数学教学与数学思想方法之关系

数学教学与数学思想方法之关系

摘要：就中学数学教学而言，我们不仅需要在教学过程中帮助学生夯实有形的“数学基础知识与基本技能”，更应注意蕴含于数学知识发生、发展的数学思想方法。只有注重思想方法的渗透，才能使学生真正深入透彻地理解与掌握数学知识。

关键词：数学思想方法数学教学

中学数学知识中蕴含着极其丰富的思想方法，其概念的形成、知识的运用、问题的解决，都离不开思想方法的指导与运用。在中学，就解决问题而言，化归方法是解决问题的基本思想方法；而类比、归纳、联想等合情推理的方法是数学发现、创造的重要方法；字母代表数、函数与方程、数形结合等是中学数学学习中的主要思想方法。下面选择部分中学数学中常用的思想方法结合例子加以阐述。

一、化归的思想方法

所谓化归，就是把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，借此来获得原问题的解决的一种思想方法。在中学数学里化归方法用得相当普遍，例如有理数的大小比较转化为算术数的大小比较，有理数四则运算转化为算术数的四则运算，异分母分式加减转化为同分母分式加减，分式方程转化为整式方程等。很多新知识都能通过转化成较简单的或已学过的知识来解决，这里不再一一举例。

二、类比与归纳

所谓类比，就是根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在

其他特征也可能相似的结论的一种推理。而归纳是从个别事实中概括出一般原理的科学方法，即是有特殊到一般的推理，可以说数学里很多结论的得出都离不开归纳法。

例如利用分数的有关知识类比引入分式的相应概念、性质、法则等。现举一个归纳的例子：七年级数学上册第6章复习题中的探索研究第14题：

例1.（1）若平面内有点a、b、c，过其中任意两点画直线，最少画几条直线？最多可以画几条？

（2）若平面内有点a、b 、c、d，过其中任意两点画直线，最多可以画几条直线？

（3）若平面内有5个点呢？有n个点呢？

解析：（1）过任意两点都能画一条直线，有3×2=6条直线，但直线ab与直线ba 是同一条直线，每一条直线都多数一次，因此最多共有（3×2）÷2=3条直线。

（2）若平面内有四个点a、b、c、d，计算方法一样，最多共有(4×3)÷2=6条直线。

（3）如平面内有五个点，最多有（5×4）÷2=10条直线，由此归纳出平面内有n个点，最多【n×（n-1）】÷2条直线。

三、方程的思想方法

方程思想的核心是应用数学的符号化语言，将问题中的已知量与未知量之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过对方程（方程组）、不等式的变换求出未知量的值，

使问题获解。用方程解决问题是中学数学里较为常用的一种方法。现在另举例如下：

例2.a、b是两个不同的实数，a、b分别满足a2+a-1=0，b2+b-1=0，求a2+b2的值。

解析：把a、b看作方程x2+x-1=0的两个根，由根与系数的关系知，a+b=-1，a×b=-1，a2+b2=(a+b)2-2ab=(-1)2-2×（-1）=3，显而意见较容易解决。若按常规方法计算量较大，不但费时费力而且计算易错。

四、函数的思想方法

函数是中学数学中最重要的概念，函数思想在中学数学中随处可见，是联结中学数学内容的一条主线。函数思想的应用，着重于运动变化的观念与对应映射的思想。许多实际问题，大都可以建立函数模型，再转化为解方程或不等式，应用其根作出决策，一直是中考的一个热点。现举例如下：

例3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降价50元，平均每天就能多售出4台。

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y与x之间的函数关系表达式；（不要求写出x的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱的销售中每天盈利4800元，同时又要

使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

解析：（1）根据题意得，y=(2400-2000-x)(8+4×x／50)，即

y=-2/25x2+24x+3200。

（2）由题意意 -2/25x2+24x+3200=4800。

整理，得x2-300x+20000=0。

解这个方程，得x1=100，x2=200。

要使百姓得到实惠，取x=200。所以每台冰箱降价200元

五、数形结合的思想

数与形是对立统一的两个方面，数是形的抽象概括，形是数的直观体现。华罗庚教授说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合是数学领域里的一种基本思想方法，是中学数学教学的基本要求之一。

新教材中数形结合思想的内容是很多的，例如用图形反映数量关系，在整式乘法（尤其是乘法公式）中给出许多结合图形解释乘法法则、公式；在列方程解应用题时，用各种直线图、圆形图反映相关的数量关系等。现举一个例子如下：

例4.x为何值时，函数y=■+■有最小值？

解析：由于y=■+■=■+■

由此联想到在平面上两点之间的距离公式，于是可设a（x，0），m（1，2），n（2，-3），则问题转化为在x轴上求一点a，使它到两点m，n的距离之和最小。通过这种数形转化使原问题的解决就显得十分直观、简单。

现行初中数学教材和课标都注重了数学思想与方法，这就需要教师在教学过程中提高自身对此的认识，有意识地进行渗透、传输。参考文献：

【1】杨裕前，董林伟主编，苏科版教材七年级上册第六章【2】涂荣豹，季素月著，《数学课程与教学论新编》