高二数学-直线与方程典型习题(教师版)

【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0

0 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0

90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0

(90)α≠

⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 0

0α=,0

tan 00k ==

⑵当直线l 与x 轴垂直时, 0

90α=,k 不存在.

②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是21

21

y y k x x -=-

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：

①已知直线上两点，根据斜率公式21

2121

()y y k x x x x -=

≠-求斜率；

②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】

（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行

（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；

由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式

121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，

1212

122

(,)2

x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点

设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++= 两条直线的交点坐标就是方程组111222

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩的解。

①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离

两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式

12||PP =

特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y

的距离||OP =

点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离

d =

两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离

d =

注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。 需要更多的高考数学复习资料

【例】已知

，

，直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的

取值范围是（ ）

A B

C D

答案：B

分析：由于直线l 与线段AB 有公共点，故直线l 的斜率应介于OA ，OB 斜率之间． 解：由题意，

，

，由于直线l 与线段AB 有公共点，

所以直线l 的斜率的取值范围是

考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l 与线段AB 有公共点，应注意结合图象理解． 【例】在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 答案：B

分析：由题意，A 、B 到直线距离是1和2，则以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．

解：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求． 考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想 【例】方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。 答案：2

解：方程1=+y x 2

【例】设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ． 答案：11(,)k k

解：1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=

对于任何a R ∈都成立，则0

10x y ky -=⎧⎨-=⎩

【例】一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 答案：4160x y -+=，或390x y +-= 解：设44

4(3),0,3;0,34;33412y k x y x x y k k k k

---=+==

-==+-++= 2413110,31140,4,3

k k k k k k --=--===-或

【例】已知A （1，2），B （3，4），直线l 1：x=0，l 2：y=0和l 3：x+3y ﹣1=0、设P i 是l i （i=1，2，3）上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是________

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