大学物理 第十四讲 电容器 电介质讲解

c
f E 它的 P E曲线如图。
0
oa……电极化有饱和现象。
d -Pr e
Pr ……剩余电极化强度。 封闭曲线称为“电滞曲线”
铁电体的相对介电常数很大 , r :102～104
所以可以作成体积小，电容量大的电容器。
而且 r 随 E 而变，即电容量随电压而变，
可以作成“非线性电容器”。
二. 压电效应 铁电体和某些晶体（石英,电气石等）, 在拉伸或 压缩时也会发生极化现象， 在某些表面上出现极化电荷。 这称为 压电效应。
或 Pn
q
ds
q
nˆ

E
P
l
’称为极化面电荷密度。
（此结论对有极分子也适用）。
四、电介质表面上、内部极化电荷的情况
1. 电介质表面上（极化面电荷）:
若 ds 就在电介质表面上,
E
P
电 介 抵不 质 消抵
消
等效
σ′
电
++++ P
介
质
Pn
它就是电介质表面的极化面电荷密度 ’与 该处的电极化强度 P 的关系。
例. 已知：不带电的电介质球已被均匀极化， 极化强度为 P。 求：、 。
【解】
Pn P cos ；
＾n
σ′θ
. ΔV
P
P
0 P
0
2
（非均匀 分布）
P
P d S
lim q内 lim S
nql cos d s np分子 cos d s P cos d s
q
ds
q
nˆ

E
P
l
令 ’…（ ds 处）因极化越过单位面积
的极化电荷 所以 d q P cos
ds
d q P cos
ds
或 P nˆ
电介质能承受的最大 电场强度称为该电介质 的击穿场强, 或介电强度。
例如. 空气的击穿场强 约 3 kV/mm.
被高压击穿的树脂玻璃
铁电体与压电效应
一.铁电体 是一类各向异性的电介质，电极化强度 P 与场强 E不是线性关系,也不是单值关系。
P b
+Pr
a 例如,钛酸钡（BaTiO3）： 当温度低于125oC时,
设 D D（r）rˆ
过场点 P 作高斯面 S如图，半径为 r
r
R1
S
D d s q0
S D 4 π r 2 q0
R2
r
0
导体q0
P D E

D

q0 4πr2

rˆ
此式对导体外的电介质、电 介质外的真空区域都适用。
D

q0 4πr2
rˆ
•电介质内：场点 E介质内 D

r
r
1
)
4
q0 π R22
q外 表

4π
R22
外 表

(

r
r
1
)

q0

q内 表
实际上，现在的总电场是
+
++q-+’++++++--++q-++0q+’+
给定电容器：两极板间电势差 U Q
定义 C Q U
典型的电容器 球形
R1 R2
柱形
R1 l
R2
平行板 S
d
电容的计算方法：

设Q
E U AB
C Q U
例 求柱形电容器单位长度（柱高）的电容
解： 设单位长度（柱高）带电量为
R1 r R2

E
2 0r

r
R1
E
R2
q

q
p ql
感应电偶极矩
（2）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 不重合的称为有极分子（如 HCl、H2O、NH3 ）
有极分子在电场中， 固有电偶极矩会转向 电场的方向，这称为 转向极化。
有极分子 q
q
E
l
q q
说明：
固有电偶极矩
（1）静电场中，有极分子也有位移极化，
0 。
ΔV
ΔV
（ P 是常矢量）
以后可知，在静电场中的各向同性均匀电介质内，
无自由电荷处，必无极化体电荷。
为什么带静电的梳子 能吸引小纸屑、水柱？
应用举例：
静电喷漆
静电空气清洁机
五、电介质的击穿
当外电场很强时，电介质的正负电中心 有可能进一步被拉开,出现可以自由移动的 电荷,电介质就变为导体了，这称为击穿。
我们以位移极化为例:
设负电荷不动，极化时正电荷移动距离 l. 考虑电介质上某点处的极化情况。
设某点处的
E、P
如图。
在该点处取
一 面元 ds，作 以 ds 为底、斜高 为l 的小柱体 如图。
q
ds
q

E
P
l
由于极化，小柱体内的分子的正电荷越过 ds 面 的总电荷为
d q n (d s l cos )q
9.2 电容器及电容 capacitor ， capacity
一.孤立导体的电容
定义
给定孤立导体，有 U Q C Q
单位（ SI ）:法拉 F
U
C只与导体几何因素和介质有关
固有的容电本领
例 求真空中孤立导体球的电容
解：设球带电为 Q
R
导体球电势 U Q
4 0R
介质
所以导体球 电容
CQ U
二、定电义：极P化强度piP分 子

i ΔV

ΔV …体积
（宏观小，微观大）
P 是空间的 点函数。 P 0 无极化
P 常矢量，为均匀极化
单对位 无体 极积 分中 子有电介n 质个,分若子感,应则电P偶 极n矩p为分子p分子
实验表明:

E
不太强时，各向同性电介质内有
1)
4
q0 π R12
q内 表

4
π
R12
内 表

(r r
1 )q0
介质内表面的极化电荷是负的，
而且少于导体球表面的 自由电荷。

外 表
Pn
(r r
r R2 1)D
P nˆ
rˆ
r R2
P rˆ
r R2
r R2
(
但主要是转向极化；

（2）由于热运动，P分子不是都平行于 E 。
电场越强, P分子 的排列越整齐。
总之，不管哪种电介质,极化机制虽然不同，
放到电场中都有极化现象,都会出现极化电荷
（也叫束缚电荷）。
例如左图的左右表面
E
上就有极化电荷。
正是这些极化电荷 的电场削弱了电介 质中的电场。
如何描述电介质的极化状态？ 电介质的极化有什么规律？
可利用 D的高斯定律
D E

D

例 1. 已知: 一导体球半径为R1，带电 q0（>0） 外面包有一层均匀各向同性电介质球壳，
其外半径为R2,相对介电常数为 r .
求：场强与极化电荷。
【解】 （1）求场强
导体球 内 E导内 o
r
S
R1
R2 0 导体q0
导体球外？


导体球外: E有球对称性 D有球对称性

R2> r
/ 0r
> R1
4
π
q0
0
r
r
2
rˆ

E0
r
( E0为真空时的场强)
•电介质外：
E介 质 外
（真空区域）场点


D
0

q0
4 π 0r 2
r
rˆ
> R2
E0
场强分布曲线 E
q0 (4 π 0 r R12 )
q0 (4 π 0 r R22 )
2. 电介质内部 (极化体电荷)：
在电介质内部作任一封闭面 S， 看由于极化，S 面内出现多少极化电荷。 已知在 ds 面上移出封闭面的电荷为
d
q出

P

cos


d
s
PdS
净移出整个封闭面 的电荷为

q出 P d S
(s)
（代数和）
nˆ

P
q内
dS
nˆ

拉
压
例如,石英在受到 10 N/cm2的压力时, 两表面出现 0.5V 左右的电压。
压电效应有逆效应：
即压电材料上加电场时,它沿电场方向的 长度会发生变化,这称为“电致伸缩”现象。
伸缩量当然很小。例如,两表面加几百伏时, 长度的变化只有 10 - 9 m的数量级。
应用举例:
压电效应（机械振动电振动） ……晶体话筒, 电唱机的晶体唱头, 煤气灶点火器。
U
R2


R1
2
0r
dr
ln R2 2 0 R1
C*


U

2 0
ln R2
本章结束
R1
不计边缘 效应
C

2 l 0
ln
R 2
R
1
9.2 静电场中的电介质
实验：插入电介质后，电压变小
U U0
r
r>1……介质的
相对介电常数
Q Q
E0 d
（相对电容率）
40R
数量级
欲得到 1F 的电容
孤立导体球的半径 R = ?
由孤立导体球电容公式知
R C
4
9 109 m
103 RE
0
二.电容器及其电容 电容器：
内表面
Q
特殊导体组——
导体壳+壳内的另一导体。
特点：其间电场由电量、
几何因素及介质决定。
AQ
B
等量异号
两相对表面的形状、大小及相对位置
逆压电效应（电振动机械振动） ……晶体耳机, 超声波发生器, 压电马达。
9.3 电位移矢量，D 的高斯定律
一.问D题的：高有斯电定介质律时,静电场有什么规q0律？
对P点， q E,
q0 E0， E E0 E
q0内
电 q内′ 介
质 q
Pபைடு நூலகம்S
1

P
S

q出 P d S
(s)
整个封闭面内多出的极化电荷

因为 q内 q出 q内 P d S
(s)
即任一封闭面内的极化电荷等于通过 该封闭面的电极化强度通量的负值。
如果封闭面极小，就可以求出电介质内部 各点处的极化电荷。这就是电介质内部极 化电荷与电极化强度的关系式。


0

r
1E

0 r E
令 D E
= 0 r 称为电介质的介电常数，
它的单位与 0 相同。
对于每一种电介质, 是可以知道的。

D E
称 为电 介质的 性能方程。 D与E , 方向一致，大小成正…比点点对应！
求场强的方法
当电场有一定对称性时，
S

(0E

q0内
0
P)d s

1
0


S
q0内
P

d
s
S

(
0
E

P)

d
s


q0内
S

令
D



0
E

P
D d S q0内
……称为电位移矢量
… D 的高斯定理
S
即通过任意封闭面的电位移的通量等于
该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
说明：
1.它比真空中的E 的高斯定律更普遍,当没有电介质 时, 即P=0, 就过渡到真空中的高斯定律了。

2.如果电场有一定的对称性,我们就可以先从 D 的高
斯定理求出

因为有

D
D来E； 然证后明再见求下出：E
来。
P 0(r 1)E
D


0
E
0 E
P

内 表 Pn rR1 P nˆ
P (rˆ)
r R1
r R1
r
R1
R2
r
0
导体q0
S


(
r

1
)D

( rˆ )
r
r R1
P D E
D

q0 4πr2
rˆ

(
r
r
1 )
4
q0 π R12
内 表

(r r
一、电介质的极化
电介质这类物质中，没有自由电子, 不导电， 也称为绝缘体。
电介质分子可分为有极和无极两类:
（1）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心
重合的称为无极分子（如H2、 CH4、CO2）
无极分子在电场中, 无极分子
E
正负电荷中心会被
拉开一段距离,产生

l
感应电偶极矩，这 称为位移极化。
q0 (4 π 0 R22 )
0
R1 R2
r
在带电面两侧的场强都发生突变，这是面电荷
分布的电场的一个共同特点（有普遍性）。
（2）求极化电荷：
电介质内部： 0 0 o（证明见后面）
电介质表面：
P

0 ( r
1)E



r
r
1

D
（记）



P E 即 P总是与 E 平行。


且有 P 0(r 1)E


P 0(r 1)E


有时写作 P 0eE
式中 e r 1 ,
e …称为电极化率,
r 1
e o
我们（本课程）只讨论各向同性电介质。
三、极化电荷与电极化强度的关系
r 随介质种类和
U0
状态而改变，无量纲，
可实验测定。
Q Q
E
r
U
例如：
空气 r=1， 云母 r=4~7 水(20℃, 1atm) r=80， 钛酸钡 r=103—104。
U U0
r
U U0 / d
d r
E E0 / r
为什么插入电介质 会使电场减弱？
Eds (
S 0
q0内
q内 )
Edl o
（1） （2）
L
1
Eds (
S
o
q0内

q内 ) （1）
问题： 有电E介 质时，如q何内 求
E
？ E
我们设法在方程中替换掉 q内

q内



P

d
s
S
得

E

d
s