考研高数必考题型

高数必考题型之一：求极限

无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起重视！

下面是求极限的16种方法：

1. 等价无穷小的转化：只能在乘除时候使用，但并不是说一定在加减时候不能用,使用前提是必须证明拆分后极限依然存在。 1-x

e 或者()()0~11→-+x ax x a

等等 这些要全

部熟记；还有，x 趋近无穷的时候还原成无穷小；

2. 洛必达法则：大题目有时候会有暗示，要你使用这个方法。首先它的使用有严格的使用前提——必须是X 趋近而不是N 趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限；当然n 趋近是x 趋近的一种情况，也是必要条件；同时，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷； 必须是函数的导数要存在！假如告诉你g （x ）,但未告诉你是否可导，直接用无疑于找死哦！！ 必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要分式分母不能为0。 洛必达法则分为三种情况

1） 0比0 无穷比无穷时直接用；

2） 0乘以无穷，无穷减去无穷，应为无穷大于无穷小成倒数的关系，所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式。通项之后即变成1中的形式；

3）0的0次方, 1的无穷次方,无穷的0次方, 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（ 这就是为什么只有三种形式的原因。x ln 两端都趋近于无穷时候它的幂移下来趋近于0，当它的幂移下来趋近于无穷的时候，x ln 趋近于0）；

3. 泰勒公式：含有x

e 次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！

x e 展开、sinx 展开、cosx 展开、ln(1+x)展开，对题目简化有很好帮助；

4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法：取大头原则，最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单 ！

5. 无穷小于有界函数的处理办法： 面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要**这个方法。 面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！

6. 夹逼定理：主要对付的是数列极限。这个主要是看极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大；

7. 等比等差数列公式应用：对付数列极限。q 绝对值符号要小于1；

8. 各项的拆分相加： 用来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限。可以使用待定系数法来拆分化简函数；

9. 求左右求极限的方式：对付数列极限。例如知道 n x 与1+n x 的关系，已知n x 的极限存在的情况下，n x 的极限与1+n x 的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化；

10. 两个重要极限的应用： ()e

x x

x

x

x x =+=→→1

01lim 1

sin lim

11. 当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的：

x x a x x a x x ln !>>>>(画图也能看出速率的快)。当x 趋近无穷的时候，他们的比值极限

一眼就能看出来了；

12. 换元法：一种技巧，对于某一道题目，不会只需要换元， 但是换元会夹杂其中；

13. 四则运算法：假如要算的话，四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的；

14. 转化为定积分：对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。 一般是从0到1的形式 ；

15. 单调有界的性质：对付递推数列时候使用，证明单调性； 16. 直接使用求导数的定义来求极限：

一般都是x 趋近于0时候，在分子上f （x 加减个值）加减f （x ）的形式。遇到后要特别注意：当题目中告诉你 F(0)=0 ，0)

0(='f 的时候，就是暗示你一定要用导数定义！

高数必考题型之二：利用中值定理证明等式或不等式

证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理；不等式的证明有时可使用中值定理。其中，泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。 利用中值定理证明等式或不等式：

在证明不等式时，出现“”和“”的形式，并且在和

上满足拉格朗日中值定理条件，则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“f(b)-f(a)”型，另一边出现“b-a ”型，则可将不等式变形为含“

”

型。若同时在和上满足拉格朗日中值定理条件，则利用拉格朗日中值定理条件进行证明。若只出现“”型，则构造“”型。

例1. 证明：当时，.

分析：通过观察，不等式中“”为“”型，

令，可知在上连续。当时, 在上连续, 则

在区间上满足拉格朗日中值定理。

证明：

由于，则有，即.

例2.， .

分析：通过观察发现此不等式为“”型。令，则在区间

和上满足拉格朗日中值定理的条件。

证明：,

由于，则可知

即

例3. 证明不等式：

分析：例题中出现“”是“”型,此时可以考虑,在区间

上的情况。

证明：设

, 则

在区间上连续，在开区间

上可导，显然

在区间

上满足拉格朗日中值定理条件，则有：

则不等式右边

由于，并且

，则

，故原不等式成立。

高数必考题型之三：利用函数单调性证明不等式

利用函数单调性证明不等式：

单调函数是一个重要的函数类, 函数的单调性应用广泛, 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等, 并且可使许多问题的求解简单明快。下面主要讨论单调性在不等式中的应用。 定义 设函数的定义域为

区间 如果对于区间上任意两点

及

,

当

时, 恒有

, 则称函数在区间上是单调增加的; 如果对于区

间上任意两点及

，当时,恒有

, 则称函数

在区间上是

单调减少的。

定理 设函数)(x f y =在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导。如果在(a,b)内0)(>'x f , 那么函数

)(x f y =在[a,b]上单调增加; 如果在(a,b)内0)(<'x f , 那么函数)(x f y =在[a,b]上单调

减少。

利用函数的单调性解决不等式证明问题, 在高等数学中是经常使用的方法, 下面通过几个例子来说明。

例１ 当时, 证明:.

证明 构造函数, 则