P(1，－1)，则点P与l、C 的关系是____________．3．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的____________条件．4．下列命题正确的是________(填序号)．①方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；②到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；③曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0. 5．方程x2＋y2＝1 (xy<0)表示的曲线形状是______(填序号)．6． 若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a ) (a ∈R )，则k 的取值范围是____________．7． 若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 二、能力提升8． 下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是________(填序号)．①y ＝x 与y ＝x 2②(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0③y ＝1x与xy ＝1 ④y ＝lg x 2与y ＝2lg x9． 方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．10．(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？11．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．三、探究与拓展12．已知两点A (0,1)，B (1,0)，且MA ＝2MB ，求证：点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝89.答案1．一条射线 2．P ∉l ，P ∈C 3．必要不充分4．③ 5．③ 6．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 7．16－83 2 8．③ 9．2 10．解 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0x ＋y －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0x －1＝0. 即x ＋y －1＝0 (x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0 (x ≥1)．(2)方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0(y ＋1)2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1， ∴方程表示的图形是点A (1，－1)．11．解 ①设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．②设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点． 由①、②可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程． 把点M 1(3，－4)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．12．证明 设点M 的坐标为(x ，y )，由两点间距离公式，得MA ＝(x －0)2＋(y －1)2， MB ＝(x －1)2＋(y －0)2又∵MA ＝2MB ，∴(x －0)2＋(y －1)2 ＝2(x －1)2＋(y －0)2.两边平方，并整理得3x 2＋3y 2＋2y －8x ＋3＝0，即⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝89① 所以轨迹上的每一点的坐标都是方程①的解；设M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解， 即⎝⎛⎭⎫x 1－432＋⎝⎛⎭⎫y 1＋132＝89. 即3x 21＋3y 21－8x 1＋2y 1＋3＝0， M 1A ＝(x 1－0)2＋(y 1－1)2 ＝x 21＋y 21－2y 1＋1 ＝x 21＋y 21＋3x 21＋3y 21－8x 1＋3＋1＝2(x 1－1)2＋(y 1－0)2＝2M 1B ，即点M 1(x 1，y 1)在符合条件的曲线上．综上可知，点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝89.。
苏教版数学高二2.6.1《曲线与方程》基础训练(苏教版选修2-1)
1．已知曲线C ：xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，则当k ＝________时，曲线C 经过点(2，－1)． 解析：由题意，得2×(－1)＋3×2＋k ×(－1)＋2＝0，∴k ＝6.答案：62．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点(±2，±2)．答案：四个点(±2，±2)3．方程4x 2－y 2＝0表示的曲线是________．解析：原方程可化为(2x ＋y )(2x －y )＝0，即2x ＋y ＝0或2x －y ＝0.所以表示的曲线是两条直线．答案：两条直线4．下列各组方程表示相同曲线的是________．①y ＝x 与y ＝x 2②y ＝(x )2与y ＝|x |③(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0④y ＝1x与xy ＝1 解析：①y 取值不同；②中x 的取值不同；③中前者x ＝1且y ＝－2，后者x ＝1或y ＝－2.答案：④一、填空题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)在________． 解析：把点M (2,1)代入即可．答案：直线l 和曲线C 上2．“点M 在曲线y 2＝8x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－22x ”的 ________条件． 解析：由y 2＝8x 得y ＝±22x .答案：必要不充分3．方程x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是________．解析：x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0⇒x 2＋y 2＝2(x >1)．答案：④4．以点(5,0)和点(0,5)为端点的线段的方程是________．答案：x ＋y ＝5(0≤x ≤5)5．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值是________． 解析：将P 点坐标代入方程求解，(cos α－2)2＋sin 2α＝3，∴cos α＝12. ∵0≤α≤2π，∴α＝π3或5π3. 答案：π3或5π3 6．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是________．解析：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.答案：(4,0)和(－1,0)7．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的曲线经过点A (0，－3)、B (0,4)、C (4,0)、D ⎝⎛⎭⎫53，7中的有________个．答案：38．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是图中的________．解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≤0，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≤0，x ＋y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，－x ＋y ＝1.故填④. 答案：④二、解答题9．(1)判断点A (－4,3)、B (－32，－4)、C (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，求m 、n 的值． 解：(1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25， ∴点B 不在方程所表示的曲线上．∵C 点的横坐标5不满足小于或等于0的条件，∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．(2)∵M (m ，2)、N (32，n )在曲线C 上， ∴它们的坐标都是方程的解．∴m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝⎛⎭⎫－14＝n 2(n 2－1)． ∴m ＝±2，n ＝±12或n ＝±32. 10．求曲线y ＝|x －2|－2与x 轴所围成的三角形的面积．解：(1)当x －2≥0时，原方程可化为y ＝x －4.(2)当x －2<0时，原方程可化为y ＝－x ，故原方程表示两条共顶点的射线，易得顶点为B (2，－2)，与x 轴交于点O (0,0)，A (4,0)，它与x 轴围成的三角形的面积为S △AOB ＝12|OA |·|y B |＝4.11．已知点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，P 也在曲线g (x ，y )＝0上，求证：P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0上(λ∈R )．证明：∵P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，∴f (x 0，y 0)＝0.又∵P (x 0，y 0)也在曲线g (x ，y )＝0上，∴g (x 0，y 0)＝0.∴对λ∈R ，有f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ·0＝0，即P (x 0，y 0)适合方程f (x ，y )＋λ·g (x ，y )＝0.∴点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0上．(λ∈R )。
苏教版数学高二-【学案导学设计】 选修2-1试题 2.6.2求曲线的方程
2.6.2 求曲线的方程课时目标1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．1．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的____________；(2)设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y)； (3)列出符合条件p(M)的方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为____________；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．2．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．一、填空题1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是______________． 2．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是______________．3．与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是____________________．4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为____________．5.设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交与A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是________________________．6．到直线x －y ＝0与2x ＋y ＝0距离相等的动点轨迹方程是________________． 7．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是____________________________．8.直角坐标平面xOy 中，若定点A （1,2）与动点P （x,y ）满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________________________．二、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．10．已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)，B(6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．能力提升11.如图，已知点F （1,0），直线l ：x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．12.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得PM＝2PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．1．求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明． 2．明确求轨迹和求轨迹方程的不同．3．求出轨迹方程时，易忽视对变量的限制条件，在化简变形的过程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去．2．6.2 求曲线的方程知识梳理1．(1)坐标系 (4)最简形式作业设计1．x ＝0(0≤y≤3)解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线． 2．x 2＋y 2＝1(x≠±1) 解析 设P(x ，y)，则k PA ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1，所以k PA ·k PB ＝y x ＋1·y x －1＝－1. 整理得x 2＋y 2＝1，又k PA 、k PB 存在，所以x≠±1. 故所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x≠±1)． 3．y 2＝8x(x>0)和y ＝0 (x<0)解析 设动圆圆心为M(x ，y)，动圆半径为r ，则定圆圆心为C(2,0)，半径r ＝2. 由题设得MC ＝2＋r ，又r ＝|x|. ∴MC ＝2＋|x|，故x －22＋y 2＝2＋|x|，化简得y 2＝4x ＋4|x|，当x>0时，y 2＝8x ； 当x<0时，y ＝0，当x ＝0时，不符合题意． ∴所求轨迹方程为y 2＝8x (x>0)和y ＝0 (x<0)． 4．y 2＝12x 或y 2＝－12x 解析 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax(a≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3， 则有|a4|＝3，∴|a|＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x. 5.32x 2＋3y 2＝1(x>0，y>0)解析 如图所示，若P(x ，y)，设A(x 1,0)，B(0，y 2)， 因为BP →＝2PA →， 所以(x ，y －y 2) ＝2(x 1－x ，－y)，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1－2x ；y －y 2＝－2y. ∴x 1＝32x ，y 2＝3y.因此有A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B(0,3y)，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， OQ ＝(－x ，y)，OQ AB •＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x>0，y>0)，即为点P 的轨迹方程．6．x 2＋6xy －y 2＝0解析 设该动点坐标为(x ，y)， 则|x －y|2＝|2x ＋y|5， 化简得x 2＋6xy －y 2＝0.7．射线x ＋y －1＝0(x≥1)与直线x ＝1 解析 由(x ＋y －1)x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧x －1≥0，x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x≥1)和直线x ＝1. 8．x ＋2y －4＝0解析 由OP OA •＝4知，x ＋2y ＝4， 即x ＋2y －4＝0，∴点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0. 9．解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ.设OC 中点为M(12，0)， 则MP ＝12OC ＝12，由两点间距离公式得方程x －122＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x≤1)．方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC ＝90°，设OC 中点为M(12，0)，所以PM ＝12OC ＝12，所以动点P 在以M(12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x －12)2＋y 2＝14.因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x≤1)．方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，设Q(x 1，y 1)，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，又因为点Q(x 1，y 1)在⊙C 上， 所以(x 1－1)2＋y 21＝1.将⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，代入上式得(2x －1)2＋(2y)2＝1， 即(x －12)2＋y 2＝14，又因为OQ 为过O 的一条弦， 所以0<x 1≤2，所以0<x≤1，因此所求轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x≤1)．方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1，即(1＋k 2)x 2－2x ＝0.设方程(1＋k 2)x 2－2x ＝0的两根为x 1，x 2， 所以x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k1＋k 2.消去参数k 得：x 2－x ＋y 2＝0，所以，所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14 (0<x≤1)． 10．解 设G(x ，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x＝0＋6＋x′3，y＝0＋0＋y′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x－6，y′＝3y.∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1，故所求的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.11．解设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由QP→·QF→＝FP→·FQ→得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.12.解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1 (－2,0)，O2(2,0)．由已知PM＝2PN，∴PM2＝2PN2.又∵两圆的半径均为1，∴PO21－1＝2(PO22－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33 (或x2＋y2－12x＋3＝0)．。
苏教版高中数学选修2-12.6曲线与方程同步练测
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2.6 曲线与方程（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共40分）1．方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示的曲线 是__________.2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是__________.3．已知双曲线C ：x 2－24y ＝1，过点(1,1)作直线l ，使l 与双曲线C 只有一个交点，满足这个条件的直线l 共有__________条.4．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 作一条直线l 交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则1212y y x x =__________. 5．若点P(－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，则圆心M 的轨迹方程为____________．6．设为双曲线2214x y -=上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．7. 已知点A (-2，0)，B (3，0)，若动点P 满足·＝2，则动点P 的轨迹方程是__________.8. 已知两定点A (-2，0)，B (1，0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等 于__________. 二、解答题(共60分)9.（10分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2.若l 1交x 轴于点A ，l 2交y 轴于点B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．10.（10分）设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足PA·PB ＝1的点，求点P的轨迹方程11.（12分）已知定点A(0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，点F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值.(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G 在圆F 内，且满足MG ·NG ＝OG 2(O 为坐标原点)，求MG ·NG 的取值范围．12.（12分）已知，椭圆C 经过点A ⎝⎛⎭⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值13.（16分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- .(1)求动点P的轨迹方程.(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△P AB和△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由一、填空题1. 两个点 解析：(x －y)2＋(xy －1)2＝0⇔0,10,x y xy -=⎧⎨-=⎩ 故1,=1,x y =⎧⎨⎩或1,1.x y =-⎧⎨=-⎩因此方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示两个点.2. 2x －y ＋5＝0 解析：设点Q(x ，y)，则点P 为(－2－x ,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.4 解析：数形结合可知,当斜率不存在、与两条渐近线平行时所作的直线都符合．除此之外还应考虑设直线方程为y ＝kx ＋(1－k)，并将其与双曲线方程联立消元，利用判别式为0可求得k ＝52，也符合．所以共有4条．4.-4 解析：特殊值法．设直线l 的方程为x ＝p 2，则x 1＝x 2＝p2.∴ y 1＝－y 2＝p.∴2122124y y p p x x -=＝－4.5. 22+1167x y = 解析：已知圆的方程为(x －3)2＋y 2＝64，其圆心为C(3,0)，半径为8，由于动圆M 过P 点，所以MP 等于动圆的半径r ，即MP ＝r.又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差，即MC ＝8－r ，从而有MC ＝8－MP ，即MC ＋MP ＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8＞6＝CP ，所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7.因此M 点的轨迹方程为22+1167x y =.6. 解析：设,，则00,22x y x y ==，即，.将代入双曲线方程得点的轨迹方程为224414x y -=，即.7.-x -8=0 解析：设P (x ，y )，则＝(-2-x ，-y )，＝(3-x ，-y )，由·＝2可得-x -8=0. 8. 4π 解析：设P (x ，y )为轨迹上任一点，由PA ＝2PB 得=4，即，∴ 所求面积为4π.二、解答题9. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，∵ M 是线段AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)．∴ PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，即x ＋2y －5＝0. ∴ 线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 10.解：设P 点的坐标为(x ，y)，则由方程x 2＋2y 2＝4，得2y 2＝4－x 2，y ＝±242x -，∴ A ，B 两点的坐标分别为(x, 242x -)，(x ，－242x -)，又PA ·PB ＝1，∴ (0, 242x -－y )·(0，－242x -－y)＝1，即y 2－242x -＝1，∴ 22163x y +=， 又直线l 与椭圆交于两点，∴ －2＜x ＜2，∴ 点P 的轨迹方程为22163x y += (－2＜x ＜2)． 11.解：(1)由题意得PA ＝PB.∴ PA ＋PF ＝PB ＋PF ＝4＞AF ＝2，∴ 动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为2222+1y x a b= (a ＞b ＞0)，则2a ＝4，2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴ 动点P 的轨迹E 的方程为22+143y x =. ∵ x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1，即(x －a)2＋y 2＝1，∴ 曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆． 而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1，∴ a 的最小值为－3＋1.(2)设G(x ，y)，由22222(2)(2)x y x y ∙++∙-+得MG NG OG ＝＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2，∴ MG NG ∙＝(x ＋2，y )·(x －2，y)＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)．∵ 点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴ x 2＋(y －1)2＜16，∴ 0≤(y －1)2＜16⇒－3＜y ＜5⇒0≤y 2＜25，∴ －2≤2(y 2－1) ＜48， ∴MG NG ∙的取值范围为[－2,48)．12.解：(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为222211x y b b+=+. 因为点A 在椭圆上，所以2219114b b+=+，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去). 所以椭圆方程为22143x y +=. (2)设直线AE 的方程为y ＝k(x －1)＋32，代入22143x y +=，得(3＋4k 2)x 2＋4k(3－2k)x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0. 设E(x E ，y E )，F(x F ，y F ),因为点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝223412234k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+，y E ＝kx E ＋32－k.又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝223412234k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+，y F ＝－kx F ＋32＋k. 所以直线EF 的斜率k EF ＝()2F E E F F E F Ey y k x x k x x x x --++=--＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.13. (1)解：因为点B 与点A (-1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，-1). 设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得 · =- ，化简得x 2+3y 2=4(x ≠±1). 故动点P 的轨迹方程为x 2+3y 2=4 (x ≠±1).(2)解法一：设点P 的坐标为，，点M ，N 的坐标分别为(3，，(3，，则直线AP 的方程为，直线BP 的方程为. 令x =3得，.于是△PMN 的面积 .又直线AB 的方程为x +y =0，AB ＝2 ，点P 到直线AB 的距离d = . 于是△PAB 的面积= AB ·d =||. 当=时，｜｜= .又｜｜≠0，所以=||，解得= .因为=4，所以=± .故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为( ，± ).解法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为，，则PA·PB sin ∠APB＝PM·PN sin∠MPN.因为sin∠APB=sin∠MPN，所以＝ .所以 = ，即=||，解得= .因为=4，所以=± .故存在点P使得△P AB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为( ，± )。
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§2.6 曲线与方程
2.6.1 曲线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线．
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立如下关系：
(1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解；
(2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．
那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________．
2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔______________；②点P 不在曲线C 上⇔________________.
一、填空题
1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________．
2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是________________．
3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．
①y＝x ，y x ＝1； ②y＝x ，y ＝x 2
；
③|y|＝|x|，y ＝x ；
④|y|＝|x|，y 2＝x 2.
4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件．
5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．
6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．
7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)
①曲线C 的方程是F(x ，y)＝0；
②方程F(x ，y)＝0的曲线是C ；
③坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上；
④坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上．
二、解答题
9．(1)过P(0，－1)且平行于x 轴的直线l 的方程是|y|＝1吗？为什么？
(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？
10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．
能力提升
11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．
12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
1．判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面．
2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性．
3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x，y)的关系．
§2.6曲线与方程
2．6.1 曲线与方程
知识梳理
1．(1)曲线C上点的坐标(x，y) (2)曲线C的方程方程f(x，y)＝0的曲线
2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠0
作业设计
1．与l平行的一条直线
解析方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．2．过A点与圆C同心的圆
解析由点B(x′，y′)在圆上知f(x′，y′)＝0.
由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数，
点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立．
所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点．
3．④
解析 ①中y ＝x 表示一条直线，而y x ＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；②中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；③中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；
④中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．
4．必要不充分
解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0.
5．2
解析 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形是正方形ABCD (如图)，其边长为 2. ∴方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.
6．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0
解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5
＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.
7．16－8 3 2
8．③
解析 直接法：
原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法③.
特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然①、
②、④中的说法都不正确．
9．解 (1)如图所示，
过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为y ＝－1，因而在直线l 上的点的坐标都满足|y |＝1，但是以|y |＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上．
所以|y |＝1不是直线l 的方程，直线l 只是方程|y |＝1所表示曲线的一部分．
(2)由方程x ＋y －2＝0知，当x ＝4时，y ＝－2.
故点(4，－2)的坐标是方程x ＋y －2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB 上． ∴x ＋y －2＝0不是线段AB 的方程．
10．解①x∈R，y≥0，
②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，
∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．
③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.
∴曲线关于y轴对称．
④当x≥0时，有y＝|x－1|，
此时，若x≥1，则y＝x－1，
若0≤x<1，则y＝1－x.
先画出图象在y轴右侧的部分，再根据图象关于y轴对称，便可得到方程的曲线，如图所示．
11．4π
12．证明(1)
如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．
由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．。