曾谨言量子力学第4章

结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系
(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。
Hˆ E , Fˆ F
又因为 [G, H]=0, 则
HˆGˆψ GˆHˆψ GˆEψ EGˆψ
即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E, 即体系的能级是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。
证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0
r·p的平均值随时间的变化为
i d rˆ pˆ [rˆ pˆ, Hˆ ] 1 [rˆ pˆ, pˆ 2 ] [rˆ pˆ,Vˆ(r )]
dt
2m
对定态有
i
pˆ 2
rˆ
Vˆ
m
d rˆ pˆ 0 dt
则
1 pˆ 2 rˆ Vˆ
m
2Tˆ rˆ Vˆ
证明： [rˆ pˆ ,Vˆ(r )]
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 * 守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
§4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量
证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 ψ1ψ2 ψ2ψ1
则 1 /1 2 / 2
两边同时积分得 ψ1 Cψ2
4.1.2 能级简并与守恒量的关系
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。
证明： [F, H]=0,则F, H有共同的本征函数ψ
[xˆpˆ x ,Vˆ(r )] [ yˆpˆ y ,Vˆ(r )] [zˆpˆ z ,V (r )]
xˆ(i Vˆ(r )) yˆ(i Vˆ(r )) zˆ(i Vˆ(r ))
x
y
z
i rˆ Vˆ(r )
[r pˆ , pˆ 2 ]
[xpˆ x
,
pˆ x2 ]
[
ypˆ y
,
pˆ
2 y
]
[zpˆ z
,
pˆ z2 ]
2i
pˆ x2 2i
pˆ
2 y
2i
pˆ z2
2i pˆ 2
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
rˆ pˆ 1 (rˆ pˆ pˆ rˆ) 2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。
例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x)
结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级 简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下， 当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守 恒量。
位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
Hˆ pˆ 2 / 2m Vˆ(r )
HˆFˆψE FˆHˆψE FˆEψE EFˆψE
即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定能级不简并，则必有
FˆψE FψE
即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F´.
例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确 定的宇称。事实上，也确是如此，
守恒的条件？
d dt
Aˆ (t)
t
,
Aˆ
,
Aˆ
t
,
Aˆ
t
Hˆ
i
,
Aˆ
,
Aˆ
H
i
,
Байду номын сангаас
Aˆ
t
Note
i Hˆ
t
1 i
, HˆAˆ
1 i
(
,
Aˆ Hˆ
)
,
Aˆ
t
1 i
(
,[
Aˆ ,
Hˆ ]
)
,
Aˆ
t
1 i
[ Aˆ,
Hˆ
]
Aˆ t
若力学量不显含时间，即
Aˆ 0
(2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。
5. 守恒量与定态
(1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。
(2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变
k
在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为 ak (t) 2 则该概率随时间的变化为
d dt
ak (t) 2
dak dt
ak
复共轭项
(t)
t
,
k
(
k
,
(t ))
复共轭项
Hˆ
i
(t)
,
k
(
k
,
(t ))
复共轭项
1 i
(
(t), Hˆ k
)( k ,
(t ))
复共轭项
Ek i
( (t), k ) 2 复共轭项 0
t
则 d Aˆ (t) 1 [Aˆ, Hˆ ]
dt
i
若 [ Aˆ, Hˆ ] 0
d Aˆ (t) 0 dt
可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。
3. 守恒量的性质
选包括H和A在内的一组力学量完全集，则
Hˆ k Ek k , Aˆ k Ak k
体系的任意量子态可表示为
ψ (t) ak (t)ψk , ak (t) (ψk ,ψ (t))
1. 经典物理中的守恒量
守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零
2. 量子力学中的守恒量 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化
在任意量子态ψ下，力学量A的平均值为 Aˆ (t) (t), Aˆ (t)
例题1 判断下列说法的正误
(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并）