第六章习题解答

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习 题 六

1. 用矩阵的行初等变换法解方程组

（1）⎪⎩

⎪⎨⎧=++-=--=+-531322321321321x x x x x x x x x .

（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++=++--=-++=+++5

67211

45632434234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .

解：(1) 1,1,1321===x x x

(2) 1,2,1,34321==-==x x x x

2. a 取什么值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？

解：2,1-≠a 时，唯一解；1=a 时，无穷解 ；

2-=a 时，无解.

3. 试证，线性方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+.1232

1321321a ax x x a

x ax x x x ax ＋

384 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,

22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 对任何b 1, b 2, …, b n 都有解的充分必要条件是系数行列式D ≠0.

证明：必要性：设

T ni i i i a a a )...,,(,21=α，n i ,,2,1 =.),0,,0,1,0,,0,0( i i =ε.n i ,,2,1 =

由已知向量组n εεε...,,2,1可由向量组n ααα...,,2,1线性表示.因此，向量组n εεε...,,2,1与n ααα...,,2,1等价，从而n ααα...,,2,1线性无关，秩为n .所以，.0≠D

充分性：因为.0≠D 由克拉默法则可知，以D 为系数行列式的有唯一解.所以结论成立.

4. 证明， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-----5

15

454

343232121a x x a x x a x x a x x a x x ＝＝＝＝＝

385

有解的充分必要条件是a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.

证明：对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换，

将其化为⇔

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----∑=5143210000011000011000

011000011i i a a a a a 原方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等⇔.051=∑=i i a

5. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：

(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+--=+-+-=-+-.05305211032502342

14321

43214321x x x x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+=+-=--.

0136152032024303524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x －＋＋

386 解：(1),0,1,143,145T ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-,1,0,21,21T

⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ().1,0,1,1T -- 6. 设A 是n 阶方阵，证明，若秩A ＝秩A 2, 则齐次线性方程组AX ＝0与A 2X ＝0有完全相同的解.

证明：设AX=0的解空间为1W ，A 2X=0的解空间

为2W ，显然AX=0的解是A 2X=0的解.因此，1W ⊆2W .又

dim 1W =n-秩A= n-秩A 2= dim 2W

若秩A ＝n ，那么dim 1W = dim 2W =0，故1W =2W .

若秩A ＝r

7. 设n 阶方阵A 的各行元素之和都为零，且秩A ＝n －1，求方程组AX ＝0的所有解.

387

解:C ⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛1..11,C 为任意常数。 8. 已知A ＝⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---11312221λ，三阶方阵B ≠0，且满足

AB =0，求λ的值.

解: ,0132

1≠∴秩A .2≥又由已知，齐次线性方

程组AX ＝0有非零解，

∴秩A<3，秩A .2=因此，令detA=0,即可解得

.1=λ

9. 应用线性方程组的理论证明，若m ×n 矩阵A 与

n ×p 矩阵B 的积AB ＝0，则

秩A ＋秩B ≤n .

证明：若A=0或B=0，结论自然成立.不妨设秩A

＝r>0,作齐次线性方程组AX ＝0，该方程组的解空间的维数为n-r ，由AB ＝0知，B 的列向量是AX ＝0的解向量。因此，秩B ≤n-r ，于是秩A ＋秩B ≤n .

10.证明，F n 的任意一个子空间都是某一个含n 个未知量的齐次线性方程组的解空间.

388 证明：设1V 是F n 的任意一个子空间.并设dim 1V =r,

若0

i=1,2,…，r. 则齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,

22112222212111212111n n rn r r n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1）的基n-r

个向量，任取它的一个基础解系 βT i ＝( b i 1, …, b ip ), i ＝1, 2, …, n-r .

那么每个i T α

（i=1,2,…r.）都满足齐次线性方程组 （2） 但（2）的系数矩阵秩为n-r,它的基础解系含r 个向量.因此，,1T α2T α，…, T r α是（2）的一个基础解系，从而由它生成的子空间1V 就是（2）的解空间.

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++=---==0

,22,11,0222212101212111............................................n n r n r n r n n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b