曾谨言量子力学第4章
量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第4章-2
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这 又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵 消，因此 又
曾谨言量子力学课后答案
h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
（1） （2）
5
取（1）之复共轭：
−
ih
∂ψ * 1 ∂t
= −
h2 ∇2 2m
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − ih d dt
d
3 rψ
* 1
(rv,
d
3rψ
*
−
h2 2m
∇
2
ψ
(动能平均值)
=
−
h2 2m
∫
d
3
r
[∇
⋅
(ψ
*∇ψ
)
−
(∇ψ
*
)⋅
(∇ψ
曾谨言量子力学课后答案
= V (x)
x=a
=
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0a x
由此得
a = 2E / mω 2 ，
（2）
x = ±a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
∫ ∫ ∫ +a p ⋅ dx = 2
2m(E − 1 mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 +a
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh
因而平面转子的能量
Em = pϕ2 / 2I = m2h 2 / 2I ， m =1, 2,3,L
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1
设质量为
m
的粒子在势场V
v (r )
中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平均值为 E = d 3r ⋅ w ，
w = h 2 ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
（3）
w = h 2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ +ψ *Vψ , 2m
（4）
且能量平均值
∫ E = d 3r ⋅ w 。
（b）由（4）式，得
∂w ∂t
=
h2 2m
∇ψ. *⋅ ∇ψ
+
∇ψ
*
⋅ ∇ψ.
.
+ψ * Vψ
+ψ
*V ψ.
=
h2 2m
∇
⋅
ψ.
*
∇ψ
+ψ.
∇ψ
*
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式
∂w ∂t
+
∇
⋅
v s
=
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-力学量随时间的演化与对称性】
第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ1、φ2、φ3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi 子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态的构造方式如下：Bose子体系态（共6种，均为交换对称态）有Fermi子体系态（反对称态）只有3种：当全同粒子体系的粒子数超过两个时，一般来说，对于粒子间的交换完全对称的状态（适用于Bose子）数目与完全反对称的状态（适用于Fermi子）数目之和，总是小于没有对称性限制的体系状态（适用于经典粒子）总数．亦即，后者除了完全对称态和完全反对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态．例如，由三个全同粒子组成的体系，如可能的单粒子态有3种，则在Boltzmann统计、Bose统计、Fermi统计下，体系的可能态数目分别为27、10和1．4.3 设体系由3个粒子组成，每个粒子可能处于3个单粒子态（φ1，φ2和φ3）中任何一个态，分析体系的可能态的数目，分三种情况：（a）不计及波函数的交换对称性；（b）要求波函数对于交换是反对称；（c）要求波函数对于交换是对称．试问：对称态和反对称态的总数为多少?与（a）的结果是否相同?对此做出说明．解：（a）不计及波函数的交换对称性，其可能态的数目为33＝27；（b）要求波函数对于交换是反对称的，其可能态的数目为1；（c）要求波函数对于交换是对称的，其可能态的数目为1＋6＋3＝10（参见《量子力学教程》4.5.4节，94页的例题）．对称态和反对称态的总数＝10＋1＝11，而不计及交换对称性的量子态的数目（即（a）的结果）为27，两者并不相同．原因在于全同粒子的交换对称性对量子态的限制所造成．4.4 设力学量A不显含t，H为体系的Hamilton量，证明证明：对于不显含t的力学量A，有上式两边再对t求导，则有即4.5 设力学量A不显含t，证明在束缚定态下证明：定态是能量本征态，满足对于束缚态，是可以归一化的，即取有限值．而对于不显含t的力学量A，因此4.6 表示沿z方向平移距离口的算符．证明下列形式波函数（Bloch波函数）：是D x（a）的本征态，相应本征值为证明：利用可得而对于形式为的波函数所以，即是D x（a）的本征态，相应本征值为e-ika．4.7 设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为En和，n为标记包含Hamilton 量H在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数．设H含有一个参数A，证明此即Feynman-Hellmann定理．【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，5.1题．】5.1 设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为E n和（n为量子数或编号数），设λ为Hamilton算符H含有的任何一个参数．证明（1）这称为Feynman-Hellmann定理．以后简称F-H定理．证明：满足能量本征方程（2）其共轭方程为（2'）视λ为参变量，式（2）对λ求导，得到（3）以左乘式（3），利用式（2'）和归一化条件，即得式（1）．4.8 设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征值分别为丨n>和E n，n为一组完备好量子数．证明，力学量（算符）F随时间的变化，在此能量表象中表示为【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，2.1题．】2.1 给定总能量算符H（，，p），以表示其本征值和本征函数．态矢量简记为按照Heisenber9运动方程，力学量算符A（r，p）的时间变化率为（1）定义能量表象中矩阵元（2）证明（3）其中。
量子力学第4章(曾谨言)
15
ˆ ˆ 例题：求x、p x 和H在一维谐振子能量表象中的 矩阵表示。 【解】同理可得 p jk ia ( (k 1) / 2 j ,k 1 k / 2 j ,k 1 ) ( p jk ) ia 0 1/ 2 0 0 . 1/ 2 0 2/2 0 . 0 2/2 0 3/ 2 . . 0 . 3 / 2 . 0 . . . 0
已知a和a可以通过幺正变换相联系，即a Sa, S11 幺正矩阵S ( Sk ) S 21 . S12 S 22 . . . , Sk ( , k ) .
可以证明，矩阵L ( Lkj )和L ( L )可以通过 幺正矩阵S相变换：L SLS 1
因此，在离散表象中量子力学的诸方程的 形式如下：
20
1 ，两态正交： 0 (1)态的归一：
(2)力学量的平均值(若 已归一）
F F (3)本征方程： F ,
，
d H(t ), (4)Schrodinger方程： i dt
以上各式中的乘法均理解为矩阵（包括列、 行矢量）乘法。
c( p, t ) ( x )( x, t )dx,
p
( x)
p
1 i exp px 2
( x, t ) 和 c( p, t )
可以互求，它们包含同样多的信息。 称这样做是变换到了动量表象，
3
2 一般情形。力学量 Q ，本征值离散，本征集为 {q1 , q2 , } ，本征函数系为 {u1 ( x ), u2 ( x ), } 则波函数可以本征函数展开
( x, t ) an (t )un ( x),
曾谨言 量子力学第一卷 习题答案解析4第四章
物 83-309 蒋
= (qp − pq) fp + hipf = hi( fp + pf )
（3） [ q, f ( q ) p 2 ] = 2ihfp [证明]同前一题论据：
[ q, fp 2 ] = qfpp − fppq = fqpp − fppq
(A先假定已经
运用这个关系于下面的计算：
ˆ )ϕdτ ≡ ψ • ΣA P ˆ ϕdτ ∫∫∫ψ • F ( P ∫∫∫
n n
τ
τ
ˆ nϕdτ = ∑ An ∫∫∫ψ • P n >0 τ ˆ (P = ∑ An ∫∫∫ψ • P ˆ n −1 ϕ )dτ ˆ ψ ) • (P ˆ n −1 ϕ )dτ = ∑ An ∫∫∫ ( P ˆ (P = ∑ An ∫∫∫ ( Pψ ) • P ˆ n − 2 ϕ ) dτ ˆ •P ˆψ )P ˆ (P ˆ n −3 ϕ ) dτ = ∑ An ( P ˆ 2ψ ) • P ˆ (P ˆ n −3 ϕ ) dτ = ∑ An ∫∫∫ ( P ˆ 2ψ ) • P ˆ (P ˆ n − 4 ϕ ) dτ = ∑ An ( P ˆ 2ψ ) • P ˆ( P ˆ n− 4 ϕ ) dτ = ⋯⋯ ∑ An ∫∫∫ ( P ˆ )ψ ] • ϕdτ = ∫∫∫ [ F ( P τ ˆ ) 满足厄密算符的定义。 F (P
= fqpp − fp(qp − hi) = fqpp − fpqp + hifp
= f ( qp − pq ) p + hifp = 2hifp
（4） [ p , p 2 f ( q)] =
量子力学——第四章作业参考答案
( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量随时间的演化与对称性(圣才出
第4章 力学量随时间的演化与对称性4.1 复习笔记一、力学量随时间的演化1．守恒量对于力学量A ，其平均值随时间变化关系式如下A tH A i dt A d ˆ]ˆ,ˆ[1∂∂+=η 故对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，力学量A 对应算符不显含时间t ，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变．则把A 称为量子体系的一个守恒量．2．能级简并与守恒量的关系（1）守恒量与简并关系的定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F 和G ，即[F ，H]＝0，[G ，H]＝0，但[F ，G ]≠0，则体系能级一般是简并的．推论 如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级部简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态．（2）位力（virial ）定理当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力virial ）定理．设粒子处于势场V （r ）中，Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 则位力定理表述如下位力定理推论：若势场函数V(r)为r 的n 次齐次式，则有推论V T 2n =二、波包的运动，Ehrenfest 定理设质量为m 的粒子在势场V （r ）中运动，用波包ψ（r ，t ）描述．设粒子的Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 作如下定义：则Ehrenfest 定理表述如下：三、Schr ödinger 图像与Heisenberg 图像（1）（1）式这种描述方式称为Schrödinger 图像（picture ）．亦称Schrödinger 表象． 在Schtodlnger 图像中，态矢随时间演化，遵守Schrödinger 方程，而算符则不随时间的变化；与此相反，在Heisenberg 图像中，则让体系的态矢本身不随时间的变化而算符切随时间的变化，遵守Heisenberg方程．四、守恒量与对称性的关系1．对称性变换[Q，H]＝0 （2）凡满足式（2）的变换，称为体系的对称性变换．物理学中的体系的对称性变换，总是构成一个群，称为体系的对称性群（symmetrygroup）．2．对称性对应守恒量体系在Q变换下的不变性[Q，H]＝0，应用到无穷小变换，就导致F就是体系的一个守恒量．这充分说明对称性变换Q必定对应一个守恒量F．典型的两个例子是：平移不变性对应动量守恒，空间旋转不变性对应角动量守恒．五、全同粒子体系与波函数的交换对称性1．全同粒子体系的交换对称性（1）全同性原理全同性原理：任何可观测到，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性．凡满足P ijψ＝ψ的．称为对称（symmetric）波函数；满足P ijψ＝-ψ的称为反对称（anti—symmetrle）波函数．（2）玻色子与费米子凡自旋为 整数倍（s＝0,1，2，…）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，如π介子（s＝0）．光子（s＝1）．在统计方法上，它们遵守Bose统计，故称为Bose 子．凡自旋为h的半奇数倍（s＝1/2，3/2，…）的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，如电子，质子，中子等．它们遵守Fermi统计，故称为Fermi子．2．两个全同粒子组成的体系Pauli不相容原理：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态．Pauli原理是一个极为重要的自然规律，后来从量子力学波函数的反对称性来说明Pauli原理的是Heisenberg，Fermi和Dirac的贡献．3．N个全同Fermi子组成的体系设N个Fermi子分别处于k2<k z<…<k N态下，则反对称波函数可如下构成（3）P代表N个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为slater行列式，是归一化因子．4．N个全同Bose子组成的体系Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态．设有n i个Bose子处于k，态上（i＝1，2，…，N），则该体系的归一化的对称波函数可表为4.2 课后习题详解4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi 子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态。
量子力学导论习题答案(曾谨言)
第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。
ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。
ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。
证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。
[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m xxp x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。
量子力学第四版卷一(曾谨言著)知识题目解析第4章
4.29——6.14.29证明在zL ˆ的本征态下，0==y x L L 。
（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。
） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z=[]x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，()()()0111 =-=-=-=∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L同理有：0=y L 。
附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆyl ˆ的平均值不为零，能够证明：,212y x y x l l i m l l -==说明y x l l ˆˆ不是厄密的。
2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。
4.30 设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2x L ∆和()2yL ∆解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，利用基本对易式 L i L L =⨯，可得算符关系 ()()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2()x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2将上式在lm 态下求平均，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 22yxLL =又()[]222221 m l l L L L zy x -+=-=+()[]2222121m l l L L yx-+==∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()()[]2222222121m l l L L L L L L x x x xx x -+==-=-=∆∴ 同理 ()()[]222121m l l L y-+=∆。
附量子力学答案 曾谨言
J n , n 1, 2,3,...
索莫非（Sommerfeld）将量子化条件推广：
pdq nh
q是电子的一个广义坐标，p是对应的广义动量。回路积分是沿运动轨道积分。
目录 退出 24
4、Bohr量子论的局限性： （1）、该理论只能解释氢原子光谱的规律 性，而不能合理解释其余原子。 （2）、不能系统解决谱线的强度。 （3）、只能处理简单的周期运动而不能处理非束缚态问题。 （4）、并没有从根本上解决能量不连续性的本质。
2、卢瑟福（E. Rutherford）的有核原子模型：
卢瑟福于1911年用 粒子对原子的散射，提出了有核原子模型：
原子的正电荷及大部分质量都集中在很小的原子中心，形成原子核，而电
子则围绕原子核旋转，该模型能很好地解释 粒子的大角度偏转问题，但
不能解释原子的稳定性问题和原子的大小问题。
目录 退出 21
目录 退出 16
二．普朗克量子论的提出
Planck量子论:
对于一定频率的辐射，物体只
能以 能量单位h 不连续地发射或吸
收辐射能量。h 为Planck常数,能量单
位h 称为能量子。
Planck于1900年12月14日在德
国物理学会上报告了这个理论的推导，
以及根据辐射实验定出了Planck常
数。这日被定为量子理论的诞生日。
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0．1．4 德布罗意（de Brolie）物质波及波粒二象性
德布罗意根据几何光学中的费马（Fermat）原理与动力学中的最 小作用原理的相似之处，并在光具有波粒二象性的启发下，提出象电 子这类实物粒子（静止质量m≠0）也具有波的性质，即称为德布罗意 物质波，该粒子的能量和动量与其波长和频率满足如下关系：
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(4-6章)【圣才出品】
（2）位力（virial）定理 当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力 virial）定 理．设粒子处于势场 V（r）中，Hamilton 量为
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Bose 子不受 Pauli 原理限制，可以有任意数目的 Bose 子处于相同的单粒子态．设有 ni 个 Bose 子处于 k，态上（i＝1，2，…，N），
则该体系的归一化的对称波函数可表为
4.2 课后习题详解
4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×） （a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×） （b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○） （c）设 Hamilton 量为守恒量，则体系处于定态；（×） （d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×） （e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×） （f）一维粒子的能量本征态无简并；（×） （g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）
3．N 个全同 Fermi 子组成的体系 设 N 个 Fermi 子分别处于 k2<kz<…<kN 态下，则反对称波函数可如下构成
（3）
P 代表 N 个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为 slater 行列式，
是归一化因子．
4．N 个全同 Bose 子组成的体系
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4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3 中的任何一个 态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同 Bose 子；（b）两个全同 Fermi 子；（c）两个不同粒子．
量子力学_答案_曾谨言
量子力学的诞生
⎧∞, x < 0, x > a V ( x) = ⎨ ⎩0, 0 < x < a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有
a = n⋅
λ
2
( n = 1, 2 , 3 , )
（1）
∴ λ = 2a / n
1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2 p = 2m[ E − V ( x)]
∫ p ⋅ d x = nh,
n = 1, 2 ,
,
V ( x)
1
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
x ≤a
其中 a 由下式决定： E = V ( x) x = a = 由此得
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。 （b）证明粒子在空间体积 τ 内的几率随时间的变化为
2V d d 3 rψ *ψ = − ( ψ *∇ψ − ψ∇ψ * ) ⋅ dS + 2 ∫∫∫ ∫∫ 2im S dt τ
证： （a）式（1）取复共轭， 得
d ∫∫∫ τ
3
rψ *ψ
−i
2 ∂ * ψ =− ∇ 2ψ * + (V1 − iV2 ) ψ* ∂t 2m
0
pϕ dϕ = nh, n = 1, 2 ,
2 , pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为 ϕ 。 ， pϕ 是运动惯量。按量子化条件 它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量）
.
∫
∴
因而平面转子的能量
曾谨言量子力学第4章
守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化
在任意量子态ψ下，力学量A的平均值为 Aˆ (t) (t), Aˆ (t)
利用U的幺正性，及U+HU=H
d Aˆ(t) 1 (Uˆ HˆUˆUˆ Aˆ Uˆ Uˆ Aˆ UˆUˆ HˆUˆ )
dt
i
1 (HˆAˆ(t) Aˆ(t)Hˆ ) i
则
d Aˆ(t) 1 [Aˆ(t), Hˆ ] (12)
dt
ih
上式称为Heisenberg方程。
F(r) F(r) 时，波包中心 r 的运动规律才与经典粒子相同。
2. 用波包描述粒子运动时对波包的要求：
(1) 波包很窄，其大小与粒子的大小相当；
(2) 势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的势场 V(r与) 粒子感受到的势场很接近；
(3)波包的扩散不太大。
如： 一维波包的运动
在波包中心 xc x 附近对 V (x) / x作Taylor 展开，
令ξ=x-xc，则有
V x
V (xc ) xc
ξ
2V (xc ) xc2
1ξ
2
2
3V (xc ) xc3
利用 ξ 0 得
V x
dx
( x, t )
V x
( x, t )
V (xc xc
)
1 2
2
3V (xc xc3
)
L
可见只有当
1 2 3V (xc ) V (xc )
曾谨言量子力学(卷1)习题答案
目次第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。
1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。
19793．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。
19824．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。
1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。
1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。
19727．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。
1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。
科学) 19519. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics（英译本） Springer Verlag 197311. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a ba e bxdx e axax−+=∫ (3) =∫axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2−=∫(5) =∫axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222−+(6)ax a xax aaxdx x sin cos 1cos 2+=∫ (7) ax aa x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222−+=∫))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)∫=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x −−++ (a<0) ∫20sin πxdx n2!!!)!1(πn n − (=n 正偶数)(9) =∫20cos πxdx n!!!)!1(n n − (=n 正奇数) 2π(0>a )(10)∫∞=0sin dx xax2π− (0<a )(11))1!+∞−=∫n n ax an dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=∫∞− (13) 121022!)!12(2++∞−−=∫n n ax n an dx e x π(14)1122!2+∞−+=∫n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π∫∞= (16)∫∞−+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )∫∞−+−=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
曾谨言 力学量与算符
dF (t ) F ψ d τ + ψ * F ψ d τ = ∫ψ * ψ d τ + ∫ψ * F ∫ t dt t t
= 0 ， 不随时间变化，可见，力学 如果 F 不含t，且 F 与 H 对易，则 F dt 量算符不含t，且与H 对易的条件下，无论粒子处于何态，该力学量的平均 值均不随时间变化，该力学量称为守恒量。
[ [
] ]
4.5 不确定关系
引入：
两算符 A, B有共同本征波函数完备集的充分必要条件是： , B = 0 A A A 当粒子处于算符 A 本征态时， 有确定值， = 0 } A B = 0 B 本征态时， 有确定值， = 0 B B 当粒子处于算符 因此，当 A, B = 0 时，A 、B 可同时有确定值 那么，当 A, B ≠ 0 时，两者是否可同时有确定值？
4.3 力学量与力学量算符及平均值
量子力学第三个基本假定：力学量和 力学量算符 v v 任一力学量F (r , p, t ) 都对应于一个力学量算
v v
①
② ③ ④
符 F (r , p, t ) ； v v F 且 F (r , p, t ) 是厄米算符， ↓ = F ； 力学量算符 F 的本征值就是力学量F允许的取值； 当且仅当粒子处在 F 本征态时，粒子的力学量有确 定值，i.e.相应的本征值。
(
)
v L2 , L 的共同本征波函数完备集 3.球坐标下求解 z
在球坐标下有： L 2ψ
v
(θ ,ψ ) = h 2 λψ (θ , ) L zψ (θ ,ψ ) = l zψ (θ ,ψ )
= 0 和 = 2π 是同一点
利用自然边界条件：
得
ψ (θ , ) = Θ (θ )e im
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r·p的平均值随时间的变化为
i d rˆ pˆ [rˆ pˆ, Hˆ ] 1 [rˆ pˆ, pˆ 2 ] [rˆ pˆ,Vˆ(r )]
dt
2m
对定态有
i
pˆ 2
rˆ
Vˆ
m
d rˆ pˆ 0 dt
则
1 pˆ 2 rˆ Vˆ
m
2Tˆ rˆ Vˆ
证明： [rˆ pˆ ,Vˆ(r )]
Hˆ E , Fˆ F
又因为 [G, H]=0, 则
HˆGˆψ GˆHˆψ GˆEψ EGˆψ
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E, 即体系的能级是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x)
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级 简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下， 当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守 恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
Hˆ pˆ 2 / 2m Vˆ(r )
(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。
5. 守恒量与定态
(1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。
(2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。
t
则 d Aˆ (t) 1 [Aˆ, Hˆ ]
dt
i
若 [ Aˆ, Hˆ ] 0
d Aˆ (t) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质
选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hˆ k Ek k , Aˆ k Ak k
体系的任意量子态可表示为
ψ (t) ak (t)ψk , ak (t) (ψk ,ψ (t))
HˆFˆψE FˆHˆψE FˆEψE EFˆψE
即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定能级不简并，则必有
FˆψE FψE
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F´.
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确 定的宇称。事实上，也确是如此，
守恒的条件？
d dt
Aˆ (t)
t
,
Aˆ,Aˆ t源自,Aˆ t
Hˆ
i
,
Aˆ
,
Aˆ
H
i
,
Aˆ
t
Note
i Hˆ
t
1 i
, HˆAˆ
1 i
(
,
Aˆ Hˆ
)
,
Aˆ
t
1 i
(
,[
Aˆ ,
Hˆ ]
)
,
Aˆ
t
1 i
[ Aˆ,
Hˆ
]
Aˆ t
若力学量不显含时间，即
Aˆ 0
]
[zpˆ z
,
pˆ z2 ]
2i
pˆ x2 2i
pˆ
2 y
2i
pˆ z2
2i pˆ 2
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
rˆ pˆ 1 (rˆ pˆ pˆ rˆ) 2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。
例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
1. 经典物理中的守恒量
守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化
在任意量子态ψ下，力学量A的平均值为 Aˆ (t) (t), Aˆ (t)
[xˆpˆ x ,Vˆ(r )] [ yˆpˆ y ,Vˆ(r )] [zˆpˆ z ,V (r )]
xˆ(i Vˆ(r )) yˆ(i Vˆ(r )) zˆ(i Vˆ(r ))
x
y
z
i rˆ Vˆ(r )
[r pˆ , pˆ 2 ]
[xpˆ x
,
pˆ x2 ]
[
ypˆ y
,
pˆ
2 y
例题1 判断下列说法的正误
(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并）
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 ψ1ψ2 ψ2ψ1
则 1 /1 2 / 2
两边同时积分得 ψ1 Cψ2
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。
证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数ψ
k
在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为 ak (t) 2 则该概率随时间的变化为
d dt
ak (t) 2
dak dt
ak
复共轭项
(t)
t
,
k
(
k
,
(t ))
复共轭项
Hˆ
i
(t)
,
k
(
k
,
(t ))
复共轭项
1 i
(
(t), Hˆ k
)( k ,
(t ))
复共轭项
Ek i
( (t), k ) 2 复共轭项 0