工程力学第11章(弯曲应力)
工程力学第2版周松鹤徐烈烜习题解答弯曲应力
=
0.469
MPa
tB= 0 t 分布
P82 44-2 h = 180 mm
tt
y
负面积法
yC =
A1y1 + A2y2 A1 + A2
= 85 mm
yC 21.15 MPa 14.39 MPa
th
C D zC
b yC z
Iz = S(IzCii+Aibi2) = 3752 cm4
Sz*max
组合法 = 264.5 cm3
A FA l1
BC FB
z y
M│max = 1.016 kN·m
Wz =
bh2 6
= 144 cm3
1.611 kN
1.239 m
l2 1.625 kN
smax =
FS 图
M│max = 7.05 MPa ＜ [s ]
Wz
FS│max = 2.289 kN
Iz =
bh3 12
= 864 cm4
2.289 kN
F CD
F
ll
1 3
Fl
mA = 0
B
z
FB y
Fy = 0
FB =
1 3
F
FA = 13F
I 20 a
查表 : 导学篇 附录B-3 P380中 I 20a
Wz = 236.9 cm3
1 Fl 3
M│max
M图=1 3 NhomakorabeaFl
smax =
M│max Wz
F ≤ kN
≤ [s ]
则 [ F ]= 57 kN
M│max = 20 kN·m
smax =
M│max Wz
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
弯曲应力计算公式圆柱
弯曲应力计算公式圆柱在工程力学中，弯曲应力是指在受力作用下，材料内部产生的应力状态。
在工程设计和结构分析中，对于圆柱体的弯曲应力计算是非常重要的。
本文将介绍圆柱体的弯曲应力计算公式，并对其进行详细解析。
首先，我们来看一下圆柱体的弯曲应力计算公式。
对于圆柱体的弯曲应力，其计算公式为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为圆柱体在受力作用下的弯曲应力，M为作用力矩，c为圆柱体截面内部的距离，I为截面惯性矩。
在这个公式中，作用力矩M是指作用在圆柱体上的力矩，它是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
圆柱体截面内部的距离c是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
而截面惯性矩I则是描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
接下来，我们将对圆柱体弯曲应力计算公式进行详细解析。
首先，我们来看一下作用力矩M。
作用力矩M是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
在实际工程中，作用力矩可以通过外部作用力乘以作用点到圆柱体重心的距离来计算。
作用力矩的大小和方向对于圆柱体的弯曲应力具有重要影响。
其次，我们来看一下截面内部的距离c。
对于圆柱体截面内部的距离c，它是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
在实际计算中，我们需要根据具体的受力情况来确定截面内部的距离c。
通常情况下，我们可以通过几何分析或者实验测量来确定截面内部的距离c。
最后，我们来看一下截面惯性矩I。
截面惯性矩I描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
在实际计算中，我们可以通过几何分析或者使用相关的公式来计算圆柱体截面的惯性矩。
在工程设计和结构分析中，截面惯性矩是一个非常重要的参数，它直接影响着圆柱体的弯曲应力大小。
综上所述，圆柱体的弯曲应力计算公式是一个非常重要的工程力学公式。
通过对该公式的详细解析，我们可以更好地理解圆柱体在受力作用下的弯曲应力状态，并且可以在工程设计和结构分析中更好地应用该公式。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
工程力学弯曲应力PPT资料94页
ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式 计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设 平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层 受拉区
受压区 中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层 中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系
第11章材料力学弯曲应力练习题
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC A2 C 60 Wz 4Wz
可得：
60 4Wz q 240Wz 2 a
1 2 qa 4
3、计算梁内最大弯曲正应力； 由弯矩图得：
M max 9 qa 2 32
1 2 qa 4
所以梁内最大弯曲正应力：
max
M max 9 240Wz 67.5MPa Wz 32Wz
FN 12103 2、计算应力； N MPa A 5 (40 x)
M
M 6 103 x MPa W 1 5 (40 x) 2 6
3、根据强度条件；
N M
12 103 6 103 x 100 5 (40 x) 1 5 (40 x) 2 6
2、计算最大弯曲正应力； 最大弯矩在固定端。；
M max 7.5 103 103 6 max 176MPa 2 Wz 40 80
3、计算固定端k点处弯曲正应力；
M max yk 7.5 103 103 3012 k 132MPa 3 Iz 40 80
结论:
c=146.9mm
3
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；
第11章 深受弯构件
a)正截面弯曲破坏
b)斜截面弯曲破坏 图11-1 简支深梁的弯曲破坏
c)拉杆拱受力图式
§11-1深受弯构件
（2）剪切破坏 ( 较高) 1) 斜压破坏
2) 劈裂破坏
（a）斜压破坏
（b）劈裂破坏
（3）局部受压和锚固破坏
§11-1深受弯构件
二、短梁的受力性能
（1）弯曲破坏 适筋梁破坏 少筋梁破坏 超筋梁破坏 （2）剪切破坏 斜压破坏 （m＜1） 剪压破坏 （m＝1～2.5） 斜拉破坏 （m>2.5） （3）局部受压和锚固破坏
第11章 深受弯构件
深受弯构件
基本概念和应用
浅梁(普通受弯构件)
P
P h
l / h ＞5 l / h≤5
l 深受弯构件
l / h≤2
（简支梁）
l / h ≤ 2.5 （连续梁） 2 ＜l / h ≤ 5 （简支梁） 2.5 ＜l / h ≤ 5（连续梁）
深梁
深受弯构件
短梁
深受弯构件
基本概念和应用
图11-8 撑杆计算高度 a)盖梁立面示意图 b)盖梁侧面示意图
0Td fsd As
（11-10）
3.抗剪承载力计算
可按一般钢筋混凝土受弯构件计算。
§11-2 深受弯构件的计算
图11-3 柱式墩台示意图 a)正面图 b)侧面图
§11-2 深受弯构件的计算
一、深受弯构件（短梁）的计算
1. 深受弯构件的正截面抗弯承载力计算
fsd As C
0Md Mu fsd As z
l z (0.75 0.05 )( h0 0.5 x) h
深受弯构件
基本概念和应用
深受弯构件
工程力学-弯曲应力
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。
此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
《建筑力学》复习提纲及题库
《建筑力学（一）》复习考试说明考试形式及试卷结构考试方法（闭卷）。
试卷满分（为100分，考试时间120分钟）。
●试卷内容比例（各章节内容分数比例）（1）静力学 35%（2）材料力学 65%轴向拉伸与压缩 25%剪切和挤压 20%平面弯曲 15%压杆稳定 5%●题型比例选择题 40%填空题 20%计算题 40%●试卷难易比例容易题 60%中等题 30%较难题 10%复习题库一、选择题（每题2分，共40分）第1章：静力学基础1、“二力平衡公理”和“力的可传性原理”只适用于（ D ）。
A、任何物体B、固体C、弹性体D、刚体2、只限制物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（ A ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面3、既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称（ C ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面4、物体系统的受力图上一定不能画出（ B ）。
A、系统外力B、系统内力C、主动力D、约束反力5、光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线（ A ）。
A、指向受力物体，为压力B、指向受力物体，为拉力C、背离受力物体，为拉力 C、背离受力物体，为压力6、柔体约束反力，作用在连接点，方向沿柔体（ B）。
A、指向被约束体，为拉力B、背离被约束体，为拉力C、指向被约束体，为压力 C、背离被约束体，为压力7、两个大小为3N和4N的力合成一个力时，此合力的最大值为（ B ）。
A、5NB、7NC、12ND、16N8、三力平衡汇交定理是（ A ）。
A、共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点B、共面三力若平衡，必汇交于一点C、三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡D、此三个力必定互相平行第2章：平面汇交力系1、一个物体上的作用力系，满足（ A ）条件，就称这种力系为平面汇交力系。
A、作用线都在同一平面内，且汇交于一点B、作用线都在同一平面内，但不汇交于一点C、作用线不在同一平面内，且汇交于一点D、作用线不在同一平面内，且不交于一点2、平面汇交力系的合成结果是（ C ）。
弯曲应力练习题
弯曲应力练习题弯曲应力是工程力学中的重要概念，涉及到物体在受到弯曲力作用时的应力分布和变化。
掌握弯曲应力的计算方法对于力学领域的学习至关重要。
在本文中，我们将介绍一些常见的弯曲应力练习题，旨在帮助读者加深对弯曲应力的理解和运用。
1. 长方形截面材料的弯曲应力考虑一块长度为L、宽度为b、高度为h的长方形截面材料，在其最大弯曲力矩为M的作用下，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * y) / (I * c)其中，y表示距离截面中性轴的距离，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
2. 悬臂梁的最大弯曲应力考虑一个长度为L、所受力矩为M的悬臂梁，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
对于悬臂梁而言，最大弯曲应力出现在悬臂梁固定端。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * L) / (I * c)其中，M是所受力矩，L是悬臂梁的长度，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
3. 圆柱体的弯曲应力考虑一个半径为r、所受力矩为M的圆柱体，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * r) / (I * c)其中，M是所受力矩，r是圆柱体的半径，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
以上是三个常见的弯曲应力计算问题的解决方法。
在实际的工程应用中，我们需要根据具体情况选择合适的公式并进行计算。
同时，为了准确评估材料的弯曲性能，我们还需要了解材料的力学性质，如弹性模量、截面惯性矩等。
通过练习和实践，我们可以逐渐提高对弯曲应力问题的解决能力。
总结：本文简要介绍了弯曲应力的概念和计算方法，并提供了三个常见的弯曲应力练习题。
这些题目涉及到了不同结构的材料，如长方形截面材料、悬臂梁和圆柱体。
通过解决这些练习题，读者可以深入理解弯曲应力的计算过程，进一步掌握工程力学的基础知识。
工程力学(天津大学)第11章答案
第十一章 梁弯曲时的变形习 题11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。
解：（a ）取坐标系如图所示。
弯矩方程为：xlM M e=挠曲线近似微分方程为：xlM y EI e-=''积分一次和两次分别得：Cxl My EI e +-='22， （a ）DCx xlMEIy e++-=36 (b)边界条件为：x =0时，y =0，x =l 时，y =0， 代入（a ）、(b)式，得：0,6==D l M Ce梁的转角和挠度方程式分别为：)62(12l M xlMEIy e e+-='，)66(13lx M xlMEIyee+-=所以：EIlM y l EIMθEIl M θe C eB e A 16,3,62=-==（b ）取坐标系如图所示。
AC 段弯矩方程为：)20(11l x x lM M e≤≤=BC段弯矩方程为：)2(22l x l Mx lM M ee≤≤-=两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：(a)(b)习题11−1图xAC 段：11x lM y EI e-=''12112C x l My EI e+-='， （a ） 1113116D x C x lMEIye++-= (b)BC 段：eeMx lM y EI +-=''2222222C Mx l My EI ee++-='， （c ）22223226D x C x M x lMEIye e+++-= (d)边界条件为：x 1=0时，y 1=0，x 2=l 时，y 2=0， 变形连续条件为：2121212y y y y l x x '='===，时，代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：,8D 0,2411,2422121l M D l M C l MC eee==-==，梁的转角和挠度方程式分别为：AC 段：)242(121l M x lMEIy e e+-='，)246(11311lx Mx lMEIy ee+-=BC 段：)24112(12222l M x M x lMEIy e e e-+-='，)8241126(12222322l M lx M x M x lMEIy e eee+-+-=所以：0,24,24===C eB e A y l EIMθEIl M θ11−2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。
本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。
一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。
弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。
例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。
2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。
例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。
3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。
不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。
二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。
其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。
1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。
三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。
1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。
例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。
工程力学第十一章弯曲应力
Q
+
– x
qL 2
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
+ M
qL2 8
s max M max 2 A L 16.7 46 t max Wz 3Q h
例题5
F
l
悬臂梁由三块木板粘接 50 而成。跨度为1m。胶合面 z50 的许可剪应力为0.34MPa， 50 木材的〔σ〕= 10 MPa， 100 [τ]=1MPa，求许可载荷。
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
Ｃ
y1
z
y2
例2 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， 截面对形心轴的惯性矩 Iz=763cm4 ，试计算梁内的最大
解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
+ M
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
45
qL 8
2
q=3.6kN/m
A
求最大应力并校核强度
L=3m
qL 2
M max 6M max 6 4050 B s max 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [s ]
15
(2)两个概念
①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层称中性层。 ②中性轴：中性层与横截面的交线。
工程力学中的弯曲应力及应变分析
工程力学中的弯曲应力及应变分析工程力学是工程学科中的重要分支，它研究物体在受力作用下的力学性质和变形规律。
而在工程力学中，弯曲应力及应变分析是一项非常重要的内容。
本文将从弯曲应力与应变的基本概念入手，探讨弯曲应力与应变的分析方法，并介绍一些相关的实际应用。
1. 弯曲应力与应变的基本概念在工程力学中，弯曲是指物体在受到力的作用下，发生形状的变化，使其呈现出曲线状的变形。
而弯曲应力则是指物体在弯曲过程中受到的内部力的大小。
弯曲应变则是指物体在弯曲过程中产生的变形程度。
弯曲应力与应变的分析是为了了解物体在受力作用下的变形情况，以便进行结构设计和强度计算。
2. 弯曲应力与应变的分析方法弯曲应力与应变的分析方法主要有两种：一是基于弹性力学理论的解析方法，二是基于有限元分析的数值方法。
在解析方法中，我们可以利用梁的基本假设和弹性力学理论，通过求解弯曲方程和边界条件，得到弯曲应力与应变的解析解。
这种方法适用于简单的几何形状和边界条件的情况，可以快速得到结果。
但是对于复杂的结构和边界条件，解析方法往往难以应用。
数值方法中的有限元分析是一种常用的方法。
它将结构划分成有限个小单元，通过求解每个小单元的力学方程和边界条件，最终得到整个结构的弯曲应力与应变分布。
有限元分析可以处理复杂的几何形状和边界条件，但需要进行离散化处理和复杂的计算，计算量较大。
3. 弯曲应力与应变的实际应用弯曲应力与应变的分析在实际工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，我们需要对梁、柱等结构进行弯曲应力与应变的分析，以保证结构的稳定性和安全性。
在机械工程中，对于弯曲杆件、弯曲轴等零部件的设计，也需要进行弯曲应力与应变的分析，以确保其工作正常。
此外，在航空航天、汽车制造等领域，对于飞机、汽车等复杂结构的弯曲应力与应变分析更是不可或缺的。
4. 弯曲应力与应变分析的挑战与发展随着工程领域的不断发展，弯曲应力与应变分析也面临着一些挑战。
首先是对于复杂结构的分析问题，传统的解析方法和有限元分析方法可能无法满足需求，需要开发新的数值方法和计算技术。
测试题-弯曲应力(答案)
班级： 学号： 姓名：《工程力学》弯曲应力测试题一、判断题（每小题2分，共20分）1、弯曲变形梁，其外力、外力偶作用在梁的纵向对称面内，梁产生对称弯曲。
（ √ ）2、铁路的钢轨制成工字形，只是为了节省材料。
（ × ）3、为了提高梁的强度和刚度，只能通过增加梁的支撑的办法来实现。
（ × ）4、中性轴是中性层与横截面的交线。
（ √ ）5、最大弯矩M max 只可能发生在集中力F 作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的 强度条件。
（ × ）6、大多数梁只进行弯曲正应力强度校核，而不计算弯曲切应力，这是因为他们横截面上只有正应力存在。
（ × ）7、抗弯截面系数仅与截面形状和尺寸有关，与材料种类无关。
（ √ ）8、矩形截面梁，若其截面高度和宽度都增加一倍，则强度提高到原来的16倍。
（ × ）9、在梁的弯曲正应力公式中，I z 为梁截面对于形心轴的惯性矩。
（ √ ） 10、梁弯曲最合理的截面形状，是在横截面积相同条件下W z 值最大的截面形状。
（ √ ） 二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、材料弯曲变形后（ B ）长度不变。
A ．外层 B ．中性层 C ．内层2、梁弯曲时横截面上的最大正应力在（ C ）。
A. 中性轴上B. 对称轴上C. 离中性轴最远处的边缘上3、一圆截面悬臂梁，受力弯曲变形时，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正 应力是原来的（ A ）倍。
A.81B. 8C. 2D.214、图示受横力弯曲的简支梁产生纯弯曲变形的梁段是（ D ）A. AC 段B. CD 段C. DB 段D. 不存在 5、由梁弯曲时的平面假设，经变形几何关系分析得到（ C ）A. 中性轴通过截面形心B. 梁只产生平面弯曲；C. y ερ=；D. 1zM EI ρ=6、图示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F 。
当F 增大时，破坏的情况是（ C ）。
《建筑力学》复习提纲及题库
《建筑力学（一）》复习考试说明考试形式及试卷结构考试方法（闭卷）。
试卷满分（为100分，考试时间120分钟）。
●试卷内容比例（各章节内容分数比例）（1）静力学 35%（2）材料力学 65%轴向拉伸与压缩 25%剪切和挤压 20%平面弯曲 15%压杆稳定 5%●题型比例选择题 40%填空题 20%计算题 40%●试卷难易比例容易题 60%中等题 30%较难题 10%复习题库一、选择题（每题2分，共40分）第1章：静力学基础1、“二力平衡公理”和“力的可传性原理”只适用于（ D ）。
A、任何物体B、固体C、弹性体D、刚体2、只限制物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（ A ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面3、既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称（ C ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面4、物体系统的受力图上一定不能画出（ B ）。
A、系统外力B、系统内力C、主动力D、约束反力5、光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线（ A ）。
A、指向受力物体，为压力B、指向受力物体，为拉力C、背离受力物体，为拉力 C、背离受力物体，为压力6、柔体约束反力，作用在连接点，方向沿柔体（ B）。
A、指向被约束体，为拉力B、背离被约束体，为拉力C、指向被约束体，为压力 C、背离被约束体，为压力7、两个大小为3N和4N的力合成一个力时，此合力的最大值为（ B ）。
A、5NB、7NC、12ND、16N8、三力平衡汇交定理是（ A ）。
A、共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点B、共面三力若平衡，必汇交于一点C、三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡D、此三个力必定互相平行第2章：平面汇交力系1、一个物体上的作用力系，满足（ A ）条件，就称这种力系为平面汇交力系。
A 、作用线都在同一平面内，且汇交于一点B 、作用线都在同一平面内，但不汇交于一点C 、作用线不在同一平面内，且汇交于一点D 、作用线不在同一平面内，且不交于一点2、平面汇交力系的合成结果是（ C ）。
工程力学材料力学弯曲应力截面计算与校核
4. 工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz = 2080cm
3
s max
M max = = 14.42MPa 11 Wz
HOHAI UNIVERSITY
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
HOHAI UNIVERSITY
q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
B
c yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· M D ytD D max s = = 21.7MPa t max D截面 上部受压、下部受拉 Iz D yt max = 180mm D M y I z = 186.6 106 m 4 D B c max 14 s = = 12.1MPa D c max yc max = 100mm Iz B、D截面为危险截面
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
8
HOHAI UNIVERSITY
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
s
=
M(x)y Iz Mmax Wz
M(x) 1 = ρ( x ) E Iz
* 3 3 Sz = 70 60 220 = 924 10 mm 1
1 =
* FQ S z 1
I zd
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解：确定形心轴的位置，坐标系如图
zC
Ai zi (0.14 0.02) 0.08 (0.1 0.02) 0
Ai
(0.14 0.02) (0.1 0.02)
0.0467m
截面对形心轴yC的惯性矩
I yC I yC1 I yC 2 [ 1 0.02 0.143 (0.08 0.0467)2 0.02 0.14] 12 [ 1 0.1 0.023 0.04672 0.02 0.1] 12 12.12106m4
A1
A2
An
Iz1 Iz2 Izn
截面对轴的惯性矩等于该截面各部分对同一轴 的惯性矩之和。
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
·型钢截面 可以查阅有关工程手册（型钢表）得到。
四、平行移轴定理
I y
z 2dA
A
A (zC a)2dA
A zC2dA 2a A zCdA a2
⑶ 对于等直梁，当中性轴为截面对称轴时，危险截面在 M 处； max
当中性轴不为截面对称轴时，危险截面在
M max
/
M max
处（两个截面）。
例：图示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷q = 10kN/m作 用，材料许用应力[σ]=140MPa。试确定轴径。
解：⑴ 确定支座约束力，作弯矩图 FAy FDy 7kN
zC
A
A
注意：截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心；反之
，轴过截面形心，则截面对该轴的静矩为零。所以截面对形
心轴的静矩恒等于零。
二、惯性积
截面对y、z轴的惯性积
I yz
yzdA
A
若y、z轴中有一轴为截面的 对称轴，则 Iyz = 0
主惯性轴：Iyz＝0的一对y、z轴。 形心主（惯性）轴：Iyz＝0且都过形心
80 203 12
422 80 20
20 1203 12
282 20120
7630000mm4
C截面应 力分布图
B截面应 力分布图
⑶ 强度校核
最大拉应力校核，B截面上边缘和C截面下边缘可能是最大拉应 力发生位置
B截面
tmax
MB y1 I zc
4103 52103 7630000 1012
上述公式适用于任何截面形式的梁发生平面弯曲的情形。
M y
Iz
M 0 : y 0, 0 y 0, 0
M 0 : y 0, 0 y 0, 0
梁弯曲变形凸出一侧为拉应力 凹入一侧为压应力
二、横力弯曲时的正应力 Fs 0 弯曲平面假设不成立
Q M M (x), 1 M (x)
(x) EI
M y 应用时肯定有误差，但误差在允许范围内。
Iz 特别是对于细长梁，误差更小。
横力弯曲时正应力计算公式：
M y
Iz
三、最大弯曲正应力
同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大。
抗弯截面系数
max
M Iz
ymax
Wz
Iz ymax
max
M Wz
·矩形截面 ·实心圆截面
Wz
bh2 6
Wz
d3
32
d2
3
32 M 2
3
32 4.55103
140106
0.018m
例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉 许用应力为[σ t] = 30MPa，抗压许用应力为[σ c] = 160MPa，试 校核梁的强度。
解：⑴ 求支座约束力，作弯矩图
MA(F) 0 :
91 FBy 2 4 3 0
a»'b' ( y)d
纤维纵向线应变为
a»b ab ( y)d d y
ab
d
变形规律：
y
2.物理关系
P时
y
E
E y
公式中中性层的曲率半径ρ
未知，其与内力、材料、截面 的尺寸、形状有关。
横截面上正应力分布规律图
3.静力关系
(1) Fx 0 :
A dA 0
E ydA E
解：钢带的变形状态同弯曲，其轴线的曲率半径
D
1.4 2103
0.701m
22 2
2
横截面离中性轴最远距离
ymax
2
2 103 2
1.0103 m
max
E
ymax
200 109 1 103 0.701
285MPa
1M
EIz
M
EI z
200 109 6 23 1012
1.414N m
的一对y、z轴
三、惯性矩
1.截面对轴的惯性矩
截面对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
截面对y轴的惯性矩
I y
z 2dA
A
惯性矩与极惯性矩的关系
IP
2dA
A
(z2
A
y2 )dA
Iy
Iz
2.惯性半径
I y Aiy2 , Iz Aiz2
iy
Iy A
, iz
Iz A
i , i y z 分别称为图形对y、z轴的惯性半径。
y、z轴为截面的形心主惯性轴.
(3)
Mz (F) 0 : A dA y M
E ydA y E
A
A
y2dA
E
Iz
M
1 M
EIz
抗弯刚度：截面抵抗 弯曲变形的能力
纯弯曲时正应力计算公式
E y
1M
EIz
横截面上的弯矩 所求应力的点 距中性轴的垂直 距离
M y
Iz
横截面对于中性轴的惯性矩
§11-3 对称弯曲正应力
一、纯弯曲时的正应力
1.变形几何关系 在梁的纵向对称面内作用一对等值反向的力偶，梁 处于纯弯曲状态。
实验现象 (1)纵向线由直线变成曲线，且ab伸长、cd缩短。 (2)横向线仍为直线，且仍垂直于变形后的轴线，但相对 其原方位有一微小的偏转。
平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形
最大切应力在中性轴上
最小切应力在腹板与翼缘 的交界处
FS Sz*
Iz
FS
8Iz
[b(h02 h2 ) (h2 4 y2 )]
max
FS
S* z max
Iz
FS
8Iz
[bh02
(b )h2 ]
min
FS
8Iz
[bh02
bh2 ]
腹板厚度 远小于翼缘宽度 b 时， b -， ≈ b
A* 右dA
M dM
M dM
A*
Iz
y1dA
Iz
A* y1dA
(M
dM
)
S
* z
Iz
顶面有切向力 dFS' 'bdx
Fx 0, FN2 FN1 dFS 0
dFS
FN2
FN1
Sz*dM Iz
'bdx
dM Sz* FS Sz*
dx bIz bIz
由切应力互等定理 FS Sz*
3.常见截面对形心主轴惯性矩的计算
·矩形截面
（矩形截面高h ，宽b ，z轴过截面形心平行矩形底边）
Iz
y2dA
A
h
2 h
2
y 2 (bdy )
bh3 12
bh3 Iz 12
类似地：
hb3 I y 12
·圆形截面
dy
（直径为d ，y、z轴过圆心）
y
y2 z2 R2
dA 2zdy 2 R2 y2dy
后的轴线，但绕截面的某一轴旋转一个小角度。
中性层：在弯曲变形时梁中既 不伸长也不缩短的一层 纤维
中性轴：中性层与横截面的交线。
由于载荷作用于纵向对称面 内，故中性轴z与横截面对称轴y 垂直。
变形规律
设中性层的曲率半径为
距离中性层为y处的纤维ab变形前长度 ab dx O1O2 d
距离中性层为y处的纤维ab变形后长度
Iz
y2dA 2 R y2
A
R
R2 y2 dy R4 d 4
4 64
类似地：
Iy
Iz
d4
64
·圆环截面 （内径为d ，外径为D ，y、z轴过圆心）
Iz
Iy
(D4 64
d4)
D4
64
(1 4 )
( d )
D
·组合截面
Iz
y2dA
A
y2dA
A1+A2++An
y2dA y2dA y2dA
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
·横力弯曲
第十一章 弯曲应力 §11-1 引言
12 0.701
§11-4 对称弯曲切应力
一、矩形截面梁的弯曲切应力
假设 (1)横截面上各点切应力方向平行于剪力. (2)切应力沿截面宽度均匀分布。
(y)
左右两个 面上由正应力 引起的轴力：
FN1
A* 左dA
M
M
A* Iz y1dA Iz
A*
y1dA
MSz* Iz
FN2
Fs 0, M M (x)
梁横截面上既有正应力又有切应力。
·纯弯曲
Fs 0, M 常数
梁横截面上只有正应力无切应力。