工程力学第11章(弯曲应力)

3.常见截面对形心主轴惯性矩的计算
·矩形截面
（矩形截面高h ，宽b ，z轴过截面形心平行矩形底边）
Iz
y2dA
A
h
2 h
2
y 2 (bdy )
bh3 12
bh3 Iz 12
类似地：
hb3 I y 12
·圆形截面
dy
（直径为d ，y、z轴过圆心）
y
y2 z2 R2
dA 2zdy 2 R2 y2dy
Iz
y2dA 2 R y2
A
R
R2 y2 dy R4 d 4
4 64
类似地：
Iy
Iz
d4
64
·圆环截面 （内径为d ，外径为D ，y、z轴过圆心）
Iz
Iy
(D4 64
d4)
D4
64
(1 4 )
( d )
D
·组合截面
Iz
y2dA
A
y2dA
A1+A2++An
y2dA y2dA y2dA
y、z轴为截面的形心主惯性轴.
(3)
Mz (F) 0 : A dA y M
E ydA y E
A
A
y2dA
E
Iz
M
1 M
EIz
抗弯刚度：截面抵抗 弯曲变形的能力
纯弯曲时正应力计算公式
E y
1M
EIz
横截面上的弯矩 所求应力的点 距中性轴的垂直 距离
M y
Iz
横截面对于中性轴的惯性矩
Fy 0 :
9 4 FAy FBy 0 解得：
FAy 2.5 kN
FBy 10.5kN
⑵ 截面几何性质
z
形心位置
C
yC
Ai yi 80 2010 20120 80 52mm
Ai
80 20 20120
y1 52mm y2 88mm
C
( yC )
截面对中性轴的惯性矩
I zc
解：梁的最大剪力、最大弯矩为
FSmax ql
ql 2 Mmax 2
max
Mmax Wz
ql 2 / 2 bh2 / 6
3ql 2 bh2
max
3FSmax 2A
3ql 2bh
max 2( l )
max
h
§11-5 梁的弯曲强度条件
一、弯曲正应力强度条件
max
M
对于塑性材料的等直梁：
⑵ 确定轴径
AB、CD段最大弯矩 M1 2.1kN m
FAy
FDy
确定AB、CD段轴径
1max
M1 Wz1
M1
d13
32
d1
3
32M1
3
32 2.1103
140106
0.012m
BC段最大弯矩
M2 4.55kN m 确定BC段轴径
2max
M2 Wz 2
M2
d23
32
d2
3
32 M 2
3
32 4.55103
140106
0.018m
例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉 许用应力为[σ t] = 30MPa，抗压许用应力为[σ c] = 160MPa，试 校核梁的强度。
解：⑴ 求支座约束力，作弯矩图
MA(F) 0 :
91 FBy 2 4 3 0
的一对y、z轴
三、惯性矩
1.截面对轴的惯性矩
截面对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
截面对y轴的惯性矩
I y
z 2dA
A
惯性矩与极惯性矩的关系
IP
2dA
A
(z2
A
y2 )dA
Iy
Iz
2.惯性半径
I y Aiy2 , Iz Aiz2
iy
Iy A
, iz
Iz A
i , i y z 分别称为图形对y、z轴的惯性半径。
A* 右dA
M dM
M dM
A*
Iz
y1dA
Iz
A* y1dA
(M
dM
)
S
* z
Iz
顶面有切向力 dFS' 'bdx
Fx 0, FN2 FN1 dFS 0
dFS
FN2
FN1
Sz*dM Iz
'bdx
dM Sz* FS Sz*
dx bIz bIz
由切应力互等定理 FS Sz*
Fs 0, M M (x)
梁横截面上既有正应力又有切应力。
·纯弯曲
Fs 0, M 常数
梁横截面上只有正应力无切应力。
§11-2 截面（平面图形）的几何性质
一、截面的静矩与形心
截面对z轴的静矩
Sz A ydA yC A
截面对y轴的静矩
Sy A zdA zC A
ydA
yC
A
A
zdA
解：钢带的变形状态同弯曲，其轴线的曲率半径
D
1.4 2103
0.701m
22 2
2
横截面离中性轴最远距离
ymax
2
2 103 2
1.0103 m
max
E
ymax
200 109 1 103 0.701
285MPa
1M
EIz
M
EI z
200 109 6 23 1012
1.414N m
bIz
·矩形截面
S
* z
bh2 8
(1
4 y2 h2
)
FS Sz*
bIz
切应力沿截面高度抛物线分布
中性轴处切应力最大
max
3 2
FS bh
3 2
FS A
最外缘处切应力等于零
3 2
FS (1 bh
4 y2 h2
)
FS 2Iz
h2 (
4
y2 )
二、工字形截面梁的弯曲切应力
1.腹板的切应力
腹板内切应力沿高度抛物 线分布
解：确定形心轴的位置，坐标系如图
zC
Ai zi (0.14 0.02) 0.08 (0.1 0.02) 0
Ai
(0.14 0.02) (0.1 0.02)
0.0467m
截面对形心轴yC的惯性矩
I yC I yC1 I yC 2 [ 1 0.02 0.143 (0.08 0.0467)2 0.02 0.14] 12 [ 1 0.1 0.023 0.04672 0.02 0.1] 12 12.12106m4
⑶ 对于等直梁，当中性轴为截面对称轴时，危险截面在 M 处； max
当中性轴不为截面对称轴时，危险截面在
M max
/
M max
处（两个截面）。
例：图示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷q = 10kN/m作 用，材料许用应力[σ]=140MPa。试确定轴径。
解：⑴ 确定支座约束力，作弯矩图 FAy FDy 7kN
§11-3 对称弯曲正应力
一、纯弯曲时的正应力
1.变形几何关系 在梁的纵向对称面内作用一对等值反向的力偶，梁 处于纯弯曲状态。
实验现象 (1)纵向线由直线变成曲线，且ab伸长、cd缩短。 (2)横向线仍为直线，且仍垂直于变形后的轴线，但相对 其原方位有一微小的偏转。
平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形
τmax ，≈可τm认in 为腹板上的切应力均匀分布
FS
A
腹板的面积
2.翼缘的切应力
翼缘部分切应力分布复杂且数值很小，一般不作计 算，认为翼缘主要承受截面的弯矩。
三、圆形、环形截面梁的弯曲切应力
圆形截面：
max
4 3
FS A
环形截面：
max
2
FS A
例：图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷q作用，比较 梁的最大正应力与最大切应力。
a»'b' ( y)d
纤维纵向线应变为
a»b ab ( y)d d y
ab
d
变形规律：
y
2.物理关系
P时
y
E
E y
公式中中性层的曲率半径ρ
未知，其与内力、材料、截面 的尺寸、形状有关。
横截面上正应力分布规律图
3.静力关系
(1) Fx 0 :
A dA 0
E ydA E
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
·横力弯曲
第十一章 弯曲应力 §11-1 引言
80 203 12
422 80 20
20 1203 12
282 20120
7630000mm4
C截面应 力分布图
B截面应 力分布图
⑶ 强度校核
最大拉应力校核，B截面上边缘和C截面下边缘可能是最大拉应 力发生位置
B截面
tmax
MB y1 I zc
4103 52103 7630000 1012
dA
A
I yC a2 A
I y I yC a2 A
A zCdA 0 （yC轴过形心）
类似地： Iz IzC b2 A
I yz I yczc ab A
截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对与其平行的形心轴 的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。
例：计算图示T 形截面对其形心轴yC 的惯性矩。
最大切应力在中性轴上
最小切应力在腹板与翼缘 的交界处
FS Sz*
Iz
FS
8Iz
[b(h02 h2 ) (h2 4 y2 )]
max
FS
S* z max
Iz
FS
8Iz
[bh02
(b )h2 ]
min
FS
8Iz
[bh02
bh2 ]
腹板厚度 远小于翼缘宽度 b 时， b -， ≈ b
max
max
Wz
对于塑性材料的变截面梁： max
(
M Wz
)max
对于脆性材料的梁：
t max
t
,
c max
c
根据梁的正应力强度条件可讨论三类强度问题 （强度校核、截面尺寸设计、许可载荷确定）。具体 计算时应注意以下几点：
⑴ 确定危险截面：充分考虑弯矩、截面尺寸 、材料。
⑵ 当材料抗拉、抗压强度不同（如脆性材料）时，应分别进行 抗拉、抗压的强度计算。
梁内的最大弯曲正应力
max
M
Wz
20 103 1.85104
108.1MPa
梁轴的曲率半径
EI z M
200109 1.660105 20 103
166m
例：宽度b = 6mm、厚度δ= 2mm的钢带环绕在直径D = 1400mm 的带轮上，已知钢带的弹性模量为E = 200GPa。试求钢带内的最大 弯曲正应力与钢带承受的弯矩。
M y 应用时肯定有误差，但误差在允许范围内。
Iz 特别是对于细长梁，误差更小。
横力弯曲时正应力计算公式：
M y
Iz
三、最大弯曲正应力
同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大。
抗弯截面系数
max
M Iz
ymax
Wz
Iz ymax
max
M Wz
·矩形截面 ·实心圆截面
Wz
bh2 6
Wz
d3
32
12 0.701
§11-4 Βιβλιοθήκη Baidu称弯曲切应力
一、矩形截面梁的弯曲切应力
假设 (1)横截面上各点切应力方向平行于剪力. (2)切应力沿截面宽度均匀分布。
(y)
左右两个 面上由正应力 引起的轴力：
FN1
A* 左dA
M
M
A* Iz y1dA Iz
A*
y1dA
MSz* Iz
FN2
A1
A2
An
Iz1 Iz2 Izn
截面对轴的惯性矩等于该截面各部分对同一轴 的惯性矩之和。
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
·型钢截面 可以查阅有关工程手册（型钢表）得到。
四、平行移轴定理
I y
z 2dA
A
A (zC a)2dA
A zC2dA 2a A zCdA a2
·空心圆截面
Wz
D3
32
(1 4 )
例：图所示悬臂梁，承受的集中力偶M = 20kN·m作用。梁 采用No.18工字钢，钢的弹性模量E = 200GPa。计算梁内的最 大弯曲正应力与梁轴的曲率半径。
解：截面的弯矩
M 20kN m 查型钢表
Iz 1.660 105 m4 Wz 1.85 104 m3
A
E
A ydA Sz 0
Sz 0
中性轴z必过截面形心，同时中性轴z与截面纵向对 称轴y垂直，故中性轴位置可确定。y、z轴之交点为形 心，x轴即为轴线，且轴线在中性层内。
(2)
My (F) 0 : A dA z 0
E ydA z E
A
E
A yzdA I yz 0
I yz 0
后的轴线，但绕截面的某一轴旋转一个小角度。
中性层：在弯曲变形时梁中既 不伸长也不缩短的一层 纤维
中性轴：中性层与横截面的交线。
由于载荷作用于纵向对称面 内，故中性轴z与横截面对称轴y 垂直。
变形规律
设中性层的曲率半径为
距离中性层为y处的纤维ab变形前长度 ab dx O1O2 d
距离中性层为y处的纤维ab变形后长度
zC
A
A
注意：截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心；反之
，轴过截面形心，则截面对该轴的静矩为零。所以截面对形
心轴的静矩恒等于零。
二、惯性积
截面对y、z轴的惯性积
I yz
yzdA
A
若y、z轴中有一轴为截面的 对称轴，则 Iyz = 0
主惯性轴：Iyz＝0的一对y、z轴。 形心主（惯性）轴：Iyz＝0且都过形心
上述公式适用于任何截面形式的梁发生平面弯曲的情形。
M y
Iz
M 0 : y 0, 0 y 0, 0
M 0 : y 0, 0 y 0, 0
梁弯曲变形凸出一侧为拉应力 凹入一侧为压应力
二、横力弯曲时的正应力 Fs 0 弯曲平面假设不成立
Q M M (x), 1 M (x)
(x) EI