最新工程数学试卷及答案知识点复习考点归纳总结参考
工程数学试卷及标准答案
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
工程数学复习及答案[精.选]
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工程数学 复习题 填空题1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，='-)(31A ．2．已知齐次线性方程组0=AX 中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则≤)(A r ．3．2.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=+)(B A P ．4．若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则=)(X E ．5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 ．单项选择题1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（ ）．A . 若AC AB =，且0≠A ，则C B = B . 2222)(B AB A B A ++=+C . A B B A '-'='-)(D . 0=AB ，且0≠A ，则0=B 2．在下列所指明的各向量组中，（ ）中的向量组是线性无关的． A . 向量组中含有零向量B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D . 向量组的向量个数大于向量的维数3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 4. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中C . 至少有一人射中D . 两人都射中5．设)1,0(~N X ，)(x Φ是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．A . 5.0)0(=ΦB . 1)()(=Φ+-Φx xC . )()(a a Φ=-ΦD . 1)(2)(-Φ=<a a x P6．设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计． A . 321x x x ++ B . 321525252x x x ++ C .321515151x x x ++ D . 321535151x x x ++ 7．对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）． A . 已知方差，检验均值 B . 未知方差，检验均值C . 已知均值，检验方差D . 未知均值，检验方差 计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A 是否可逆？若A 可逆，求B A 1-．2．线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1123132111511求此线性方程组的全部解．3．用配方法将二次型32212322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。
工程数学知识要点总结
如 果 能 找 到 一 个 数满 足R mer， 则 称 m m为 该 问 题 的 条 件 数 ， 为Cond(( f ( x ))。 记
7
推导计算函数值的条件数
f ( x) f ( x) f ' ( )( x x)
当 x x 足 够 小 时 ， 由' ( x )的 连 续 性 ， ' ( ) f ' ( x ) f f
2、绝对误差和相对误差 定义： 设数a是精确值，x是a的一个近似值，记
e a x a x e er a a
称e为近似值x的绝对误差， 称er 为近似值x的相对误差。
e a x x，称 x为数a的近似值x的绝对误差限，
a x er r x，称 r x为近似值x的相对误差限。 a
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */
6
设两个不同的数据 x，对应的函数值为 x， f ( x )，f ( x xx x , R f ( x) f ( x) f ( x)
条件 数
而矩阵A在这组基下的坐标是 ( a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
数值分析
例3
在线性空间P[ x ]n1中, 取一组基
2 n 1
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
工程数学复习资料
《工程数学》复习资料一、填空1、A 、B 均为3阶方阵，2=A ，2-=B ，则=A B ；2、设D=1234234134124123， 则12223242234A A A A +++=________； 3、设α=（1，3，-5），β=（0，-3，5），如果向量x 满足12,2x αβ+= 则x =__________________；4、1124A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值为 5、 321,,X X X 相互独立，且都服从2=λ的泊松分布，)(21321X X X Y ++=， 则=)(2Y E .6、设X 1, X 2, n X , 是取自标准正态总体N()1,0的样本,则∑=ni iX 12∽______.7、向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是8、X ～N (3 ,21.0),则)3.0|3(|<-X P ＝ (其中)3(Φ＝0.9987). 9、X ～x x f 21)(=，(20≤≤x )，则=≤<-)231(X P . 10、设X ～),(p n B ,若2.7,12==DX EX 则n =______, p =______. 11、总体X ～μ(N ,)2σ(2σ未知)，今有样本观察数据：16=n ，8.2=x ，1=*S ，则总体均值μ的信度为95％的置信区间为( )，(13.2)15(025.0=t ，保留两位小数).12、设X 服从参数为λ的指数分布，若方差4)(=X D ，则λ= 13、设X 服从参数为λ的泊松分布，且1(0)P X e -==，则λ= 二、选择题1、齐次线性方程组2000x y z x y z x y z λλ-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩有非零解.则λ必须满足 ( )(A) 14λλ≠-≠且 (B) 1λ=- (C) 4λ= (D) 14λλ=-=或 2、设s ααα,,,21 是秩为r 的n 维向量组，则（ ）（A ）该向量组中任意r+1个向量（若有的话）线性相关；（B ）该向量组中任意r 个向量线性无关；（C ）该向量组存在唯一的极大线性无关组；（D ）r<s .3、若矩阵111121231A λ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦的秩为2，则λ=（ ） (A) 0 (B) 2 (C)-1 (D) 14、6.0)(=B P ，3.0)(=AB P ，则=)|(B A P （ ）.)(A 0. 4； )(B 0.75； )(C 0.6；)(D 0.5.5、设随机变量X 和Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则（ ）.)(A 0)(=Y D ；)(B Y X ,独立； )(C Y X ,不相关；)(D 0)()(=-Y D X D .6. 设总体X ～)4,1(N ,1621,,,X X X 是取自总体X 的样本，X 为样本均值，则下列结论成立的是（ ）.)(A X ～)41,1(N ；)(B X ～0(N ，)1；)(C X ～1(N ，)161， )(D 以上都不对.7．设A ，B 为n 阶矩阵，O A ≠且AB=O ，则（ ）（A ） B=O （B ） 00==A B 或 （C ） BA=O （D ） ()222B A B A +=-8、设样本4321,,,X X X X 是取自正态总体X ，2σμ==DX EX 为已知，而未知，则下列随机变量中 不能作为统计量的是（ ）(A) ∑==4141i i X X , (B) μ241-+X X , (C) 2412)(1X XK i i-=∑=σ ,(D) 2412)(31X X S i i -=∑= .9、设总体X ～N (μ,2σ) ，1X ,2X ,…,n X 是来自X 的简单随机样本，则下列结论( )成立. A. X ～N (μ,2σ)； B.X ～N (μn ,2σn )； C. X ～N (μ,n /2σ)； D. 以上都不对 .10、设 X ～),(p n B ，若期望6.1)(=X E ，方差28.1)(=X D ，则参数p n ,的值为（ ）(A) 8.0,2==p n (B) 4.0,4==p n )(C 2.0,8==p n (D) 1.0,16==p n11、设离散型随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则数学期望)(2X E ＝（ ）(A) λ (B) 2λ（Ｃ）2λλ- (D) 2λλ+ 三、计算题1、求n 阶行列式........................ba a aab a aaaba aa a b的值；2、求矩阵223110221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵；3、设总体X ～)10(,)1()(<<+=x x a x f a .求参数a 的极大似然估计.4、某种机械零件直径(m m )的方差2205.0=σ，今对一批零件抽查6件，得直径数据为：10.50，10.48，10.51，10.50，10.52，10.46.问这批零件直径的均值能否认为是10.52(α＝0.05).5、计算行列式aa a a a a a a a a a a D 3333222211111=6、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==232110301),3,2,1(B A ，求矩阵T T BA A )(2+7、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321321321x ax x ax x x x x x（1） 讨论a 取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？（2） 方程组有无穷多解时，求其通解（用向量形式表示）8、抽查10瓶罐头食品的净重，得如下数据(单位:g )：495，510，505，498，503，492，502，512，496，506 . 问能否认为该批罐头食品的平均净重为500g (α＝0.05). 9．设离散型随机变量X ～),2(p B ，若概率95)1(=≥X P ，求： （1）参数p 的值；（2）)2(=X P ；（3）)(X D 10、事件A 在一次试验中发生的概率为23，求在4次独立重复试验中，事件A 恰好发生2次的概率。
《工程数学》(概率统计)期末复习提要共12页word资料
《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：概率的主要性质是指：①对任一事件，有③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有特别地，当时有⑵条件概率：对于任意事件，若，有称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：随机变量的分布函数定义为对于离散型随机变量有对于连续型随机变量有⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为⑶正态分布的密度函数为其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为服从标准正态分布的随机变量的概率为那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有则称与相互独立 .对随机变量，有若相互独立，则有第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。
《工程数学》总复习题之
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的积分 变换。
傅里叶变换的性质
包括线性性质、时移性质、频移性质、微分性质等。
傅里叶变换的应用
在信号处理、图像处理、通信系统等领域有广泛应用， 如滤波、频谱分析等。
拉普拉斯变换及其应用
拉普拉斯变换的性质
包括线性性质、时移性质、微分性质、积分 性质等。
总复习题重要性
总复习题是巩固和检验学生学习成果 的重要手段，有助于学生全面回顾和 梳理课程知识点。
通过总复习题的练习，学生可以查漏 补缺，加深对重点难点的理解和掌握， 提高解题能力和应试技巧。
解题方法与技巧
仔细审题
理解题意，明确题目要求，避 免盲目答题。
灵活运用知识点
根据题目类型，选择合适的知 识点进行解答，注意知识点之 间的关联和综合运用。
02
随着科技的发展，工程数学的理论体系将不断完善，为解决实际问题 提供更强大的数学工具。
03
工程数学的教学方法和手段也将不断创新，如在线课程、智能教学系 统等，提高教学效果和学习体验。
04
工程数学将与其他学科进一步交叉融合，形成更多新的研究方向和应 用领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
理解假设检验的基本思想和步骤，掌握常见的假设检验方法 （如Z检验、t检验、F检验等）。
03
了解方差分析、回归分析等统计分析方法的基本思想和应用 场景。
04 微积分部分
函数极限与连续性
函数极限的定义与性质
掌握函数极限的ε-δ定义，了解函数极限的性质，如唯一性、局部 有界性、保号性等。
无穷小量与无穷大量
制定合理的复习计划，按 照课程进度和自身掌握情 况分配复习时间。
工程数学试卷及答案
一、 选择填空题1. 某数x 的有四位有效数字且绝对误差限是4105.0-⨯的近似值是（A ） （A ）0.693 (B)0.6930 （C ）0.06930 (D)0.006930 2. n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A)(A))()!1()()(1)1(x n f x R n n n +++=ωξ (B)()()()()!n n n f R x x n ξω= (C))!1()()()1(+=+n f x R n n ξ (D)()()()!n n f R x n ξ=3. 求积公式)1()1()(11f f dx x f +-≈⎰-具有（A ）次代数精度（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）34. 用牛顿法计算)0(>a a n ，构造迭代公式时，下列方程不可用的是（A ）（A ）0)(=-≡n a x x f （B ）0)(=-≡n a x x f （C ）0)(=-≡nx a x f （D ）01)(=-≡nx ax f 5. 由数据0051152252171 022 42......x y --- 所确定的插值多项式是次数不大于（ D ）的多项式．（A ）二次 （B ）三次 （C ）四次 （D ）五次 6. 在牛顿—柯特斯公式()()()()nbn i i ai f x dx b a C f x =≈-∑⎰中，当系数()n i C 有负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当n （ B ）时的牛顿—柯特斯公式不使用。
（A ）10≥ （B ）8≥ （C ）6≥ （D ）4≥ 7. 经过点)3,2(),2,1(),1,0(C B A 的插值多项式=)(x P （ B ） 8. （A ）x （B ） 1+x （C ）12+x （D ）12+x 9. 给定向量Tx )4,3,2(-=，则∞xx x,,21分别为（ A ）（A ）4,29,9 （B ）5,29,9 （C ）4,29,5.8 （D ）5,29,5.8 10. 精确值x =36.85用四舍五入保留三位有效数字的近似数为 36.9 。
工程数学二复习题(附参考答案)
1、下列等式中有一个是微分方程，它是（ D ）A 、B 、)('='+'uv v u v u '⎪⎭⎫⎝⎛='-'v u v v u v u 2C 、 D 、dxe y d e dx dy x x)(+=+043=+'+''y y y 解：选项A 和B 是求导公式，选项C 为恒等式，选项D 符合微分方程的定义2、下列方程中有一个是一阶微分方程，它是（ C ）A 、B 、y y x y x y ''='-22)(0)(5)(7542=+-'+''x y y y C 、 D 、0)()(2222=++-dy y x dx y x 043=+'+''y y y x 领红包：打开支付宝首页搜索“512371172”，即可领红包领下面余额宝红包才是大红包，一般都是5-10元 支付的时候把支付方式转为余额宝就行呢 没钱往里冲点 每天都可以领取哟！3、若级数与都发散，则（ C ）∑∞=1n na∑∞=1n nbA 、发散B 、发散∑∞=+1)(n n nb a∑∞=1n nn ba C 、发散D 、发散∑∞=+1)(n n n b a ∑∞=+122)(n n n b a4、级数的部分和数列有界是该级数收敛的（ A ）∑∞=1n na{}n S A 、必要非充分条件 B 、充分非必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件5、级数（a 为常数）收敛的充分条件是（ A ）∑∞=1n nqaA 、|q|>1B 、q=1C 、|q|<1D 、q<1工程数学二复习题（附参考答案）一：选择题6、若级数收敛，那么下列级数中发散的是（ B ）∑∞=1n naA 、B 、C 、100+D 、∑∞=1100n na∑∞=+1)100(n na∑∞=1n na∑∞=+1100n n a解：选项B 中，因为，所以该级数发散0100)100(lim ≠=+∞→n n a 7、若级数发散，则（ D ）∑∞=1n naA 、B 、0lim ≠∞→n n a )(lim 21n n n n a a a S S +++=∞=∞→ C 、任意加括号后所成的级数必发散∑∞=1n naD 、任意加括号后所成的级数可能收敛∑∞=1n na解：选项A 和B 均为级数发散的充分条件，但非要条件。
1080【工程数学(本)】工程数学复习资料
〔06春-12春〕复习资料总结一、单项选择题〔每一小题3分，此题共15分〕1. 假如0351021011=---x ，如此=x 〔A 〕． A.3 B. 2 C.3- D.2-2. 2维向量组4321,,,αααα，如此),,,(4321ααααr 至多是〔B 〕． A 1 B 2C 3 D 43.设B A ,为n 阶矩阵，如此如下等式成立的是〔C 〕A.BA AB = B.B A AB ''=')( C.B A B A '+'='+)( D.AB AB =')(4. 假如满足〔B 〕，如此与是相互独立．A.)()()(A B P A P B P = B.)()()(B P A P AB P = C.)()()(B P A P B A P -=- D.)()()(B A P B P A P =5. 假如随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，如此等式〔D 〕成立．A.)]([)(X E X E X D -=B.22)]([)()(X E X E X D +=C.)()(2X E X D =D.22)]([)()(X E X E X D -= 6．假如是对称矩阵，如此等式〔 B 〕成立． A.IAA =-1 B.A A =' C. 1-='A A D.A A =-17．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473〔D 〕． A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B.7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C.7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D.7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8．假如〔A 〕成立，如此元线性方程组AX O =有唯一解．A. B.A O ≠ C.D.A 的行向量线性相关4. 假如条件〔 C 〕成立，如此随机事件，互为对立事件．A.∅=AB 或A B U += B.0)(=AB P 或()1P A B +=C.∅=AB 且A B U += D.0)(=AB P 且1)(=+B A P9．对来自正态总体〔未知〕的一个样本，记∑==3131i i X X ，如此如下各式中〔C 〕不是统计量． A.XB.∑=31i iX C.∑=-312)(31i i X μ D.∑=-312)(31i i X X 10．设B A ,都是n 阶方阵，如此如下命题正确的答案是( A )．A ．AB A B =B ．222()2A B A AB B -=-+C ．AB BA =D ．假如AB O =，如此A O =或B O =11．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是〔 B 〕． A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 12．n 元线性方程组有解的充分必要条件是〔 A 〕． A.)()(b A r A r = B.不是行满秩矩阵 C.D.13. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，如此两球都是红球的概率是〔D 〕． A.256B.103 C.203 D.25914．设是来自正态总体N (,)μσ2的样本，如此〔C 〕是μ无偏估计．A.321515151x x x ++ B.321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D.321525252x x x ++15．设B A ,为n 阶矩阵，如此如下等式成立的是〔 A〕．A ．BA AB = B ．B A B A +=+C ．111)(---+=+B A B AD ．111)(---=B A AB16．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是(B)，其中0≠ia ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a a C ．0321=+-a a a D ．0321=++-a a a17．如下命题中不正确的答案是〔 D 〕． A ．A 与A '有一样的特征多项式B ．假如λ是A 的特征值，如此O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量C ．假如λ=0是A 的一个特征值，如此O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量18．假如事件与互斥，如此如下等式中正确的答案是〔 A 〕．A ．B ．C ．D ．19．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，如此检验假设5:0=μH 采用统计量U =〔C 〕．A ．55-x B ．5/15-x C ．nx /15- D ．15-x二、填空题〔每一小题3分，共15分〕1.设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，如此='--11)(A B B A )(1'-．2.向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，如此_____=k -1.3. 2.0)(,8.0)(==AB P A P ，如此=-)(B A P4.随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E ．5.设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，如此~101101∑=i ix )104,(μN ．word 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，如此13()A B -'-=8．7．设A 为n 阶方阵，假如存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，如此称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．8．假如5.0)(,8.0)(==B A P A P ，如此=)(AB P ．9．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D20．10．不含未知参数的样本函数称为统计量 11．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，如此13A B -'-=-18．12．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如此a =．13．设为随机变量，3)(=X D ，此时 27．14．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，如此有ˆ()E θθ=． 15．设22112112214A x x =-+，如此0A =的根是1，-1，2，-2．16．设4元线性方程组AX =B 有解且r 〔A 〕=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的根底解系含有 3 个解向量． 17．设互不相容，且，如此0．18．设随机变量X ~ B 〔n ，p 〕，如此E 〔X 〕= np ． 19．假如样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==n i i x n x 11，如此~x )1,0(n N ．三、计算题〔每一小题16分，共64分〕 1设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求〔1〕A ，〔2〕1-A ．解：〔1〕1111021121110211423532211=---=---=---=A 〔2〕利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511即 A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215112.当取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形110121214323152110120113101132---+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥λλ→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110120113100003101210113100003λλ 由此可知当时，方程组无解。
工程数学试卷与答案汇总(完整版)
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x f C. 00021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c.C. D(X-c)=D(X)-cD. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率二、填空题（每空3分，共15分）=≥)21(X P 。
2022工程数学Ⅲ知识要点(带答案)
2212 ⎝知识点三：逆矩阵逆矩阵的定义：求抽象矩阵的逆矩阵：设(n E r ⇔()r A n ⇔<⇔逆矩阵的计算，矩阵方程求解：伴随矩阵法：11A A A-=()1,rE A -（三阶及以上矩阵）1X A B -=111)A λ--=()22A E A E -=∴+3A是阶可逆方阵，）若矩阵112 A⎛=⎝(11 01 00a() ,A E⎝→⎛*1*3,(2) 3 T A B A A B AA A -=∴==123A =已知122A =122A =(10,11A ⎫⎪⎭nα线性相关2,nα线性无关两个向量对应分量成比例，则其构成的向量组线性相关向量的个数大于向量的维数的向量组必线性相关()7,5,3T=0系数矩阵的秩n ，则方程组0非零解（填“有”或“无”）. AXb 系数矩阵的秩()(,)A r A b n ，则方程组AX b（填“无解”、“有唯一解”或“有无穷多解”）.333+000x x x =+===有非零解 1 .1()(),100,⎛= ⎛→ ⎝= A b R A b ()13 = ⎝∴=A R A()3,0.2B 盒中有10个球，其中有X =0}=C ()0,4XR ，则：正态分布的概率正态分布及其性质：()()222,,,N kX C N k C k μσμσ++则()()221112221,,,,N X N X μσμσ(1N μμ+正态分布的概率()2,,N μσ则()b P a X b ⎛<<=Φ ⎝时，()x Φ-标准正态分布函数.练习题： 1） ()14XN ，，() 14 {0.5XN P X ∴-<≤，，）()()221210,1,10,2,X N X N X 1 .()()()(()(()(221211212120,1,10,2,23129,4022923121402314∴-+-=-=-+==-+=其中 X N X N X X X N E E X X E D X X D）已知某同学的英语成绩试中至少有一次及格的概率，假设各次测试是相互独立的((){}((){{}{}()()({}(65,1016010.57527560333,0.69151011∴≥=-Φ->>=Φ∴≥=--设表示次考试中及格的次数，则B XN P X X P X F Y P Y 以下来设计的，问车门的高度至少应为多少？(65,10XN (170,16N()(() {1 f x f P X E X +∞-∞=∴≤=⎰由~(3),X P ）设随机变量~(X f x ）设随机变量()()1429N Y N ，，，，则E (2D X Y -+()()()()()()()(()()(14291,4,2 232 234XN Y N E X D X E Y E X Y E X E Y D X Y D X D ∴===-+=--+=+，，，，已知随机变量X 的概率密度函数为(1)2 ()X F f x F ∴==的分布函数为,,n X 是来自总体的简单随机样本，若()=,X D μ(2,XN μσ,n X 是来自总体的简单随机样本，则(,N nσμ1(nii Xμ=-∑练习题： ()21,3N 一个未知参数的矩估计：由,,n X 是来自总体μ是总体均值的矩估计量，估计量的评选标准：θ∧，则称为(2,μσN )21,3X μ∧=（_____有效性最差()21123,,=,,XN μσμμμμ∧∴都是无偏估计量，其中）若随机变量(1,2R θ-()(()1,+33+2ˆ2XU E E X X θθθθ-∴==，由，得(2,N μσ/2X u n ασ±/2(X t n α±-(,N μσn σ⎫⎪⎭. 2(,N μσ某课程的命题初衷，其成绩2(,)N μσ 74 95 81 43 62 52 78 74 67()2222(,1=120.95N ξμσσσμ∴当未知时的20.90μσ未知时的2(,N μσ2u α⎫⎬⎭.2(,N μσ()2~1n χ-）显著性检验中，显著性水平()20 0.05/X S nσαμ∴=-=未知，检验统计量为由00.05μα∴=未知，检验统计量为其拒绝域为由()2,1N μ: σ已知 0.025 1.96u ==1.96 ∴接受。
工程数学复习题及答案
⼯程数学复习题及答案1、最⼩⼆乘法拟合多项式：解法1：最⼩⼆乘原理为对于给定的所有点有：达到最⼩即有：为使上式取值最⼩，则其关于的⼀阶导数应该为零，即有：如果构造2次多项式，写成矩阵模式有：解法2：使⽤⽭盾⽅程组，⽤AX=B，使⽤最⼩⼆乘解的充要条件：A T AX=A T B 例题：求下列数据的⼆次最⼩⼆乘拟合多项式解，设多项式为f（x）=a0+a1x+a2x2使⽤矩阵模式，列表各项如下：得矩阵⽅程组为：012734200253420012888020012888756382a a a =??????解得0a =13.4451 ，1a =-3.58501，2a =0.263872，所以拟合多项式为：f(x)=13.4451-3.58501x+0.263872x22、插值性求积公式及其代数精度数值积分的⼀般⽅法是在节点01...n a x x x b ≤≤<<≤上函数值的某种线性组合来近似0()()()n bi i a i x f x dx A f x ρ=≈∑?。
写成预项式则有：0()()()()nbi i a i x f x dx A f x R f ρ==+∑?，其中R(f)为截断误差。
其中。
例：x 0=1/4，x 1=1/2, x 2=3/4的求积公式解：带⼊得插值求积公式：其公式的代数精度最少是2次（n+1个插值的代数精度最少为n ）计算3是否是该公式的代数精度：，与相等，则3也是代数精度。
计算4是否是代数精度：4()f x x =，14015x dx =? 与444211123*()*()*()0.1927343234-+=不相等，则4不是代数精度。
3、Jacobi 迭代法求解⽅程组如果⼀个线性⽅程组的系数矩阵严格对⾓占优，则该⽅程使⽤Jacobi 迭代⼀定收敛。
Jacobi 迭代公式为：(1)()k k x Bx g +=+ 各分量绝对误差⽤(1)k kx x +∞-表⽰，（每⾏绝对值的和的最⼤值）。
工程数学复习题及答案
工程数学复习题及答案1. 极限的概念和性质求极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据极限的性质，我们知道当\(x\)趋近于0时，\(\sin x\)与\(x\)的比值趋近于1。
因此，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
2. 导数的计算计算函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)的导数。
答案：函数\(f(x)\)的导数为\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。
3. 积分的计算计算定积分：\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
答案：定积分的计算结果为\(\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\)。
4. 线性代数中的矩阵运算求解矩阵方程\(AX = B\)，其中\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6\end{bmatrix}\)。
答案：通过矩阵运算，我们可以得到\(X = A^{-1}B =\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
5. 概率论中的随机变量设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)，求\(P(X > \mu + \sigma)\)。
答案：根据正态分布的性质，我们知道\(P(X > \mu + \sigma) =1 - P(X \leq \mu + \sigma)\)。
由于正态分布是对称的，且\(\mu + \sigma\)位于均值右侧一个标准差的位置，所以\(P(X > \mu +\sigma) = 0.1587\)。
6. 复变函数的积分计算复变函数的积分：\(\oint_C \frac{1}{z} dz\)，其中\(C\)是单位圆。
大学工程数学试题及答案
大学工程数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=\sin(x)在区间[0, π]上是：A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：C2. 以下哪个选项是二阶导数的几何意义？A. 切线的斜率B. 函数的增减性C. 函数的凹凸性D. 函数的极值点答案：C3. 复数z=3+4i的模是：A. 5B. 7C. √7D. √5答案：A4. 矩阵A=[1 2; 3 4]的行列式是：A. -2B. 2C. 0D. 5答案：B5. 以下哪个选项是泰勒级数展开的公式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/3!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/4!D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/1!答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是______。
答案：3x^2-37. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是______。
答案：y-1=2(x-1)8. 向量(2, -3)和(1, 2)的点积是______。
答案：-49. 矩阵A=[1 0; 0 2]的逆矩阵是______。
答案：[1 0; 0 1/2]10. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C三、解答题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 3]上的定积分。
答案：∫(x^2-4x+3)dx从1到3 = (1/3x^3 - 2x^2 + 3x) | 从1到3 = 012. 证明函数f(x)=x^3在R上是单调递增的。
工程数学试题及参考答案
工程数学试题B一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）1.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）．(A) BA AB = (B) T T T )(B A AB =(C) T T T )(B A B A +=+ (D) AB AB =T )(2.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432143214321A ，则=)(A r （ ）． (A) 0 (B) 1(C) 3 (D) 43.设B A ,为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向量，则结论（ ）成立．(A) λ是B A +的特征值 (B) λ是B A -的特征值(C) x 是B A +的特征向量 (D) λ是AB 的特征值4.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+(C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-5.随机事件A B ,相互独立的充分必要条件是（ ）．(A) )()()(B P A P AB P = (B) )()(A P B A P =(C) 0)(=AB P (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+6.设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有=≤<)(b X a P （ ）．(A) ⎰b a x x F d )( (B) ⎰ba x x f d )( (C) )()(a fb f - (D) )()(b F a F -7. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．(A) X (B) ∑=31i i X(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X 二、填空题（每小题3分，共15分）1.设B A ,均为3阶矩阵，2=A ，3=B ，则=--1T 3B A ．2.线性无关的向量组的部分组一定 ．3.已知5.0)(,3.0)(=-=A B P A P ，则=+)(B A P ．4.设连续型随机变量X 的密度函数是)(x f ，则=)(X E ．5.若参数θ的估计量θˆ满足θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的 估计．三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3021A ，求A 的特征值与特征向量． 2.线性方程组的增广矩阵为求此线性方程组的全部解．3.用配方法将二次型322322213216537),,(x x x x x x x x f +++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。
工程数学复习题
工程数学复习题工程数学复习题工程数学是应用数学的一个分支，主要研究数学在工程领域中的应用。
它涵盖了许多数学领域，如微积分、线性代数、概率论等。
在工程学习中，数学是一门必修课程，也是建立工程学知识体系的基石。
为了提高工程数学的学习效果，下面将给出一些复习题，帮助大家巩固相关知识。
1. 微积分a. 计算函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1 在区间 [0, 2] 上的定积分。
b. 求函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的导函数和二阶导函数。
c. 求函数 f(x) = e^x 的不定积分。
2. 线性代数a. 计算矩阵 A = [1, 2; 3, 4] 和矩阵 B = [5, 6; 7, 8] 的乘积。
b. 求解线性方程组：2x + 3y = 54x + 5y = 9c. 求矩阵 A = [1, 2; 3, 4] 的特征值和特征向量。
3. 概率论a. 一枚硬币抛掷两次，求出现两次正面的概率。
b. 从一副52张的扑克牌中抽取5张，求得到一副顺子的概率。
c. 一批产品中有10%的不合格品，从中随机抽取5个，求恰好有2个不合格品的概率。
4. 偏微分方程a. 求偏微分方程 u_t = 2u_xx 的通解。
b. 求解一维热传导方程 u_t = ku_xx，其中 k 是常数。
c. 求解二维泊松方程 u_xx + u_yy = 0。
以上只是一些简单的复习题，通过解答这些题目，可以帮助大家回顾和巩固工程数学的知识点。
当然，在实际学习中，还需要理解概念、掌握定理和方法，才能真正掌握工程数学的应用能力。
除了复习题，还可以通过做一些实际的工程问题来加深对工程数学的理解。
例如，可以通过模拟实际工程中的问题，应用数学知识解决实际难题。
这样不仅可以提高数学应用的能力，还可以加深对工程学科的理解和认识。
总之，工程数学是一门重要的学科，对于工程学习和实践都具有重要意义。
通过复习题和实际问题的练习，可以帮助我们巩固和提高工程数学的应用能力，为日后的工程实践打下坚实的数学基础。
工程数学自考试题及答案
工程数学自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪项是线性方程组的解？A. 解存在且唯一B. 解不存在C. 解有无穷多个D. 无解答案：A2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行数或列数D. 矩阵的元素个数答案：C3. 微分方程的解是下列哪一项？A. 函数B. 数值C. 矩阵D. 向量答案：A4. 泰勒级数展开的中心点是？A. 0B. 1C. 任意点D. 函数的零点答案：C5. 傅里叶级数是用于什么？A. 函数的近似B. 函数的精确表示C. 函数的积分D. 函数的微分答案：A6. 线性代数中，向量空间的基是什么？A. 一组线性无关的向量B. 一组线性相关的向量C. 一组向量D. 一组标量答案：A7. 拉普拉斯变换是用于解决什么问题？A. 微分方程B. 积分方程C. 代数方程D. 线性方程组答案：A8. 欧拉公式是用于解决什么问题？A. 微分方程B. 积分方程C. 代数方程D. 线性方程组答案：A9. 概率论中，随机变量的期望值是什么？A. 随机变量的平均值B. 随机变量的中位数C. 随机变量的众数D. 随机变量的方差答案：A10. 泊松分布适用于描述什么？A. 连续型随机变量B. 离散型随机变量C. 正态分布的随机变量D. 二项分布的随机变量答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 如果一个线性方程组有唯一解，则该方程组是_________的。
答案：相容2. 矩阵的对角线元素之和称为矩阵的_________。
答案：迹3. 微分方程的通解是包含_________的解。
答案：任意常数4. 泰勒级数展开的公式是_________。
答案：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...5. 傅里叶级数的公式是_________。
答案：f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L)]6. 向量空间的基有_________个向量。
工程数学试卷与答案汇总(完整版)
）是
无偏估计．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
6．设 A, B 均为 3 阶方阵， A 2, B 3 ，则 3AB1 -18 ．
7．设 A 为 n 阶方阵，若存在数和非零 n 维向量 X ，使得 AX X ，则称为 A 的特
征值．
0 1 2
8．设随机变量
X
~
0.2
0.5
a
（2 分） （2 分）
故 a 是 A 的一个特征向量。
又 A 对称，故 A 必相似于对角阵
（1 分）
设 A∽ diag(λ1,λ2,…,λn)=B, 其中λ1,λ2,…,λn 是 A 的特征值 (1 分)
因 rank(A)=1, 所以 rank(B)=1
(1 分)
从而λ1,λ2,…,λn 中必有 n-1 个为 0, 即 0 是 A 的 n-1 重特征值 (3) A 对称，故 A 必相似于对角阵Λ，
利用初等行变换得112100235010324001112100011210012301?????????????????????????????????????????????????????????????112100011210001511112100011210001511?????????????????????????????????110922010721001511100201010721001511即a?????????????????1201721511由矩阵乘法和转置运算得xab???????????????????????????????????????????1201721511201151111136212
，则
x
=
。
1 1 0 0 0 1
工程数学考点总结
线性代数
1.行列式的展开：
2.矩阵的乘法：
3.矩阵的运算法则：①②③④⑤
4.求逆矩阵：
5.线性方程组解的结构:①：有非零解-----系数行列式∣A∣=0
②：只有零解-----系数行列式∣A∣≠0
③：无解---------
④：有唯一解-----
⑤：有无限多解---
6.“求最大无关组和线性表示”类题
①：通过初等行变换化行阶梯形，非零行的首非零元所在列就是最大无关组
②：接着化行最简矩阵，进行线性表示
7.“λ的取值与线性方程组解的个数”类题：
①：写出系数行列式∣A∣=0，解出3个λ值
②：判断这三个λ值对应方程解的个数
③：当有无限多解时，写出增广矩阵，通过初等行变换化行最简矩阵，进行线性表示
8.“二次型化标准型“类题例：
解：①：找对称矩阵：
②：
∴特征值为λ=1，3，-1
③：求特征向量：i、当λ=-1时，
ii、当λ=-1时，
iii、当λ=3时，
④：单位化：
单位化：
正交变换为X=PY，则
概率论
1.概率公式:
2.全概率公式：
3.贝叶斯公式：
4.期望与方差的性质:
5.六大分布
6.概率密度函数与分布函数
的性质
①
：
②：
7.概率密度函数的期望与方差
8.二维随机变量的边缘密度函数 ①：
②：边缘密度：。
工程数学线性代数复习资料
工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n 级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。
二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。
三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。
四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。
附复习题一、单项选择题1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．42．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A3．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 4．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ B ） A ．A T B T C T B ．C T B T A T C ．C T A T B T D ．A T C T B T6．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ D ） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关 D ．A 的行向量组线性相关8．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3500030000200041A ，则A 的特征值是（ C ） A ．2,2,1,1 B ．3,2,1,1 C ．3,3,2,1 D ．3,2,2,1 9．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．1510．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ B） A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111 11．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ D ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 12．设A ，B 为可逆矩阵，则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为（ A ）． A ．1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭ C 1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13．设A ，B 均为方阵且可逆，满足AXB C =则下列命题中正确是（ C ） A ．11X A B C --= B ．11X CA B --= C ．11X A CB --=D ．11X B CA --=14．设A ，B 均为n 阶方阵且可逆，A 为A 的行列式，则下列命题中不正确是（ B ）A ．TA A =B ．A A λλ= C ．AB A B = D ．11AA-=15．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则下列命题中不正确是（ C ） A ．()()A B C A B C ++=++ B ．()()AB C A BC = C ．AB BA = D ．()A B C AB AC +=+ 16．设A 、B 为n 阶方阵，满足0AB =，则必有（ B ）A ．0A =或0B = B ．0A =或0B =C ．0BA =D ．0A B +=17.3阶行列式j i a =011101110---中元素21a 的代数余了式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．218．设A 为m n ⨯矩阵，且非奇次线性方程组Ax b =有唯一解，则必有（ C ）A ．m n =B ．秩()A m =C ．秩()A n =D ．秩()A n <19．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ A ） A ．A -1C -1 B ．C -1A -1 C ．AC D ．CA 20．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4 21．设向量组4321,,,αααα，下列命题中正确是（ C ） A ．12233441,,,αααααααα++++线性无关 B ．12233441,,,αααααααα----线性无关 C ．12233441,,,αααααααα+++-线性无关 D ．12233441,,,αααααααα++--线性无关22．矩阵563101,121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值是（ A ） A ．1232λλλ=== B ．1231λλλ=== C ．1231,2λλλ=== D ．1233λλλ=== 23．排列()1,2,3,,12,2,,6,4,2⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n 的逆序数为（ C ） A ．()1+n n B ．()1-n n C ．2n D ．n24．排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（ A ）A ．偶排列B ．奇排列C ．非奇非偶D ．以上都不对 25．齐次线性方程组0=AX 有零解的充要条件是（ A ） A ．0≠A B ．0=A C ．1=A D ．1≠A二、填空题1．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =（ 0 ） 2．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A TA |=（ 4 ）3．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为 （ 0 ）4．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵B=A-E ，则矩阵B 的秩r(B )=（ 2 ）5．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= （ 4 ）6．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为（ 0 ）7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a a A 使()3=A R ，则a （2,1≠≠a a ） 8．设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛--311102，B =⎪⎭⎫ ⎝⎛753240，则A T B = 33335791119--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭9．方程组12340x x x x +=⎧⎨-=⎩的基础解系为（11100ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 20011ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）.10．设向量组α1=（6，4，1，-1，2），α2=（1，0，2，3，4），α3=（1，4，-9，-6，22）α4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为 （ 4 ）11．设A 可逆，A λ可逆，则A λ1()A λ-=（11A λ-）.12.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则TAP =3274⎛⎫⎪⎝⎭. 13.设矩阵A=020003400⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=001/41/20001/30⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 14.111122220000000a b c d a b c d =（()()512211221a b a b c d c d ∂=--） 15.使排列1274569j k 为偶排列，则j =（ 8 ）k =（ 3 ）.16．已知3阶行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a =6，则333231232221131211a a a a a a a a a =（16）. 17．若0λ=是方阵A 的一个特征值，则()det A =（ 0 ）.18．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121，则A 2-2A +E =2211--⎛⎫⎪-⎝⎭.19.若向量组()11,1,0t ∂=+，()21,2,0∂=，()230,0,1t ∂=+线性相关，则t =（ 1 ）.20.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =（-2）.21.若向量组U 与向量组（1，2，3，4），（2，3，4，5），（0，0，1，2）等价，则U 的秩（3）. 22.设A 为3阶方阵，()det 3A =-，则()det 2A -=（ 24 ）23.方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当λ=（ 1 ）时有无穷多解。
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1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 00021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它0)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
10．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为其它当0,00),()43(>>⎩⎨⎧=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。
11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：二、填空题（每空3分，共15分）三、计算题（每小题10分，共50分）te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2cos 02212．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。
由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。
求 （1）收报台收到信号“1”的概率；（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。
13．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是其它0,00),()42(>>⎩⎨⎧=+-y x ce y x f y x求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗？请说出理由。
14．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。
15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。
从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求(1)X的概率分布律和分布函数。
(2)EX12n )T，a1≠0,其长度为║a║，又A=aa T,(1)证明A2=║a║2A；(2)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；(3)A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.四、证明题（共10分）五、应用题（共10分）17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。
问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
参考答案及评分标准一、 选择题（每小题3分，共15分）1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 97. 18. 1–(1–P)39. 3/4 10. 12 三、计算题（每题10分，共50分） 11.解答：函数f(t)的付氏变换为：F (w )=dt e dt edt e eet j tj tj t t ⎰⎰⎰+∞--+∞+--+∞∞---+==ℜ0)(0)(||||][ϖβϖβϖββ （3分）=22211ϖββϖβϖβ+=-++j j (2分) 由付氏积分公式有f(t)=[1-ℜF(w )]=ϖϖπϖd e F tj ⎰+∞∞-)(21(2分) =ϖϖϖϖββπd t j t ⎰+∞∞-++)sin (cos 22122 ==ϖϖβϖπβϖϖϖββπd td t ⎰⎰+∞+∞∞-+=+02222cos 2cos 221（2分） 所以 te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2cos 022 （1分）12.解答:设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分）(1)由全概率公式 （1分） 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） =0.8x 0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分） (2)由贝叶斯公式 （1分） 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） =0.8x 0.6/0.52=12/13 （1分）13.解答:(1) 由联合概率密度的性质有⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dy y x f dx即⎰⎰+∞+-+∞=0)42(01dy cedx y x （2分）从而 c =8 （2分）(2)⎰⎰≥==≥yx dxdy y x f Y X P ),()(⎰⎰=+-+∞xy x dy e dx 0)42(0328 （2分） (3) 当x >0时， ⎰⎰∞∞-∞-+-===2)42(28),()(x y x X e dy edy y x f x f （2分）当x <=0时, 0)(=x f X同理有 其它04)(4>⎩⎨⎧=-y e y f y Y （1分）因 y x y f x f y x f Y X ,)()(),(∀=故X 与Y 相互独立 （1分）14.解答：设 否则个盒子有球第i X i ⎩⎨⎧=01i =1,2,…,N (2分)则 ∑==Ni iXX 1(1分)因 nni N N X P )1()0(-== (2分)nni i NN X P X P )1(1)0(1)1(--==-== (2分) 因而 nni i i N N X P X P EX )1(1)1(1)0(0--==⋅+=⋅= (2分)所以 ))11(1(1nNi iNN EXEX --==∑= (2分) 15.解答：（1）随机变量X 的取值为1，2，3。
（1分）依题意有：62)3(;63}2{;61}1{======X P X P X P （3分） X 的分布函数}{)(x X P x F ≤= （1分） 由条件知：当1<x 时，;0(=）x F （1分）当21<≤x 时，;61)1((===X P x F ）（1分） 当32<≤x 时，;32)2()1((==+==X P X P x F ）（1分） 当3≥x 时，;1(=）x F （1分）（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）四、证明题（共10分）(1) A 2=aa T ·aa T =a T a ·aa T =║a ║2A （2分）(2)因 Aa= aa T ·a=a T a ·a= ║a ║2a （2分）故a 是A 的一个特征向量。
又A 对称，故A 必相似于对角阵 （1分） 设A ∽ diag(λ1,λ2,…,λn )=B, 其中λ1,λ2,…,λn 是A 的特征值 (1分) 因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分) 从而λ1,λ2,…,λn 中必有n-1个为0, 即0是A 的n-1重特征值 （1分） (3) A 对称，故A 必相似于对角阵Λ，Λ=diag(║a ║2, 0,…,0) (2分)五、应用题（共10分） 解答:设y 为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z 表示国家的收益（万元）, （1分） 则有 yX yX X y X y X g Z <≥⎩⎨⎧--==)(33)( （4分） 因 X 服从R(2000,4000), 故有其它4000200002000/1)(<<⎩⎨⎧=x x f X (1分)所以dx ydx x y x dx x f x g EZ yy X ⎰⎰⎰+--==∞∞-40002000200032000)(3)()( =–( y 2 –7000y + 4•106 ) /1000 (3分) 求极值得 y=3500 (吨) (1分)。