网络分析与综合-1.2 关联矩阵及其特性
电网络分析与综合
《电网络分析与综合》首先电网络理论是研究电网络（即电路）的基本规律及其分析计算方法的科学，是电工和电子科学与技术的重要理论基础。
“网络分析”与“网络综合”是电网络理论包含的两大主要部分。
本书共十章，第一至六章主要内容为网络分析，第七至十章主要内容为网络综合。
网络分析部分在大学本科电路原理课程的基础上，进一步深入研究电路的基本规律和分析计算方法。
其中，第一章（网络元件和网络的基本性质）包含电网络理论的基本概念与基本定义，是全书的理论基础。
第二、三、四、五章（网络图论和网络方程、网络函数、网络分析的状态变量法、线性网络的信号流图分析法）介绍现代电网络理论中的几类分析电网络的方法。
第六章（灵敏度分析）研究评价电路质量的一个重要性能指标——灵敏度的分析计算方法，为电网络的综合与设计提供必要的工具。
在网络综合部分，除介绍网络综合的基础知识、无源滤波器和有源滤波器综合的基本步骤外，侧重研究得到广泛应用的无源滤波器和有源滤波器的综合方法。
其中，第七、八章（无源网络综合基础、滤波器逼近方法）的内容是进行电网络综合所必须具备的基础知识。
第九章（电抗梯形滤波器综合）对无源LC梯形滤波器的综合方法做了详细介绍。
因为这种滤波器不仅具有优良性能、得到广泛应用，而且在有源RC滤波器以及SC滤波器、SI滤波器等现代滤波器设计中，常以其作为原型滤波器。
第十章（有源滤波器综合基础）在综述有源滤波器基本知识的基础上，介绍几类常用的高阶有源滤波器综合方法。
其中，比较深入地研究了用对无源LC梯形的运算模拟法综合有源滤波器的方法。
第一章主要论述网络的基本元件以及网络和网络与安杰的基本性质。
实际的电路有电气装置、器件连接而成。
在电网络理论中所研究的电路则是实际电路的数学模型，他的基本构造单元时电路元件。
每一个电路元件集中地表征电气装置电磁过程某一方面的性能，用反映这一性能的各变量间关系的方程表示。
电网络的基本变量是电流i、电压u、电荷q、磁通Φ，它们分别对应于电磁场的表征量磁场强度H、电场强度E、电位移D和磁感应强度B。
邻接矩阵和关联矩阵
邻接矩阵和关联矩阵一、概念解释邻接矩阵和关联矩阵是图论中常用的两种表示图的方式。
邻接矩阵是指用一个二维数组来表示图中各个节点之间的连接情况，其中数组的行和列分别代表节点，如果节点i和节点j之间有连边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，否则为0。
关联矩阵是指用一个二维数组来表示图中各个节点和边之间的联系，其中数组的行代表节点，列代表边，如果节点i与边j有关联，则关联矩阵中第i行第j列的元素为1或-1，分别表示该节点是边的起点或终点；如果该节点与该边没有关联，则为0。
二、邻接矩阵1.构建邻接矩阵要构建一个无向图G={V,E}的邻接矩阵A（V*V），可以按以下步骤进行：（1）初始化A为全0矩阵；（2）遍历E集合中每一条边(u,v)，将A[u][v]和A[v][u]均设为1；（3）对角线上所有元素均设为0。
2.应用场景邻接矩阵适用于稠密图（即节点数较多，边数较多）的存储和计算，因为其空间复杂度为O(V^2)，而且可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
3.优缺点邻接矩阵的优点包括：（1）易于理解和实现；（2）空间利用率高；（3）可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
邻接矩阵的缺点包括：（1）对于稀疏图（即节点数很多，但是边数很少），会浪费大量空间；（2）插入或删除节点时需要重新构建整个矩阵，时间复杂度为O(V^2)；（3）如果图中存在重边或自环，则需要额外处理。
三、关联矩阵1.构建关联矩阵要构建一个无向图G={V,E}的关联矩阵B（V*E），可以按以下步骤进行：（1）初始化B为全0矩阵；（2）遍历E集合中每一条边(u,v)，将B[u][e]和B[v][e]均设为1，其中e表示第e条边；（3）对于每个节点i，在B中找到与之相关的所有边，并将它们标记为-1，表示该节点是这些边的终点。
2.应用场景关联矩阵适用于稀疏图（即节点数很多，但是边数很少）的存储和计算，因为其空间复杂度为O(V*E)，而且可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
高等电力网络分析第一章
现代电力系统分析主讲：刘道兵
授课要求
•教学目标：
介绍电力系统计算机分析的基本原理和方法，侧重基础性和共性的内容
•课时：32学时
•授课方式；讲授为主
•考核方式：考试
•成绩评定：卷面成绩（70%）+平时成绩（30%）
•选用教材：
–1.高等电力网络分析，张伯明，清华大学出版社；
–2.现代电力系统分析，王锡帆，科学出版社；
第一章
形成网络方程的系统化方法作业：1－1，1－4，1－5，1－6
几个基本关系
连通图G：
N+1个节点——1个参考节点，N个独立节点；
b条支路；
•独立节点数＝树支数＝基本割集数＝秩＝N •基本回路数＝连支数＝ b -N = L
（2）关联矩阵和关联矢量
网络的拓扑特性可以用表（矩阵）表示
(1)N b
A +× ¾
共有N +1个节点，b 条支路，取一个节点为参考节点。
节点-支路关联矩阵
每条支路对应的关联矢量都形如
11⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1
()b
T k k k k k k T
k k k
I y y ====∑∑∑M M M M M b
N k=1b
k=1
I V
V
=YV []111
1i i k k i k j j k
k
j I V y y V y I V y y V ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡
⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
节点网络方程的另这一种形式。
微波网络第三章网络连接及其矩阵描述
故
U1' U 2 ' = [ A]2 I1 − I2
U1' U1 U 2 U 2 I = [ A]1 ' = [ A]1 [ A]2 − I = [ A] − I 1 2 2 I1
[b]1 = [ S ]1 [ a ]1 [b]2 = [ S ]2 [ a ]2
M
[b ] p = [ S ] p [ a ] p
亦即
[b ]1 [ S ]1 0 L L 0 [ a ]1 [b ]2 0 [ S ]2 L L 0 [ a ]2 = M L L L L L L [b ] 0 0 L [ S ] [ a ] p p p
所以
[ Z ] = [ Z ]1 + [ Z ]2
即两个二端口网络串联后的阻抗矩阵等于两个网络阻抗矩阵 之和。如有n个二端口网络相串联，则其阻抗矩阵等于所有 网络的阻抗矩阵之和，即
[ Z ] = ∑ [ Z ]i
i =1
n
二、二端口网络的并联
有两个二端口网络，将它们按并联的方式联接起来，如图3[ 2所示。其导纳矩阵分别为 [Y ] 、Y ]
故
I1' I1'' U1 I1 I1 U = [ Z ]1 ’ + [ Z ]2 '' = ([ Z ]1 + [ Z ]2 ) I = [ Z ] I I2 I2 2 2 2
[ Z ]1
I 2' U 2'
I2
U1
I1'' U1''
网络的矩阵分析方法
网络的矩阵分析方法
网络的矩阵分析方法是一种用矩阵来描述和分析网络结构、特性和行为的方法。
这种方法将网络表示为矩阵，并利用矩阵运算来研究网络的各种属性。
常见的网络矩阵分析方法包括：
1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：将网络表示为一个二维矩阵，其中矩阵的行和列分别代表网络中的节点，矩阵的元素表示节点之间的连接关系。
邻接矩阵可以用于描述网络的结构和拓扑关系。
2. 关联矩阵（Incidence Matrix）：将网络表示为一个二维矩阵，其中矩阵的行代表网络中的节点，列代表网络中的边，矩阵的元素表示该节点与该边的关联关系。
关联矩阵可以用于描述网络的连接方式和路径。
3. 度矩阵（Degree Matrix）：将网络表示为一个对角矩阵，其中矩阵的对角线元素表示节点的度，即节点的连接数。
度矩阵可以用于描述节点的中心性和重要性。
4. 邻接矩阵的幂次计算：通过对邻接矩阵进行幂次计算，可以得到节点之间的路径数量和长度信息，可以用于计算网络的连通性和可达性。
5. 特征值和特征向量分析：通过计算网络矩阵的特征值和特征向量，可以得到
网络的特征信息，如网络的谱半径、特征中心性等。
6. Laplacian矩阵（拉普拉斯矩阵）：通过对邻接矩阵和度矩阵进行运算得到的矩阵，可以用于研究网络的连通性、划分和传播等问题。
通过上述矩阵分析方法，可以揭示网络的结构、功能和行为特征，对于网络科学、社交网络分析、复杂网络研究等领域具有重要的应用价值。
高等电路：割集、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
➢ 图论的基本概念 ➢ 割集 ➢ 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
➢ 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系
➢ 支路方程的矩阵形式 ➢ 回路电流方程的矩阵形式 ➢ 结点电压方程的矩阵形式 ➢ 割集电压方程的矩阵形式
§ 1-2 割集
一、割集的概念 1、割集的概念 割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： 1、 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； 2、保留Q 中的任一条支路，其余都移去， G还是连通的。 2、割集的判断方法
3 5
4 67 8
3、 基本回路矩阵Bf的作用
①用基本回路矩阵Bf表示矩阵形式的KVL方程； ②
设 u [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]T
３
４
ul
ut
各支路电压的排列顺序与矩阵Bf中
①
2６ 3
③
５
各列所对应的支路的顺序相同
２
Bf u =
134256 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 10 1
1 5
6u
x
1 3
ux
32 V 3
§ 1-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一、 图的矩阵表示 图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即
KCL和KVL的矩阵形式。 三种矩阵形式：
结点 回路 割集
支路 支路 支路
关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
二、关联矩阵A(描述结点和支路的关联性质)
1、关联矩阵A
n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：
il
2
ii24
il1 il3 il2 il3
i5
i6
①
３
４
2６ 3
５
２
社会网络分析与公共治理政策分析报告
社会网络分析与公共治理政策分析报告社会网络分析要紧研究人们如何成立和进展社会关系，和社会关系所形成的网络对人们的态度和行为的阻碍。
它既是描述和分析社会现象的一种理论视角，也是一种新兴的定量研究方式。
Freeman 归纳了社会网络分析的四大组成要素。
( 1) 结构性视角。
社会网络分析强调人的社会性，强调从社会关系和社会互动中去描述和说明人的行为。
比如研究就业问题，社会网络分析那么偏重于研究社会关系( 即社会资本) 对就业的阻碍。
( 2) 关系型数据。
传统计量经济学中的数据多是截面性( Cross - sectional data) 或是面板性的( Panel data) ，假设个体之间是彼此独立的。
社会网络分析适用于特殊格式的数据: 关系型数据( relational da-ta) 。
关系数据中的研究个体之间可能有多种多样的彼此阻碍，因此需要特殊的数据分析方式。
( 3) 图形化展现。
社会网络分析常常会提供一个网络图来描述研究个体间的关系，能够给读者提供一个整体上的、结构性的熟悉。
( 4) 定量式分析。
社会网络分析偏重于定量的分析，用数字的方式描述各成员在社会网络中的位置，和社会网络本身的一些特性。
依照 Freeman( XX) 的介绍，结合本人的研究体会，笔者将社会网络研究的进展大致分为五个时期。
( 1) 初创期。
社会网络分析的直接前身是莫雷诺( Jacob Moreno) 在 20 世纪三十年代创建的社会关系计量学。
莫雷诺及其助手要求其研究对象报他们期望和哪位组织成员一起生活和娱乐，并据此得出一套关系型数据，用以分析各成员在群体中的位置和群体中的小集团。
这是最先的社会网络研究之一。
大约在一样时期，哈佛大学的沃纳( William Warner) 和梅奥( GeorgeMayo) 在研究组织行为的进程中，提出了人际关系学派( The Relational School) 。
他们搜集了工人之间详细的社会网络数据，比如谁和谁一路玩、谁和谁吵了架、谁帮忙了谁、谁和谁是朋友、谁不喜爱谁等，并用图形的方式展现了工人之间的各类关系。
关联矩阵和权重矩阵
关联矩阵和权重矩阵
关联矩阵和权重矩阵是两种重要的矩阵类型，各自有其特定的应用和含义。
关联矩阵（Affinity Matrix）主要反映的是对象之间的相似性或关联程度。
在推荐系统中，关联矩阵通常用来表示用户和商品之间的关联，其中元素值为1表示该用户购买了该商品，否则为0。
而在网络分析中，关联矩阵也可以用于描述节点之间的连接关系。
权重矩阵则主要用来表示对象之间的权重关系。
比如在图论中，权重矩阵可以用来描述图中节点之间的边的权重，这些权重可能代表节点之间的距离、成本、收益等各种不同的量。
对于推荐系统，权重矩阵可能被用来表示用户和商品之间的偏好程度，或者在计算含权网络时，边的权重对网络中传播情况的影响等。
总的来说，关联矩阵和权重矩阵的主要区别在于它们所反映的关系类型不同。
关联矩阵主要描述的是对象之间的关联或相似性，而权重矩阵则主要描述的是对象之间的权重关系。
电网络分析与综合学习报告 (1)
基本回路的方向规定为所含连支的方向。
2.2独立的基尔霍夫定律方程
割集：
割集：
割集：
注意：1、2、3为树枝
推广为一般情况：基本割集的基尔霍夫电流定律方程是一组独立方程，方程的数目等于树支数，基本割集是一组独立割集。
电网络理论读书报告
电网络理论主要包括：网络分析、网络综合、模拟电路故障诊断。其中网络分析主要是一致网络结构、网络参数和输入求输出，网络综合主要是已知网络输入和输出去确定网络的结构与参数，模拟电路故障分析是已知网络的输入和输出确定网络结构参数与故障分析。
第一章网络原件和网络的基本性质
1.1实际电路与电路模型
理想变压器：
阻抗匹配：
1.6网络的基本性质
线性和非线性
线性特性指均匀性，叠加性。
均匀性（齐次性）：
叠加性：
时变与时不变
一个网络在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于网络的时间起点无关，称为非时变网络，否则称为时变网络。
因果与非因果
因果网络当且仅当输入信号激励时，才会出现输出（响应）。也就是说，因果网络的（响应）不会出现在输入信号激励的以前时刻。也叫做非超前网络。
割集：是一组支路集合。并且满足：
(1)如果移去包含在此集合中的全部支路，则此图变成两个分离的部分；
(2)如果留下该集合中的任一支路,则剩下的图仍是连通的。
基本割集(fundamental cut-set)：由数的一条树支与相应的一组连支所构成的割集，称为基本割集。
基本割集的方向规定为所含树支的方向。
电网络理论是建立在电路模型基础上的一门科学，它所研究的直接对象不是实际电路，而是实际电路的模型。实际电路：为了某种目的，把电器件按照一定方式连接起来构成的整体。电路模型：实际电路的科学抽象，由理想化的网络原件连接而成的整体。器件：客观存在的物理实体，是实际电路的组成单元。元件：理想化的模型，其端子上的物理量服从一定的数学规律，是网络的基本构造单元。
关联矩阵法的名词解释
关联矩阵法的名词解释关联矩阵法是一种在计算机科学和网络理论中常用的方法，用于分析和解释复杂系统中的关联关系。
它有助于我们理解和研究网络结构、信息传播以及社交媒体等领域的问题。
本文将详细解释关联矩阵法的相关概念和应用。
1. 关联矩阵关联矩阵是关联矩阵法的核心概念之一。
它是一个方阵，用于表示网络中节点之间的关联关系。
假设网络中有n个节点，那么关联矩阵的维度为n×n。
矩阵中的元素a_ij表示节点i和节点j之间的关联程度。
通常，如果节点i和节点j之间存在连接，那么a_ij的值为1；反之，如果不存在连接，则a_ij的值为0。
通过分析关联矩阵的特征，我们可以获得关于网络结构和行为的有用信息。
2. 图论和网络分析关联矩阵法的应用范围广泛，其中包括图论和网络分析。
图论是一门研究图和网络的数学理论，而网络分析则是通过数学和计算方法探索网络结构、属性和行为的研究领域。
关联矩阵法在这两个领域中被广泛使用，以帮助我们理解和预测网络中的各种现象，如信息传播、社区发现、节点中心性等。
3. 关联矩阵的特征值和特征向量关联矩阵的特征值和特征向量是关联矩阵法中另一个重要概念。
特征值是关联矩阵的一个固有属性，它表示矩阵的线性变换中的缩放因子。
特征向量是与特定特征值相关联的向量，表示在变换中不会改变方向的向量。
通过计算关联矩阵的特征值和特征向量，我们可以得出有关网络结构和行为的重要信息。
例如，特征向量可以用于识别网络中的关键节点，特征值可以用于确定网络的稳定性。
4. 关联矩阵的应用领域关联矩阵法在各种应用领域都有广泛的应用。
在社交媒体和在线社区方面，关联矩阵可以用于社群检测、个人影响力分析和舆论监测等任务。
在传播网络分析中，关联矩阵可以用于预测信息传播的路径和速度。
在生态学和生物学领域，关联矩阵可以用于研究物种间的生态关系和食物链。
此外，在金融市场分析、电力系统控制和交通网络优化等方面，关联矩阵也发挥着重要的作用。
5. 关联矩阵法的优势和不足关联矩阵法具有许多优势，使其成为理解和分析复杂系统的有力工具。
13.2 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵
第2页
例
节
支 1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 10 0110
4 0 1 0 0 -1 -1
特点
②
３
４
①
６
③
５
２
④
1
① 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，
Aa的每一列元素之和为零。
② 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行 是独立的。
ii12 i3
1 0 0 1 10
i4
n-1个KCL方程
i5 i6
２ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④
1
-i1 - i2 i3
i3
-
i4
i6
=？
i1 i4 i5
第5页
②
３
４
1
①
６
③
５
2
２ 3
④
1
KCL方程
-i1 - i2 i3 0
-i3 - i4 i6 0
i1 i4 i5 0
-i1 - i2 i3
６
i4
２
５
③
i5
④1
i6
n-1个独立
KCL方程 矩阵形式的KCL：Qf i =0
第 19 页
② 用QfT表示矩阵形式的KVL方程
设树支电压（或基本割集电压）： ut=[ u1 u2 u3 ]T
1 0 0
ut1 u1
0
Q f Tut
0 1
1
1 0 0 -1
0 1 1 0
网络分析与综合习题答案
网络分析与综合习题答案网络分析与综合习题答案网络分析是一种通过研究网络结构和网络中的关系来理解和解释复杂系统的方法。
在当今数字化时代，网络分析已经成为了许多领域的重要工具，包括社交媒体分析、金融风险评估和疾病传播模型等。
本文将介绍网络分析的基本概念和方法，并提供一些综合习题的答案，帮助读者更好地理解和应用网络分析。
一、网络分析的基本概念1.1 节点和边在网络分析中，节点代表网络中的个体或实体，边代表节点之间的关系。
节点可以是人、公司、网站等，边可以是人与人之间的联系、公司与公司之间的交易、网站之间的链接等。
通过研究节点之间的连接方式和边的属性，我们可以揭示网络中的结构和特征。
1.2 度和中心性度是指节点与其他节点之间的连接数量，它可以用于衡量节点的重要性。
中心性是一种度量节点在网络中的中心地位的指标，常用的中心性指标包括度中心性、接近中心性和介数中心性等。
1.3 社区结构社区结构是指网络中由紧密连接的节点组成的子网络。
社区结构的研究可以帮助我们理解网络中的群体行为和信息传播。
常用的社区检测算法包括Louvain 算法和GN算法等。
二、网络分析的方法2.1 图论方法图论是网络分析的基础，它研究的是节点和边的关系。
通过构建网络模型，我们可以分析网络中的结构和特征。
常用的图论方法包括最短路径算法、连通性算法和最大流最小割算法等。
2.2 社交网络分析社交网络分析是研究人与人之间社交关系的一种方法。
通过分析社交网络中的节点和边，我们可以揭示人际关系的模式和特征。
社交网络分析可以应用于社交媒体分析、疾病传播模型和推荐系统等领域。
2.3 复杂网络分析复杂网络分析研究的是具有复杂结构和动态演化的网络。
复杂网络分析可以帮助我们理解网络中的非线性行为和相互作用。
常用的复杂网络分析方法包括小世界模型、无标度网络模型和随机网络模型等。
三、综合习题答案3.1 问题一给定一个社交网络，节点表示人，边表示人与人之间的友谊关系。
电网络
第1篇网络图论第1章电网络概述第2章网络矩阵方程第3章网络撕裂法第4章多端和多端口网络第5章网络的拓扑公式第6章网络的状态方程电网络分析方法（重点：节点电压法及其应用）拓扑分析暂态分析第1章电网络概述1.1 电网络的基本性质1.2图论的术语和定义1.3树1.4割集1.5图的矩阵表示1.6关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵之间的关系1.7 矩阵形式的基尔霍夫定律基本概念、性质矩阵表示1.1 电网络的基本性质物理模型V I P数学模型实际电系统研究对象分布参数和集中参数网络线性和非线性网络、时变和非时变网络、有源和无源网络、有损和无损网络、互易和非互易网络、性质解决问题网络分析、网络综合和网络诊断1.1 电网络的基本性质1.1.1 线性和非线性1.1.2 时变和非时变1.1.3 有源网络和无源网络1.1.4 有损网络和无损网络1.1.5 互易网络和非互易网络1.1.6 分布参数与集中参数电路传统线性网络1.1.1 线性和非线性3种定义：(1)含有非线性元件的网络称为非线性网络，否则为线性网络；(2)所建立的网络电压、电流方程是线性微分方程的称为线性网络，否则为非线性网络；(3)按输入与输出之间是否满足线性和叠加性来区分三者不完全等价线性叠加端口线性网络1.1.2 时变和非时变(1)含时变元件的网络称为时变网络，否则为定常网络；(2)建立的方程为常系数方程者为定常网络，否则为时变网络；(3)输入、输出间满足延时特性的网络为定常网络，否则为时变网络3种定义：()F t ()R t )(0t t F -)(0t t R -1.1.3 有源网络和无源网络[]12()()()()()k m t v t v t v t v t =T V []T 12()()()()()k m t i t i t i t i t =I T()()0t d τττ-∞≥⎰V I 关联参考方向无源半导体器件？1.1.4 有损网络和无损网络T()()0d τττ∞-∞=⎰VI ()()()()0-∞∞-∞∞=、、、V V I I 无损条件1.1.5 互易网络和非互易网络符合互易关系1.1.6 集中参数电路实际电路的几何尺寸远小于电路工作频率下的电磁波的波长。
1-3 关联矩阵之间的关系《网络分析与综合》课件
矩阵Bf与Qf之间的关系
1 2 3 4 56
4 1 1 0 | 1 0 0
B f 5 0 1 1 | 0 1 0
6 1 1 1 | 0 0 1
Bt
1l
(2) C1 1
(1) 3 6
C3
123 4 5 6
1 1 0 0 | 1 0 1
Q f 2 0 1 0 | 1 1 1 3 0 0 1 | 0 1 1
§1-3 A、Bf、Qf之间 的关系
矩阵A与Bf之间的关系
定理1－2：如果同一连通图的A和Bf 的列具有相同的支路排 列
次序，AB则Tf ： 0
或
B f AT 0
推论1－1：如果同一连通图的A和Bf 的列均按先树支后连支 的
相同支A路 顺At序排A列l ，即：
(2)
1
5
B f Bt 1l
(1)
2
(3)
则 Bt AlT ( At1)T
4
3
(4) 6
矩阵Bf与Qf之间的关系
定理1－3：如果同一连通图的Bf 和Qf 的列具有相同的支路排 列次序，则：
Q f BTf 0 或
B f QTf 0
推论1－1：如果同一连通图的Bf 和Qf 的列具有相同的支路排 列次序，则：
Bt QlT 或 Ql BtT
—A | Ai 0 |
u AT un
B——f—|| —或—ii— BB—TTff ii—ll ——|| ———或——Bulf—u —B0tu—t
——————————————————
Q | Qfi 0
|
u QTf ut
f
| 或 it Qlil
|
或 ul QlT ut
1t
15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
u1 u2 u3 u4 u5 u6
4、用矩阵B表示的KCL的矩阵形式 l个独立回路电流可用一个l 阶列向量表示
il=[il1 il2 … ill]T
各支路电流 i=BTil
上式表明电路中各支路电流可以用与该 支路关联的所有回路中的回路电流表示，这正 是回路电流法的基本思想。
② 3 ① 2 ④ 1 6 5 1 4 ③
②
3 ① 2 ④ 1 4 3 3 6 4
6
5
③
2
5 2
6
6
3
5
1
1
1 B= 2 3
1 1
0 0
2 0
1 0
3 1
1 0
4 5 0 -1
0 0 1 -1
6 1
1 1
2、基本回路矩阵 如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支 回路组，这种回路矩阵就称为基本回路矩阵，用Bf 表示。 写Bf时，注意安排其行列次序如下： 把l条连支依次排列在对应于Bf的第1到第l 列， 然后再排列树支； 取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的 序号， 且以该连支的方向为对应的回路的绕行方向， Bf中将出现一个l 阶的单位子矩阵， 即有
Bf=[1l|Bt]
② 3 ① 2 ④ 1 6 5 1 4 ③
3
6
3
4
2
5 2
6
6
3
5
1 1 1 0 0
1 B= 2 3 1 Bf = 2 3
2 0 1 0
3 1 1 0
4 5 0 -1 0 0 1 -1
6 1 1 1
1 2 1 0 0 1 0 0
4 0 0 1
3 1 1 0
5 -1 0 -1
6 1 1 1
3.2基本关联矩阵及其性质
各阶子式的值是0,-1,+1.
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 v3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 v4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 v5 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
本节讨论对象为有向连通图G
定义3.2.1基本关联矩阵:在有向连通图 G的关联矩阵B中划去任意结点Vk所 对应的行,得到一个(n-1)×m的矩阵Bk, 称为G的一个基本关联矩阵.
e4
V2
V4
e5
V5
e1 e3 e7 V1 e2 V3 e9
e6 e8
V6
e10
e4
V2
V4
e5
V5
e1 e3 e7 V1 e2 V3 e9
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。 证明：线性无关的最大行数为n-1，再多 1行即n行就相关，即线性相关的最少行 数为n， 用反证法证明。 即假设线性相关的最少行数为L<n，寻 找错误的结论。
定理3.2.3 连通图G有n个结点，点与边的 完全关联矩阵的秩为n-1。
定理3.2.2 令Bk是有向连通图G的基本关联 矩阵,那么Bk的某n-1阶子阵行列式非0的 是其各列所对应的边构成G的支撑树. 此定理说明，基本关联矩阵Bk中，n-1 阶非0子式的个数，为G的生成树的棵数。 而Bk恰好有n-1行,关键是寻找n-1个线性 无关的列,构成树的边的组合是其对应子式 非0. 下一节，将介绍基于基本关联矩阵计算 生成树棵数的方法、写出生成树序列的方 法。
e 1...et 0 B P 0 Q 2个非0元的列
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1, 支路 j与节点 i关联且支路方向离开节 点 a ij 1, 支路 j与节点 i关联且支路方向指向节 点 0，支路 j与节点 i不关联
i 1, 2,, n; j 1, 2,, b
关联矩阵A
1 2 3 4 5 6
1 (1) 4 (4) 6 2 3 (2) 5 (3)
ut u 若 u l
则 B f u Bt
ut 1l Bt ut ul 0 ul
所以 ul Bt ut ——KVL方程的另一种矩阵形式
(2)
Qf i 0 用Qf 表示的KCL方程的矩阵形式为：
(1)
1 2 4 (4)
5 (3) 3 6
§1-2 关联矩阵A、Bf、Qf 及其特性
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
如果两件事之间发生了关系，则称这两件事有关联。
描述节点、回路、割集与支路之间关系的矩阵称为关联矩阵。
关联矩阵A
描述图的支路与节点的关联性质，又称为节点支路关联矩阵。 如果一条支路连接于某个节点，则称此支路与该节点关联。 对一联性质可用nb阶矩阵Aa表示。其中的元素aij定义如下：
i 1, 2,, n 1; j 1, 2,, b
n-1为独立割集数，b为支路数，所以Q为(n-) b阶矩阵。 描述图的基本割集与支路的关联性质的矩阵称为基本割集矩 阵Qf。
基本割集矩阵Qf
树支
1 2 3 4
连支
5 6
(1)
1
C1
(2) 5 2
C2
(3) 3
1 1 0 0 1 | 0 1 | 1 1 Qf 2 0 1 0 1 | 3 0 0 1 0 1 1 Ql 1t
it i 若 i l
则 Q f i 1t
i t Ql it Ql il 0 i l
所以 it Ql il ——KCL方程的另一种矩阵形式
u AT un ——KVL方程的另一种矩阵形式
| 1 0 0 | 0 1 0 | 0 0 1
1l
B f Bt | 1l
基本割集矩阵Qf
描述图的割集与支路的关联性质的矩阵称为割集关联矩阵Q。 如果一个割集包含某一支路，则称此割集与该支路关联。
1, 支路 j与割集 i关联且方向一致 qij 1, 支路 j与割集 i关联且方向相反 0，支路 j与割集 i不关联
4 (4) 6
C3
Q f 1t | Ql
以A、Bf、Qf表示的KCL、KVL方程 的矩阵形式
有向图中支路的方向代表该支路电流和电压的参考方向。
设支路电流向量i、支路电压向量u和节点电压向量un分别 代表网络的b个支路电流、b个支路电压和(n-1)个节点电压。 即：
i1 i i 2 ib
l为独立回路数，b为支路数，所以B为lb阶矩阵。l=b-n+1。 描述图的基本回路与支路的关联性质的矩阵称为基本回路矩 阵Bf。
基本回路矩阵Bf
树支
1 2 3 4 1 1 0 Bf 5 0 1 1 6 1 1 1 Bt
连支
4 5 6
(1)
(2) 1 2 4 (4) 6 3 5 (3)
Aa
(1) 1 0 0 1 0 1 (2) 1 1 0 0 1 0 (3) 0 0 1 0 1 1 (4) 0 1 1 1 0 0
增广关联矩阵
删去Aa的任一行即得到(n-1)b阶的矩阵A。通常被删去 的行所对应的节点可作为参考节点。 关联矩阵A与有向图一一对应。
基本回路矩阵Bf
描述图的回路与支路的关联性质的矩阵称为回路关联矩阵B。 如果一个回路包含某一支路，则称此回路与该支路关联。
1, 支路 j与回路 i关联且方向一致 bij 1, 支路 j与回路 i关联且方向相反 0，支路 j与回路 i不关联
i 1, 2,, l ; j 1, 2,, b
Ai 0 Qi 0 Bu 0
u1 u u 2 ub
un1 u un n 2 un1
则KCL、KVL的矩阵形式可分别表示为：
以A、Bf、Qf表示的KCL、KVL方程 的矩阵形式
Bf u 0 用Bf 表示的KVL方程的矩阵形式为：