几何画板制作 圆锥曲线的画法

《几何画板》课件制作

第二类课件圆锥曲线的画法

一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线

原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：

当01时，轨迹为双曲线。制作过程：

1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C 为垂足。

<图 3>

2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。

3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。

5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。

6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。

说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF和⊿ADC 为相似三角形。则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。

（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。

二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线

原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；

抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。 制作过程：

1.椭圆（或双曲线）的制作：

<图 4> <图 5>

()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。

再轴上任取一点记为（在圆内时并且不与重合时如图(4)，轨迹为椭圆，在圆外时如图（5），轨迹为双曲线），在圆上任取一点。

过、作直线，交圆于另一点。联结、，并且作它们的中垂线，与

直线相交于、。即为过焦点的椭圆或双曲线的弦，、就是椭圆或双曲线的焦半径。

2.抛物线的制作：

<图 6>

()221,00,,2,,2,22sin P F P x F y M M FM x N N M P P y px FP P

F PQ XFP a a

FQ F FQ ⎛⎫> ⎪⎝⎭

=∠=）是轴正向上的自由点过的动直线与轴交于过作的

垂线交轴于作与关于对称的点。如图（6）

）选择点M 、P ，单击<构造/轨迹>，得点的轨迹为抛物线方程为。是它的一条焦半径。

说明：设过的抛物线的焦点弦为。设，则过抛物线焦点的弦长为，这样可以计算出，以为圆心，以算出的值为半径作圆，可以找Q 出点。从

而作出抛物线的焦点弦。

三、利用参数方程构造椭圆和双曲线

1. 作椭圆

原理：利用椭圆参数方程cos sin x a y b θ

θ

=⎧⎨=⎩

制作过程：

1）如图（7）所示：开一个新画板，画线段AB ，以A 为圆心，AB 为半径构造大圆C1。

2）构造过点A与AB垂直的直线k，在直线k上取一点C，以A为圆心，以AC 为半径构造小圆C2。

3）在大圆C1上任取一点D，构造过点D和点A的直线l，直线l与小圆C2交于E。

4）构造过E与AB平行的直线m。

5) 构造过D与AB垂直的直线n，并构造m与n的交点F。

6）建立轨迹：同时选中点D和点F，单击<构造/轨迹>选项，画板显示椭圆，拖动点A或点C，可以改变椭圆的形状。

7）除了保留点A，B，C和椭圆轨迹外，隐藏其它对象。

2.作双曲线

原理：利用双曲线参数方程

sec x a

y btg

θ

θ

=

⎧

⎨

=

⎩

制作过程：

1）打开一个新画板，单击<图表/定义坐标系>，建立直角坐标系，标记原点为A，单位点为B。

2）在x轴上取一点C，按顺序选取A，C，单击<作图/以圆心和圆周上的点绘圆>记为C1，同样，在y轴上取一点D，构造以A为圆心通过点D的圆C2。

3）在C1上取一点E（自由点），构造过A，E的直线j。

4）构造过E和AE垂直的直线k,并构造k与横轴的交点F。同样构造过F与x轴垂直的直线l.

5）构造C2与x轴正向的交点G，并构造过G与x轴垂直的直线m,交直线j于H，过H与x轴平行的直线o,交直线l于I点。

6）构造轨迹：同时选中点E和点I，单击<作图/轨迹>。隐藏不必要的对象。

说明：（1）选中I点，单击<显示/追踪交点 >，再选中E点，单击<编辑/操作类按钮/动画>，并把标签改为“双曲线”。隐藏除I点和坐标轴的其它对象。单击“双曲

线”按钮可动态演示双曲线的形成。如图（8）所示：

<图 8>

四、利用在极坐标系下，圆锥曲线的统一方程1cos ep

e θ

ρ=

-

原理：在极坐标系中，椭圆、抛物线、和双曲线的统一方程为1cos ep

e θ

ρ=

-：

当01时，方程代表双曲线。 制作过程：

1）打开一个新画板，单击<编辑/参数选项>，在打开的“参数选项”对话框中单击“单位”，把角度选为弧度并单击“确定”。

2）单击<图表/定义坐标系>，再单击<图表/隐藏网格，标记原点为O 单位点为B 。如图（9）所示：