一轮复习配套讲义：第12篇 第1讲 合情推理与演绎推理精品教案导学案

解析 (1)根据题意可知子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为
1,0,1,0,1,0,0，…，0，此数列前 3 项和为 2.
(2)根据题意可写出子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,1，0，…，1,0，则
P＝{a1，a3，…，a2n－1，…，a99}(1≤n≤50)，
子集 Q 的“特征数列”为 1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，则
三角形数
11 N(n,3)＝2n2＋2n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
31 N(n,5)＝2n2－2n，
六边形数
N(n,6)＝2n2－n
…… 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝____________.
11 解析 由 N(n,3)＝2n2＋2n，
20 N(n,4)＝2n2＋2n，
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
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规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论
解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可
以省略． 1
【训练 3】 “因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，而 y＝log4x 是对数函 1
第 1 讲 合情推理与演绎推理 [最新考纲] 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理 在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些 简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
知识梳理 1．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推 理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由 特殊到特殊的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比 较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情 推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种 推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
突破 1：读懂信息❶，对于集合 X＝{ai1，ai2，…，aik}来说，定义 X 的“特征
数列”为 x1，x2，…，x100 是一个新的数列，该数列的 xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其
余项均为 0.
突破 2：通过例子❷：“子集{a2，a3}的特征数列为 0,1,1,0，0，…，0”来理解
“特征数列”的特征；第 2 项，第 3 项为 1，其余项为 0.
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考点一 归纳推理
【例 1】 (2013·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，
nn＋1 1 1 如三角形数 1,3,6,10，…，第 n 个三角形数为 2 ＝2n2＋2n，记第 n 个 k 边
形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：
突破 3：根据 p1＝1，pi＋pi＋1＝1 可写出子集 P 的“特征数列”为：
1,0,1,0,1,0，…，1,0，归纳出子集 P；同理，子集 Q 的特征数列为
1,0,0,1,0,0，…，1,0,0，归纳出子集 Q.
突破 4：由 P 与 Q 的前几项的规律，找出子集 P 与子集 Q 的公共元素即可．
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ n Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
Sn＋1 Sn S1
∴ n＋1 ＝2· n ，又 1 ＝1≠0，
(小前提)
{ }Sn
故 n 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第 n 个等式右边为 2n
与 n 个奇数之积，即 2n×1×3×5×…×(2n－1)． 11 1 1 1
答案 (1) 2＋ 6＋ 12＋ 20＋ 30＜ 5 (2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
考点二 类比推理 【例 2】 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆半径
3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理 得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
创新突破 12——新定义下的归纳推理
【典例】
(2013·湖南卷)对于 E＝{a1，a2，…，a100}的子集
X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义 X 的“特征数列”为 x1，x2，…，x100，其中
1
若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1，x2，…，xn 总满足n[f(x1)
( ) x1＋x2＋…＋xn
Hale Waihona Puke Baidu
＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f
n
，称函数 f(x)为 D 上的凸函数．现已知
f(x)＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A＋sin B＋sin C 的最大值
测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即
V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3. 答案 8πr3
考点三 演绎推理 n＋2
【例 3】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝ n Sn(n∈N*)．证明：
{ }Sn
(1)数列 n 是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an. n＋2
是________．
1 解析 已知n[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤
( ) x1＋x2＋…＋xn
f
n
，
(大前提)
因为 f(x)＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提)
( ) A＋B＋C
所以 f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f 3 ，(结论)
π 33 即 sin A＋sin B＋sin C≤3sin 3＝ 2 .
1 答案 V 四面体 A－BCD＝3(S1＋S2＋S3＋S4)r 规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，
且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对
应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直
对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等． 【训练 2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观 察发现 S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝ 4 3πr3，观察发现 V′＝S.则四维空间中“超球”的四维测度 W＝2πr4，猜想其三 维测度 V＝________. 解析 由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维
xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为 0.❶例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为
0,1,1,0,0，…，0.❷
(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前 3 项和等于______； (2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1，p2，…，p100 满足 p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E 的子集 Q 的“特征数列”q1，q2，…，q100 满 足 q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则 P∩Q 的元素个数为________．
结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般
性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
【训练 1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式：
1
11
11 1
① 2＜1；② 2＋ 6＜ 2；③ 2＋ 6＋ 12＜ 3.
则第 5 个不等式为________． (2)(2013·陕西卷)观察下列等式 (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …… 照此规律，第 n 个等式可为________． 解析 (2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第 n 个等式左边为(n＋1)
函数．故大前提错误导致结论错误．
答案 A
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前， 合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能 为证明提供思路与方向． 2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是 由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演 绎推理来进行．
3 －1 N(n,5)＝2n2＋ 2 n，
4 －2 N(n,6)＝2n2＋ 2 n，
( ) ( ) k－2 4－k
推测 N(n，k)＝ 2 n2＋ 2 n，k≥3.
从而 N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1 000.
答案 1 000 规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的
Q＝{a1，a4，…，a3k－2，…，a100}(1≤k≤34)，则
P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有 17 项． 答案 (1)2 (2)17 [反思感悟] 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观察，
寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力．
【自主体验】
辨析感悟 1．对合情推理的认识 (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适．(×) (4)(教材习题改编)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 an＝n(n∈N*)．(×) (5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为 1∶2，则它们的 面积比为 1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1∶2，则它们 的体积比为 1∶8.(√) 2．对演绎推理的认识 (6)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”， 这是三段论推理，但其结论是错误的．(√) (7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×) [感悟·提升] 三点提醒 一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正 确，其结论的正确性是需要证明的． 二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否 则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)． 三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果 大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理 形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7)．
数(小前提)，所以 y＝log4x 是增函数(结论)”，以上推理的错误是( )． A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提错误导致结论错误 解析 当 a＞1 时，函数 y＝logax 是增函数；当 0＜a＜1 时，函数 y＝logax 是减
Sn＋1 Sn－1 (2)由(1)可知 n＋1 ＝4· n－1 (n≥2)，
Sn－1 n＋1 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· n－1 ＝4·n－1·Sn－1
＝4an(n≥2)，
(小前提)
又 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论)
1 为 r，则三角形面积为 S△ABC＝2(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若 四面体 A－BCD 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径为 r，则 四面体的体积为________”． 审题路线 三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个
1 面的面积⇒内切圆半径类比为内切球的半径⇒二维图形中2类比为三维图形中的 1 3⇒得出结论．