两点间的距离公式-课件
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基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
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2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
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4．空间两点间的距离公式 空间中两点 P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离公式 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. 特别地，点 P(x，y，z)与原点间的距离公式为 |OP|＝ x2＋y2＋z2.
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自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
变，竖坐标 z 变为原来的相反数，所以对称点为 P2(－2,1，－ 4)．
(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点，由中 点坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12.
所以 P3(6，－3，－12)．
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解 以 BC 的中点为原点，BC 所在的直线为 y 轴，以射线 OA 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如下图．
由题意知，AO＝ 23×2＝ 3，从而可知各顶点的坐标分别为 A( 3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1( 3，0,3)，B1(0,1,3)， C1(0，－1,3)．
两点间的距离公式(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
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2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
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对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
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(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
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2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
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[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
人A数学选择性必修第一册
人教版数学 空间两点间的距离公式 (共16张PPT)教育课件
学习目标
1.了解空间两点间的距离公式的推导过程，初步建 立将空间问题向平面问题转化的意识。 2.掌握空间两点间距离公式及其简单的应用.
新知自学：公式形成与推导：
借助课本P137图4.3-6
探究（一） 空间中的点与坐标原点的距离公式 问题 1:在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A（x，0，0），B（0，y，0）， C（0，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A（x，y，0），B（0，y，z）， C（x，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在 xOy 平面上的射影为 B， 则点 B 的坐标是什么？|PB|,|OB|的值分别是什么？ 问题 4:基于上述分析，你能得到空间任意点 P（x，y，z）与坐标原点 O 的 距离公式吗？
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
2.3.2两点间的距离公式课件(人教版)
1.求下列两点间的距离 :
(1) A(6, 0), B( 2, 0);
(2)C (0, 4), D(0, 1);
(3) P (6, 0), Q(0, 2);
(4) M (2,1), N (5, 1).
(1) AB ( 2 6) (0 0) 8;
2
2
(2) CD (0 0)2 ( 1 4) 2 3;
段的长度？
追问2 如何求向量1 2 的模长？
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
, ， , 两点间的距离公式
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
特别地，原点O(0，0)与任一点 , 间的距离
=
2 + 2.
上式利用向量法证明！
(3) PQ (0 6) ( 2 0) 2 10;
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(4) MN (5 2) ( 1 1) 13.
2
2
2.已知点A(a, 5)与B(0,10)间的距离是17, 求a的值.
解： AB (0 a ) (10 5) 17,
2
解得a 8.
=
=
+
−
+ −
+ −
+ + ，
=
=
− + .
由 = ，得
+ + = − + .
解得 =1.
所以,所求点为P(1，0)，且
=
+
两点间的距离公式-PPT课件
A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
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•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
沪科版八年级下册数学-18.1勾股定理1——两点之间的距离公式-课件(共19张PPT)
x
平面内有一点A（3,4），如何求O，A之间的距 离|OA|？
|OB|=3 |AB|=4 |OA|=5
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,5) C （5，,2）
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x
B1
平面上两点A（1,2），B（5,5），如何计算这两点之间的距离|AB|？
|AC|=|xA-xC|=|1-5|=4
两点之间的距离公式
两点间距离公式及应用（复习导入）
A
B
-2 -1 0 1 2 3
|AB|=|-2-3|=|-5|=5
两点间距离公式及应用（复习导入）
C
D
x1
-2 -1 0 1 2 3
x2
|CD|=|x1-x2|
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
|AB|=|5-1|=4
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,2)
|BC|= |yB-yC|=|5-2|=3
|AB|=5
两点间距离公式及应用（授新）
平面上任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如何计算AB两点之间的距离|AB|
y
A(x1,y1)
|BC|=|x2-x1|
C(x1,y2)
B(x2,y2)
0
A1
x
平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
|AC|=|y2-y1|
两点间距离公式及应用（作业）
1、P62思考 2、P63.3
两点间距离公式及应用（拓展延伸）
1、在平面内，已知A（1，-1），B（b，3），且AB=5，求b 2、已知A（1，1），B（3，-1），C（3，y），且△ABC为等腰三角形， 求y
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
x
*
B
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
作业: P138练习：1，2，3，4.
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
*
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
1．用舟轻快、风吹衣的飘逸来表现自 己归居 田园的 轻松愉 快，形 象而富 有情趣 ，表现 了作者 乘舟返 家途中 轻松愉 快的心 情。 2．“问征夫以前路，恨晨光之熹微”中 的“问” 和“恨” 表达了 作者对 前途的 迷茫之 情。
z
P2
O
P1
y
x
|P1P2|=|z1-z2|
*
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z P1
O
xM
P2
y N
|P 1 P 2 |= |M N |=( x 1 -x 2 ) 2 + ( y 1 -y 2 ) 2
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
*
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1， z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 它对|P 1 任P 2 意|= 两( 点x 1 P- 1、x 2 ) P2 2+ 都( y 成1 - 立y 吗2 ) 2 ？+ ( z 1 -z 2 ) 2
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
空间两点间的距离公式课件
03
通过以上三个方面的扩展，我们详细 介绍了空间两点间的距离公式在二维 空间中的应用，包括平面坐标系、极 坐标系中的公式应用以及与勾股定理 的关系。这些内容有助于学生更好地 理解空间两点间的距离公式，掌握其 在不同坐标系中的应用，并加深对勾 股定理的理解。
03
空间两点间的距离公式在三维空间中的应 用
05
空间两点间的距离公式的实践应用
地球上两点间距离的计算
地球上两点间距离的计算是空间两点 间距离公式的重要实践应用之一。通 过使用地球半径和两点间的经纬度坐 标，可以计算出两点间的最短距离。
地球上两点间距离的计算在地理学、 气象学、交通规划等领域具有广泛的 应用，例如确定两城市间的最短航线 、预测天气系统移动路径等。
该公式将极坐标转换为笛卡尔坐标进行计算，同样基于勾股 定理。
距离公式与勾股定理的关系
01
勾股定理是直角三角形中直角边的关 系，即$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$是斜边，$a$和$b$是直角边。
02
在二维空间中，两点之间的距离公式 实际上就是勾股定理的应用，通过计 算两点之间直线的距离，得到一个等 效的直角三角形，然后利用勾股定理 计算出距离。
空间两点间的距离公式课件
汇报人：文小库
2024-01-02
CONTENTS
• 空间两点间的距离公式概述 • 空间两点间的距离公式在二维
空间中的应用 • 空间两点间的距离公式在三维
空间中的应用 • 空间两点间的距离公式的扩展
与变形 • 空间两点间的距离公式的实践
01
空间两点间的距离公式概述
定义与公式
三维坐标系中的公式应用
适用范围
适用于三维空间中任意两点$P(x_1, y_1, z_1)$和$Q(x_2, y_2, z_2)$的距 离计算。
人教版高中数学 空间两点间的距离公式(共27张PPT)教育课件
凡事欲其成功，必要付出 代价:奋斗。
——爱默生
课堂检测
2、 设 P 在 x轴上，它到 P1 (0, 2,3)的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
z
P1(x1,y1,z1)
O
M
x
P2(x2,y2,z2)
H
y
N
例 2 求证以 M1 (4,3,1)、 M2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1 M 2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M 2 M 3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
z
P(x,y,z)
O
y
x
P1
关于谁对称谁不变
3.点P(x , y , z) 关于坐标轴的对称点：
（1）x轴对称的点P1为____(_x_,__y__, ; z) （2）y轴对称的点P2为____(__x_,__y_, ;z) （3）z轴对称的点P3为____(__x_,___y;, z)
z
关于谁对称谁不变
M2M3 M3M1 ,
原结论成立.
课堂检测 1、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等.
课堂检测
2、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a，|AN|=2|CN|， |BM|=2|MC`|，求|MN|的长.
z
D`
C`
A`
B` M
O
A x
C y
N
B
变式练习——空间中点的射影点与对称点坐标
1.点P(x , y , z) 在下列坐标平面
空间两点间的距离公式课件(人教A版必修
空间两点间的距 离公式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
公式中的符号 含义
公式的应用场 景
公式的注意事 项
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 线段AB的长度即为两点间的距离 d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
公式中的符号含义
符号说明
d：表示两点间的距离 r：表示半径 θ：表示角度 π：表示圆周率，约等于3.14159
符号含义
符号应用
d：表示两点间的 距离
r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周率
√：表示平方根
2：表示常数2
d：表示两点 间的距离
符号记忆 r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周 率
2：表示平方
√：表示开方
公式的应用场景
计算两点间的距离
平面几何中的应用
判断两点是否在同一平面上
添加标题
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判断两点是否在同一直线上
添加标题
添加标题
计算三角形的面积
解析几何中的应用
计算两点间的距离
计算多边形的面积
计算线段的长度 计算三角形的面积
计算曲线的长度 计算曲面的面积
向量中的应用
向量加法：用于表示两个向量的和
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，得到线段AB ● c. 线段AB的长度即为两点间的距离 ● d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² ● e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
,
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两点间的距离 公式
公式中的符号 含义
公式的应用场 景
公式的注意事 项
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 线段AB的长度即为两点间的距离 d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
公式中的符号含义
符号说明
d：表示两点间的距离 r：表示半径 θ：表示角度 π：表示圆周率，约等于3.14159
符号含义
符号应用
d：表示两点间的 距离
r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周率
√：表示平方根
2：表示常数2
d：表示两点 间的距离
符号记忆 r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周 率
2：表示平方
√：表示开方
公式的应用场景
计算两点间的距离
平面几何中的应用
判断两点是否在同一平面上
添加标题
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判断两点是否在同一直线上
添加标题
添加标题
计算三角形的面积
解析几何中的应用
计算两点间的距离
计算多边形的面积
计算线段的长度 计算三角形的面积
计算曲线的长度 计算曲面的面积
向量中的应用
向量加法：用于表示两个向量的和
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，得到线段AB ● c. 线段AB的长度即为两点间的距离 ● d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² ● e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
两点间的距离公式》课件3
在平面几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及三角形、四边形等图形的周 长和面积。
在立体几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及圆柱、圆锥、球等立体图形 的体积和表面积。
在解析几何中，两点间的距离公式可以用来计算直线、曲线、曲面等图形的长度、面积和体积。
两点间的距离公式在现 实生活中的应用
圆上两点间距离问题
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
圆上两点间距离： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)-r
应用：计算圆上 任意两点间的距 离
注意事项：计算时 需考虑圆心和半径， 避免出现负数
两点间距离公式的几何意义
两点间的距离公式是几何中的一个基本概念，用于计算两点之间的直线距离。
公式应用
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短距离 计算两点间的最长距离
公式理解
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 公式含义：计算两点之间的直线距离 公式应用：测量、导航、定位等领域 公式推导：基于欧几里得几何学和勾股定理
公式记忆
两点间的距离公
● 应用：计算两点间的距离，如A(1,2)和B(3,4)，d=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(10)
● 注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 c. 公式中的d是两点间的距离， 不是变量 ● a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 ● b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 ● c. 公式中的d是两点间的距离，不是变量
在立体几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及圆柱、圆锥、球等立体图形 的体积和表面积。
在解析几何中，两点间的距离公式可以用来计算直线、曲线、曲面等图形的长度、面积和体积。
两点间的距离公式在现 实生活中的应用
圆上两点间距离问题
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
圆上两点间距离： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)-r
应用：计算圆上 任意两点间的距 离
注意事项：计算时 需考虑圆心和半径， 避免出现负数
两点间距离公式的几何意义
两点间的距离公式是几何中的一个基本概念，用于计算两点之间的直线距离。
公式应用
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短距离 计算两点间的最长距离
公式理解
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 公式含义：计算两点之间的直线距离 公式应用：测量、导航、定位等领域 公式推导：基于欧几里得几何学和勾股定理
公式记忆
两点间的距离公
● 应用：计算两点间的距离，如A(1,2)和B(3,4)，d=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(10)
● 注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 c. 公式中的d是两点间的距离， 不是变量 ● a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 ● b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 ● c. 公式中的d是两点间的距离，不是变量
两点间的距离PPT课件
§3.3.4 两点间的距离
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1
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
(1) x1≠x2, y1=y2 | P1P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2 | P1P2 || y2 y1 |
6
例题分析
例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角
线的平方和。
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
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7
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
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8
练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 的距离相等。
例 3已知 A(点 1,2),B(2, 7)在 , x轴上求 P,使 一 得|PA ||PB |,并求 |PA |的.值
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5
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
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10
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y
B (0,b)
a M( 2
,b 2
)
o C(0,0)
A(a,0)x
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9
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
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1
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
(1) x1≠x2, y1=y2 | P1P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2 | P1P2 || y2 y1 |
6
例题分析
例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角
线的平方和。
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
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7
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
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8
练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 的距离相等。
例 3已知 A(点 1,2),B(2, 7)在 , x轴上求 P,使 一 得|PA ||PB |,并求 |PA |的.值
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5
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
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y
B (0,b)
a M( 2
,b 2
)
o C(0,0)
A(a,0)x
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9
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
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• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
• [分析] 取直角边所在的直线为坐标轴建立坐 标系，再写出各顶点坐标，给出证明．
[解析] 取边 BA 所在的直线为 x 轴，边 BC 所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系，如图，则三个顶点的坐标分别为 A(a,0)， B(0,0)，C(0，b)．由中点坐标公式得斜边 AC 的中点 M 的坐标 为(a2，b2)．
• (5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定 角的角平分线为x轴建立直角坐标系．
• 正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点， F是CD的中点，试建立坐标系，求证： BF⊥AE.
[解析] 建立平面直角坐标系，如右图所示，则 B(6,0)，
E(6,3)，F(3,6)，A(0,0)．
∴kAE＝36＝12，kBF＝63－－06＝－2.
• 2相．等平行四边形互的相性平质分 ：平行四边形的对边 __________且__________，对角线 __________．
•AB32．＋B勾C2股定理：
• 在直角三角形ABC中，若∠B为直角，则AC2 ＝__________.
• 4．直线l1：2x＋3y＋4＝0与l2：4x＋6y＋8＝ 0的位置关系是( )
• ●自主预习
• 1．两点间的距离公式 • (公x12－)式公x1|式2P＋1：Py22－点|＝y1P_21_(x_1_，__y_1)_，__P_2_(x_2_，_y_2_)_间_的__距_.离 • (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点
的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术 平方根．
• [破疑点] 坐标平面内两点间的距离公式是数 轴上两点间距离公式的推广．
的周长是( )
A．2 3
B．3＋2 3
C．6＋3 2
D．6＋ 10
• [答案] C
4．若 x 轴上的点 M 到原点的距离与Байду номын сангаас点 N(5，－3)的距离
相等，则 M 点的坐标是( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C．(32，0)
D．(3.4,0)
• [答案] D
• 5．已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC ＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C 的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点 的距离相等．
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间 的距离公式．
• 已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等 于10，则点P的坐标为________.
• [分析] 设出点P的坐标，根据两点间距离公 式，列方程求解．
[ 解 析 ] 设 点 P 的 坐 标 为 (x,0) ， 由 |PA| ＝ 10 得 x－32＋0－62＝10，
•
规律总结：三角形形状的判定策略
• (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的 方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的 方向．
• (2)在分析三角形的形状时，要从两个方面 来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形 边的长度特征．
• 已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)则△ABC的形 状为( )
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
[证明] 如图所示，E，F 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点．
以线段 BC 的中点为原点，直线 BC 为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系．
设 A(a，b)，C(c,0)，则 B(－c,0)． 则 AB 的中点 E 的坐标是(a－2 c，b2)，AC 的中点 F 的坐标 是(a＋2 c，b2)．
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 1:40:14 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
• [答案] 5 • 2．[答已案]知3点2P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝
________.
[解析] |P1P2|＝ 5－22＋1＋22＝3 2.
• 3[．证明用] 坐如标图法所示证，明以矩：形矩A形BCD的的对顶角点线相等．
A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
• [答案] (－5,0)或(11,0)
•坐标法的应用
•
用坐标法证明：三角形的中位线平
行于第三边且等于第三边的一半．
• [探究] 以第三边所在直线为x轴，并以其 中点为原点建立坐标系，利用斜率相等证明平 行，利用两点间距离公式证明长度关系．
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
∴|OM|＝ a2－02＋b2－02＝ a22＋b2， |CM|＝ a2－02＋b2－b2＝ a22＋b2， |AM|＝ a2－a2＋b2－02＝ a22＋b2， ∴|OM|＝|CM|＝|AM|， ∴斜边 AC 的中点 M 到三个顶点距离相等．
课后强化作业
（点此链接）
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
所以|EF|＝ a－2 c－a＋2 c2＋b2－b22＝|c|； |BC|＝2|c|. ∴|EF|＝12|BC|. 又 kEF＝0，kBC＝0，
∴EF∥BC．
综上所述，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 一半．
•
规律总结：建立直角坐标系的原则：
• (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为 原点建立直角坐标系；
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
• 2．坐标法
• (1)定义：通过建立平面直角坐标系代数，用
__________方法解决几何问题的方法称为坐
标法．
坐标系
• (2)步代骤数：运算①建立__________，翻用译坐标表示
有关的量：②进行有关__________；③把代
数运算结果“_________”成几何关系．
• ●预习自测
• 1．已知点A(－3,0)，B(2,0)，则|AB|＝ ________.
1．已知 M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5
B． 37
C． 13
D．4
• [答案] A
[解析] |MN|＝ 2＋12＋1－52＝5.
2．已知点 A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝ 13，则实数 k 等
于( )
A．±3
B．3
C．－3
D．0
• [答案] A
[解析] 由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13， 解得 k＝±3.
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
•
已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，
2．侧棱长为 2，底面边长为 1 的正三棱锥的表面积为( )
A．3
15＋ 4
3
B． 3
C． 15
• [答案] A
D．3
3＋ 4
15
[解析] 底面积 S1＝12×1×1× 23＝ 43，侧面积 S2＝3×12
×1×
22－122＝3 415，则表面积＝S1＋S2＝3
15＋ 4
3，故选
A．
3．已知△ABC 的顶点 A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
• [分析] 取直角边所在的直线为坐标轴建立坐 标系，再写出各顶点坐标，给出证明．
[解析] 取边 BA 所在的直线为 x 轴，边 BC 所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系，如图，则三个顶点的坐标分别为 A(a,0)， B(0,0)，C(0，b)．由中点坐标公式得斜边 AC 的中点 M 的坐标 为(a2，b2)．
• (5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定 角的角平分线为x轴建立直角坐标系．
• 正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点， F是CD的中点，试建立坐标系，求证： BF⊥AE.
[解析] 建立平面直角坐标系，如右图所示，则 B(6,0)，
E(6,3)，F(3,6)，A(0,0)．
∴kAE＝36＝12，kBF＝63－－06＝－2.
• 2相．等平行四边形互的相性平质分 ：平行四边形的对边 __________且__________，对角线 __________．
•AB32．＋B勾C2股定理：
• 在直角三角形ABC中，若∠B为直角，则AC2 ＝__________.
• 4．直线l1：2x＋3y＋4＝0与l2：4x＋6y＋8＝ 0的位置关系是( )
• ●自主预习
• 1．两点间的距离公式 • (公x12－)式公x1|式2P＋1：Py22－点|＝y1P_21_(x_1_，__y_1)_，__P_2_(x_2_，_y_2_)_间_的__距_.离 • (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点
的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术 平方根．
• [破疑点] 坐标平面内两点间的距离公式是数 轴上两点间距离公式的推广．
的周长是( )
A．2 3
B．3＋2 3
C．6＋3 2
D．6＋ 10
• [答案] C
4．若 x 轴上的点 M 到原点的距离与Байду номын сангаас点 N(5，－3)的距离
相等，则 M 点的坐标是( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C．(32，0)
D．(3.4,0)
• [答案] D
• 5．已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC ＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C 的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点 的距离相等．
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间 的距离公式．
• 已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等 于10，则点P的坐标为________.
• [分析] 设出点P的坐标，根据两点间距离公 式，列方程求解．
[ 解 析 ] 设 点 P 的 坐 标 为 (x,0) ， 由 |PA| ＝ 10 得 x－32＋0－62＝10，
•
规律总结：三角形形状的判定策略
• (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的 方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的 方向．
• (2)在分析三角形的形状时，要从两个方面 来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形 边的长度特征．
• 已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)则△ABC的形 状为( )
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
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我们，还在路上……
[证明] 如图所示，E，F 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点．
以线段 BC 的中点为原点，直线 BC 为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系．
设 A(a，b)，C(c,0)，则 B(－c,0)． 则 AB 的中点 E 的坐标是(a－2 c，b2)，AC 的中点 F 的坐标 是(a＋2 c，b2)．
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 1:40:14 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
• [答案] 5 • 2．[答已案]知3点2P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝
________.
[解析] |P1P2|＝ 5－22＋1＋22＝3 2.
• 3[．证明用] 坐如标图法所示证，明以矩：形矩A形BCD的的对顶角点线相等．
A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
• [答案] (－5,0)或(11,0)
•坐标法的应用
•
用坐标法证明：三角形的中位线平
行于第三边且等于第三边的一半．
• [探究] 以第三边所在直线为x轴，并以其 中点为原点建立坐标系，利用斜率相等证明平 行，利用两点间距离公式证明长度关系．
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
∴|OM|＝ a2－02＋b2－02＝ a22＋b2， |CM|＝ a2－02＋b2－b2＝ a22＋b2， |AM|＝ a2－a2＋b2－02＝ a22＋b2， ∴|OM|＝|CM|＝|AM|， ∴斜边 AC 的中点 M 到三个顶点距离相等．
课后强化作业
（点此链接）
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
所以|EF|＝ a－2 c－a＋2 c2＋b2－b22＝|c|； |BC|＝2|c|. ∴|EF|＝12|BC|. 又 kEF＝0，kBC＝0，
∴EF∥BC．
综上所述，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 一半．
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规律总结：建立直角坐标系的原则：
• (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为 原点建立直角坐标系；
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
• 2．坐标法
• (1)定义：通过建立平面直角坐标系代数，用
__________方法解决几何问题的方法称为坐
标法．
坐标系
• (2)步代骤数：运算①建立__________，翻用译坐标表示
有关的量：②进行有关__________；③把代
数运算结果“_________”成几何关系．
• ●预习自测
• 1．已知点A(－3,0)，B(2,0)，则|AB|＝ ________.
1．已知 M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5
B． 37
C． 13
D．4
• [答案] A
[解析] |MN|＝ 2＋12＋1－52＝5.
2．已知点 A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝ 13，则实数 k 等
于( )
A．±3
B．3
C．－3
D．0
• [答案] A
[解析] 由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13， 解得 k＝±3.
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
•
已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，
2．侧棱长为 2，底面边长为 1 的正三棱锥的表面积为( )
A．3
15＋ 4
3
B． 3
C． 15
• [答案] A
D．3
3＋ 4
15
[解析] 底面积 S1＝12×1×1× 23＝ 43，侧面积 S2＝3×12
×1×
22－122＝3 415，则表面积＝S1＋S2＝3
15＋ 4
3，故选
A．
3．已知△ABC 的顶点 A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC