直线的参数方程的几何意义

乐恩特教育个性化教学辅导教案

课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析

与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程

知识要点概述

过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数），

其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量，

的几何意义是直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则

的方向向上;若t<0,则

的方向向下;若t=0,则点与点M 重合.

由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为

B A t t ,，则

性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t

性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为

2

B

A t t +，若0M 是线段A

B 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。

精编例题讲练

一、求直线上点的坐标

例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是−3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。

分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程⎩⎨⎧x = x 0 +at ，

y = y 0 +bt

(t 是参数)。

解：由题意知则直线PQ 的方程是⎩⎨⎧x = 1 − 3 t ，

y = 2 + 4 t

，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q

（−8，12）。

例2．求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。

解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ⎩⎨

⎧x = −1 −

2

13

t ，y = −2

+

313

t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d =

513， ∴ t = AA ' = 1013， 代入直线的参数方程得A ' (−

3313，4

13

)。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。

二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点

(1,5),倾斜角为

,

1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆

的两个交点到点

的距离的和与积.

解:直线的参数方程为

( t 为参数)

1)将直线的参数方程中的x,y 代入,得t=

.所以,直线

和直线

的交点到点

的距离为

2)将直线的方程中的x,y 代入,得设此方程的

两根为

,则

=

=10.可知

均为负值,所以

=

点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。

三求直线与曲线相交的弦长

例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.

解因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为

(为参数)

代入整理得

由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。

∴===.

例2 已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.

解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是(t为参数)

即(t为参数)

把它代入抛物线的方程,得

解得

由参数t的几何意义得

点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.

四、求解中点问题

例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB 的中点为M,求点M的坐标.

解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得:

cos,

所以,直线的参数方程为(t为参数)

代入,整理得

中点M的相应的参数是=

所以点M的坐标为

点评:在直线的参数方程中,当t>0,则的方向向上;当t<0,则的方向向下,所以A,B 中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.

例2．已知双曲线x2−y2

2= 1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2

的中点M 的轨迹方程。

分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t 1 +t 2=0。

解：设M (x 0，y 0)为轨迹上任一点，则直线P 1P 2的方程是⎩⎨⎧x = x 0 +t cos θ，

y = y 0 +t sin θ

(t 是参数)，代

入双曲线方程得：(2cos 2θ −sin 2θ) t 2 +2(2x 0cos θ −y 0sin θ)t + (2x 02 −y 02 −2) = 0，

由题意t 1 +t 2=0，即2x 0cos θ −y 0sin θ =0，得tan θ =

2x 0

y 0

。 又直线P 1P 2的斜率 k = tan θ =

y −y 0

x −x 0

，点P （2，1）在直线P 1P 2上， ∴1 −y 02 −x 0 = 2x 0

y 0

，即2x 2 −y 2 −4x +y = 0为所求的轨迹的方程。

五,求点的轨迹问题

例1．已知双曲线 ，过点P （2，1）的直线交双曲线于P 1，P 2，求线段P 1P 2的中点M 的轨迹方程。

分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t 1 +t 2=0。

解：设M (x 0，y 0)为轨迹上任一点，则直线P 1P 2的方程是(t 是参数)，代入双曲线方程得：(2cos 2θ −sin 2θ) t 2 +2(2x 0cos θ −y 0sin θ)t + (2x 02 −y 02 −2) = 0，

由题意t 1 +t 2=0，即2x 0cos θ −y 0sin θ =0，得。 又直线P 1P 2的斜率 ，点P （2，1）在直线P 1P 2上， ∴，即2x 2

−y 2

−4x +y = 0为所求的轨迹的方程。

六、求定点到动点的距离

例1．直线l 过点P (1，2)，其参数方程为⎩⎨⎧x =1 −t ，

y =2 +t

(t 是参数)，直线l 与直线 2x +y −2 =0

交于点Q ，求PQ 。

解：将直线l 的方程化为标准形式⎩⎨⎧x =1 −22t '，

y =2 + 2

2t '

，代入 2x +y −2 =0得 t ' = 32

2，

∴ PQ = | t '| =

32

2

。 点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。