几何画板制作 圆锥曲线的画法

《几何画板》课件制作
第二类课件圆锥曲线的画法
一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线
原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：
当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。

制作过程：
1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。

在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C 为垂足。

<图 3>
2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。

3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。

4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。

5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。

6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。

说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF和⊿ADC 为相似三角形。

则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。

（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。

二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线
原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；
抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。

制作过程：
1.椭圆（或双曲线）的制作：
<图 4> <图 5>
()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。

再轴上任取一点记为（在圆内时并且不与重合时如图(4)，轨迹为椭圆，在圆外时如图（5），轨迹为双曲线），在圆上任取一点。

过、作直线，交圆于另一点。

联结、，并且作它们的中垂线，与
直线相交于、。

即为过焦点的椭圆或双曲线的弦，、就是椭圆或双曲线的焦半径。

2.抛物线的制作：
<图 6>
()221,00,,2,,2,22sin P F P x F y M M FM x N N M P P y px FP P
F PQ XFP a a
FQ F FQ ⎛⎫> ⎪⎝⎭
=∠=）是轴正向上的自由点过的动直线与轴交于过作的
垂线交轴于作与关于对称的点。

如图（6）
）选择点M 、P ，单击<构造/轨迹>，得点的轨迹为抛物线方程为。

是它的一条焦半径。

说明：设过的抛物线的焦点弦为。

设，则过抛物线焦点的弦长为，这样可以计算出，以为圆心，以算出的值为半径作圆，可以找Q 出点。

从
而作出抛物线的焦点弦。

三、利用参数方程构造椭圆和双曲线
1. 作椭圆
原理：利用椭圆参数方程cos sin x a y b θ
θ
=⎧⎨=⎩
制作过程：
1）如图（7）所示：开一个新画板，画线段AB ，以A 为圆心，AB 为半径构造大圆C1。

2）构造过点A与AB垂直的直线k，在直线k上取一点C，以A为圆心，以AC 为半径构造小圆C2。

3）在大圆C1上任取一点D，构造过点D和点A的直线l，直线l与小圆C2交于E。

4）构造过E与AB平行的直线m。

5) 构造过D与AB垂直的直线n，并构造m与n的交点F。

6）建立轨迹：同时选中点D和点F，单击<构造/轨迹>选项，画板显示椭圆，拖动点A或点C，可以改变椭圆的形状。

7）除了保留点A，B，C和椭圆轨迹外，隐藏其它对象。

2.作双曲线
原理：利用双曲线参数方程
sec x a
y btg
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
制作过程：
1）打开一个新画板，单击<图表/定义坐标系>，建立直角坐标系，标记原点为A，单位点为B。

2）在x轴上取一点C，按顺序选取A，C，单击<作图/以圆心和圆周上的点绘圆>记为C1，同样，在y轴上取一点D，构造以A为圆心通过点D的圆C2。

3）在C1上取一点E（自由点），构造过A，E的直线j。

4）构造过E和AE垂直的直线k,并构造k与横轴的交点F。

同样构造过F与x轴垂直的直线l.
5）构造C2与x轴正向的交点G，并构造过G与x轴垂直的直线m,交直线j于H，过H与x轴平行的直线o,交直线l于I点。

6）构造轨迹：同时选中点E和点I，单击<作图/轨迹>。

隐藏不必要的对象。

说明：（1）选中I点，单击<显示/追踪交点 >，再选中E点，单击<编辑/操作类按钮/动画>，并把标签改为“双曲线”。

隐藏除I点和坐标轴的其它对象。

单击“双曲
线”按钮可动态演示双曲线的形成。

如图（8）所示：
<图 8>
四、利用在极坐标系下，圆锥曲线的统一方程1cos ep
e θ
ρ=
-
原理：在极坐标系中，椭圆、抛物线、和双曲线的统一方程为1cos ep
e θ
ρ=
-：
当0<e<1时，方程代表椭圆； 当e=1时，方程代表抛物线； 当e>1时，方程代表双曲线。

制作过程：
1）打开一个新画板，单击<编辑/参数选项>，在打开的“参数选项”对话框中单击“单位”，把角度选为弧度并单击“确定”。

2）单击<图表/定义坐标系>，再单击<图表/隐藏网格，标记原点为O 单位点为B 。

如图（9）所示：
3）画射线CD ，在CD 上画一点E ，在极轴的反向延长线上画一点F 。

4）度量线段CE 、CD 、FO 的长，过F 作极轴的垂线k ．设ＰＯ＝p 。

5）计算CE/CD ，设CE/CD=e 。

隐藏CD 、CE 的度量值。

6）画单位圆，在单位圆上画一点G 。

先选择点B 、G 、单位圆，单击<构造/圆上的弧>，顺序选取点B 、O 、G ，单击<度量/角度>，得∠BOG 的大小，设∠BOG=θ。

用线段连结O 、G ，选中弧BG 并单击<构造/弧内部/扇形内部>，扇形即被着色。

7）计算1cos ep
e θ
ρ=-。

8）先后选择计算值1cos ep
e θ
ρ=-，角度值θ（注意顺序），并单击<图表/绘制点>，
得到的点记为H 。

同时选择G 、H ，单击<构造/轨迹>，得到方程1cos ep
e θ
ρ=-的
曲线。

9）选中点E ，单击<编辑/操作类按钮/动画>，弹出如图（10）所示：对话框。

修改标签为“运动点E 得不同的圆锥曲线”。

<图 10> <图 11> 说明：1.拖动F 可以改变参数p 的大小。

2.单击“运动点E 得不同的圆锥曲线”，E 点在射线CD 上运动，当E 点在CD 之间运动时得椭圆，在D 点时得抛物线，在D 右侧得双曲线。

五、利用椭圆、抛物线和双曲线的标准方程作曲线
这里只介绍椭圆的作法，抛物线和双曲线同样可以作出。

椭圆的制作
原理：由椭圆的标准方程
曲线。

的图象，最后即得椭圆的图象，然后再作出这样我们先作出可得222
2222
222,1x a a
b y x a a b y x a a b y b
y a x --=-=-±==+
制作过程：
1）打开一个新画板单击<图表/定义坐标系>，建立直角坐标系。

标记原点为A 。

如图（12）所示：
<图 12> <图 13>
2）在x 轴上取一点C ，在y 轴上取一点D ，然后度量A 、C 两点的距离。

选中A 、C 。

单
3）击<度量/距离>，同样度量A ，D 两点的距离。

分别改标签为a 、b 。

4）在x 轴上取一点E ，并度量其横坐标X E 。

5）单击<度量/计算>，输入如图（11）所示：计算出22E x a a
b
-的值，选择
x E ,计算值22E x a a
b
-（注意顺序）单击<图表/绘制（x,y ）>，得点F 。

6）作轨迹：选中E 、F ，单击<作图/轨迹>，作出上半个椭圆。

7）双击 x 轴，这样把x 轴标记为镜面，选中点F ，单击<变换/反射>，得到的点为F ‘。

然后选中E 、F ’，单击<作图/轨迹>，作出下半个椭圆。

8）选中上半个椭圆，单击<编辑/属性>，得如图（13）所示对话框，并把采样数量改为5000，然后单击“确定”。

同样修改下半圆的属性。

这样可以使椭圆的图像比较平滑。