初三数学-有关圆的经典例题
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初三数学有关圆的经典例题
1.
分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。
解:由题意画图,分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况
讨论,
当AB、AC在圆心O的异侧时,如下图所示,
过O作OD⊥AB于D,过O作OE⊥AC于E,
∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°,
当AB、AC在圆心O同侧时,如下图所示,
同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°,
∴∠BAC=15°
点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。
例2. 如图:△ABC的顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为R,⊙O与AC交于D,
(1)求证:△ABC是直角三角形;
分析:
则AF=FB,OD⊥AB,可证DF是△ABC的中位线;
(2)延长DO交⊙O于E,连接AE,由于∠DAE=90°,DE⊥AB,∴△ADF
解:(1)证明,作直径DE交AB于F,交圆于E
又∵AD=DC
∴AB⊥BC,∴△ABC是直角三角形。
(2)解:连结AE
∵DE是⊙O的直径
∴∠DAE=90°
而AB⊥DE,∴△ADF∽△EDA
例3. 如图,在⊙O中,AB=2CD,那么()
分析:
解:解法(一),如图,过圆心O作半径OF⊥AB,垂足为E,
∵
在△AFB中,有AF+FB>AB
∴选A。
解法(二),如图,作弦DE=CD,连结CE
在△CDE中,有CD+DE>CE
∴2CD>CE
∵AB=2CD,∴AB>CE
∴选A。
例 4.
求CD的长。
分析:连结BD,由AB=BC,可得DB平分∠ADC,延长
AB、DC交于E,易得△EBC∽△EDA,又可判定AD是⊙O
的直径,得∠ABD=90°,可证得△ABD≌△EBD,得DE=AD,利用△EBC∽△EDA,可先求出CE的长。
解:延长AB、DC交于E点,连结BD
∵⊙O的半径为2,∴AD是⊙O的直径
∴∠ABD=∠EBD=90°,又∵BD=BD
∴△ABD≌△EBD,∴AB=BE=1,AD=DE=4
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠EBC=∠EDA,∠ECB=∠EAD
例5.
于H,交⊙O于点E,交AC于点F,P为ED的延长线上一点。
(1)当△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切,为什么?
分析:由题意容易想到作辅助线OC,
(1)要使PC与⊙O相切,只要使∠PCO=90°,问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。
解:(1)当PC=PF,(或∠PCF=∠PFC)时,PC与⊙O相切,
下面对满足条件PC=PF进行证明,
连结OC,则∠OCA=∠FAH,
∵PC=PF,∴∠PCF=∠PFC=∠AFH,
∵DE⊥AB于H,∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC⊥PC,∴PC与⊙O相切。
即AD2=DE·DF
点拨:本题是一道条件探索问题,第(1)问是要探求△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切,可以反过来,把PC与⊙O相切作为条件,探索△PCF的形状,显然有多个答案;第(2)问也可将AD2=DE·DF作为条件,寻找两个三角形相似,探索出点D的位置。
例6.
D作半圆的切线交AB于E,切点为F,若AE:BE=2:1,求tan∠ADE的值。
分析:要求tan∠ADE,在Rt△AED中,若能求出AE、AD,根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD,而EF=EB,FD=CD,结合矩形的性质,可以得到ED和AE的关系,进一步可求出AE:AD。
解:∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥AB,BC⊥DC
∴AB、DC切⊙O于点B和点C,
∵DE切⊙O于F,∴DF=DC,EF=EB,即DE=DC+EB,
又∵AE:EB=2:1,设BE=x,则AE=2x,DC=AB=3x,
DE=DC+EB=4x,
在Rt△AED中,AE=2x,DE=4x,
点拨:本题中,通过观察图形,两条切线有公共点,根据切线长定理,得到相等线段。
例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且点O2在⊙O1上,
(1)如下图,AD是⊙O2的直径,连结DB并延长交⊙O1于C,求证CO2⊥AD;
(2)如下图,如果AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在直线是否与AD垂直?证明你的结论。
分析:(1)要证CO2⊥AD,只需证∠CO2D=90°,即需证∠D+∠C=90°,考虑到AD是⊙O2的直径,连结公共弦AB,则∠A=∠C,∠DBA=90°,问题就可以得证。
(2)问题②是一道探索性的问题,好像难以下手,不妨连结AC,直观上看,AC等于CD,到底AC与CD是否相等呢?考虑到O2在⊙O1上,连结AO2、DO2、BO2,可得∠1=∠2,且有△AO2C≌△DO2C,故CA=CD,可得结论CO2⊥AD。
解:(1)证明,连结AB,AD为直径,则∠ABD=90°
∴∠D+∠BAD=90°
又∵∠BAD=∠C,∴∠D+∠C=90°
∴∠CO2D=90°,∴CO2⊥AD
(2)CO2所在直线与AD垂直,
证明:连结O2A、O2B、O2D、AC
在△AO2C与△DO2C中
∵∠O2BD=∠O2AC,又∠O2BD=∠O2DB,∴∠O2AC=∠O2DB
∵O2C=O2C,∴△AO2C≌△DO2C,∴CA=CD,
∴△CAD为等腰三角形,
∵CO2为顶角平分线,∴CO2⊥AD。
例8. 如下图,已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心,积S。(图中阴影部分)