第5章线性定常系统的综合-现代控制理论1.ppt
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现代控制理论-绪论 PPT课件
控制系统的状态空间描述
系统数学描述的两种基本类型
系统是指由一些相互制约的部分所构成的整体，它可能 是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对 象。
本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图所示。图 中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环 境的作用为系统输出，二者分别用向量 u = [u1, u2, …, up]T 和 y = [y1, y2, …, yq]T 表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的 变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2, …, xn]T 表示。
)
控制（输入）向量
y1(t)
y
(t
)
y2
(t
)
ym
(t
)
输出（量测）向量
f1(x1, x2
f
(
x,
u,
t
)
f
2
(
x1
,
x2
fn (x1, x2
, xn , u1, u2 , xn , u1, u2
, xn , u1, u2
,ur ,t)
控制变量 u1 , u2 ,, ur
状态变量 输出变量
x1 , x2 ,, xn 通常并不要求必须是可测量的 y1 , y2 ,, ym 可以直接测量的，又称为量测变量
26
DgXu 中南大学信息学院自动化系
系统的动力学特性一般可用一组一阶微分方程来描述
动态特性 xi (t) fi (x1, x2 , , xn;u1,u2, ur ;t) i 1, 2, , n
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章
能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。
现代控制理论(17-21讲：第5章知识点)
V (x) C
0
试分析系统的稳定性。
解：（1）由 x(t ) 0 , 求得 xe = 0 是系统唯一平衡状态；
（2）选择Lyapunov函数为 1
2 2
二次型函数，是正定的； d 2 2 2 （3） V (x) ( x1 x2 ) 2 x1 x1 2 x2 x 2 2 x2 dt 故V(x)的导数是半负定的； （4）由：
(1) V(x)是正定的； (2) V ( x )是负定的；
则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时， 如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。
2 2 例1：设系统的状态方程为: x1 x2 ax1 ( x1 x2 ) 其中：a为非零正常数。试 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ) 分析系统的稳定性。
(2) V ( x ) 是半负定的； (3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x0≠0, 在t≥t0时，除了在 x=0时,有 V ( x) 0 外，V ( x )不恒等于零，则系统在平衡状 态是渐近稳定的。如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 在应用定理二时，注意以下两种情况： （1）极限环的情况。稳定， 但不是渐近稳定；
(1) V(x)在原点的某一邻域内是正定的； (2) V ( x ) 在同样的邻域内也是正定的；
那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地 V(x)的导数也可半正定，但有V(x)的导数不恒为零。）
例3：设时变系统的状态方程为: x1 x1 sin 2 t x2et x 2 x1et x2 cos 2 t 分析系统的稳定性。 解：（1） 显然 xe = 0 是系统平衡状态; （2）选择V(x)为：
0
试分析系统的稳定性。
解：（1）由 x(t ) 0 , 求得 xe = 0 是系统唯一平衡状态；
（2）选择Lyapunov函数为 1
2 2
二次型函数，是正定的； d 2 2 2 （3） V (x) ( x1 x2 ) 2 x1 x1 2 x2 x 2 2 x2 dt 故V(x)的导数是半负定的； （4）由：
(1) V(x)是正定的； (2) V ( x )是负定的；
则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时， 如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。
2 2 例1：设系统的状态方程为: x1 x2 ax1 ( x1 x2 ) 其中：a为非零正常数。试 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ) 分析系统的稳定性。
(2) V ( x ) 是半负定的； (3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x0≠0, 在t≥t0时，除了在 x=0时,有 V ( x) 0 外，V ( x )不恒等于零，则系统在平衡状 态是渐近稳定的。如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 在应用定理二时，注意以下两种情况： （1）极限环的情况。稳定， 但不是渐近稳定；
(1) V(x)在原点的某一邻域内是正定的； (2) V ( x ) 在同样的邻域内也是正定的；
那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地 V(x)的导数也可半正定，但有V(x)的导数不恒为零。）
例3：设时变系统的状态方程为: x1 x1 sin 2 t x2et x 2 x1et x2 cos 2 t 分析系统的稳定性。 解：（1） 显然 xe = 0 是系统平衡状态; （2）选择V(x)为：
现代控制理论第一章 ppt课件
作为贝尔实验室工程师， 关于热噪声、反馈系统稳定性、 电报、传真、电视、通信。
1889-1976
1.1 控制理论的发展历程
伯德，Hendrik Wade Bode
美国1905-1982
Bode was an American engineer, researcher, inventor, author and scientist,
of Dutch ancestry.
As a pioneer of modern control theory and electronic
telecommunications he revolutionized both the content and methodology of his chosen fields of research.
1.1 控制理论的发展历程
维纳，Norbert Wienner
1948年，维纳发表《控制论》，宣告了这门新兴学 科的诞生。这是他长期艰苦努力并与生理学家罗森 勃吕特等人多方面合作的伟大科学成果。
1964年1月，他由于“在纯粹数学和应用数学方面并 且勇于深入到工程和生物科学中去的多种令人惊异的 贡献及在这些领域中具有深远意义的开创性工作”荣 获美国总统授予的国家科学勋章。
1.1 控制理论的发展历程
维纳，Norbert Wienner
第一章，牛顿时间和柏格森时间 第二章，群和统计力学 第三章，时间序列、信息与通讯 第四章，反馈与振荡 第五章，计算机与神经系统 第六章，完形与普遍观念 第七章，控制论和精神病理学 第八章，信息、语言和社会 第九章，关于学习和自生殖机 第十章，脑电波与自行组织系统
1.1 控制理论的发展历程
伯德，Hendrik Wade Bode
1889-1976
1.1 控制理论的发展历程
伯德，Hendrik Wade Bode
美国1905-1982
Bode was an American engineer, researcher, inventor, author and scientist,
of Dutch ancestry.
As a pioneer of modern control theory and electronic
telecommunications he revolutionized both the content and methodology of his chosen fields of research.
1.1 控制理论的发展历程
维纳，Norbert Wienner
1948年，维纳发表《控制论》，宣告了这门新兴学 科的诞生。这是他长期艰苦努力并与生理学家罗森 勃吕特等人多方面合作的伟大科学成果。
1964年1月，他由于“在纯粹数学和应用数学方面并 且勇于深入到工程和生物科学中去的多种令人惊异的 贡献及在这些领域中具有深远意义的开创性工作”荣 获美国总统授予的国家科学勋章。
1.1 控制理论的发展历程
维纳，Norbert Wienner
第一章，牛顿时间和柏格森时间 第二章，群和统计力学 第三章，时间序列、信息与通讯 第四章，反馈与振荡 第五章，计算机与神经系统 第六章，完形与普遍观念 第七章，控制论和精神病理学 第八章，信息、语言和社会 第九章，关于学习和自生殖机 第十章，脑电波与自行组织系统
1.1 控制理论的发展历程
伯德，Hendrik Wade Bode
现代控制理论.pptx
1877年劳斯（E. J. Routh）和1895年赫尔维茨 （A.Hurwitz）分别研究了系统稳定性与特征方程系数的关系， 提出了劳斯判据和赫尔维茨判据。
第0章 引论
1892年，前沙俄数学家李雅普诺夫（A.M. Lyapunov）在其 博士论文“运动稳定的一般问题”中提出Lyapunov稳定性判别 方法，包括第一法和第二法，系统地建立了动力学系统稳定性 的一般理论。
第0章 引论
3.2 经典控制理论阶段
第一次工业革命时期，瓦特（J.Watt）使用的自动调节进气 阀门以控制蒸汽机转速的离心式（飞球式）调速器，是闭环自动 控制系统应用的第一项重大成果。
物理学家麦克斯韦（J.C. Maxwell）与1868年在“论调节器” 论文首次提出反馈控制的概念，对瓦特调速器系统中的不稳定现 象进行研究，开辟了自动控制作为一门科学发展的开端。
参加本课程的同学必须人手1册教材、出勤听课、听 课并记笔记和完成作业。
（缺课达到1/3，缺作业达1/4者取消正常考试资格）
第0章 引论
教材选用： 【1】刘豹, 唐万生. 现代控制理论: 第3版. 北京：机械工业出版社, 2006 主要参考书： 【1】郑大钟. 线性系统理论: 第2版. 北京：清华大学出版社, 2002 【2】 (美)J.J.Dazzo, (美) R.H.Houpis. Linear Control System Analysis and Design: Fourth Edition. 英文影印版. 北京：清华大 学出版社，2000 【3】 (美) R. C. Dorf, (美)R. H. Bishop. Modern Control System: Eleventh Edition. 英文影印版. 北京：电子工业出版社，2009
第0章 引论
1892年，前沙俄数学家李雅普诺夫（A.M. Lyapunov）在其 博士论文“运动稳定的一般问题”中提出Lyapunov稳定性判别 方法，包括第一法和第二法，系统地建立了动力学系统稳定性 的一般理论。
第0章 引论
3.2 经典控制理论阶段
第一次工业革命时期，瓦特（J.Watt）使用的自动调节进气 阀门以控制蒸汽机转速的离心式（飞球式）调速器，是闭环自动 控制系统应用的第一项重大成果。
物理学家麦克斯韦（J.C. Maxwell）与1868年在“论调节器” 论文首次提出反馈控制的概念，对瓦特调速器系统中的不稳定现 象进行研究，开辟了自动控制作为一门科学发展的开端。
参加本课程的同学必须人手1册教材、出勤听课、听 课并记笔记和完成作业。
（缺课达到1/3，缺作业达1/4者取消正常考试资格）
第0章 引论
教材选用： 【1】刘豹, 唐万生. 现代控制理论: 第3版. 北京：机械工业出版社, 2006 主要参考书： 【1】郑大钟. 线性系统理论: 第2版. 北京：清华大学出版社, 2002 【2】 (美)J.J.Dazzo, (美) R.H.Houpis. Linear Control System Analysis and Design: Fourth Edition. 英文影印版. 北京：清华大 学出版社，2000 【3】 (美) R. C. Dorf, (美)R. H. Bishop. Modern Control System: Eleventh Edition. 英文影印版. 北京：电子工业出版社，2009
《现代控制理论基础》第2版 现代控制理论基础_上海交通大学_施颂椒等_PPT_第5章
① 定义 有理函数 g(s) 当s 时，
② g(假)设
常n数(s〔) d(s) g(s)〕， 就称为正那么有理函数。
③ g假( 设)那么有理函数。
④
假g(设) 〔 n(s)d(s)
g(〕s) ， 就是 非正那么有理函数。
有理函数阵 G (s) 假设G() 0 ，那G (s么) 是严格正那么有理函数阵〔其每个元均为
G (s) C (sI A )1BD
那么(称A,B,C,D) 是G (s) 的一个实现。
•实现研究的问题
⑴ G (s)可实现为 (A,B,C,D) 的条件问题 ⑵ G (s) 实现的方法
〔5－1〕
•最小实现
如果 (A,B,C,D)是G (s) 的一个实现，那么其所有等价系统也都是其 实现 。 G (s) 可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实 现。它描述了系统的既能控又能观的局部。通常要求的实现 为最小实现。
s 1 s4 s(s1) (s1)s(3) (s1)s(3)
s
1
3
s(s 1 )s( 2 ) (s 1 )s( 2 )s( 3 ) s(s 1 )s( 2 )s( 3 )
G (s) 的特征多项式为：s(s1)s(2)s(3)，deG g(s)4。
⑵ G (s) 可实现为 (A,B,C,D) 的条件
③ 非正那么传递函数〔G() 〕，也存在实现，其实现具有
④ 如下形式
Ex(t)A(xt)Bu(t) y(t)Cx(t)Du(t)
〔5－9〕
式中 E为奇异阵。这种形式的系统称为广义系统，或奇异 系统。(本书不予讨论，在专门文献中研究)
5.2.2 最小实现的性质
如果将例〔5－5〕的传递函数阵写成
G ( s ) G 1 ( s )G 2 ( s )
现代控制理论第一章(吴忠强版)
现代控制理论
吴忠强
目
录
第一章 控制系统的状态空间表达式 第二章 控制系统状态空间表达式的解 第三章 线性控制系统的能控性与能观性 第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性 第五章 线性定常系统的综合 第六章 最优控制系统设计 参考文献
内容简介
•
本书系统的介绍了现代控制理论的 基本内容，包括控制系统的状态空间描 述、运动分析与离散化、李亚普诺夫稳 定性分析、能控性与能观性、状态反馈 与状态观测器、最优控制系统设计。每 章配有一定的例题和习题.
b11 b 21 B bn1
b12 b 22 bn 2
b1 r b2 r b nr
y1 y2 y ym
——m维输出矢量；
—— n r 输入（或控制）矩阵；
c 11 c 12 c 21 c 22 C c m1 c m 2
1
式（1－3）就是图1－1系统的输出方程，它的矩阵表示为
y 1
T
0
x1 x2
或
y C x
T
y c x
T
（1－4）
式中
c
1
0
六、状态空间表达式
l 状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态 描述，称为系统的状态空间表达式， 在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描 述系统的动态过程。如图1－1所示的系统，在以 uc 作输出时， 从式（1－1）消去中间变量i ，得到二阶微分方程为
回到式（1－5）或式（1－6）的二阶系统，若改选 u C 和 u c 作为 两个状态变量，即令 x 1 u C ，
x2 uc
吴忠强
目
录
第一章 控制系统的状态空间表达式 第二章 控制系统状态空间表达式的解 第三章 线性控制系统的能控性与能观性 第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性 第五章 线性定常系统的综合 第六章 最优控制系统设计 参考文献
内容简介
•
本书系统的介绍了现代控制理论的 基本内容，包括控制系统的状态空间描 述、运动分析与离散化、李亚普诺夫稳 定性分析、能控性与能观性、状态反馈 与状态观测器、最优控制系统设计。每 章配有一定的例题和习题.
b11 b 21 B bn1
b12 b 22 bn 2
b1 r b2 r b nr
y1 y2 y ym
——m维输出矢量；
—— n r 输入（或控制）矩阵；
c 11 c 12 c 21 c 22 C c m1 c m 2
1
式（1－3）就是图1－1系统的输出方程，它的矩阵表示为
y 1
T
0
x1 x2
或
y C x
T
y c x
T
（1－4）
式中
c
1
0
六、状态空间表达式
l 状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态 描述，称为系统的状态空间表达式， 在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描 述系统的动态过程。如图1－1所示的系统，在以 uc 作输出时， 从式（1－1）消去中间变量i ，得到二阶微分方程为
回到式（1－5）或式（1－6）的二阶系统，若改选 u C 和 u c 作为 两个状态变量，即令 x 1 u C ，
x2 uc
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论线性反馈控制系统综合的基本概念
现代控制理论线性反馈控制系统综合的基本概念《现代控制理论》MOOC课程第五章线性定常系统的综合第五章线性定常系统的综合线性反馈控制系统综合的基本概念极点配置问题系统镇定问题系统解耦问题状态观测器利⽤状态观测器实现状态反馈的系统⼀. 系统的综合给定系统的状态空间表达式:寻找⼀个控制u,使得在其作⽤下系统的性能指标满⾜所期望的要求。
x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx⼆. 状态反馈控制和输出反馈控制1. 状态反馈若系统的控制可表⽰为系统状态的⼀个线性向量函数, 即u =?Kx +v 则称为状态反馈控制。
其中v 为参考输⼊。
状态反馈系统的结构为：yxAC++Bux ?+vK-状态反馈系统的状态⽅程x =A x +B u原系统的状态⽅程为：引⼊状态反馈u =?Kx +v 后，系统的状态⽅程为：x =A ?BK x +Bv系统的性能主要由系统矩阵决定的，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统矩阵以使系统的性能满⾜期望的要求。
状态反馈系统的传递函数：原开环系统的传递函数为：W0s=C(sI?A)?1B引⼊状态反馈u=?Kx+v后，系统的闭环传递函数为：W K s=C(sI?A+BK)?1B系统的性能主要由系统闭环传递函数的极点确定，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统传递函数的极点，以使系统的性能满⾜期望的要求。
2. 输出反馈控制。
其中v 为参考输⼊。
输出反馈系统的结构为：yxAC++Bux ?+vH-若系统的控制可表⽰为系统输出的⼀个线性向量函数, 即u =?Hy +v 则称为输出反输出反馈系统的状态⽅程x =A x +B u原系统的状态⽅程为：引⼊输出反馈u =?Hy +v 后，系统的状态⽅程为：x =A ?BHC x +Bv通过合理的选择输出反馈矩阵，就可改变系统矩阵，以使系统的性能满⾜期望的要求。
输出反馈系统的传递函数：W 0s =C(sI ?A)?1B原开环系统的传递函数为：引⼊输出反馈u =?Hy +v 后，系统的闭环传递函数为：W K s =C(sI ?A+BHC)?1B5.1 线性反馈控制系统综合的基本概念3. 状态反馈与输出反馈的⽐较系统的输出通常只是系统状态的部分信息，所以输出反馈仅相当于部分状态反馈。
现代控制理论第五章讲义1
对于q维输出系统，有q个输出变量可直接由 传感器测得，若选取该q个输出作为状态变 量，它们便无需由观测器作出估计，观测器 只需估计（n-q）个状态变量，称为降维观 测器。它是（n-q）维子系统，结构简单， 工程上易于实现。为此，需要由受控对象动 态方程导出（n-q）维子系统动态方程，建 立降维观测器的观测模型。
g1 8.5 3 2 g1 20 2 4 g1 2 g 2 100 g 2 32
状态观测器为
g1 G g2
ˆ ˆ x [ A GC ]x bu Gy ˆ ˆ y Cx
5.5 状态观测器的设计
四、降维观测器
第六节 状态观测器实现状态反馈
在前面几节中，我们讲述了利用状态观测器 解决受控系统的维数重构问题从而使得状态 反馈系统得以实现，本节主要讨论利用观测 器进行状态估值反馈的系统与状态直接反馈 的系统之间的区别。
5.6 利用状态观测器实现状态反馈 一、系统结构与状态空间表达式
在一个带有全 维状态观测器 的状态反馈系 统中，设能控 能观的受控系 统∑0=（A、B、 C）为
* g 0 a 0 a0 * g1 a1 a1 g a* a ˆn n 1 n 1
5.5 状态观测器的设计
例、已知系统 1 1 0 x x 1u 0 2 y 2 0x 试设计一个状态观测器 ，使其极点为－ ， 10。 10
1
sI A HC
1
1
B 0
C 0
sI A BK B
1
0
C sI A BK B
西工大—现代控制理论课件ppt课件
y2
up
yq
被控过程
5
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法： 输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。
一种完整的描述。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的
6
1.2 状态空间描述常用的基本概念
1) 输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；
xn a0 x1 a1x2 an1xn u
得到动态方程
x Ax bu
y x1
y cx
16
式
x1
0 1 0
0 0
中
x2
0
0
1 b , c 1 0
0
xn
1
0
0
0
1
0
xn
a0 a1 a2
an1
0
例1－5
系统的状态变量图
i 2,3,, n
其展开式为 x1 y h0u
x2 x1 h1u y h0u h1u x3 x2 h2u y h0u h1u h2u
xn xn1 hn1u y (n1) h0u (n1) h1u (n2) hn1u ＃
式中， h0 , h1 ,, hn1 是n个待定常数。是n个。
3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中 的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 例1－1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是
输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。
x3
解 并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图8-5（a），
线性定常系统的综合
状态反馈
( A BK ) x Bv x y Cx (A BHC ) x Bv x y Cx
输出反馈
反馈信息上：状态反馈优于输出反馈 状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可观测性
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-2
Im [s]平面 Re
Im
[s]平面 Re
2阶系统
2阶系统
3阶系统 1阶系统 1阶系统
3阶系统
期望的极点的选择
– 对于 n 阶系统，必须给出 n 个期望的极点 – 期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数 – 期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求
极点配置：设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组 合理的、具有期望性能指标的极点 经典控制理论
– 超前校正、滞后校正、PID校正，通过改变极点的位置来改 善性能指标，本质上均属于极点配置方法
现代控制理论
– 如何选择状态反馈阵K，使得闭环系统的极点位于期望极点 上
Ax Bu 线性定常系统（单输入单输出） x
4)输出矩阵由C变成(C-DK) ； 系统的瞬态性能主要由系数矩阵A决定。 通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到希望的控制 目的。
D
v
u
B
x
A
K r n
x
C
ym1
一般D=0
Ax Bu x 原系统： y Cx
G( s) C( sI A) 1 B
推论：输出反馈不改变系统的能控性
现代控制理论-现控第五部分
状态观测器实质上是一个状态估计器．它是利用控制 对象的输入变量u与输出变量Y对系统的状态变量X进行估 计，从而解决某些状态变量不能直接测量的难题，为实现 状态反馈提供了完全的可能性．
一、状态观测器的基本理论 线性定常系统 这个系统的结构如图所示．
由图看出，状态变量X 在系统的内部，它们有时是不 便于直接量测的，而输入变量u与输出变量Y 处在系统外 部，这在工程上是很容易测量的．
稳定与否
系统的瞬态性能主要由系数矩阵决定。A、B阵是已 知的，不能改变。而K 阵可以在一个很宽的范围内选择。 因此，通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到 希望的控制目的。
二、输出反馈
在工程实践中，输出反馈也是常用的。对方程(5-1） 所描述的线性定常系统，采用输出反馈控制律为
U= V-Hy
gn
G
g
n
1
g1
这样就把G 阵完全确定下来了。观测器的设计任务到 此完成。以上的设计步骤，只有当系统具有能观标准型时 才适用。如果原系统中A，C不具备能观标准型的结构， 则必须先经过线性变换，使其先变为能观标准型，然后再 按上述方法设计。
5.8 降维观测器的基本理论 从前面的全维观测器可以看出，它的结构是比较复杂
0 Q[BABA2B]0
1
0 1
1
6
6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因此该系统是状态完
全能控的，可任意配置极点。
1
1 0
s
1
5
s 6
s3 6s2 5s 1
s3 a1s 2 a2s a3 0
因此
a16,a25,a31
因为稳定性是系统能够正常工作所必须满足的要求， 所以研究系统镇定问题是很重要的。
一、状态观测器的基本理论 线性定常系统 这个系统的结构如图所示．
由图看出，状态变量X 在系统的内部，它们有时是不 便于直接量测的，而输入变量u与输出变量Y 处在系统外 部，这在工程上是很容易测量的．
稳定与否
系统的瞬态性能主要由系数矩阵决定。A、B阵是已 知的，不能改变。而K 阵可以在一个很宽的范围内选择。 因此，通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到 希望的控制目的。
二、输出反馈
在工程实践中，输出反馈也是常用的。对方程(5-1） 所描述的线性定常系统，采用输出反馈控制律为
U= V-Hy
gn
G
g
n
1
g1
这样就把G 阵完全确定下来了。观测器的设计任务到 此完成。以上的设计步骤，只有当系统具有能观标准型时 才适用。如果原系统中A，C不具备能观标准型的结构， 则必须先经过线性变换，使其先变为能观标准型，然后再 按上述方法设计。
5.8 降维观测器的基本理论 从前面的全维观测器可以看出，它的结构是比较复杂
0 Q[BABA2B]0
1
0 1
1
6
6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因此该系统是状态完
全能控的，可任意配置极点。
1
1 0
s
1
5
s 6
s3 6s2 5s 1
s3 a1s 2 a2s a3 0
因此
a16,a25,a31
因为稳定性是系统能够正常工作所必须满足的要求， 所以研究系统镇定问题是很重要的。
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AB0I
KB
I
当n 3时，Qc1 B AB A2B Qc2 B ( A BK)B ( A BK)2 B B AB BKB A2B ABBK BKAB BKBKB
I BK
B AB A2B 0 I
0 0
rank(Qc2 ) rank(Qc1)
KAB KBKB
状态反馈后系统 K A BK, B,C
Qc2 B A BK)B A BK)2 B A BK)n1B
当n 1时，Qc1 Qc2 , rank(Qc2 ) rank(Qc1)
当n 2时，Qc1 B AB Qc2 B (A BK)B B
rank(Qc2 ) rank(Qc1)
x ( A GC)x (B GD)u y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
记作：G AGC, B,C WG (s) C sI (A GC ) 1 B
5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
证明：设原系统为 0 ：(A, B,C) ，是能控的。 Qc1 BABA2B An1B
H
rm
+
ym1
u v H (Cx Du) v HCx HDu (I HD)1(v HCx)
x A B(I HD)1 HC x B(I HD)1v y C D(I HD)1 HC x D(I HD)1v
若D=0，状态空间表达式为 x ( A BHC)x Bv y Cx
证明
只证充分性。若∑0完全能控，通过状态反馈必成立 （31）
式中，
为期望特征多项式。
式中 数极点)。
（32） 为期望的闭环极点(实数极点或共轭复
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
能将∑0化成能控标准I型：
（33）
式中
受控系统∑0的传递函数为：
2)加入状态反馈增益阵： 可求得对 的闭环状态空间表达式：
在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
2 状态反馈
ur1
B
vr1 -
0 ：x Ax Bu
D
1/s
xn1
C
A
+
ym1
y Cx Du
rn K
把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减
形成控制律。
u v Kx
其中，v r 1
参考输入；
K r n
状态反馈系数阵
对单输入系统，K为n维行向量。
u v Kx
ur1
B
0 ：x Ax Bu vr1 -
y Cx Du
D
1/s
xn1
C
A
+
ym1
K ：x (A BK)x Bv y (C DK)x Dv
rn
若D=0
K
K ：x (A BK)x Bv y Cx
状态反馈：x (A BK)x Bv
如果 H C K 输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
D
1/s
xn1
C
+ ym1
x Ax Gy Bu y Cx Du
A
nm G
若D=0，状态空间表达式为
KB
I
n n, rank(Qc2 ) rank(Qc1)
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
1 2 0 x 0 3 x 1 u
y 1 1 x
C
1 1
rankCA rank1 5 2 n
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
1 2 0 x (A-BK )x Bv 0 1 x 1 u
C rankC(A
BK)
1 rank1
1 1
1
n
状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系
统零点相对消。
原系统 G0
(s)
(s
s 1 1)(s
3)
反馈后G f
(s)
(s
s 1 1)(s 1)
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
闭环系统传递函数为： Gk (s) CsI (A BK ) 1 B
比较开环系统 0 ( A, B, C) 与闭环系统 ( A BK, B,C)
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可
通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统
获得所要求的性能。
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
D
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
vr1 -
1/s
xn1
C
A
在系统中引入反馈控制律
u v Hy
rm H
+
ym1
其中，v r 1
H rm
参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
பைடு நூலகம்
u v Hy
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
vr1 +
D
1/s
xn1
C
A
5.2 极点配置问题
1 问题提出
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
ur1
B
vr1 +
1/s
xn1
A
C
ym1
rn K
0 ：(A, B,C)
K A BK, B,C
改变了系统的极点。
（1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0 ：(A, B,C)任意配置极 点的充要条件是 0 ：(A, B,C) 完全能控。
现代控制理论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
➢本章结构
✓ 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 ✓ 5.2 极点配置问题 ✓ 5.3 系统镇定问题 ✓ 5.4 状态观测器 ✓ 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
（34） （35） （36）
式中 闭环特征多项式为： 闭环传递函数为：
（37）
（38） 3)使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：
由等式两边 于是得：
同次幂系数对应相等．可解出反馈阵各系数： （39）
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如状 态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、 能观测性、稳定性等)。
而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。