振动理论课后答案
机械振动理论中的一些原理问答
1.请指出弹簧的串、并联组合方式的计算方法。
确定弹性元件的组合方式是串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。
答：n 个刚度为i k 的弹簧串联，等效刚度∑==ni ieq k k 111；n 个刚度为i k 的弹簧并联的等效刚度为∑==ni i eq k k 1；并联弹簧的刚度较各组成弹簧“硬”，串联弹簧较其任何一个组成弹“簧软”。
确定弹性元件是串联还是并联的方法：若弹性元件是共位移——端部位移相等，则为并联关系；若弹性元件是共力——受力相等，则为串联关系。
2.非粘性阻尼包括哪几种？它们的计算公式分别是什么？ 答:非粘性阻尼包括：（1）库仑阻尼计算公式⎪⎭⎫⎝⎛⋅=.sgn -x mg F e μ，其中，sgn 为符号函数，这里定义为)()()(sgn t x t x x ∙∙∙=，须注意，当0)(x =∙t 时，库仑阻尼力是不定的，它取决于合外力的大小，而方向与之相反；（2）流体阻尼计算公式：是当物体以较大速度在粘性较小的流体（如空气、液体）中运动是，由流体介质所产生的阻尼，计算公式为⎪⎭⎫⎝⎛-=∙∙x x F n sgn 2γ；（3）结构阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼，计算公式为2X E s α=∆ 3.单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、振幅、初相角的计算公式分别是什么？答：单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程()0=+∙∙t kx x m ； 自然频率：mk f n n ππω212==； 振幅：202⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nv x X ω；初相角：0x v arcrann ωϕ=。
4.对于单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法有哪几种？具体过程是什么？答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法：（1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据静变形的关系就可以确定出固有频率具体如下：mg k st =δ，又mkn =ω，将这两个式子联立即可求得stn gδω=；（2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。
(完整版)机械振动习题答案
机械振动测验一、填空题1、 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大值和③极小值而往复变化。
2、 一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。
3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。
4、 常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、环境预测5、 按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类，振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。
6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。
7、 在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势能，阻尼元件③耗散振动能量。
8、 如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。
9、 常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。
10、 系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无关。
二、 试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。
1ln nx xn δ=三、 求图示振动系统的固有频率和振型。
已知12m m m ==，123k k k k ===。
北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题自己去查双（二）自由度振动J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。
质量惯性矩o求其固有频率。
五、物块M质量为m1。
滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均为r的匀质圆盘。
斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。
又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。
试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。
六、在下图所示系统中，已知m和k。
计算系统的基频。
振动习题答案
振动习题答案振动习题答案振动是物体在固定轴线附近做往复运动的现象。
它在我们的日常生活中随处可见，比如钟摆的摆动、弹簧的振动等等。
振动习题是学习振动理论的重要一环，通过解答习题可以加深对振动原理的理解和应用。
下面是一些常见的振动习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 一个质点沿直线做简谐振动，振幅为2cm，周期为4s，求该质点的速度和加速度。
解答：简谐振动的速度和加速度与位置的关系可以通过振动的位移方程得到。
位移方程为：x = A * sin(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
根据周期和角频率的关系，可知ω = 2π / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，振幅A = 2cm，周期T = 4s。
代入上述公式可得ω = 2π /4 = π / 2。
因此，位移方程可写为：x = 2 * sin(π/2 * t + φ)。
速度v = dx / dt，加速度a = dv / dt。
对位移方程求一次导数得到速度和加速度的表达式：v = d(2 * sin(π/2 * t + φ)) / dt = 2 * (π/2) * cos(π/2 * t + φ) = π * cos(π/2 * t + φ)，a = d(π * cos(π/2 * t + φ)) / dt = - (π/2)^2 * sin(π/2 * t + φ) = - (π^2 / 4) *sin(π/2 * t + φ)。
2. 一个弹簧的振动周期为2s，振幅为5cm，求该弹簧的角频率和振动频率。
解答：角频率ω = 2π / T，振动频率f = 1 / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，周期T = 2s。
代入上述公式可得角频率ω = 2π / 2 = π，振动频率f = 1 / 2 = 0.5Hz。
3. 一个质点的振动方程为x = 3sin(2πt + π/4)，求该质点的振幅、周期、角频率、初相位、速度和加速度。
振动理论04(3)-单自由度系统受迫振动
71
2014/10/22
阻尼能量耗散
能量耗散通常可以在周期振荡条件下予以确定
如果画成曲线，不同的阻尼类型对应的力和位移的关系差 别会很大，然而，各种情况下的力-位移曲线一定会形成包 围一定面积的一个闭合区域，称为滞后回线, 其面积与每周 耗散的能量为比例
由阻尼力 导致的每周能量损失可以为
对于有粘性阻尼的弹簧-质量系统，阻尼力为
90
2014/10/22
利用里沙茹图形测量简谐振动频率的接线示意图
振动体的振动信号经过传感器和放大器接到电子示波器的Y轴输入端，而在X 轴输入一个已知的周期信号
示波器的显示屏上将形成里沙茹图形 改变输入信号的频率，使里沙茹图形成为一个稳定的椭圆，从信号器上读得的
输入信号的频率就是被测振动的频率 测量精度主要取决于信号发生器的频率精度 利用这一原理，还可以测量相位差
加速度计的频幅特性
对于无阻尼加速度计，振幅迅速随频率增大，可用的 频率范围很小
如果阻尼比
，有用的测量范围
,误
差小于1.005.01%
2
1
1.00
1
0.95 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
振动测量仪器
振动测量仪器的基本构件是如下图所示的地震元件 根据要测量的频率范围，图中悬挂质量的相对运动可
7
C
6
如果
5
4
y0 a0
3
振动加速度计的
2
固有频率应该是
所记录测量的最 1
B
高频率的2倍以上 0 A
0
1 /n
2
3
振动加速度计－振幅
为了避免被测振动中含有的高阶谐振共振影响振动加 速度计工作，必须在振动加速度计中加入阻尼
振动理论及工程应用_天津大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
振动理论及工程应用_天津大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.振动问题属于动力学问题中的第二类问题，即已知主动力求（）。
答案:运动2.振动是指物体在平衡位置附近所做的（）。
答案:往复运动3.弹簧串联、等效刚度（），弹簧并联，等效刚度（）。
答案:减小增加4.在建立单自由度弹簧—质量系统的运动微分方程时，当选择物块的静平衡位置为坐标原点，假设x轴正方向垂直向下，则物块的位移、速度和加速度的正方向如何确定（）。
答案:都垂直向下5.质点或质点系的运动相互影响的现象叫做（）。
答案:耦联6.激振力与受迫振动的位移相位差为（）时，振动系统达到共振状态。
答案:90°7.小车重P在斜面自高度h处滑下与缓冲器相撞，斜面倾角为α，缓冲弹簧刚度系数为k。
如缓冲质量不计，斜面摩擦不计，小车碰撞后，系统的自由振动周期为（）。
答案:8.在图示振动系统中，已知重为P的AB杆对O轴的回转半径为ρ，物块重为Q，两个弹簧的刚度系数均为k，当系统静止时，杆处于水平。
则此系统微振动的圆频率为：（）答案:9.关于主振型的正交性，下列说法错误的是（）答案:零固有圆频率对应的主振型不与系统的其他主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交10.关于主振型矩阵和正则振型矩阵的关系是（）。
答案:将主振型矩阵的各列除以其对应主质量矩阵元素的平方根，得到的振型就是正则振型11.关于主振型矩阵和正则振型矩阵下列说法错误的是（）。
答案:将主振型矩阵的各列除以其对应主刚度的平方根，得到的振型就是正则振型12.瑞利第一商用（）方程求解，瑞利第二商用（）方程求解。
答案:作用力位移13.瑞利法估算基频的结果是精确值的（），邓克莱法估算基频的结果是精确值的（）答案:上限下限14.子空间迭代法是将（）与（）结合起来的计算方法，它对自由度数较大系统的前若干阶固有频率及主振型非常有效。
答案:里兹法矩阵迭代法15.一维单元应变位移关系矩阵B为：（）答案:16.在杆的纵向振动中，要考虑的边界条件是（）答案:位移和轴向力17.以下不属于梁横向振动的近似解法的是（）答案:传递矩阵法18.下列哪些是主动控制的特点（）。
振动理论课后答案
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
解：
，
不计质量的梁上有三个集中质量，如图所示。用邓克利法计算横向振动的基频。
图
解：
当系统中三个集中质量分别单独存在时：
， ，
在图所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。
图
解：
近似选取假设模态为：
系统的质量阵和刚度阵分别为：
，
由瑞利商公式：
在图所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。
解：
设该简谐振动的方程为 ； 二式平方和为
将数据代入上式：
；
联立求解得
A=10.69cm； 1/s；T= s
当 时， 取最大，即：
得：
答：振动周期为；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm， 1/s。这个振动是否为简谐振动试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 及 ，悬臂梁的质量忽略不计。
图T 2-7答案图T 2-7
解：
和 为串联，等效刚度为： 。（因为总变形为求和）
和 为并联（因为 的变形等于 的变形），则：
和 为串联（因为总变形为求和），故：
故：
由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图所示。当齿轮转动角速度为 时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为 。已知偏心重W=N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=N/cm，测得垂直方向共振振幅 ，远离共振时垂直振幅趋近常值 。求支承阻尼器的阻尼比及在 运行时机器的垂直振幅。
振动理论05(1-2)-瞬态振动
振动理论(5-1)第五章瞬态振动●系统受到突然施加的非周期性激励时，通常不会产生稳态的振动，因而此时所产生的响应，称为瞬态振动●此类振动通常以固有频率发生，其振幅随激励的类型而变化5瞬态振动●冲量是力的时间积分，用表示⏹具有很大的量值但是作用时间很短的力，其时间积分是有限的。
此类的力称为脉冲⏹脉冲力的量值为，为作用时间⏹当, 力将趋于无穷5.1 冲量激励2014/11/143●用时间积分所定义的冲量为，是有限的●当等于一个单位时，在在极限情况条件下的力称为单位冲量，或delta函数●处的delta函数用符号表示，并具有以下性质：比任意假定值大42014/11/14单位脉冲的响应函数●由于, 冲量作用于质量上时会导致一个突然的速度改变，大小为⏹位移没有明显变化,需要时间●初始条件为和的无阻尼自由振动的解为因此，弹簧质量系统在静止状态受到冲量激励的响应为是单位脉冲的响应52014/11/14●对于有阻尼的情形，依据其自由振动的解⏹, ,●单位冲量的响应对于瞬时振动具有很重要的意义●有阻尼或者无阻尼情况，从脉冲发生作为初始时刻，脉冲产生的响应在任意时刻（持续时间为）的冲量响应都可以记为62014/11/14●有了单位冲量响应之后，可以建立受任意外力激励的系统的响应●把任意外力看成是一系列冲量，分析在时刻的冲量，其强度为●其在时刻对响应的贡献取决于从脉冲发生时刻到时刻的响应持续时间5.2 任意激励2014/11/147对于线性系统，叠加原理成立。
把系列冲量的贡献加起来，任意激励的响应可以表示为称为卷积分（convolution integral），或叠加积分(superposition integral)82014/11/14●对于基底激励，在动力系统的支承遭受突然的运动（可以用位移、速度或者加速度来描述）时，其运动方程可以用相对位移来表示：●受迫振动系统的所有结果都可以适用于基底激励情形，只需要把原来的换为或基底的加速度的负值●对于初始静止的无阻尼系统，相对位移的解为92014/11/145.3 拉普拉斯变换表达式对于粘性阻尼的弹簧质量系统，初始条件为和. 其运动方程为对其应用拉普拉斯变换从中解出,得到辅助方程对其进行逆变换即可得响应. 第一项代表了受迫振动，第二项代表初始条件引起的瞬态振动102014/11/14●对于更一般的情况，辅助方程可以写为如下形式：其中，和为多项式，而且比的阶数高●如果只考虑解的受迫振动部分，可以定义如下的阻抗变换（impedance transform）其倒数为导纳变换112014/11/14●采用如下的框图来表示输入和输出●导纳变换可以看成是系统变换函数，定义为初值为零时的辅助平面内的输出和输入的比值122014/11/14●物体在多高的地方落下不受损？手机，包裹●此类的考虑对于诸如飞机着陆或者包裹物品的缓冲垫有尤其重要的意义●可以通过称为跌落实验的方法进行研究，用理想化线性弹簧质量系统讨论几个基本问题。
振动理论11(3)-自激振动
●振动系统的简化模型⏹质量一弹簧系统在匀速移动平台上作相对滑动●不失一般性，令滑块质量和弹簧刚度系数均等于，弹簧的伸长为，平台速度为，滑块与平台之间的相对速度为−. 是相对速度为时的摩擦力相平面方法应用--干摩擦引起自激振动问题分析75●受干摩擦力和弹簧恢复力作用的滑块运动方程为●弹簧伸长稳定时刻作为滑块平衡位置，即令●将平衡位置作为新的坐标原点，引入新的变量76则方程化作+其中的阻尼项为77●一阶自治方程●其对应的相轨迹如下⏹虚线为零斜率等倾线，在原点附近位于第一、三象限，类似于负阻尼情形78●在原点附近，相当于负阻尼情形：原点处的奇点为不稳定焦点，对应于不稳定的滑块平衡位置●当滑块因扰动偏离平衡位置时，相点沿螺线向外运动，振幅不断增大●一旦相点到达辅助曲线的水平段，即沿此线段移动到达右边，然后环绕原点一周后再与线段相遇，并再次重复此过程●过点的相轨迹自然成为相平面内的极限环。
●以上分析说明了干摩擦自激振动的产生原因。
79●当相点沿线段运动时，滑块相对平台的相对速度为零，这时平台咬住滑块以速度一同匀速运动●待弹簧恢复力随弹簧变形增长得足以克服静摩擦力时，滑块开始相对平台向后滑动，并在摩擦力作用下不断减速●滑动直到相对速度减至零，平台再次咬住滑块时上述过程重复发生对应的物理描述80●在此系统中，等速移动的平台为恒定能源，通过滑块与平台之间干摩擦特性调节能量的输入和输出●平台咬住滑块时对滑块作正功，释放后对滑块作负功，使滑块维持稳定的自激振动●各种实际的干摩擦自振现象都可从以上简单模型的分析得到解释●在工程中，滑块与平台之间时而粘住时而滑动的不连续爬行现象可在机械传动系统中发生。
利用润滑剂使干摩擦转化为黏性摩擦，干摩擦自振现象即自然消失。
对应的物理描述81输电线舞动82●高压输电线路在某些天气条件下会发生低频大振幅的振动⏹输电线通常为圆形截面，用相距300英尺的线塔牵拉⏹输电线在跨长内做半波振动，跨中振幅可达10英尺，频率大约每秒1周，或者更低●由于这一特征，这一现象通常被称为舞动而不是振动●在温暖气候的国家，很少会发生此类现象。
理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解
理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解高等教育出版社的《理论力学课后题答案》一书中，第一章包含了以下三个问题的解答：1.2 题目要求写出在铅直平面内的光滑摆线，并分方程。
解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。
最后证明了质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关。
1.3 题目要求证明单摆运动的振动周期与摆长无关。
解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。
最后通过进一步计算，得出了单摆运动的振动周期公式。
1.5 题目要求使用拉格朗日方程计算质点的运动。
解答中使用了拉格朗日方程，并通过进一步计算得出了质点的运动轨迹。
如图，在半径为R时，地球表面的重力加速度可以由万有引力公式求得：g=\frac{GM}{R^2}$$其中M为地球的质量。
根据广义相对论，地球表面的重力加速度还可以表示为：g=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)$$其中c为光速。
当半径增加到R+ΔR时，总质量仍为M，根据XXX展开，可以得到：frac{1}{(R+\Delta R)^2}=\frac{1}{R^2}-\frac{2\DeltaR}{R^3}+\mathcal{O}(\Delta R^2)$$代入上式可得：g'=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)\left(1+\frac{2\Delta R}{R}\right)$$ 化简后得：g'=g-\frac{2g\Delta R}{R}$$因此，当半径改变时，表面的重力加速度的变化为：Delta g=-\frac{2g\Delta R}{R}$$2.在平面极坐标系下，设质点的加速度的切向分量和法向分量都是常数，即$a_t=k_1$，$a_n=k_2$（其中$k_1$和$k_2$为常数）。
根据牛顿第二定律，可以得到质点的运动方程：r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=k_2$$ddot{r}-r\dot{\theta}^2=k_1$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
振动理论作业答案y-作业
小质量m的绝对速度为： 2 & & & & & & && va = x12 + y12 = 4R2θ 2 + x2 + 4x2θ 2 + 4Rxθ cos3θ −8Rxθ 2 sin3θ
3
第5章分析力学基础
习题
第5章分析力学基础
习题
r sinα = Rcos3θ 方法2： ΔOBA中 2 2 2 有：r = R + x − 2 Rx cos(90° − 3θ ) = R 2 + x 2 − 2 Rx sin 3θ 小质量m的绝对速度
ω
2 2
2+ 2 k = J 2
ω
2 R
k = 3J
3k ω′ = 10 J
2 R
ω
2 1
2 1
k ≈ 4J
⎫ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎬ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎭
方法1：广义坐标、频率和主振型都与题3－3相同。待定常数由 初始角速度为零，初始转角为[0, 0.01]T，代入下式得到。（ ω 不等于 ω1和 ω2）
1 ⎤ ⎧ A1 cos (ω1t − ϕ1 ) ⎫ ⎧θ1 ⎫ ⎡ 1 ⎨ ⎬=⎢ ⎬ ⎥⎨ ⎩θ 2 ⎭ ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ A2 cos (ω 2t − ϕ 2 )⎭
+
kT sin ω t ⎧ ⎫ 1 ⎬ 2 2 2 ⎨ 2 J ω − 4 Jk ω + k ⎩ ( 2 k − 2 J ω )T sin ω t ⎭
习题
⎧1 ⎪ (θ1 + θ ⎪2 1 ⎤ ⎧ y1 ⎫ −1 ⎧ 1 ⎫ 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎡1 ⎨ ⎬ = [u ] ⎨ ⎬ = ⎨ [u ] = [u] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎩θ 2 ⎭ ⎪ 1 2 J ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ y2 ⎭ 2 − 2⎥ ⎣ ⎦ ⎪ 2 (θ1 − ⎩
振动理论-习题
《振动力学》——习题单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后 的运动规律。
图2-1 图2-2 2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置， 如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求 出振动固有周期。
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求 其摆动的固有频率。
图2-3 图2-4 2-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况 系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
已知杆的质量为m ，A 端弹簧的刚度为k 。
并问铰链支座C 放在何处时使系统的固有频率最高？图2-5 图2-6 2-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。
已知m =50kg ，19800N m k =，234900N m k k ==，419600N m k =。
试问：（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？2-7 图2-7所示系统，质量为m 2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。
试求此系统的固有频 率。
图2-72-8 如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。
图2-8 图2-9 2-9 图2-9所示的系统中，m ＝1kg ，k ＝224N/m ，c ＝48N.s/m ，l 1＝l ＝0.49m ，l 2＝l /2，l 3＝l /4，不计钢杆质量。
机械振动-张义民课后习题答案
单自由度系统的自由振动2.1求习题图2-l(a),(b),(c)所示系统的固有频率。
图Q)所示的系统悬怦梁的质量可以忽略不计,其等效弹赞刚度分别为码和居。
图(b)所示的系统为一质最m连接在刚性杆上,杆的质量忽略不计。
图(C)所示的系统中悬挂质帚为加，梁的质帚忽略不计，梁的挠度5由式5 = PL3ZASEJ 给出，梁的刚度为H °习题图2-1机械根动习題鮮答解：（a〉系统简化过程如习题图2-l（a）所示。
4和息串联MZ=H⅛;也和b并联：Z= ^eql + &3^«）2 和上4 串联：Hl =即■r _ （焦层+以3 +心3低）加S = d层十（怡1十层）（爲=G所以固有频率为（B）习题图2-1 （B）所示系统可能有下面两种运动帖况：①在机垂i⅛振动的整个过稈中•杆被约束保持水平位置（见图（b）■①）；②在悬挂的铅垂面内，杆可以自由转动（见图（b"②）。
①在杆保持水平的情况下，弹簧d和屜并联,有怎q =血+缸所以固有频率为②当杆可以自由转动时•杆和质虽m的运动会出现非水平的一般状态。
设A点的位移为点的位移为H2，加的位移为工，则静力方程利静力矩方程为ZIlXl + k2X3 = Aa l HQJrILl = k2x z L2几何关系又LI 十L2 = L 由以匕方程解得=kλk z∖}eq ki L↑±k z Ll所以固有频率为ω,17 m第2幸单自由度糸统的自由振动(C)系统简化过程如习题图2-1(C)所示。
等效弹簧刚度为其中所以固有频率为2.2如习题图2・2所示的系统中均质刚杆AB的质帚为加，A端弹簧的刚度为仁求()点铃链支座放在何处时系统的固有频率最高。
解：设&坐标如习题图2-2所示。
系统的动能为=-ym(nZ)2^l — + + 右片=-I-^eq(WZ^)2 (I)等效质量加“可以表示为山于固有频率与质量的平方根成反比，即3严厲、欲得最高的固有频率，必须使〃G为最小，即d叫 _ 3”_2 _ dn 3n3得2n = T代入二阶导数•得d'/Meq _ 2(1 —”)、∩~ln r _ ~^√>是极小值•故饺链应放在距A端彳L处。
燕山大学振动理论习题答案
k123
k1k23 k1 k23
2k 3
k1234
k123k4 k123 k4
1k 2
（1） mg
k1234 x0 ， x0
2mg k
（2）
xt
x0
cosnt
，
xm a x
2x0
4mg k
2-7 图 2-7 所示系统，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统 的固有频率。
2π l a
h 3g
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为 R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图 2-3 所示。 试求
其摆动的固有频率。
图 2-3
图 2-4
2-4 如图 2-4 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下 列情况
系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
n
ke m
2-5 试求图 2-5 所示系统中均质刚性杆 AB 在 A 点的等效质量。已知杆的质量为 m，A
端弹簧的刚度为 k。并问铰链支座 C 放在何处时使系统的固有频率最高？
图 2-5
图 2-6
2-6 在图 2-6 所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知 m=50kg，k1 9800 N m ， k2 k3 4900 N m ， k4 19600 N m 。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
E P02
2
k (1 2 )2 (2)2
证明
E T c2B2 cos(t )dt cB2 0
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
振动理论习题答案汇总
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅱ》(第7版)课后习题(机械振动基础)
由
可得 即两个质点振动频率相同，周期皆为
18-5 均质细杆长 l，质量为 m。问以哪一点为悬挂点作为复摆，其摆动频率最大；以 哪一点为悬挂点其摆动频率最小。
答：复摆固有频率为 若 O 不质心 C 距离为 a，则
则
由 得
当
时， 小于零，
所以当
时，叫有最大值，
当 a＝0 时，ω＝0 为最小值。
18-6 什么是临界阻尼？欠阻尼和过阻尼状态的自由振动有什么丌同？
答：对质量相同的两质点极成的系统，其弹簧中点将保持丌动，对每个质点相当于弹簧
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弹性数增大一倍，振动固有频率为 ，周期为
。
对质量为 m1 和 m2 的系统仍将发生自由振动，质心 C 丌动。
对于 m1 质点，
固有频率为
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答：
为临界阻尼；
为欠阻尼，系统沿平衡位置附近振动；
为过阻尼状态，系统直接趋于平衡位置，无振动性质。
18-7 证明在过阻尼振动状态下，物体以仸意的起始位置和起始速度运动，越过平衡 位置丌能超过一次。
答：过阻尼状态下， 则自由振动解为 平衡位置处 x＝0，即
18-3 假如地球引力增加一倍，下列几种振动系统的固有频率有变化？（1）单摆；（2） 复摆；（3）弹簧质量系统；（4）扭摆。
答：（1）固有频率增大 倍； （2）固有频率增大 倍； （3）丌变化； （4）丌变化。
18-4 在光滑水平面上，两个质量皆为 m 的质点由一刚度系数为 k 的无重弹簧相连。 若将二质点拉开一段距离再同时释放，二者将发生振动，求此振动的周期。如上述二质点的 质量分别为 m1 和 m2，问二者仍发生振动吗？振动周期为多大？
振动理论-第3章 单自由度系统的强迫振动
x0 0
、
x0
n
F0 k
1
r r
2
则初始条件为：
x0 0
x0
n
F0 k
r 1 r2
讨论：
x(t
)
C1
cos
nt
C2
sin
nt
F0
m(n2
2
)
cos
t
x(0) x0
C1
x0
F0 k
1
1 r
2
x(0) x0
C2
x0
n
故全解：
x(t)
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
F0 k
1
1 r
2
cos nt
a
复数的三角函数表示：Z Z cos i sin
复数的指数函数表示：Z Z ei
对于复数域内复函数 H () a() ib() A() iB()
可表示为 H () H () ei ()
H ()
a2 b2 A2 B2
() arctan Im[H ()] Re[H ()]
二. 激励力引起的强迫振动
n
2
2
2
n
2
激励与响应的相位角
arctan
2
n
1
n
2
或写为：
X st
1
1 r 2 2 2 r 2
arctan
2 r
1 r2
st
F0 k
r n
系统的最大静位移 频率比
所以，强迫振动的稳态解为：
x2
F0 k
1
sin(t )
1 r 2 2 2 r 2
第三章 两自由度系统振动
1α，小车与斜面之间摩擦力gk PT π2=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α2sin 2k P h k P A2。
()2234mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。
()r R gn -=32ω图2-3第三章 两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。
只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
振动力学(部分)课后答案 (刘延柱 著) 高等教育出版社
= ωn x 和 T = U 可得： 利用 x
ωn =
3(2m + m1 )g 2(3m + m1 )l
1.2 质量为 m、半径为 R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 CA=a 的 A 点 系有两根弹性刚度系数为 k 的水平弹簧，如图 E1.2 所示。求系统的固有频率。
k
A a R C
T= k 2 和 k3 相当于串联，则有：
1 2 Jθ 2
θ = θ 2 + θ3 , k2θ 2 = k3θ 3
以上两式联立可得：
θ2 =
系统的势能为：
k3 k2 θ , θ3 = θ k 2 + k3 k 2 + k3
U=
1 2 1 1 1 ⎡ k (k + k3 ) + k2 k3 ⎤ 2 k1θ + k2θ 22 + k3θ32 = ⎢ 1 2 ⎥θ 2 2 2 2⎣ k 2 + k3 ⎦
+ (k1 + k2 )x + (c1 + c2 )x = k1 x + c1 x m x + cx + kx = k1 A1 sin ω1 + c1 A1ω1 cos ω1t m x c = c1 + c2 ， k = k1 + k2 ， ωn =
（1）的解可参照释义（2.56） ，为： （1）
k
θ
图 E1.2
解： 如图，令 θ 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T=
1 2 1 ⎛ 1 ⎞ 2 3 2 I Bθ = ⎜ mR 2 + mR 2 ⎟θ = mR 2θ 2 2⎝ 2 4 ⎠
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精心整理1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制?解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为，x=A sin10πt?；由物体的受力分析，N?= 0（极限状态）物体不跳离平台的条件为：；既有，,由题意可知Hz，得到，mm。
1-2?有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及cm时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。
解：设该简谐振动的方程为；二式平方和为将数据代入上式：；联立求解得A=10.69cm；1/s；T=s当时，取最大，即：得：答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3?一个机器内某零件的振动规律为，x的单位是cm，1/s?。
这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
解：振幅A=0.583最大速度最大加速度?1-4某仪器的振动规律为。
此振动是否为简谐振动?试用x-?t坐标画出运动图。
解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω?T2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。
两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。
解：?两简谐振动分别为，，则：=3cos5t+3isin5t=5cos(5t+)+3isin(5t+)或；其合成振幅为：=其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan则他们的合成振动为：?实部：cos(5t+?arctan)虚部：sin(5t+?arctan)1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。
解∶三角波一个周期内函数x?(t)可表示为，由式得n=1，2，3……于是，得x(t)的傅氏级数1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。
解∶锯齿波一个周期内函数P?(t)可表示为，由式得n=1，2，3……于是，得x(t)的傅氏级数,1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。
；P(t)平均值为0++将?代入整理得1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。
解：可表示为由于得：即：1-10?求题1-10图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。
解：频谱函数：2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。
已知，︒=30α，m = 1 kg，k = 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
mg xxm k图 T 2-1答案图 T 2-1解：0sin kx mg =α，1.049218.91sin 0=⨯⨯==kmg x αcm70110492=⨯==-m k n ωrad/st t x x n 70cos 1.0cos 0-==ωcm（a ），（1）（1）的解可参照释义（2.56），为：()()()()()()()22211111222111121cos 21sin s s t kA c s s t kA k t Y ξθωωξθω+--++--=（2）其中：n s ωω1=，21112s s tg -=-ξθ故（2）为：考虑到()t x2的影响，则叠加后的()t x为：2.2 如图T 2-2所示，重物W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重1物W从高度为h处自由下落到1W上而无弹跳。
求2W下降的最大距离和两物体碰撞后2的运动规律。
解：故：故：2.4 在图E2.4所示系统中，已知m，k，2k，0F和ω，初始时物块静止且两弹簧1均为原长。
求物块运动规律。
图E2.4答案图E2.4解：取坐标轴1x 和2x ，对连接点A 列平衡方程：（1）（2）（3）0v，求图E2.3解：()()2220211s s kF A ξ+-⋅=，2112s stg -=-ξθm2求出C ，D 后，代入上面第一个方程即可得。
2.7 求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 及3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解： 1k k k方向大小为t me ωωsin 2。
已知偏心重W = 125.5 N ，偏心距e = 15.0 cm ，支承弹簧总刚度系数k = 967.7 N /cm ，测得垂直方向共振振幅cm X m 07.1=，远离共振时垂直振幅趋近常值cm X 32.00=。
求支承阻尼器的阻尼比及在m in 300r =ω运行时机器的垂直振幅。
图E2.7解：()()()()θωξ-+-⋅=t s s s Mme t x sin 212222，2112sstg -=-ξθ s =1时共振，振幅为：cm M me X 07.1211=⋅=ξ（1）远离共振点时，振幅为：（2）图 T 2-9答案图 T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：故：2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
解：（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率()n f为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？图 T 2-1答案图 T 2-11(1)答案图 T 2-11(2)图 T 2-17解：零平衡位置（1）01234x k mg =，kmgx 20=（2）()t x t x n ωcos 0=，kmgx x 420max == 2.19 如图T 2-19所示，质量为m 2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
解：图 T 2-20解：系统动能为： 系统动能为： 根据：max max V T =，maxmax θωθn =2.24 一长度为l 、质量为m 的均匀刚性杆铰接于O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图T 2-24所示。
写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。
解：图 T 2-25答案图 T 2-25解：n ml ca ξω222=，kmmlb ca ml ca n 22222==ωξ 由mk a blc 221=⇒=γξ 2.26 图T 2-26所示的系统中，m = 1 kg ，k = 144 N / m ，c = 48 N ?s / m ，l 1 = l = 0.49 m ，l 2 = 0.5 l ， l 3 = 0.25 l ，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n ω及阻尼ζ。
解：图E4.7答案图E4.7(1)解：l y 111sin ==θθ ，l y y 1222sin -==θθ ，ly233sin ==θθ 根据1m 和2m 的自由体动力平衡关系，有：故：当1m =2m 时，令：t Y y ωsin 11=，t Y y ωsin 22=，Fml2ωλ=代入矩阵方程，有：ml F ml F ==121λω，mlFml F 3222==λω解：先求刚度矩阵。
令1=θ，0=x ，得：令0=θ，1=x ，得：则刚度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=2222221k ak a k a k b k K 再求质量矩阵。
j x 及解：j j j Kx Kx KM 21ω=-，等号两边再左乘1-KM []j j j x K KM Kx KM KM 1211---=ω，等号两边左乘T i x[][]01221==--j T i j j T i x K KM x Kx KM x ω，当j i ≠时重复n 次得到：j j j Mx Kx 2ω=，等号两边左乘1-MK故：j j j Mx MK Mx 12-=ω，等号两边左乘T i x[]012==-j T i j j T i x M MK x Mx x ω，当j i ≠时即0=j T i Mx x ，当j i ≠时重复运算：2解：图E5.2解：当系统中三个集中质量分别单独存在时：()==EI l f 124/9311，()EI l f 124/16322=，()EIl f 124/9333= 5.3 在图E5.3所示系统中，已知m 和k 。
用瑞利法计算系统的基频。
图E5.3解：近似选取假设模态为：解：⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣100T ⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣022T 由自由端边界条件得频率方程：J k 765.01=⇒ω，Jk848.12=ω 代入各单元状态变量的第一元素，即： 得到模态：[]T 414.11)1(=φ，[]T 414.11)2(-=φ5.10 在图E5.10所示系统中，已知GI p i ( i = 1 , 2)，l i ( i = 1 , 2)和J i ( i = 1 , 2)。
用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。
解：25.11 在图E5.11所示系统中悬臂梁质量不计，m 、l 和EI 已知。
用传递矩阵法计算系统的固有频率。
图E5.11解：引入无量纲量：l y y =，EIMlM =，EI l F F S S 2=，EI ml 23ωλ= 定义无量纲的状态变量：k = 6EI图E5.12解：引入无量纲量：l y y =，EIMlM =，EI l F F S S 2=，EI ml 23ωλ= 定义无量纲的状态变量： 边界条件：左端铰支：[]T S R F 000θ=X ，右端自由：[]T R y 001θ=X根据传递矩阵法，有：6.3解：边界条件可化作：()00=φ，()()()l k l m l ES φφωφ-='2导出C 2 = 0及频率方程：()km a ES al-=2tanωωω，其中ρEa =6.4 长为l 、密度为ρ、抗扭刚度为GI p 的的等直圆轴一端有转动惯量为J 的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k 的弹簧，如图E6.4所示。
求系统扭振的频率方程。
解：x图E6.5 解：模态函数的一般形式为：题设边界条件为：()0,0=ty，()()()t lkytt l ymxt l yF,,,22-∂∂-=∂∂。