人教版九年级数学上册2414圆周角课件

圆外角 圆内角
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
（1）圆心在∠BAC的一边上.
证明你的猜想:
O B
A
由于OA=OC
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
C
1
所以∠BAC= ∠BOC
2
（2）圆心在∠BAC的内部.
作直径AD.
1 由于∠BAD= ∠BOD
2
A
1
∠DAC= ∠DOC，
2
所以∠BAD+∠DAC= O
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所 对的弧相等。
4.圆内接四边形对角互补
例题讲解:
例 1: 如图，P是 圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形。
证明：∵∠ABC和∠APC 都是 ⌒ 所对的圆周角。 AC ∴∠ABC=∠APC=60°
（∠BOD+∠DOC） 1
B
C
2
1
D
即∠BAC= ∠BOC
2
（3）圆心在∠BAC的外部.
作直径AD. 1
由于∠DAB= ∠DOB 2
1 ∠DAC= ∠DOC，
2 所以∠DAC-∠DAB=
1 即∠BAC= ∠BOC
2
A O
D
C
B 1 （∠DOC-∠DOB） 2
结论1：
在同圆或等圆中
,同弧或等弧
所对的圆周角相等，
思考3
圆内接四边形的对角有何数量关系？
圆内接多边形:所有顶点都在同一圆上的多边形。
A B
O· D
C 结论3:圆内接四边形对角互补
例题讲解:
例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．四边形 ACBD的面积.
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
求∠ A的度数。
∠A=21°
8如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、 N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC
⌒
O
M
N
A
B
C
9如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA, 求证：AC=AE
⌒⌒
C O
A
E
B
(1)一个概念（圆周角）
内容小结：
同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的
O
A
B
圆心角为60度 圆周角为 30 度
或 150 度。
2:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
O 40°
A
B
C
3.求圆中角X的度数。
35°
120°
. O 70° x A
B
120° . O X A
4.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下． 方法三
方法一
A
B
C
O
D B
O
方法二 A
·
方法四 O
圆的认识
24.14圆周角2
复习旧知 1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° 90°的圆周角所对的弦是圆的直径
人教版九年级数学上册：2414《圆 周角》课件
习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
B
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴⌒ ⌒ BD= DE
（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。
A E C
D
例3:
如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
⌒
⌒
例4:
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边 为直径的圆.）
C
在Rt△ABC中，
BC AB 2 AC 2 102 62 8 A
∵CD平分∠ACB，
O
B
ACD BCD.
⌒⌒
D
∴AD=BD.
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
2
2
AD BD AB 10 5 2(cm)
2
2
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
如图23.1.9，
线段AB是⊙O的直径，
点C是⊙O上任意一点（除点A、B），
那么， ∠ACB就是直径AB所对的圆周角.
想想看，∠ACB会是怎么样的角？
图 2 3 .1 .9
如图：
我们可以看到，
OA＝OB＝OC，
所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，
因而
∠OAC＝∠OCA，
∠OBC＝∠OCB. 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
都等于该弧或等弧所对的 圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧也相等。
如图：则有
∠ACB=
1
AOB ； ∠ADB=
；
12 ∠ =∠ .
AOB
ACB
2 ADB
图 2 3 .1 .1 0
思考1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
思考2
1. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______； 25°
2、在圆中，一条弧所对的圆心角和 圆周角分别为（2x＋100）°和 （5x－30）°，求这条弧所对的 圆心角和圆周角的度数.
3、右图是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有 什么简捷的办法？
(同弧所对的圆周角相等）
A P
·· O
C B
同理，∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对的圆周角， BC
∴∠BAC=∠CPபைடு நூலகம்=60°。
∴△ABC等边三角形。
例2:
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒ ⌒
BD=DE
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
O
A
B
C
130°
5、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点， ∠CAD=260，则∠COD=_________
52°
6.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 求∠BOC的度数。
AD=AB，如果∠ADB=35° ，
∠BOC =140°
⌒
⌒
7、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠BOC=84°，
A、50°；
B、80°；
D
C、90°；
D、100°
练一练
2、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°；
B、60°；
C、90°；
D、45°
A
B
O
C
C
B
A
B
P
利用同弧所对的圆周角的相等练习
3如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等 的角？
所以
∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝
图 2 3 .1 .9
180 ＝90°. 2
结论2:
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
图 2 3 .1 .9
归纳：
归纳：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两个圆周角③两条弧, ④两条弦, ⑤两条弦心距中,有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A 1
2
D 8
7
3
4 B
6 5
C
(1)一个概念（圆周角）
内容小结：
同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的
(2)一个定理：
圆周角相等
等于该 弧所对的圆心角的一半；
(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.
半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
(2)一个定理：
圆周角相等
等于该 弧所对的圆心角的一半；
(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.
半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
谢谢观赏
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，
求证： △ABC 为直角三角形.
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.
CO= A1B, 2
1 且CO= AB 2
C
A
·
B
O
∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB=90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
练习
1：已知⊙O中弦AB等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。