期权的定价
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
风险中性概率不变
( R d ) 1.1 0.9 2 (u d ) 1.2 0.9 3
44 8 h1 1 120(1.2 0.9) 80 h2 0.3 90(1.2 0.9)
29.09 4.85 h 0.81 100(1.2 0.9)
值随时间节点的变化而变化， 即随时间变化而变化。
第一节 期权基础
一、基本术语：
买的权利 多头（买方） 亏损有限 支付期权费 看涨期权：预期标的资产价格上升 看跌期权：预期标的资产价格下降 基本术语： 基础资产 期权的执行价格 美式期权 欧式期权 权利 卖的权利 空头（卖方） 亏损无限
期权费
到期日
二、期权到期时的损益：期权交易者期末的损益 1.看涨期权多头的损益
第二节 二叉树模型(binomial model)
一、单期模型
1.举例
1
1.1
1.1
无风险利率
120 100
股票
Cu 20
C
Cd 0
X＝100的买权 期末 下降
90
期初
构建套利组合：
资产 组合
上升
（1）以10％的利率借入资金 163.64，即到期还本付息180， （ 1）
（2）以价格100买入2股股票
看涨期权的内在价值 max{S X ,0} 看跌期权的内在价值 max{X S ,0}
0
看跌期权
内在价值 不可能为 负。
例如某股票的现价为42元，其看涨期权的执行价格为38元，则内在价值为4元。 看涨期权
内在 价值 特征 的几 个概 念
SX
SX
价内期权（期权 处于实值状态） 平价期权 价外期权（期权 处于虚值状态）
t
无套利要求：
u Rf d
t rf (t ) t
t r f
2
当标准差远远小于无风险收益率时，可能会产生套利，所以时 间间隔的选择很重要，因为u、d是它的函数。
3.标准差与期望收益的计算：统计学
例题
ue
t
d 1/ u
原因：期权的权利和义务不对称，看涨期 权的空头具有亏损无限而盈利有限的特征， 时间价值是多头给予空头的风险补偿。 时间价值的特征：执行价格既定时，期权 距到期日越远，期权的价值越大，期权越接 近到期日，时间价值就越小（时间价值衰 减），并且距到期日的时间很长时，期权价 值的衰减几乎是线性的，在距到期日还剩几 周时，时间价值就开始急剧下降，到到期日 时，期权的时间价值为0 期权的时间衰减特征对期权的出售方是有利的， 水平价差组合的构造者就是希望通过出售期权 来获取这种衰减的时间价值，因为他们希望到 期时期权已无价值或价值大大减少。
100
股票
Cu 20
1.1
C
90
Cu Cd 20 0 2 h S (u d ) 100(1.2 0.9) 3
Cd 0
X＝100的买权
dCu uCd 0.9 20 1.2 0 B 54.55 R(u d ) 1.1(1.2 0.9)
( R d )Cu (u R)Cd (1.1 0.9) 20 (1.2 0.9) 0 C 12.12 R(u d ) 1.1(1.2 0.9)
C St K C
St K
St K
看跌期权空头
看跌期权多头
C
St K C
C
K St C
St K
损益
St K
K 空头
0
St
Lt
C K St C
St K
三、期权的价值（期权费）：
理解：当前的价值
期权的价值＝内在价值+时间价值
1.内在价值：指期权立即按执行价格执行时所具有的价值和零之间的最大值。
（3）以价格C卖出3份期权
163.64 （ 2） -200 （ 3） 3C 现金流 0
C 12.12
-180 240 -60 0
-180 180 0 0
163.64 200 3C 0
2.一般化
1
R 1 r R 1 r S
无风险利率 股票
uS dS
期初
C
Cu
Cd
X＝S的买权 上升 期末 下降
价外期权（期权 处于虚值状态） 平价期权 价内期权（期权 处于实值状态）
SX
At-the-money option：两平期权 In-the-money option：实值期权 Out-of-the-money option：虚值期权
2.期权的时间价值：期权费-内在价值
期权价值
期权有效期内随其标的资产价格波动 可为持有者带来收益的可能性所隐含的 价值。
E( X ) e
2 2
D( X ) e
2 2
(e 1)
好处：若X、Y均服从对数正态分布，则
z X aY b
也服从对数正态分布
ln X Y , 则Y e
X
二、预备知识：股票价格模型的演绎
1900年Bachelier：股价服从正态分布 缺陷：有限负债，即股价不可能为负.
-BR hds -Cd 0
Cu Cd h S (u d )
dCu uCd B R(u d )
( R d )Cu (u R)Cd (ert d )Cu (u ert )Cd C Cu (1 )Cd 1 R(u d ) ert (u d ) C rt E (C ) R e
e t d ud
10% （每年）
15％（每年） t 0.0833 （一个月） ＝
则：
ue
e
t
＝ 1.0443
d 1/ u＝0.9576
d ＝0.5853 ud
t
第三节
1 e 2
( x )2 2
2
Black-Scholes期权定价
R t (1 )(u d )
t
t 的方差
Rt t
取
u d 12
(u d ) / 2 1 (t )
u 1 t t
(u d ) / 2 t
CRR模型：确定u、d ，再求
损益
股价
时间
K
ST
多头
Lt
St K
C St K C
看涨期权多头
St K
St K
看涨期权空头
损益
C
St K C
St K
C
K St C
St K
0
K
St
Lt
C K St C
空头
St K
2.看跌期权的损益
损益
K
多头
ST
Lt
St K
:
(e rt d ) (u d )
风险中性概率
风险中性定价与风险中性概率
E(ST ) Su (1 )Sd Sert Var (ST ) E(ST )2 [ E(ST )]2 (Su)2 (1 )(Sd )2 2S 2 [ u (1 )d ]
三、参数的确定
1.确定
u, d ,
White算法：固定 求u、d
t (t ) r r
1 r t 1 (t ) r R t
t 的收益
) 1 (t ) E( R t
1
u
Ru u
d Rd d ) R R u d 1 (t ) E( R t u u d d u d
0
t1
t2
T
简单净收益率（单利R）服从正态分布： 缺陷：多期问题：多期收益是单 期收益的乘积，单期是正态分布 St R ( ) 1 单期 则多期不是正态分布。 St 1
1 R0,n 1 R(T ) (1 R0,1 )(1 R1,2 )(1 Rn1,n ) 股价 ST S0 (1 R(T ))
(1.1 0.9) 2 (1.2 0.9) 3
h：称为套头比，有时也称Delta () ，是 股票期权价格变化与标的股票价格变化 之比，即对一单位现货头寸进行套期保 值所需的套期工具单位数。
时间为T（以年为单位），将R改为：
R 1 rT erT
例题：看涨期权 ，当前股票价格为 $20，三个月末其价格将为$22或$18， 该股票相应3个月期的看涨期权执行价为$21，假设无风险收益率（连续复利） 为12%。 解决：1.画出二叉树；2.求出u和d；3.求出套头比；4.求出风险中性概率；5. 给该买权定价。
有很多人因研究证券而名闻天下，但 没有一个人因此而富甲天下。
符号说明
• C ：欧式看涨期权价格 • • p ：欧式看跌期权价格 • • S0 ：当前股价 • • X 、K:执行价格 •
• T : 到期期限 • : 股价波动率 • St ：t时的股价
C : 美式看涨期权价格 P : 美式看跌期权价格 ST :期权存续期内股价 D : 期权存续期内红利 现值 • r : T时刻到期的无风 险收益率（复利）
（1）以r的利率借入资金B，即 r 到期还本付息BR（ Be ）； （2）以价格S买入h股股票；
资产 组合
（3）以价格C卖出1份期权。
hus BR Cu 0 hds BR Cd 0 B C hs 0
（ 1） （ 2） （ 3）
现金流
B -hS C 0
令
-BR hus -Cu 0
1 x2 e dx 2
2
一、预备知识：正态分布与对数正态分布
y
dx
z
( x)
z
Hale Waihona Puke Baidu
1 e 2
2
x2 2
dx
如果随机变量 ln X为正态分布，即 服从对数正态分布
ln X N ( , )，则称X
2
E (ln X )
D(ln X ) 2
股价 = $22 股价 = $20 股价 = $20 期权价格=? 股价 = $22 期权价格 = $1 股价 = $18 期权价格 = $0
股价 = $18
22 18 u 1.1, d 0.9 20 20
Cu Cd 1 0 1 h S (u d ) 20(1.1 0.9) 4
rT 0.120.25
风险中性概率： 期权的价值为
e d e 0.9 0.6523 ud 1.1 0.9
C e
0.120.25
(0.62531 0.3477 0) 0.633
二、两期模型 120 100
B A
u 1.2
D
144
d 0.9 R 1.1 Cu
C
X 100
Cuu 44
90
C
E 108 F
Cd
Cu Cd h S (u d )
Cud 8
倒推算法：
81
Cdd 0
1 2 1 Cu (44 8 ) 29.09 1.1 3 3 1 2 1 Cd (9 0 ) 4.85 1.1 3 3 1 2 1 C (29.09 4.85 ) 19.10 1.1 3 3
看涨 期权 价格 时间 价值
斜 率 小 于 1 股价
内在 价值 时间价值
时间 到期日
四、期权的特征
杠杆性
期权多头损失有限性和期权空头损失的无限性； 权利和义务的不对称； 期权的价值（或者说期权交易者的损益）与到期日基础资 产的价格之间的关系是非线性的，这一点与期货不同； 非线性特征使得求期权价格时，必须对基础资产建模，本 章中的二叉树模型和B-S模型是典型的例子； 无论基础资产市场是多头、空头还是盘整的，期权交易者 都可获益。
d 1 t t
u e
t
d e
t
Rt d 1 rt d e t d ud ud ud
注：该概率并非风险中性概率，而是期望收益为μ 的概率。
2.单期期限 t的确定
ue
t
d e
t
Rf e
rf
S e
2 2rt
(e
2t
1)
这时，股票的期望收益改为无风险收益，而方差不变。
风险中性世界：通过数学变换（概率测度变换），把原来 实际的概率空间变为一个新的概率空间，在这个新概率空 间下，股价的收益率是无风险利率，同时，方差不变，因 此称为风险中性定价。
解决上例：
1
1.1
无风险资产
120
( R d ) 1.1 0.9 2 (u d ) 1.2 0.9 3
44 8 h1 1 120(1.2 0.9) 80 h2 0.3 90(1.2 0.9)
29.09 4.85 h 0.81 100(1.2 0.9)
值随时间节点的变化而变化， 即随时间变化而变化。
第一节 期权基础
一、基本术语：
买的权利 多头（买方） 亏损有限 支付期权费 看涨期权：预期标的资产价格上升 看跌期权：预期标的资产价格下降 基本术语： 基础资产 期权的执行价格 美式期权 欧式期权 权利 卖的权利 空头（卖方） 亏损无限
期权费
到期日
二、期权到期时的损益：期权交易者期末的损益 1.看涨期权多头的损益
第二节 二叉树模型(binomial model)
一、单期模型
1.举例
1
1.1
1.1
无风险利率
120 100
股票
Cu 20
C
Cd 0
X＝100的买权 期末 下降
90
期初
构建套利组合：
资产 组合
上升
（1）以10％的利率借入资金 163.64，即到期还本付息180， （ 1）
（2）以价格100买入2股股票
看涨期权的内在价值 max{S X ,0} 看跌期权的内在价值 max{X S ,0}
0
看跌期权
内在价值 不可能为 负。
例如某股票的现价为42元，其看涨期权的执行价格为38元，则内在价值为4元。 看涨期权
内在 价值 特征 的几 个概 念
SX
SX
价内期权（期权 处于实值状态） 平价期权 价外期权（期权 处于虚值状态）
t
无套利要求：
u Rf d
t rf (t ) t
t r f
2
当标准差远远小于无风险收益率时，可能会产生套利，所以时 间间隔的选择很重要，因为u、d是它的函数。
3.标准差与期望收益的计算：统计学
例题
ue
t
d 1/ u
原因：期权的权利和义务不对称，看涨期 权的空头具有亏损无限而盈利有限的特征， 时间价值是多头给予空头的风险补偿。 时间价值的特征：执行价格既定时，期权 距到期日越远，期权的价值越大，期权越接 近到期日，时间价值就越小（时间价值衰 减），并且距到期日的时间很长时，期权价 值的衰减几乎是线性的，在距到期日还剩几 周时，时间价值就开始急剧下降，到到期日 时，期权的时间价值为0 期权的时间衰减特征对期权的出售方是有利的， 水平价差组合的构造者就是希望通过出售期权 来获取这种衰减的时间价值，因为他们希望到 期时期权已无价值或价值大大减少。
100
股票
Cu 20
1.1
C
90
Cu Cd 20 0 2 h S (u d ) 100(1.2 0.9) 3
Cd 0
X＝100的买权
dCu uCd 0.9 20 1.2 0 B 54.55 R(u d ) 1.1(1.2 0.9)
( R d )Cu (u R)Cd (1.1 0.9) 20 (1.2 0.9) 0 C 12.12 R(u d ) 1.1(1.2 0.9)
C St K C
St K
St K
看跌期权空头
看跌期权多头
C
St K C
C
K St C
St K
损益
St K
K 空头
0
St
Lt
C K St C
St K
三、期权的价值（期权费）：
理解：当前的价值
期权的价值＝内在价值+时间价值
1.内在价值：指期权立即按执行价格执行时所具有的价值和零之间的最大值。
（3）以价格C卖出3份期权
163.64 （ 2） -200 （ 3） 3C 现金流 0
C 12.12
-180 240 -60 0
-180 180 0 0
163.64 200 3C 0
2.一般化
1
R 1 r R 1 r S
无风险利率 股票
uS dS
期初
C
Cu
Cd
X＝S的买权 上升 期末 下降
价外期权（期权 处于虚值状态） 平价期权 价内期权（期权 处于实值状态）
SX
At-the-money option：两平期权 In-the-money option：实值期权 Out-of-the-money option：虚值期权
2.期权的时间价值：期权费-内在价值
期权价值
期权有效期内随其标的资产价格波动 可为持有者带来收益的可能性所隐含的 价值。
E( X ) e
2 2
D( X ) e
2 2
(e 1)
好处：若X、Y均服从对数正态分布，则
z X aY b
也服从对数正态分布
ln X Y , 则Y e
X
二、预备知识：股票价格模型的演绎
1900年Bachelier：股价服从正态分布 缺陷：有限负债，即股价不可能为负.
-BR hds -Cd 0
Cu Cd h S (u d )
dCu uCd B R(u d )
( R d )Cu (u R)Cd (ert d )Cu (u ert )Cd C Cu (1 )Cd 1 R(u d ) ert (u d ) C rt E (C ) R e
e t d ud
10% （每年）
15％（每年） t 0.0833 （一个月） ＝
则：
ue
e
t
＝ 1.0443
d 1/ u＝0.9576
d ＝0.5853 ud
t
第三节
1 e 2
( x )2 2
2
Black-Scholes期权定价
R t (1 )(u d )
t
t 的方差
Rt t
取
u d 12
(u d ) / 2 1 (t )
u 1 t t
(u d ) / 2 t
CRR模型：确定u、d ，再求
损益
股价
时间
K
ST
多头
Lt
St K
C St K C
看涨期权多头
St K
St K
看涨期权空头
损益
C
St K C
St K
C
K St C
St K
0
K
St
Lt
C K St C
空头
St K
2.看跌期权的损益
损益
K
多头
ST
Lt
St K
:
(e rt d ) (u d )
风险中性概率
风险中性定价与风险中性概率
E(ST ) Su (1 )Sd Sert Var (ST ) E(ST )2 [ E(ST )]2 (Su)2 (1 )(Sd )2 2S 2 [ u (1 )d ]
三、参数的确定
1.确定
u, d ,
White算法：固定 求u、d
t (t ) r r
1 r t 1 (t ) r R t
t 的收益
) 1 (t ) E( R t
1
u
Ru u
d Rd d ) R R u d 1 (t ) E( R t u u d d u d
0
t1
t2
T
简单净收益率（单利R）服从正态分布： 缺陷：多期问题：多期收益是单 期收益的乘积，单期是正态分布 St R ( ) 1 单期 则多期不是正态分布。 St 1
1 R0,n 1 R(T ) (1 R0,1 )(1 R1,2 )(1 Rn1,n ) 股价 ST S0 (1 R(T ))
(1.1 0.9) 2 (1.2 0.9) 3
h：称为套头比，有时也称Delta () ，是 股票期权价格变化与标的股票价格变化 之比，即对一单位现货头寸进行套期保 值所需的套期工具单位数。
时间为T（以年为单位），将R改为：
R 1 rT erT
例题：看涨期权 ，当前股票价格为 $20，三个月末其价格将为$22或$18， 该股票相应3个月期的看涨期权执行价为$21，假设无风险收益率（连续复利） 为12%。 解决：1.画出二叉树；2.求出u和d；3.求出套头比；4.求出风险中性概率；5. 给该买权定价。
有很多人因研究证券而名闻天下，但 没有一个人因此而富甲天下。
符号说明
• C ：欧式看涨期权价格 • • p ：欧式看跌期权价格 • • S0 ：当前股价 • • X 、K:执行价格 •
• T : 到期期限 • : 股价波动率 • St ：t时的股价
C : 美式看涨期权价格 P : 美式看跌期权价格 ST :期权存续期内股价 D : 期权存续期内红利 现值 • r : T时刻到期的无风 险收益率（复利）
（1）以r的利率借入资金B，即 r 到期还本付息BR（ Be ）； （2）以价格S买入h股股票；
资产 组合
（3）以价格C卖出1份期权。
hus BR Cu 0 hds BR Cd 0 B C hs 0
（ 1） （ 2） （ 3）
现金流
B -hS C 0
令
-BR hus -Cu 0
1 x2 e dx 2
2
一、预备知识：正态分布与对数正态分布
y
dx
z
( x)
z
Hale Waihona Puke Baidu
1 e 2
2
x2 2
dx
如果随机变量 ln X为正态分布，即 服从对数正态分布
ln X N ( , )，则称X
2
E (ln X )
D(ln X ) 2
股价 = $22 股价 = $20 股价 = $20 期权价格=? 股价 = $22 期权价格 = $1 股价 = $18 期权价格 = $0
股价 = $18
22 18 u 1.1, d 0.9 20 20
Cu Cd 1 0 1 h S (u d ) 20(1.1 0.9) 4
rT 0.120.25
风险中性概率： 期权的价值为
e d e 0.9 0.6523 ud 1.1 0.9
C e
0.120.25
(0.62531 0.3477 0) 0.633
二、两期模型 120 100
B A
u 1.2
D
144
d 0.9 R 1.1 Cu
C
X 100
Cuu 44
90
C
E 108 F
Cd
Cu Cd h S (u d )
Cud 8
倒推算法：
81
Cdd 0
1 2 1 Cu (44 8 ) 29.09 1.1 3 3 1 2 1 Cd (9 0 ) 4.85 1.1 3 3 1 2 1 C (29.09 4.85 ) 19.10 1.1 3 3
看涨 期权 价格 时间 价值
斜 率 小 于 1 股价
内在 价值 时间价值
时间 到期日
四、期权的特征
杠杆性
期权多头损失有限性和期权空头损失的无限性； 权利和义务的不对称； 期权的价值（或者说期权交易者的损益）与到期日基础资 产的价格之间的关系是非线性的，这一点与期货不同； 非线性特征使得求期权价格时，必须对基础资产建模，本 章中的二叉树模型和B-S模型是典型的例子； 无论基础资产市场是多头、空头还是盘整的，期权交易者 都可获益。
d 1 t t
u e
t
d e
t
Rt d 1 rt d e t d ud ud ud
注：该概率并非风险中性概率，而是期望收益为μ 的概率。
2.单期期限 t的确定
ue
t
d e
t
Rf e
rf
S e
2 2rt
(e
2t
1)
这时，股票的期望收益改为无风险收益，而方差不变。
风险中性世界：通过数学变换（概率测度变换），把原来 实际的概率空间变为一个新的概率空间，在这个新概率空 间下，股价的收益率是无风险利率，同时，方差不变，因 此称为风险中性定价。
解决上例：
1
1.1
无风险资产
120