高二数学-直线与方程典型习题(教师版)
高二数学下11.1《直线的方程》测试沪教版(1)
高二数学练习——直线的方程一．填空题：1．假设三点( 2，－ 2 )，(－ 1， 4 )，(x， 0 )共线，那么x ＝．2．过点( －2，4 ) ，方向向量 d ＝ ( 2，4 ) 的点方向式方程为．3．经过 A ( 2， 3 )， B( 4， 6 )两点的直线的点方向式方程为．4 3 x＋2y60的一个法向量为 (a，a－2) ，那么a＝．．直线＋＝5． A (－ 3， 2 )， B ( 1，－ 4 )，那么线段AB的垂直平分线方程是．6．假设坐标原点在直线l 上的射影点的坐标是( －4，2 ) ，那么直线 l 的方程为．7．平面上三点A(－1， 3 )，B( 3，－ 4 )，C(－ 1，2 )，点 P 满足BP＝3BC ，那么直线2AP的方程为．8．直线3x 2 y10 的所有单位法向量的坐标为．9． A〔－ 1，1〕，B〔x，3〕为直线l上的两点，l 的方向向量为〔 2，1〕，那么x ＝．10．直线l1：2x3y10 与直线l2：3x －2＝0所成角的大小为．11．过点 P〔 3，5〕的所有直线中，离原点最远的直线方程是．12．直线xsin y cos 1 0 与 x cos y sin20 ( 0＜＜) 的位置关系是：．二．选择题：13．直线(m2) x (2 m) y 2m 在x轴上的截距为3，那么m的值是〔〕〔 A〕6；〔B〕－6；〔C〕6；〔D〕－6．5514．假设－＜＜0，那么直线x cot＋y＝0的倾斜角是〔〕2〔 A〕－；〔B〕＋；〔C〕＋；〔D〕－．2215．设a、b、c分别是ABC中∠ A、∠B、∠ C所对边的边长，那么直线x sin A ay c0 与bx ysin B sin C 0 的位置关系是〔〕〔 A〕平行；〔B〕重合；〔C〕垂直；〔D〕相交但不垂直．16．不管m为何实数，直线(m 1) x y 2m 1 0 恒过定点〔〕〔 A〕〔1，－1〕；〔 B〕〔－ 2， 0〕；〔 C〕〔 2， 3〕；〔D〕〔－ 2， 3〕．2三．解答题：17．三角形ABC中，A(－ 1， 2 )， B( 3， 4 )， C(－2， 5 )．求：〔1〕 BC边所在的直线方程；〔 2〕 BC边上的高AH所在的直线方程．解：18．直线l 垂直于直线 3 x－ 4 y－ 7＝ 0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为10 个单位长度，求直线l 的方程．解：19．直线l 过点A〔－1，3〕，它的倾斜角是由B〔 3，－ 5〕、C〔 0，－ 9〕确定的直线的倾斜角的两倍，求直线l 的方程．解：20．求一直线l，使它被两直线l 1： x －3y＋10＝0与直线 l 2：2 x ＋y－8＝0所截得的线段平分于 P〔0， 1〕点．解：21．定点A〔 0，3〕，动点 B 在直线l1：y＝ 1 上，动点 C 在直线l2：y＝－ 1 上，且∠ BAC ＝，求ABC面积的最小值．2解：高二数学练习一——直线的方程一．填空题：1．假设三点( 2，－ 2 )，(－ 1，4 )，(x ，0)共线，那么 x＝1．2．过点(－ 2， 4 )，方向向量d＝( 2， 4 )的点方向式方程为x 2 ＝ y44．2 3．经过 A ( 2，3 )， B( 4， 6) 两点的直线的点方向式方程为x2＝y3．234．直线 3 x＋ 2 y＋ 6＝ 0 的一个法向量为(a ， a －2)，那么 a＝6．5． A (－ 3， 2 )， B ( 1，－ 4 )，那么线段AB的垂直平分线方程是2x －3y－1＝0．．假设坐标原点在直线l 上的射影点的坐标是( －，2) ，那么直线l的方程为2 x－ y ＋10＝．6407．平面上三点A(－1， 3 )，B( 3，－ 4 )，C(－ 1，2 )，点 P 满足BP＝3BC ，那么直线2AP的方程为x ＋y－2＝0．8．直线3x 2 y10 的所有单位法向量的坐标为〔± 313，±213〕．13139． A〔－ 1，1〕，B〔x，3〕为直线l上的两点，l 的方向向量为〔2，1〕，那么x＝3．10．直线l1：2x3y 10 与直线l2：3x－2＝0所成角的大小为2arctan2．311．过点 P〔 3，5〕的所有直线中，离原点最远的直线方程是3x ＋5y－34＝0．12．直线xsin y cos 1 0 与 x cos y sin20 (0＜＜) 的位置关系是：垂直．二．选择题：13．直线(m2) x (2 m) y 2m 在x轴上的截距为3，那么m的值是〔D〕〔 A〕6；〔B〕－6；〔C〕6；〔D〕－6．5514．假设－＜＜0，那么直线x cot＋y＝0的倾斜角是〔B〕2〔 A〕－；〔B〕＋；〔C〕＋；〔D〕－．2215．设a、b、c分别是ABC中∠ A、∠B、∠ C所对边的边长，那么直线x sin A ay c0 与bx ysin B sin C 0 的位置关系是〔C〕用心爱心专心16．不管 m 为何实数，直线 (m 1) x y 2m 1 0 恒过定点〔 D〕〔 A 〕〔1，－ 1〕； 〔 B 〕〔－ 2， 0〕； 〔 C 〕〔 2， 3〕； 〔D 〕〔－ 2， 3〕．2三．解答题：17．三角形 ABC 中， A ( － 1， 2 ) ， B ( 3， 4 ) ， C ( －2， 5 ) ．求：〔1〕 BC 边所在的直线方程；（ 2〕 BC 边上的高 AH 所在的直线方程．解：〔 1〕 x ＋ 5 y － 23＝ 0；（ 2〕 5 x － y ＋ 7＝0．18．直线l 垂直于直线 3 x － 4 y － 7＝ 0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为10 个单位长度，求直线 l 的方程．解： 4 x ＋3 y ± 10＝ 0．19．直线 l 过点 A 〔－ 1， 3〕，它的倾斜角是由 B 〔 3，－ 5〕、C 〔 0，－ 9〕确定的直线的倾斜角的两倍，求直线 l 的方程．解： BC ＝〔－ 3，－ 4〕， k BC ＝ 4 ＝ tanBC32 tanBCtan 2 BC ＝21 tanBC＝－24，7直线 l ： y － 3＝－24( x1)24 x ＋7y ＋ ＝ ．7320．求一直线l，使它被两直线l 1： x －3y＋10＝0与直线 l 2：2 x ＋y－8＝0所截得的线段平分于 P〔0， 1〕点．解：设直线 l 交直线l1于A，直线 l 交直线l2于B．∵ A∈l1， B∈l2，∴设 A〔 3 a－ 10，a〕， B〔b， 8－ 2 b〕，3a10b023a b10a2得：8 2b a2b6b，a412∴ A〔－ 4， 2〕，B〔 4， 0〕，AB ＝〔8，－2〕．直线 l ：x＋4 y －4＝0．21．定点A〔 0，3〕，动点 B 在直线l1：y＝ 1 上，动点 C 在直线l2：y＝－ 1 上，且∠ BAC＝，求ABC面积的最小值．2解： ( S ABC )min＝8．。
上海教育版高中数学二下11.1直线的方程同步测试题(三)
高二数学练习——直线的方程一．填空题：1．若三点(2，－2)，(－1，4)，(x ，0)共线，则x ＝ ． 2．过点(－2，4)，方向向量→d ＝(2，4)的点方向式方程为 ．3．经过A (2，3)，B (4，6)两点的直线的点方向式方程为 ．4．直线3x ＋2y ＋6＝0的一个法向量为(a ，a －2)，则a ＝ ．5．已知A (－3，2)，B (1，－4)，则线段AB 的垂直平分线方程是6．若坐标原点在直线l 上的射影点的坐标是(－4，2)，则直线l 的方程为 ． 7．已知平面上三点A (－1，3)，B (3，－4)，C (－1，2)，点P 满足→--BP ＝23→--BC ，则直线AP 的方程为 ．8．直线0123=++y x 的所有单位法向量的坐标为 ．9．已知A （－1，1），B （x ，3）为直线l 上的两点， l 的方向向量为（2，1），则x ＝ ．10．直线1l ：0132=-+y x 与直线2l ：3x －2＝0所成角的大小为 ．11．过点P （3，5）的所有直线中，离原点最远的直线方程是 ．12．直线01cos sin =++ϑϑy x 与02sin cos =+-ϑϑy x (0＜ϑ＜π)的位置关系是： ．二．选择题13．直线m y m x m 2)2()2(=-++在x 轴上的截距为3，则m 的值是（ ）（A ）56； （B ）－56； （C ）6； （D ）－6． 14．若－2π＜ϑ＜0，则直线ϑcot x ＋y ＝0的倾斜角是（ ） （A ）－ϑ； （B ）2π＋ϑ； （C ）π＋ϑ； （D ）2π－ϑ 15．设a 、b 、c 分别是ΔABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线0sin =++c ay A x 与0sin sin =+-C B y bx 的位置关系是（ ）（A ）平行； （B ）重合； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直．16．不论m 为何实数，直线012)1(=++--m y x m 恒过定点（ ）（A ）（1，－21）； （B ）（－2，0）； （C ）（2，3）； （D ）（－2，3）． 三．解答题：17．三角形ABC 中，已知A (－1，2)，B (3，4)，C (－2，5)．求：（1）BC 边所在的直线方程；（2）BC 边上的高AH 所在的直线方程．解：18．已知直线l 垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为10个单位长度，求直线l 的方程．解：19．已知直线l 过点A （－1，3），它的倾斜角是由B （3，－5）、C （0，－9）确定的直线的倾斜角的两倍，求直线l 的方程．解：20．求一直线l ，使它被两直线1l ：x －3y ＋10＝0与直线2l ：2x ＋y －8＝0所截得的线段平分于P （0，1）点．解：21．已知定点A （0，3），动点B 在直线1l ：y ＝1上，动点C 在直线2l ：y ＝－1上，且∠BAC ＝2，求ΔABC 面积的最小值． 解：高二数学练习一——直线的方程一．填空题：1．若三点(2，－2)，(－1，4)，(x ，0)共线，则x ＝ 1 ．2．过点(－2，4)，方向向量→d ＝(2，4)的点方向式方程为 22+x ＝44-y ． 3．经过A (2，3)，B (4，6)两点的直线的点方向式方程为 22-x ＝33-y ． 4．直线3x ＋2y ＋6＝0的一个法向量为(a ，a －2)，则a ＝ 65．已知A (－3，2)，B (1，－4)，则线段AB 的垂直平分线方程是 2x －3y －1＝0 ．6．若坐标原点在直线l 上的射影点的坐标是(－4，2)，则直线l 的方程为2x －y ＋10＝0．7．已知平面上三点A (－1，3)，B (3，－4)，C (－1，2)，点P 满足→--BP ＝23→--BC ，则直线AP 的方程为 x ＋y －2＝0 ． 8．直线0123=++y x 的所有单位法向量的坐标为 （±13133，±13132） ． 9．已知A （－1，1），B （x ，3）为直线l 上的两点， l 的方向向量为（2，1），则x ＝ 3 ．10．直线1l ：0132=-+y x 与直线2l ：3x －2＝0所成角的大小为32arctan 2-π． 11．过点P （3，5）的所有直线中，离原点最远的直线方程是 3x ＋5y －34＝0 ． 12．直线01cos sin =++ϑϑy x 与02sin cos =+-ϑϑy x (0＜ϑ＜π)的位置关系是：垂直 ．二．选择题：13．直线m y m x m 2)2()2(=-++在x 轴上的截距为3，则m 的值是（ D ） （A ）56； （B ）－56； （C ）6； （D ）－6． 14．若－2π＜ϑ＜0，则直线ϑcot x ＋y ＝0的倾斜角是（ B ） （A ）－ϑ； （B ）2π＋ϑ； （C ）π＋ϑ； （D ）2π－ϑ． 15．设a 、b 、c 分别是ΔABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线0sin =++c ay A x 与0sin sin =+-C B y bx 的位置关系是（ C ）（A ）平行； （B ）重合； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直．16．不论m 为何实数，直线012)1(=++--m y x m 恒过定点（ D ）（A ）（1，－21）； （B ）（－2，0）； （C ）（2，3）； （D ）（－2，3）． 三．解答题：17．三角形ABC 中，已知A (－1，2)，B (3，4)，C (－2，5)．求：（1）BC 边所在的直线方程；（2）BC 边上的高AH 所在的直线方程．解：（1）x ＋5y －23＝0；（2）5x －y ＋7＝0．18．已知直线l 垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为10个单位长度，求直线l 的方程．解：4x ＋3y ±10＝019．已知直线l 过点A （－1，3），它的倾斜角是由B （3，－5）、C （0，－9）确定的直线的倾斜角的两倍，求直线l 的方程解：→--BC ＝（－3，－4），BC k ＝34＝BC αtan BC α2tan ＝BC BC αα2tan 1tan 2-＝－724， 直线l ：y －3＝－)1(724+x ⇒ 24x ＋7y ＋3＝0．20．求一直线l ，使它被两直线1l ：x －3y ＋10＝0与直线2l ：2x ＋y －8＝0所截得的线段平分于P （0，1）点解：设直线l 交直线1l 于A ，直线l 交直线2l 于B ．∵A ∈1l ，B ∈2l ，∴设A （3a －10，a ），B （b ，8－2b ）， 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=228121030b a b a ⇒ ⎩⎨⎧-=-=+62103b a b a ⇒ ⎩⎨⎧==42b a ， ∴A （－4，2），B （4，0），⇒ →--AB ＝（8，－2）．直线l ：x ＋4y －4＝0．21．已知定点A （0，3），动点B 在直线1l ：y ＝1上，动点C 在直线2l ：y ＝－1上，且∠BAC ＝2π，求ΔABC 面积的最小值． 解：min )(ABC S ∆＝8．。
高中数学直线与方程精选题目（附答案）
高中数学直线与方程精选题目（附答案）高中数学直线与方程精选题目（附答案）1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)，∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1. 设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3mC ．3D ．3m解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－mn＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.5．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )解析：选B 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距同正负． 6．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( ) A ．无最小值且无最大值 B ．无最小值但有最大值 C ．有最小值但无最大值D ．有最小值且有最大值解析：选D 线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝41－x 3(0≤x ≤3)，从而xy ＝4x 1－x 3＝－43x －322＋3，显然当x ＝32∈[0,3]时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy 取最小值0.7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A 由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0. 8．若动点A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，故其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2.9．直线l 过点(－3,0)，且与直线y ＝2x －3垂直，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：选B 因为直线y ＝2x －3的斜率为2，所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0)，故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3)，选 B.10．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知?k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴3－43－0×y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得 x ＝2，y ＝0或x ＝4，y ＝6.12．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.13．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×－2m ＝－1，∴m ＝1. 答案：114．若x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，则k ＝________. 解析：∵直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，解方程组 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得x ＝－1，y ＝－2，∴直线x ＋ky ＝0过点(－1，－2)，解得k ＝－12.答案：－1215．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<1.<="" p="">答案：(－2,1)16．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝017．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设A ′(a ，b )，则b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．18．(本小题满分12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为 D.由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d ＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5. 由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0，所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)，所以点P 的坐标为(7,0)．19．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 恒过一个定点．(2)当－3<="" 的取值范围．="" 解：(1)证明：由y="" 轴上方，求实数k="" ＋1，得y="" ＋2)．="" ＋2k="" －1＝k="" ＝kx="">(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图)．若当－3<="">f (－3)≥0，f (3)≥0.即－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是－15，1. 20．(本小题满分12分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3.(2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ；②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2，由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.21．(本小题满分12分)直线过点P43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P 43，2，∴43a ＋2b ＝1，联立，得a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b＝1，解得?a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.22．(本小题满分12分)已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为 y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线．则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线.。
直线与方程经典例题与课时训练(含答案版)
直线与方程例题一、直线的倾斜角与斜率1．判定(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )(2)一个倾斜角α不能确信一条直线．( )(3)斜率公式与两点的顺序无关．( )【解析】(1)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(2)正确．确信平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(3)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的顺序能够同时调换．【答案】(1)×(2)√(3)√2．斜率不存在的直线必然是( )A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．【答案】B3．假设过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，那么y等于()A．－3 2C．－1D．1【解析】k AB＝y＋34－2＝tan 45°＝1，即y＋32＝1，∴y＝－1.【答案】C4．如图11所示，直线l1，l2，l3的斜率别离为k1，k2，k3，那么k1，k2，k3之间的大小关系为________．图11【解析】设l1，l2，l3的倾斜角别离为α1，α2，α3，那么由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，因此tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1<k3<k2.【答案】k1<k3<k25．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，那么实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】26．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求y＋1x＋1的取值范围.【解】y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，设直线NA，NB的斜率别离为k NA，k NB.∵k NA＝53，k NB＝－16，∴－16≤y＋1x＋1≤53.∴y＋1x＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.2、直线的方程1．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2)．【答案】 (3,2)2．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过必然点，那么那个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，因此直线过定点(－2,3)． 【答案】 B3．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )【解析】 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距1a >0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．【答案】 B4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0【解析】 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，因此所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B3、直线的交点坐标和距离公式1．已知点A (－1,2)，点B (2,6)，那么线段AB 的长为__________． 【解析】 由两点间距离公式得|AB |＝(2＋1)2＋(6－2)2＝5. 【答案】 52．假设点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，那么|OP |的最小值是________. 【解析】 |OP |的最小值，即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】 223．已知x ＋y －3＝0，那么(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________． 【解析】 设P (x ，y )，A (2，－1)， 那么点P 在直线x ＋y －3＝0上， 且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2. 【答案】24．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，那么l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1D ．2【解析】 法一：在l 1上取一点(1，－2)，那么点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.法二：d ＝|1－(－1)|12＋12＝ 2. 【答案】 B5．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】设对称点坐标为(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)直线与方程练习题1．直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为() A．30°B．60°C．150° D．120°解析：选C.∵直线的斜率k＝－33，∴tan α＝－33.又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率别离为k1、k2、k3，那么()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，因此0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，应选D.3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，那么a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：选D.由题意得a＋2＝a＋2a，∴a＝－2或a＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是() A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，那么倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象能够是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y －a ＝1.假定l 1，判定a ，b ，确信l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，那么x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54. A ，B ，C 三点共线，因此k AB ＝k AC 即－x －54＝2， 解得x ＝－3. 答案：－37．直线l 通过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．那么直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，那么tan α≤1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α知足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，那么直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原先位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13 B ．－3D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－AB ＝－13，即直线l 的斜率为－13，应选A.10．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，那么直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，因此直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，因此k AB ＝－k OA ＝－3，因此直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)． 11．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要通过第一、第二、第四象限，那么a ，b ，c 应知足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0通过第一、二、四象限，因此直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－ab ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.12．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，那么a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或a ＜－1或a ＞0.综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)。
第一章直线与直线方程同步课时作业高二数学北师大版(2019)选择性必修第一册第一章
1.1一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系1.若直线经过O(0,0),A(1,√3)两点,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π3C.π4D.π22.已知直线l经过A(1,2),B(3,5),则直线l的一个方向向量为()A.(2,3)B.(3,2)C.(1,5)D.(-3,2)3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是()A.5B.8C.132D.74.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.αB.180°-αC.180°-α或90°-αD.90°+α或90°-α5.若三点A(2,3),B(3,2),C12,m共线,则实数m的值为()A.2B.72C.92D.1126.a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为.7.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为.8.直线l的一个方向向量d=(3,√3),则直线l的倾斜角是,直线的斜率是.9.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.能力达标10.(2020江苏启东中学高二期中)已知直线l经过两点O(0,0),A(1,√3),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是()A.-√3B.-√33C.√33D.√311.(2020山东菏泽期中)经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),则λ=( ) A.1 B.2C.12D.1312.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c13.(2020湖南长郡中学高二月考)直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围为( ) A.[0,p ) B.0,π4∪34π,π C.0,π4D.0,π4∪π2,π14.(多选题)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,√3)为端点的线段有公共点,则直线l 的斜率可能是( ) A.-2B.12C.1D.√315.若直线l 与y 轴的夹角为60°,则直线l 的倾斜角为 ,斜率为 .16.已知过点(-√3,1)和点(0,b )的直线l 的倾斜角为α,α满足30°≤α≤60°,则b 的取值范围为 .17.已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解如图所示,由题意可知 19.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.1.若直线经过O(0,0),A(1,√3)两点,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π3C.π4D.π2答案B解析设直线OA的倾斜角为α,α∈[0,π),则tan α=√3-01-0=√3,∴α=π3.2.已知直线l经过A(1,2),B(3,5),则直线l的一个方向向量为()A.(2,3)B.(3,2)C.(1,5)D.(-3,2)答案A解析∵直线经过A(1,2),B(3,5),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-1,5-2)=(2,3),∴直线l的一个方向向量为(2,3).3.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是()A.5B.8C.132D.7答案C解析由斜率公式可得8-mm-5=1,解得m=132.4.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.αB.180°-αC.180°-α或90°-αD.90°+α或90°-α答案D解析如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选D.5.若三点A(2,3),B(3,2),C12,m共线,则实数m的值为()A.2B.72C.92D.112答案C解析根据斜率公式得k AB=-1,k AC=6-2m3, ∵A,B,C三点共线,∴k AB=k AC,∴6-2m3=-1,∴m=92.6.a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为.答案45°解析由题意知,b≠a,所以k=c+a-(b+c)a-b=1,故倾斜角为45°.7.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为.答案0解析如图,易知k AB=√3,k AC=-√3,则k AB+k AC=0.8.直线l 的一个方向向量d =(3,√3),则直线l 的倾斜角是 ,直线的斜率是 . 答案π6√33解析d =(3,√3)=31,√33,设c =1,√33,则d ∥c .由向量d =(3,√3)是直线l 的一个方向向量,得c =1,√33也为直线l 的一个方向向量,则直线l 的斜率为√33,所以倾斜角为π6. 9.已知点A (1,2),在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°. 解当点P 在x 轴上时,设点P (a ,0),∵A (1,2),∴k PA =0-2a -1=-2a -1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°,∴tan 60°=-2a -1,解得a=1-2√33. ∴点P 的坐标为1-2√33,0.当点P 在y 轴上时,设点P (0,b ). 同理可得b=2-√3,∴点P 的坐标为(0,2-√3). 综上所述,点P 的坐标为1-2√33,0或(0,2-√3). 能力达标10.(2020江苏启东中学高二期中)已知直线l 经过两点O (0,0),A (1,√3),直线m 的倾斜角是直线l 的倾斜角的两倍,则直线m 的斜率是( )A.-√3B.-√33C.√33D.√3答案A解析依题意k OA =√3-01-0=√3,所以直线l 的倾斜角为π3,所以直线m 的倾斜角为2π3,所以直线m 的斜率为tan 2π3=-√3.故选A .11.(2020山东菏泽期中)经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),则λ=( ) A.1 B.2C.12D.13答案B解析经过A (0,2),B (-1,0)两点的直线的方向向量为(1,λ),∴2-00-(-1)=λ1, 解得λ=2. 故选B . 12.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c答案B 解析lnxx -1=lnx -0x -1表示函数y=ln x 图象上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率,如图所示.令a=k DA ,b=k DB ,c=k DC ,由图知k DC <k DB <k DA ,即c<b<a.13.(2020湖南长郡中学高二月考)直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围为( ) A.[0,p )B.0,π4∪34π,πC.0,π4 D.0,π4∪π2,π答案D解析直线l 的斜率为k=y 1-y 2x 1-x 2=1-m 22-1=1-m 2,因为m ∈R ,所以k ∈(-∞,1],所以直线的倾斜角的取值范围是0,π4∪π2,π.故选D.14.(多选题)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,√3)为端点的线段有公共点,则直线l 的斜率可能是( ) A.-2 B.12C.1D.√3答案ACD解析当直线l 过点B 时,设直线的斜率为k 1,则k 1=√3-00-1=-√3,当直线l 过点A 时,设直线的斜率为k 2,则k 2=1-02-1=1,故直线l 的斜率的取值范围为k ≥1或k ≤-√3,故选ACD.15.若直线l 与y 轴的夹角为60°,则直线l 的倾斜角为 ,斜率为 . 答案30°或150°√33或-√33解析如图所示,若直线为l 1,则直线的倾斜角为α1,α1=90°+60°=150°,tan α1=k 1=-√33,若直线为l 2,则直线的倾斜角为α2,α2=90°-60°=30°,k 2=tan α2=tan 30°=√33.16.已知过点(-√3,1)和点(0,b )的直线l 的倾斜角为α,α满足30°≤α≤60°,则b 的取值范围为 . 答案[2,4]解析设直线l 的斜率为k ,∵30°≤α≤60°,∴√33≤tan α≤√3, ∴√33≤k ≤√3. 又k=√3,∴√33≤√3≤√3,解得2≤b ≤4.17.已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解如图所示,由题意可知k PA =4-0-3-1=-1,k PB =2-03-1=1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤-1或k ≥1. (2)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是45°,PA 的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.18.点M (x ,y )在函数y=-2x+8的图象上,当x ∈[2,5]时,求y+1x+1的取值范围. 解y+1x+1=y -(-1)x -(-1)的几何意义是过M (x ,y ),N (-1,-1)两点的直线的斜率.∵点M 在函数y=-2x+8的图象上,且x ∈[2,5], ∴点M 在线段AB 上运动,且A (2,4),B (5,-2).设直线NA ,NB 的斜率分别为k NA ,k NB .∵k NA =53,k NB =-16, ∴-16≤y+1x+1≤53.∴y+1x+1的取值范围是-16,53. 19.如图所示,菱形OBCD 的顶点O 与坐标原点重合,一边在x 轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解在菱形OBCD 中,OD ∥BC ,∠BOD=60°,所以直线OD ,BC 的倾斜角相等,都为60°,所以斜率k OD =k BC =tan 60°=√3;∵CD ∥OB ,且OB 在x 轴上,所以直线OB ,CD 的倾斜角相等,都为0°, 所以斜率k OB =k CD =0; 由菱形的性质知,∠COB=12×60°=30°,∠OBD=60°,所以直线OC ,BD 的倾斜角分别为30°,120°,所以两条对角线的斜率分别为:k OC =tan 30°=√33,k BD =tan 120°=-√3.。
高二数学直线的方程知识点及习题
直线的方程知识点及习题知识点一 直线的点斜式方程1．方程()00y y k x x -=-由直线上一定点及其斜率确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．适用于斜率存在的直线．2．如果直线过点()000,P x y ，且与y 轴垂直，这时倾斜角为0︒，tan 00︒=，即0k =，由点斜式，得直线方程为0y y =，如图3．2-1．3．如果直线过点()000,P x y ，且与x 轴垂直，此时它的倾斜角为90︒（直线与y 轴平行或重合），斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为0x x =，如图3．2-2．知识点二 直线的点斜式方程（1）我们把直线l 与y 轴交点()0,b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．若直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为()0y b k x -=-，即y kx b =+，这个方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．（2）斜截式与一次函数的解析式相同，都是y kx b =+的形式，但有区别，当0k ≠时，y kx b =+即为一次函数；当0k =时，y b =不是一次函数，一次函数y kx b =+()0k ≠必是一条直线的斜截式方程． 例1.已知直线y kx b =+，当34x -≤≤时，813y -≤≤.求此直线方程.（3）截距①直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与y 轴的交点()0,b 的纵坐标b 称为此直线的纵截距．值得强调的是，截距可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．②直线与x 轴的交点(),0a 的横坐标a 称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线1x =没有纵截距，直线2y =没有横截距．练习（1）直线123y x =-+的斜率是_________，在y 轴上的截距是________，在x 轴上的截距是_________；（2）倾斜角为60︒，在y 轴上的截距为3的直线方程是_________．例2 已知直线1l 的方程为23y x =-+，2l 的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的斜截式方程．练习,.已知直线l 过点(1,2)和(,)a b ，求其方程.本题常见的错误是没有对a 进行分类讨论，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用点斜式写直线方程.在利用点斜式或斜截式求直线方程时，要注意直线方程的点斜式00()y y k x x -=-和斜截式y kx b =+都是斜率k 存在的前提下才能使用的，要认真分析，避免遗漏.1. 直线的两点式方程的定义212y y y y --=121x x x x --就是经过两点111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.若点12,p p 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，是线段12p p 的中点M 的坐标为(,),x y 则有中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.例3：已知三角形的三个顶点分别为(6,7),(2,3),(2,1)A B C --,求AC 边上的中线所在的直线方程.3 直线的截距式方程直线与x 轴的交点(,0)a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，若此时直线在y 轴上的截距为b ，则直线的方程为1(0),x yab a b+=≠此方程由直线在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程. 求截距的方法在直线l 的方程中，令0x =，解出y 的直线，即得直线l 在y 轴上的截距.令y 0=，解出x 的值，即得出直线l 在x 轴上的截距.例4：求过点A (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.4 直线的一般式方程1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. 3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），C b B -=（y 轴上的截距）； （2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.例5.根据条件写出直线方程，并化成一般式. （1(5,3)A ； （2）在,x y 轴上的截距分别是3,1--.5直线过定点问题例5.已知直线:5530l ax y a --+=.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.6解决与面积、周长有关的问题例6.直线过点4(,2)3P ，且与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴分别交与,A B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线能同时满足以下条件：①AOB ∆的周长为12；②AOB ∆的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.课堂练习1.已知直线方程34)y x -=-，则这条直线经过的定点和倾斜角分别 （ ） A.(4,3),60︒ B.(3,4),30--︒ C.(4,3),30︒ D.(4,3),60--︒2.若直线(32)6y t x =--不经过第一象限，则t 的取值范围为 .3.已知直线12y x k =+与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是 . 4.若直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的2倍，且过定点(3,3)P ，则直线l 的方程为 . 5．若三条直线0,0,3x y x y x ay +=-=+=构成三角形，则a 的取值范围是（ ） A.1a ≠± B.1,2a a ≠≠ C.2a ≠ D.1,2a a ≠±≠6．若直线350mx y +-=经过连接点(1,2),(3,4)A B --的线段的中点，则m = . 7．ABC ∆的三个顶点分别为(0,4),(2,6),(8,0)A B C --. 求：（1）边AC 所在直线的直线方程； （2）AC 边上的中线BD 所在直线方程.直线方程练习题一、选择题1．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是（ ）A ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(- 2．点M ),(b a 与N )1,1(+-a b 关于下列哪种图形对称（ ） A ．直线01=+-y x B ．直线01=--y xC ．点（21,21-） D ．直线0=--+b a y x3．若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取 值范围是（ ）A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0D ．k ∈R 且k ±≠ 54、如果直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－25、两条直线mx+y －n =0和x+my +1=0互相平行的条件是（ ） A m=1 B m=±1C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 6、下列说法正确的有（ ）①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1=k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
高中数学必修二直线与方程典型例题
第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1．1 倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型 一 求直线的倾斜角例 1 已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为( ).A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°变式训练：设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则1l 的倾斜角为( )。
A.45α+︒B.135α-︒C.135α︒-D.当0°≤α＜135°时为45α+︒，当135°≤α＜180°时，为135α-︒题型 二 求直线的斜率例 2如图所示菱形ABCD 中∠BAD =60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-,2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ).A .k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2拓展 一 三点共线问题例4 已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．变式训练:若三点P (2，3)，Q (3，a )，R (4，b )共线，那么下列成立的是( ).A ．4,5a b ==B ．1b a -=C ．23a b -=D ．23a b -=拓展 二 与参数有关问题例 5 已知两点A (-2,- 3) ,B (3,0) ,过点P (-1,2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.拓展 三 利用斜率求最值例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。
高二数学下11.1《直线的方程》测试(1)沪教版
直线的方程总分一二三得分阅卷人一、选择题 ( 共 52题，题分合计260 分)x y1.直线2 3＝－ 1在y轴上的截距是A.2B.3C.－2D.－32.直线 l 过点 M〔－1，0〕，并且斜率为1，那么直线 l 的方程是A. x＋y＋ 1＝ 0B. x－y＋ 1＝ 0C. x＋y－ 1＝0D. x―y― 1＝ 03.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是A. x=3B.y=－5y=x D.x=4y－14. 直线l过 ( a,b ) 、 ( b,a ) 两点，其中a与b不相等，那么3A. l与x轴垂直B.l 与 y轴垂直C.l 过一、二、三象限D.l 的倾斜角为 4 π5.假设 ac＞0且 bc＜0，直线 ax+by+c=0不通过A. 第三象限B.第一象限C.第四象限D.第二象限6.直线的方程是指A. 直线上点的坐标都是方程的解B.以方程的解为坐标的点都在直线上C. 直线上点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在直线上D.以上都不对7.定点 P1〔3，5〕，P2〔－1，1〕，Q〔4，0〕，点 P分有向线段P1P2所成的比为3，那么直线 PQ的方程是A. x＋ 2y－ 4＝x＋y－8＝0 C.x－2y－4＝0x－ y－8＝0用心爱心专心8.ABC 中，点A 4, 1 ,AB的中点为M3,2 ,重心为P4,2 ,那么边BC的长为9. 直线kxy13k,当k变动时，所有直线都通过定点A. 〔 0，0〕B.〔 0， 1〕C.〔3， 1〕D.〔 2， 1〕10.如果A C0 且 B C0 ，那么直线 Ax By C不通过A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.如果两直线x1m y2m,2mx 4 y16重合，那么A. m 1B.m 2C.m 1 或 2D.m2x1t cos(3)：23y2t sin()0212.直线〔其中 t 为参数，2〕的倾角为A. B. 2C.2D.213. 点A 3, 4和 B 12, 7, 点C在直线AB上 , 且AC:AB 1: 3 ,那么点 C 的坐标是A.(6,5)B.(9,6)或 (6,5)C.(0,3)或 (6,5)D.(0,3)或(9,6)14.以下各方程表示的图形是一条直线的是A. lg x lg y 1B.( x y)21C. tg (x y) 1 〔 0 <x y<〕x 2y 2D. x1y15. 直线过点( 3, 4), 且在两坐标轴上的截距之和为12, 那么直线方程为A. 4xy160或x3y90C. 4xy160或x3y90B.D.4 x y160或x3y904 x y160或x3y9016. 直线l的方程为AxBy C 0且 A B <0,B C<0,那么l通过A. 第一 ?二 ?三象限 ,B.第一 ?三 ?四象限C. 第一 ?二 ?四象限 ,D.第二 ?三 ?四象限17.一直线在 y轴上的截距为10，且原点到它的距离为8，其方程为A. 4 x-3 y-40=0B. 3x-4 y+40=0C. 4x+5y-40=0D. 5x-4 y-40=0用心爱心专心18. 对于直线9xy a 0(a0)，以下结论正确的选项是A. 恒过定点，且斜率和纵截距相等，B. 恒过定点，且横截距恒为定值，C. 恒过定点，且为不与x 轴垂直的直线，D.恒过定点，且与 x 轴平行的直线19. 以下说法中不正确的选项是A. 点斜式 yy k ( x x 1)适用于不垂直于 x 轴的任何直线1=B. 斜截式ykxb适用于不垂直于 x 轴的任何直线y y 1 x x 1C. 两点式 y 2 yx 2 x 1适用于不垂直于 x 轴和 y轴的任何直线1xy 1 D. 截距式 ab适用于不过原点的任何直线20. 假设方程 Ax +By +C =0表示直线，那么必然有A. 、 、 不全为 0B.、 不全为 0A B C A BC. 、 、C 都不为 0 D.、 都不为 0A BA B21. 如果方程 Ax +By +C =0表示的直线是 y 轴，那么系数 A 、 B 、 C 满足A. BC =0B.A ≠ 0 C. BC =0且 A ≠ 0 D.A ≠ 0且B =C =022. 直线 l 1的方程为 Ax +3y +C =0，直线 l 2的方程为 2x － 3y +4=0，假设 l 1、 l 2的交点在 y 轴上，那么C 的值为A.4B.－ 4 C. ± 4 D. 与 A 有关23. 两条直线 2x +3y － m =0和x － my +12=0的交点在 x 轴上，那么 m 的值是A.24B.6C.－ 24 D.－ 624. 直线 x +a 2y +6=0和直线 ( a － 2) x +3ay +2a =0没有公共点，那么 a 的值是A. =3B.a =0 C. a =－ 1 D.=0或－ 1aa25. 假设直线 l 1、 l 2的方程分别为 A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝ 0、 A 2x ＋ B 2y ＋C 2 ＝0， l 1与 l 2只有一个公共点，那么A 1A 2A 1B 1 A. 1 1－2 2＝ 0B. 1 2－2 1≠ 0C.B 1B 2D.A 2B 2A B A B A B A B26. 两条直线 2x －my +4=0和2mx +3y － 6=0的交点位于第二象限，那么 m 的取值范围是333 3A. － 2 ≤m ≤ 2B.－ 2 ＜ m ＜ 2C.－ 2 ≤ m ＜ 2 D.－ 2 ＜ m ≤ 227. 直线 3x － 2y+a =0与直线 ( a 2－ 1) x +3y +2－ 3a =0的位置关系是用心 爱心 专心A. 相交B.平行C.垂直D.相交或平行28.以下结论正确的选项是A. 直线Ax+By+C=0有横截距B.直线Ax+By+C=0有纵截距C. 直线Ax+By+C=0既有横截距又有纵截距D.以上都不正确29. 直线l的参数方程为x3t2ty68t〔 t 为参数〕，那么直线 l 的点斜式方程是A. y=4x+24B.y=4x+6C.y－6=4( x+3)D.y+6=4( x－3)30.假设方程 Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，那么A0A0B0A0A. B0B.0C.D.B C CC031.直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,假设 l 过原点和二、四象限，那么CC0C0C0 0A. B. B C.0D.B 0B0AB AA032.两条直线 nx－my－mn=0与 mx－ny－mn=0( m≠0, n≠0)的图形可能是以下图中的33.过 ( x1，y1) 和 ( x2，y2) 两点的直线的方程是y y1x x1A .y1x2x1y2y B .y2C.( y2D .( x2y1x x1y1x1x2y1 )( x x1 )( x2x1 )( y y1 ) 0 x1 )( x x1 )( y2y1 )( y y1 ) 034. 直线++ =0(≠0) 在两坐标轴上的截距相等，那么a、 b、c 满足的条件是ax by c abA.a=b B.｜｜ =｜｜ C.且=0 D.c=0或≠0且a=ba b a=b c c35.直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,假设 l 过一、二、三象限，那么C C C C C C C A. A ＞0，－ B ＜0 B. A ＞0, B ＜0 C. B ＜0 D.－A＞0,－B＞0用心爱心专心36.假设直线 l 的横截距与纵截距都是负数，那么A. l的倾斜角为锐角且不过第二象限B.l 的倾斜角为钝角且不过第一象限C. l的倾斜角为锐角且不过第四象限D.l 的倾斜角为钝角且不过第三象限37.在 x轴上的截距是2，在 y轴上的截距是－2的直线的方程是x yB.x yC.x yD.x yA .121212122222 38.直线 ax+by=1( ab≠0)与两坐标轴围成的面积是1111A. 2ab B.2｜ ab｜ C.2ab D. 2 | ab |39.过点 (5 ， 2) ，且在x轴上的截距 ( 直线与x轴交点的横坐标 ) 是在y轴上的截距的 2倍的直线方程是A.2 x+y－x+y－12=0或2x－5y=0 C.x－2y－1=0 D.x+2y－9=0或2x－5y=040.集合 A=｛直线的斜截式方程｝，集合 B=｛一次函数的解析式｝，那么集合 A、 B间的关系是A. A=B B C.B A D.以上都不对41.直线 3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b, 那么有3333A. k=－2 , b=3B.k=－2, b=－2C.k=－2, b=－3D.k=－2, b=－342. 直线Ax＋By－ 1＝0在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x－y＝33的倾斜角的 2倍，那么A. A＝3，B＝ 1 B.A＝－3，B＝－ 1 C.A＝3，B＝－ 1 D.A＝－3，B＝143.假设直线 Ax＋ By＋C＝0通过第二、三、四象限，那么系数 A、 B、C需满足条件A. 、、同号B.＜0，＜ 0C.＝0，＜0D.＝ 0，＜0A B C AC BC C AB A BC44.设 O为坐标原点，过点 A r cos, r sin〔其中r0〕并垂直于直线 OA的直线方程为A.x cos y sin r0B.y xtgC.x y r sin cos0D. xtg y2r sin045.当为第四象限角时，两直线x sin y 1 cos a0 和 x y 1cosb0的位置关系是A. 平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合用心爱心专心46. 两点 A 1,3、B1,5，在直线 2x 3y 1上有一点 P ，使PAPB，那么 P点的坐标是8 , 71 , 3 2, 1 D 〕 5,0 A. 5 5B.5 5C.47. 直线 4 +6 -9=0 夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是l ，那么 l 的方程是xyx -16yx -16 y x +16 y +15=0+16 -15=0x y48. 点 是直线l :2 - y -4=0 与 轴的交点，把直线 l 绕点 依逆时针方向旋转 45°，得到的直MxxM线方程是A . 3 x +y -6=0B. 3x - y +6=0C.x +y -3=0D.x -3 y -2=049. 过点 P 0( x 0,y 0 )且与直线Ax ByC垂直的直线方程为A. Bx Ay Bx 0 Ay 0 0B. Bx Ay Bx 0 Ay 0 0C.Bx Ay Bx 0 Ay 0 0D.Bx Ay Bx 0Ay 050. 过点 A (1,2) 作直线 l ，使它在 x 轴， y 轴上的截距的绝对值相等，那么满足条件的直线有 A. 一条B.两条C.三条 D.不存在51. 设 A 、 B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且｜ PA ｜＝｜ PB ｜，假设直线 PA 的方程为 x － y ＋ 1＝ 0，那么直线 PB 的方程是A.2 y －x －４＝ 0x － y － 1＝ 0C.x ＋y － 5＝ x ＋ y － 7＝ 052. 直线2x 3y6关于直线x对称的直线方程为A. 2x 3y 6 0B. 2 x 3y 6 0C. 2 x 3y 6 0D. 2x 3 y 6 0得分阅卷人二、填空题 ( 共 11 题，题分合计 48 分 )1. 数轴上 P 1 P 2 1, PP 22, 那么点 P 分 P 1 P 2 所成的比是 ________.用心爱心专心2. 在原点 O 和点 A 〔 1，1〕的连线的左侧， 以OA 为一边作正三角形 OAB ，那么点 B 的坐标为________.3. 方程 xy 1 2所表示的直线而构成的图形的面积为________.4. 定点 A 〔 0，1〕，点 B 在直线 x+y=0上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标是.5. 给定三点 A (1,0) ， B (-1,0) ， C (1,2) ，那么通过点 A 并且与直线 BC 垂直的直线方程是 _______.56. 经过点 (2 ， 1) 且倾斜角的余弦值是 13 的直线方程是.7. P (3 ， m ) 在过 M (2 ，－ 1) 和 N ( －3,4) 的直线上，那么 m 的值是 .8. 纵截距为－ 4, 与两坐标轴围成三角形的面积为20的直线的一般式方程为 .9. 一根铁棒在 30℃时长，在 60℃时长，长度 l (m) 和温度 t 〔℃〕的关系可以用直线方程来表示，那么这根铁棒在 90℃时的长度为，当铁棒长为 时的温度是.10. 将直线 y =－ 3( x － 2) 绕点 (2 ， 0) 按顺时针方向旋转 30°所得直线的方程是 .11. 某房地产公司要在荒地 ABCDE (如下图 ) 上划出一块长方形地面( 不改变方位 ) 建造一幢 8 层楼公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积2( 精确到 1m).得分阅卷人三、解答题 ( 共 25 题，题分合计 204 分)31.过原点作一条直线，使它与直线 ， 围成的三角形面积为2 面积单位，求x - y +12=0 2x +y +9=0这条直线的方程 .用心 爱心 专心2.直线 l 过点 p(3,2)，且与 x轴， y轴的正半轴分别交于 A、B两点，求△ AOB面积最小时 l 的方程 .3.求经过〔 3 -4〕，且横纵截距相等的直线方程.P4.直线 L经过〔3-2 〕点，且和轴，轴正方向所围成的三角形的面积为4〔平方单位〕，M XY求 L的方程.5.求过直线 4x－2y－ 1=0与直线x－ 2y+5=0的交点且与两点P1〔 0，4〕、P2(2,0) 距离相等的直线方程 .6.求直线 x－ y－2=0关于直线3x－ y+3=0对称的直线方程.7.直线 l 在 y轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程 .8.直线 l 与直线3x+4y－7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线 l的方程 .9.△ ABC的三个顶点为 (0 ，4)、 ( － 2,6) 、 (8 ，2) ，求此三角形各边上中线所在直线的方程.A B C10.过点 (4 ，－ 3) 的直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l 的方程.11.直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，假设直线l的横截距与纵截距之和为 6，求直线l的方程 .12.在ABC中， BC边上的高所在直线的方程为x 2 y 1 0,A的平分线所在直线的方程为y0,如果点 B的坐标为〔 1，2〕，求边长的长 .BC13.直线l : y 4x和点 P〔6，4〕，在直线l上求一点 Q，使过 PQ的直线与直线l及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小.14.直线 l 1 : x 3y10 0,l 2 : 2x y 80，定点p(0,1)，直线 l 过点p和 l1 , l 2分别交于A, B两点，且p是线段 AB 的中点，求直线l的方程 .15.△ ABC的顶点B(3,4)， AB边上的高 CE所在直线方程为2x+3y-16=0， BC边上的中线 AD所在直线方程为 2x-3 y+1=0，求AC的长 .16.使三条直线 4x+y=4, mx+y=0,2 x－ 3my=4不能围成三角形的m值最多有几个 ?17.一直线被两直线 l 1：４ x＋ y＋6＝0， l 2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程 .18.点 P( x1, y1)在直线 l : Ax+By+C=0( B＜0)的上方，求证： Ax1＋ By1＋ C＜0.19.一直线 l 经过点 P(-4,3),分别交 x轴、 y轴于 A、 B两点，且使 AP： PB=5：3,求直线 l 的方程.用心爱心专心20. 一根弹簧，挂5公斤的物体时，长10cm，挂 8公斤的物体时长16cm，弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量W(公斤)的关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为12cm时所挂物体的重量.21.设同在一条平面上的动点 P、 Q的坐标分别是x, y、X ,Y，并且坐标间存在关系 ,X 3x 2 y 1,Y 3x 2 y 1,当动点 P不在平行于坐标轴的直线l上移动时，动点 Q在这条直线l垂直且通过点2,1的直线上移动，求直线l的方程.22.假设 m R ，那么直线(2m1)x(m3) y(m11)0是否恒过定点，假设过请求出定点的坐标 . 假设不过，请说明理由.23. 过点P(2 ， 1〕作直线l交x，y正半轴于AB两点，当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求直线l 的方程 .24.过原点 O的一条直线与函数 y＝log８ x的图象交于 A、B两点，分别过点 A、 B作 y轴的平行线与函数 y＝log2x的图象交于 C、 D两点.(1) 求证点C、D和原点O在同一条直线上 .(2) 当BC平行于x轴时，求点A的坐标 .25. 一直线l被两平行线 3x＋４y－ 7＝ 0和 3x＋４y＋８＝ 0所截线段长为 32，且l过点(2，3) ，求l的方程 .用心爱心专心直线的方程答案一、选择题 ( 共 52 题，合计 260 分 )1.B2. B3. B4. 6. C7. A8.A 9. C 10. C 11. D 12. C13. C14. C15. C16. A17. B19. D20. B21. D22. B 23. C24. D25. B26. B27. A28. D29. C31. D33. C34. D35. B38. D39. D40. B41. C43. A45. C 46. A47. B48. A49. B50. C51. C52. B二、填空题 ( 共 11 题，合计48 分 )31.21 3 , 13222.3. 8( 1 , 1)2 24.5.x y 106.12 x－ 5y－ 19=07.－ 28.2 x－5y－ 20=0或 2x+5y+20=09.10.52 ｍ； 45℃ .10.x =25011. P(5 ，3 ) ,6017 ｍ2三、解答题 ( 共 25 题，合计204 分 )y 23x或 y 1 x1.所求的直线方程为2522.直线l的方程为2x3 y12 0y 4 xx y 103.34.2x y 405.3 x－2y+1=0和4x+2y－ 15=06.7 x+y+22=037.y =±4x－38.3 x+4y±24=0.9.x +3y－14=0, x+2y－10=0, y=410.x －y－7=0或x+y－1=0或3x+4y=0.11.2 x+y-4=0 和x+y-3=0.12.4 513.Q 〔2， 8〕14.x 4y 4 0AC(5 1) 2(2 1) 21715.16.417.直线 l 的方程为 x＋6y＝0.18.见注释19.9 x-20 y+96=020.弹簧长为 12cm时所挂物体的重量为 6公斤21.3x y 12 0 或 x 2 y 18 0.22.过定点(2, 3)23.直线 l 的方程为： x＋ y－3＝024. A坐标为 (3，log ８3).25. x－7y＋ 19＝0或 7x＋y－ 17＝ 0.。
高二数学直线与方程A(教师版)
直线的方程一、兴趣导入（Topic-in ）:.弟弟上历史课的时候，老师问他：“路易十四是谁？” 他答：“路易十四不就是路易十加路易四吗！”老师听后没好气地说道：“你怎么不说是路易七乘路易二呢？”哪知道弟弟不假思索便说：“老师，从数学上来说，路易七乘路易二应是路易平方十四，因此你错了。
”弄得老师哭笑不得。
二、学前测试(Testing):1．(人教A 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． A.23 B.32 C ．－23 D ．－32 解析 k ＝0－23－0＝－23.答案 C2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 直线的斜率为：k ＝tan α＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案 B3．(2011·龙岩月考)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0. 答案 A4．(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0解析由两点式得：y－31－3＝x－02－0，即x＋y－3＝0.答案 B5．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析∵k AC＝5－36－4＝1，k AB＝a－35－4＝a－3.由于A、B、C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案4三、知识讲解(Teaching)：1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。
高二数学直线与方程精选50题
直线与方程精选50题1、求过点()5,3，倾斜角等于直线13+=x y 的倾斜角的一半的直线方程.★2、已知直线l 的倾斜角为α，53sin =α，且这条直线经过点()5,3P ，求直线l 的一般式方程.★3、已知矩形OACB 的顶点的坐标分别为()()()5,00,80,0B A O 、、，求该矩形的对角线所在直线方程.4、已知直线0632=+-y x ，这条直线的点方向式可以是________________★5、求过点P 且平行于直线0l 的一般式方程：（1）()04:,1,20=+x l P ★（2）()07143:,2,10=++y x l P6、求过点P 且垂直于直线1l 的直线的一般式方程：（1）()03:,1,21=-y l P（2）4231:),1,2(1+=---y x l P ★7、求满足下列条件的直线方程（1）直线l 经过()()7,3,0,2B A 两点★（2）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 平行★（3）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 垂直★8、已知直线()0816:1=--+y t x l 与直线()()01664:2=-+++y t x t l（1）当t 为何值时，21l l 与相交？（2）当t 为何值时，21l l 与平行？（3）当t 为何值时，21l l 与重合？（4）当t 为何值时，21l l 与垂直？★9、已知直线08:1=++n y mx l 与直线012:2=-+my x l .当直线1l 与直线2l 分别满足下列条件时，求实数m 、n 的值（1）直线1l 与直线2l 平行；（2）直线1l 与直线2l 垂直，且直线1l 在y 轴上的截距为1-..★10、根据下列条件，写出满足条件的直线的一般式方程.★（1）经过直线012=+-y x 与直线0122=-+y x 的交点，且与直线05=-y x 垂直.（2）经过直线01=+-y x 与直线022=+-y x 的交点，且与直线1243=+y x 平行.11、已知直线2:1++=k kx y l 与直线42:2+-=x y l 的交点在第一象限，求实数k 的范围.★12、已知集合(){}R y x y x y x A ∈=--=、,01|,,集合(){}R y x y ax y x B ∈=+-=、,02|,,且φ=⋂B A ，求实数a 的值.13、是否存在实数a ，使直线()()0121:1=--+-y a x a l 与直线()03326:2=--+y a x l 平行？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由.★14、求过点()3,2P 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程★15、若坐标原点O 在直线l 的射影H 的坐标为()2,4-，求直线l 的方程★16、已知平面内三点()()()2,14,33,1---C B A 、、，点P 满足BC BP 23=，则直线AP 的方程是17、已知()()4,1,1,3--B A ，则线段AB 的垂直平分线方程是★18、已知三点()()()a C B a A 2,4,1,5,2,-共线，则实数a 的值是___________________19、不论m 取何实数，直线()()()01131=--+--m y m x m 恒过什么象限？20、分别写出下列直线的一个方向向量d 和一个法向量n ★（1）0543=-+y x（2）152=+y x （3）()5413+-=-x y （4）1=x（5）01=+y21、已知0,0<<bc ac ，则直线0:=++a cy bx l 不通过_______________象限22、直线l 的倾斜角的正弦值为54，则其斜率为______________★ 23、过()()a B a a A 2,3,1,1+-的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围★24、直线l 的斜率k 满足13<≤-k ，求其倾斜角的取值范围★25、直线l 的倾斜角是()()2,6,1,2--B A 两点连线的倾斜角的两倍，求直线l 的倾斜角的大小26、直线l 过点()2,1且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的方程★27、求直线()R y x ∈=-+αα010cos 的倾斜角的取值范围28、直线()()039372:222=+-++-a y a x a a l 的倾斜角大小是4π，求实数=a __________★29、方程x k y =与方程()0>+=k k x y 的曲线有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是____________________30、过点()()3,0,0,4B A 的直线的倾斜角大小是________________★31、将直线033=++y x 绕着它与x 轴的交点顺时针旋转︒30后，所得的直线方程是★32、将直线0943=+-y x 绕其与x 轴的交点逆时针旋转︒90后得到直线l ，求直线l 的方程★33、ABC ∆的一个顶点()4,3B ，AB 边上的高CH 所在直线方程是01632=-+y x ，BC 边上的中线AM 所在的直线方程是0132=+-y x ，求边AC 所在直线方程.34、已知直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率k 和倾斜角α★35、过点()4,5-P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5个面积单位，求直线l 的方程★36、直线()()01213:=----y a x a l （其中a 为实数）★（1）求证：不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）已知直线l 不通过第二象限，求实数a 的取值范围37、已知()()2211,,,y x B y x A 为直线()0≠+=k b kx y 上的两点（1）求证：2121x x k AB -+=；（2）根据（1）的形式特征，用21,,y y k 表示AB38、已知ABC ∆中，顶点()7,2-A ，AC 边上的高BH 所在直线方程为0113=++y x ，AB 边上中线CM 所在的直线方程072=++y x ，求ABC ∆三边所在直线方程39、从点()2,5A 发出的光线经过x 轴反射后，反射光线经过点()3,1-B ，求发射光线所在直线与x 轴的夹角大小★40、求经过0332:01:21=++=++y x l y x l 和的交点且与直线0523=-+y x 的夹角为4π的直线方程★'41、已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点是()2,4，直角边AC 所在的直线方程是02=-y x ，求斜边AB 和直角边BC 所在直线的方程42、光线沿直线052=+-y x 的方向入射到直线0723=+-y x 后反射出去，求反射光线所在的直线方程43、已知()()8,4,3,2-B A 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程★44、已知平行直线21l l 与的距离为5，且直线1l 经过原点，直线2l 经过点()3,1，求直线1l 和直线2l 的方程★45、已知直线l 过点()1,0P ，且被平行直线0243:0843:21=++=-+y x l y x l 与所截得的线段的长为22，求直线l 的方程46、求与直线032012=+-=+-y x y x 和距离相等的点的轨迹47、已知点()4,3P 到直线l 的距离为5，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线是___________________★48、过点()2,1P 的所有直线中，与原点距离最大的直线方程是______________49、直线l 经过直线002477=-=-+y x y x 与直线的交点，且原点到直线l 的距离为512，则直线l 的方程为★50、经过直线032=-+y x 和直线0624=--y x 的交点，且与y 轴平行的直线方程为★。
(完整)高中数学直线与方程习题及解析.docx
1．一条光线从点 A(－1,3)射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1)，求 P 点的坐标．3－0＝－31－ 01解 设 P( x,0) ，则 k PA ＝， k PB ＝＝，依题意，－ 1－ x x ＋ 1 3－ x 3－ x由光的反射定律得k PA ＝－ k PB ，即 3＝ 1，解得 x ＝2，即 P(2,0)．x ＋1 3－ x2．△ ABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上， A 在边 BC 的右侧，∠ BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率．解如右图，由题意知 ∠BAO ＝ ∠ OAC ＝ 30°，∴ 直线 AB 的倾斜角为 180°－ 30°＝ 150°，直线 AC 的倾斜角为 30°，∴ k AB ＝ tan 1503＝°－ 3 ，AC3k ＝ tan 30 ＝° 3 .2f a ， f b ， f c的大小． 3．已知函数 f(x)＝ log ( x ＋ 1)， a>b>c>0，试比较a b c解画出函数的草图如图，f xx 可视为过原点直线的斜率．f c f b f a由图象可知：c>b>a.4． (1) 已知四点 A(5,3)， B(10,6)，C(3，－ 4)， D(－ 6,11)，求证： AB ⊥ CD .(2)已知直线 l 1 的斜率 k 1＝ 3，直线 l 2 经过点 A(3a ，－ 2)， B(0， a 2＋ 1)且 l 1⊥ l 2，求实数4 a 的值．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝ 6－ 3 310－5 ＝ 5，11－ － 45 k CD ＝ － 6－ 3 ＝－ 3，则 k AB ·k CD ＝－ 1， ∴ AB ⊥CD .(2)解∵ l 1⊥ l 2，∴ k 1·k 2＝－ 1，3× a 2＋ 1－ － 2即 ＝－ 1，解得 a ＝1 或 a ＝3.40－ 3a5. 如图所示， 在平面直角坐标系中， 四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1， t)、 Q(1－ 2t,2＋ t)、R(－ 2t,2)，其中 t>0. 试判断四边形 OPQR 的形状．解由斜率公式得k OP＝t － 0＝ t，1－ 0QR 2－ 2＋ t＝－t＝ t，k OR2－ 0＝－1，k ＝－ 2t－ 1－ 2t－ 1＝t － 2t－ 0k PQ＝2＋ t －t2＝－1.＝1－ 2t－ 1－ 2t t∴k OP＝k QR， k OR＝ k PQ，从而 OP∥ QR， OR∥PQ .∴四边形 OPQR 为平行四边形．又k OP·k OR＝－ 1，∴ OP⊥ OR，故四边形 OPQR 为矩形．6．已知四边形ABCD 的顶点 A(m， n)， B(5，－ 1)， C(4， 2)， D(2,2) ，求 m 和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形．解∵四边形 ABCD 是直角梯形，∴有 2 种情形：(1)AB∥CD ， AB⊥ AD，由图可知： A(2，－ 1)．(2)AD∥ BC， AD ⊥ AB，k AD＝ k BCk AD·k AB＝－ 1n－2＝ 3m－ 2－1?n－ 2 n＋1·＝－ 1m－ 2 m－ 516m＝5.∴8n＝－516m＝ 2m＝5.综上或n＝－ 18n＝－57．已知直线 l1与 l 2的方程分别为7x＋ 8y＋ 9＝ 0,7x＋ 8y－3＝ 0.直线 l 平行于 l 1，直线 l 与 l1的距离为 d1，与 l2的距离为 d2，且 d1∶d2＝ 1∶ 2，求直线 l 的方程．解因为直线 l 平行 l1，设直线 l 的方程为 7x＋ 8y＋ C＝ 0，则 d1＝|C－ 9||C－－ 3 |，d2＝. 72＋ 8272＋82又2d1＝ d2，∴2|C－9|＝ |C＋ 3|.解得 C＝ 21 或 C＝ 5.故所求直线l 的方程为7x＋ 8y＋ 21＝ 0 或 7x＋8y＋ 5＝ 08．△ ABC 中， D 是 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合 ) ，且 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | ·|DC|.求证：△ ABC 为等腰三角形．证明作 AO⊥ BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系 (如右图所示 )．设A(0，a)， B(b,0)， C(c,0)， D (d,0)．因为 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | |DC· |，所以，由距离公式可得b2＋ a2＝ d2＋ a2＋ (d－ b)(c－ d)，即－ (d－ b)(b＋d)＝( d－b)( c－d)．又 d－b≠ 0，故－ b－ d＝ c－ d，即－ b＝ c.所以 |AB|＝ |AC|，即△ ABC 为等腰三角形．9．一束平行光线从原点 O(0,0) 出发，经过直线l：8x＋ 6y＝ 25 反射后通过点 P(－ 4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．解设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 (a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得b4a·－3＝－ 1a＝4，解得，8×a b b＝3 2＋ 6×2＝ 25∴A 的坐标为 (4,3) ．∵ 反射光线的反向延长线过A(4,3) ，又由反射光线过P(－ 4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.y＝ 3x＝78，由方程组，解得8x＋ 6y＝25y＝ 37∴反射光线与直线l 的交点坐标为8，3 .。
秋季14-高二数学基础版-直线的方程-课后作业教师版
1、等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线062=-+y x 上，顶点A 的坐标是)1,1(-，求AC 所在的直线点法向式方程．答案：230x y --=2、已知点()1,2在直线l 上的射影为()2,1-，则直线l的方程为__ _． 题型：点法向式答案：()0132=+--y x3、经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。
答案：3条，2y x =，30x y +-=，10x y -+=4、若倾斜角的正弦值为513，则该直线方程的斜率是____________ 直线的方程答案：512± 5. 直线21)10()x a y a R +++=∈（的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0，4π] B ． [43π，π) C ．[0，4π]∪（2π，π) D ． [4π，2π)∪[43π，π) 答案：B6、方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。
答案：27、已知三角形三个顶点分别是A （2，1），B （﹣2，3），C （6，﹣7），求下列直线的一般式方程：（1）过点A 与BC 边平行的直线；（2）过点A 与BC 边垂直的直线；（2）过点B 且平分△ABC 面积的直线．答案：（1）54140x y +-=；（2）4530x y --=（3）10x y +-=8.已知数列{}n a 的通项公式n a n =，它的前n 项和为n S ，设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=*,N n n S a A nn ，若以A 中元素作为点的坐标，这些点都在同一条直线上，求这条直线的斜率 答案：21. 9．已知△ABC 的顶点A （1，3），AB 边上的中线所在直线的方程是1y =，AC 边上的高所在直线的方程是210x y -+=．求（1）AC 边所在直线的方程；（2）AB 边所在直线的方程．答案：（1）25x y +-．（2）20x y -+=关键：10、过点)4,1(P 的直线l 交x 、y 轴的正向于A 、B 两点，求：（1）AOB ∆面积取最小值时直线l 的方程；（2）当OB OA +取最小值时，直线l 的方程；答案：（1）480x y +-=，（2）260x y +-=，。
2019高二数学·必修2(苏教版)练习：第2章2.1-2.1.2直线的方程 Word版含解析
第2章平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.2 直线的方程A组基础巩固1．直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是()A．45°B．135°C．1 D．－1解析：直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°.答案：B2．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点()A．(3，2) B．(－3，2)C．(－3，－2) D．(3，－2)解析：由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)．所以直线必过点(3，2)．答案：A3．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)解析：由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)．答案：C4．直线x a ＋y b＝1过第一、第二、第三象限，则( ) A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、第二、第三象限，故a <0，b >0.答案：C5．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得m ＝3或m ＝2(舍去)．答案：D6．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A.3，1B.3，－1 C ．－3，1 D ．－3，－1解析：原方程化为x 1a ＋y 1b＝1，所以1b ＝－1.所以b ＝－1.又因为ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，所以k ＝tan 120°.所以a ＝－ 3.答案：D7．直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A ．－3B ．3 C.13 D ．－13解析：由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)， 解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，所以x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 答案：D8．下列三个说法中正确的有________(填序号)．①任何一条直线在y 轴上都有截距；②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x 轴的直线．解析：因为当直线垂直于x 轴时，直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线的斜截式方程表示，所以③正确．答案：③9．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是________．解析：直线方程化为3x －2y ＝4，所以34x －y 2＝1. 所以x 43＋y －2＝1. 答案：x 43＋y －2＝1 10．已知三角形的顶点是A (8，5)，B (4，－2)，C (－6，3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．解：设AB ，BC ，CA 的中点分别为D ，E ，F ，如图所示．根据中点坐标公式得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，32，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，F (1，4)． 由两点式得DE 的直线方程为y －3212－32＝x －6－1－6， 整理得2x －14y ＋9＝0，这就是直线DE 的方程．由两点式得EF 的直线方程为y －124－12＝x －（－1）1－（－1）， 整理得7x －4y ＋9＝0，这就是直线EF 的方程．由两点式得DF 的直线方程为y －324－32＝x －61－6， 整理得x ＋2y －9＝0，这就是直线DF 的方程．11．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定实数m 的值．(1)在x 轴上的截距是－3；(2)斜率是－1.解：(1)令y ＝0，所以2m －6m 2－2m －3＝－3. 所以2m －6＝－3m 2＋6m ＋9，即3m 2－4m －15＝0.所以m ＝－53或m ＝3. 当m ＝3时，m 2－2m －3＝0.此时方程为y ＝0不符合题设条件，从而m ＝－53. (2)由m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，所以m 2＋3m ＋2＝0. 所以m ＝－2或m ＝－1(舍去)．故m ＝－2.B 级 能力提升12．过点A (3，－1)，B (5，4)的直线方程的两点式为__________，一般式为__________________．答案：y －（－1）4－（－1）＝x －35－35x －2y －17＝0 13．已知△ABC 的一个顶点为A (3，－1)，AB 被y 轴垂直平分，AC 被直线y ＝x 垂直平分，则直线BC 的方程是________．解析：A (3，－1)关于y 轴的对称点为B (－3，－1)，A (3，－1)关于直线y ＝x 的对称点为C (－1，3)，所以BC 的方程为y ＋13＋1＝x ＋3－1＋3，即2x －y ＋5＝0. 答案：2x －y ＋5＝014．过点P (1，1)作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l 有________条．解析：设l 为y ＝k (x －1)＋1即为y ＝kx －k ＋1，则12×（k －1）2|k |＝2，解得k ＝3±22或k ＝－1. 答案：315．过点(a ，0)，(0，b )，(1，3)，且a ，b 均为正整数的直线方程为________________________．解析：设所求直线方程为：x a ＋y b＝1， 则1a ＋3b＝1(a ，b ∈N *)， 所以a ＝b b －3∈N *，故⎩⎨⎧a ＝4，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.所求方程为x ＋y －4＝0或3x ＋y －6＝0.答案：x ＋y －4＝0或3x ＋y －6＝016.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)之间的关系用直线AB的方程表示．如图所示，试求：(1)直线AB的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李．解：(1)由题图知，点A(60，6)，B(80，10)．所以直线AB的方程是x－5y－30＝0.(2)依题意，令y＝0，得x＝30.故旅客最多可免费携带30 kg行李．。
高中直线方程的综合练习数学班主任整理
高中直线方程的综合练习数学班主任整理高中数学直线方程的综合练习1.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：过点P(2,3)，斜率为-2的直线。
解析：已知直线过点P(2, 3)，斜率为-2、直线的方程一般可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
代入已知条件，得到3 = -2*2 + b，解b得到b = 7、所以直线的方程为y = -2x + 7题目二：过点(4,5)，斜率为1/3的直线。
解析：已知直线过点(4, 5)，斜率为1/3、同样地，直线的方程可以表示为y = kx + b。
代入已知条件，得到5 = (1/3)*4 + b，解b得到b = 19/3、所以直线的方程为y = (1/3)x + 19/32.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(-1,2)，且与直线y=x-3垂直，求该直线的方程。
解析：已知直线过点(-1, 2)，且与直线y = x - 3垂直。
两条直线垂直可以得到斜率的乘积为-1、所以直线的斜率为-1的倒数，即1、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到2 = 1*(-1) + b，解b得到b = 3、所以直线的方程为y = x + 3题目二：已知直线过点(2,4)，且与直线y=-2x+1平行，求该直线的方程。
解析：已知直线过点(2, 4)，且与直线y = -2x + 1平行。
两条直线平行可以得到斜率相等。
所以直线的斜率与直线y = -2x + 1的斜率相等，即斜率为-2、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到4 = -2*2 + b，解b得到b = 8、所以直线的方程为y = -2x + 83.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(3,1)，且平行于直线y=3x-2，求该直线的方程。
解析：已知直线过点(3, 1)，且平行于直线y = 3x - 2、直线的平行可以得到斜率相等。
高中直线与方程知识点解析及经典例题
高中数学必修2知识点——直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即0tan (90)k αα=≠。
斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。
当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60°（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y 直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。
高二数学下：11.1《直线的方程》解答题专练(沪教版)
直线的方程1.过原点作一条直线，使它与直线x -y +12=0，2x +y +9=0围成的三角形面积为23面积单位，求这条直线的方程.2.已知直线l 过点p (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程.3.求经过P （3 -4），且横纵截距相等的直线方程.4.直线L 经过M （3 -2）点，且和X 轴，Y 轴正方向所围成的三角形的面积为4（平方单位），求L 的方程.5.求过直线4x －2y －1=0与直线x －2y +5=0的交点且与两点P 1（0，4）、P 2(2,0)距离相等的直线方程.6.求直线x －y －2=0关于直线3x －y +3=0对称的直线方程.7.已知直线l 在y 轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程. 8.已知直线l 与直线3x +4y －7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.9.△ABC 的三个顶点为A (0，4)、B (－2,6)、C (8，2)，求此三角形各边上中线所在直线的方程. 10.过点(4，－3)的直线l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l 的方程. 11.直线l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程.12.在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为A y x ∠=+-,012的平分线所在直线的方程为,0=y 如果点B 的坐标为（1，2），求边长BC 的长.13.已知直线x y l 4:=和点P （6，4），在直线l 上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 及x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小.14.已知直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l ，定点)1,0(p ，直线l 过点p 和21,l l 分别交于B A ,两点，且p 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.15.△ABC 的顶点B (3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x +3y -16=0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x -3y +1=0，求AC 的长.16.使三条直线4x+y =4,mx+y =0,2x －3my =4不能围成三角形的m 值最多有几个?17.一直线被两直线l 1：４x ＋y ＋6＝0，l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.18.已知点P (x 1,y 1)在直线l :Ax +By +C =0(B ＜0)的上方，求证：Ax 1＋By 1＋C ＜0.19.一直线l 经过点P (-4,3),分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且使AP ：PB =5：3,求直线l 的方程. 20.一根弹簧，挂5公斤的物体时，长10cm ，挂8公斤的物体时长16cm ，已知弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量W (公斤)的关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为12cm 时所挂物体的重量.21.设同在一条平面上的动点P 、Q 的坐标分别是()y x ,、()Y X ,，并且坐标间存在关系,,123,123+-=-+=y x Y y x X当动点P 不在平行于坐标轴的直线l 上移动时，动点Q 在这条直线l 垂直且通过点()1,2的直线上移动，求直线l 的方程.22.若R ∈m ，则直线0)11()3()12(=--++-m y m x m 是否恒过定点，若过请求出定点的坐标.若不过，请说明理由.23.过点P (2，1）作直线l 交x ，y 正半轴于AB 两点，当｜PA ｜·｜PB ｜取到最小值时，求直线l 的方程.24.已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log ８x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)求证点C 、D 和原点O 在同一条直线上.(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.25.已知一直线l 被两平行线3x ＋４y －7＝0和3x ＋４y ＋８＝0所截线段长为32，且l 过点(2，3)，求l 的方程.参考答案1.所求的直线方程为x y x y 212523-=-=或 2.直线l 的方程为01232=-+y x3. x y 34-= 01=++y x4. 042=-+y x5. 3x －2y +1=0和4x +2y －15=06. 7x+y +22=07. y =±43x －3 8. 3x +4y ±24=0. 9. x +3y －14=0,x +2y －10=0,y =4 10. x －y －7=0或x+y －1=0或3x +4y=0. 11. 2x +y -4=0和x +y -3=0. 12. 54 13. Q （2，8） 14.044=-+y x 15. 17)12()15(22=-+-=AC 16. 4 17.直线l 的方程为x ＋6y ＝0. 18.略 19. 9x -20y +96=0 20.弹簧长为12cm 时所挂物体的重量为6公斤 21. 0123=--y x 或.0182=-+y x22.过定点)3,2(- 23.直线l 的方程为：x ＋y －3＝024. A坐标为(3，log８3).25. x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0.。
(整理版)高二数学上学期直线的方程例题(二)
高二数学 上学期直线的方程例题〔二〕［例1］一条直线经过点M (2，－3)，倾斜角α=135°，求这条直线的方程，并画出图形.选题意图：考查直线方程的点斜式，通过画图加深对直线方程的理解.解：这条直线经过点M (2，－3)，斜率是k =tan135°y －(－3)=－(x －2)，即x +y +1=0.这就是所求的直线方程，图形如下图.说明：在用直线的点斜式方程y －y 1＝ｋ〔x －x 1〕时不要把“y－(－3)〞写成“y －3〞而把所求直线方程误写为y －3=－(x －2).［例2］直线l 过点P (3，2)，倾斜角是直线x －4y +3=0的倾斜角的2倍，求直线l 的方程.选题意图：稳固直线的点斜式方程及二倍角的正切公式.解：设直线的倾斜角为α，那么所求直线l 的倾斜角为2α,∵tan α=41 ∴tan2α=158)41(1412tan 1tan 222=-⨯=-αα. ∴所求直线l 的方程为y －2=158 (x －3), 即8x －15y +6=0为所求.［例3］求倾斜角是直线y =－3x +1的倾斜角的41，且分别满足以下条件的直线方程 (1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.选题意图：考查由直线的斜率求直线的倾斜角及直线方程的斜截式.解：∵直线的方程为y =－3x +1,∴k =－3,倾斜角α=120°.由题意得所求直线的倾斜角为30°.(1)∵直线的斜率tan30°＝33，且经过点(3，－1)， ∴所求直线方程是y +1=3(33-x ), 即3x －3y －6=0.(2)∵直线的斜率是33，直线在y 轴上的截距为－5，∴所求直线的方程是y =33x －5, 即3x －3y －15=0.说明：直线的斜截式方程为y =kx +b ，其中k 为斜率，b 为直线在y 轴上的截距，假设某直线的方程为y =ax +c ，那么a 为其斜率，c 为其在y 轴上的截距.。
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【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++= 两条直线的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
需要更多的高考数学复习资料【例】已知，，直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A BC D答案：B分析：由于直线l 与线段AB 有公共点，故直线l 的斜率应介于OA ，OB 斜率之间． 解：由题意，，，由于直线l 与线段AB 有公共点，所以直线l 的斜率的取值范围是考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l 与线段AB 有公共点，应注意结合图象理解． 【例】在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 答案：B分析：由题意，A 、B 到直线距离是1和2，则以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．解：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求． 考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想 【例】方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。
答案：2解：方程1=+y x 2【例】设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ． 答案：11(,)k k解：1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=对于任何a R ∈都成立，则010x y ky -=⎧⎨-=⎩【例】一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 答案：4160x y -+=，或390x y +-= 解：设444(3),0,3;0,34;33412y k x y x x y k k k k---=+==-==+-++= 2413110,31140,4,3k k k k k k --=--===-或【例】已知A （1，2），B （3，4），直线l 1：x=0，l 2：y=0和l 3：x+3y ﹣1=0、设P i 是l i （i=1，2，3）上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是________精讲精练答案：分析：设出P 1，P 2，P 3，求出P 1到A ，B 两点的距离和最小时，P 1坐标，求出P 2，P 3的坐标，然后再解三角形的面积即可．解：设P 1（0，b ），P 2（a ，0），P 3（x 0，y 0） 由题设点P 1到A ，B 两点的距离和为显然当b=3即P 1（0，3）时，点P 1到A ，B 两点的距离和最小，同理P 2（2，0），P 3（1，0），所以考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题．【例】已知直线（a ﹣2）y=（3a ﹣1）x ﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是___ ___ 答案：[2，+∞）分析：由已知中直线（a ﹣2）y=（3a ﹣1）x ﹣1不经过第二象限，我们分别讨论a ﹣2=0（斜率不存在），a ﹣2≠0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a 的取值，进而综合讨论结果，得到答案． 解：若a ﹣2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件； 若a ﹣2≠0，直线方程可化为y=x ﹣，此时若直线不经过第二象限，则≥0，≥0，解得a ＞0综上满足条件的实数a 的范围是[2，+∞）考点：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不过第二象限得到关于a 的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a ﹣2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）。
【例】过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。
解：设直线为4(5),y k x +=+交x 轴于点4(5,0)k-，交y 轴于点(0,54)k -，14165545,4025102S k k k k=⨯-⨯-=--= 得22530160k k -+=，或22550160k k -+=解得2,5k =或 85k = 25100x y ∴--=，或85200x y -+=为所求。
【例】直线313y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值。
解：由已知可得直线//CP AB ，设CP 的方程为3,(1)3y x c c =-+>则133,32113c AB c -=⨯==+，333y x =-+过1(,)2P m 得13533,232m m =-+= 【例】已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标。
解：设(2,)P t t ，则2222222(21)(1)(22)(2)101410PA PB t t t t t t +=-+-+-+-=-+当710t =时，22PB PA +取得最小值，即77(,)510P 【例】求函数22()2248f x x x x x =-++-+的最小值。
解：2222()(1)(01)(2)(02)f x x x =-+-+-+-可看作点(,0)x 到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于x 轴对称的点(1,1)-22min ()1310f x ∴=+=【例】在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x ﹣2y+1=0，∠ A 的平分线所在直线的方程为y=0．若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标．分析：根据三角形的性质解A 点，再解出AC 的方程，进而求出BC 方程，解出C 点坐标．逐步解答． 解：点A 为y=0与x ﹣2y+1=0两直线的交点，∴ 点A 的坐标为（﹣1，0）． ∴ k AB ==1．又∵∠A 的平分线所在直线的方程是y=0，∴ k AC =﹣1． ∴ 直线AC 的方程是y=﹣x ﹣1． 而BC 与x ﹣2y+1=0垂直，∴ k BC =﹣2． ∴ 直线BC 的方程是y ﹣2=﹣2（x ﹣1）． 由y=﹣x ﹣1，y=﹣2x+4， 解得C （5，﹣6）考点：直线的点斜式方程。
本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解 【例】直线l 过点P （2，1），且分别与x ，y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为原点． （1）求△AOB 面积最小值时l 的方程； （2）|PA|•|PB|取最小值时l 的方程． 分析：（1）设AB 方程为，点P （2，1）代入后应用基本不等式求出ab 的最小值，即得三角形OAB 面积面积的最小值．（2）设直线l 的点斜式方程，求出A ，B 两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件． 解：（1）设A （a ，0）、B （0，b ），a ＞0，b ＞0，AB 方程为，点P （2，1）代入得≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB 面积S=ab≥4，此时直线方程为：，即x+2y ﹣4=0．（2）设直线l ：y ﹣1=k （x ﹣2），分别令y=0，x=0，得A （2﹣，0），B （0，1﹣2k ）． 则|PA|•|PB|==≥4，当且仅当k 2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值， 又∵ k ＜0，∴ k=﹣1，这时l 的方程为x+y ﹣3=0．考点：本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用． 【例】求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线的方程为y ＝－3x ＋1，∴k ＝－3，倾斜角α＝120°，由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为33. (1)∵直线经过点(3，－1)，∴所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)，即3x －3y －6＝0. (2)∵直线在y 轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0. 【例】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 负半轴于A ，交y 正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，试求S 的最小值并求出此时直线l 的方程。