高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习.docx

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高中数学必修一(全部)测试题(北师大版)教学资料

1 (x
50
x 3000
50 (100
)
50
2
4050) 37050
150
………………… 8 分
当 x 4050 时 , y max 30705
……………………………………… 11 分
y
ax 2
1
bx 的顶点横坐标的取值范围是 ( ,0 ) …………………… 12 分
2
18．（本小题 12 分）每题 6 分
高一第一学期期中试题（数学）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
. 共 120 分，考试时间 100 分钟 .
第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确）
1．已知全集 U {1, 2 ,3, 4,5, 6.7}, A { 2,4 ,6}, B { 1,3,5 ,7 }. 则 A ( C U B ）等于（
x
不需证明）
x 为何值？（直接回答结果，
-3-
参考答案
一、选择题：每小题 4 分， 10 个小题共 40 分 .
1.A 2.C 3.B 4.A. 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B 10.D
二、填空题：每小题 4 分，共 16 分.
11 ． [ 4, 2) ( 2 , ) 12.2x- 1 或－ 2x+1 13 ．3 14 ． 0, 1
4 函数 f ( x ) x ( x 0 ) 在区间（ 0， 2）上递减；
x
4 函数 f ( x ) x ( x 0 ) 在区间
x
上递增 .
当x
时， y 最小
.
4 证明：函数 f ( x ) x ( x 0 ) 在区间（ 0， 2）递减 .

北师大版高一数学必修1第一单元试题及答案(K12教育文档)

北师大版高一数学必修1第一单元试题及答案(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（北师大版高一数学必修1第一单元试题及答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高一年级数学第一单元质量检测试题石油中学李芳玲一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．方程组3212{=+-=-y x y x 的解构成的集合是( ）A ．)}1,1{( B. }1,1{ C ．)1,1( D ．}1{2．下面关于集合的表示正确的个数是（）①}9,5{}5,9{≠；②}623|{}623|),{(=+==+y x y y x y x③}1|{>x x =}1|{>y y ；④}1|{}1|{=+==+y x y y x x ；A ．0B ．1C ．2D ．33．设全集},|),{(R y x y x U ∈=，}134|),{(=--=x y y x M ，}1|),{(+≠=x y y x N ,那么)(M C U ∩)(N C U = （）A ．∅B ．)}4,3{( C. )4,3( D.}1|),{(+≠x y y x4．下列关系正确的是( ）A ．},|{32R x x y y ∈+=∈πB ．)},{(y x =)},{(x yC ．}1|),{(22=-y x y x }1)(|),{(222=-y x y xD ．}12|{2=-∈x R x =∅5．已知集合A 中有10个元素,B 中有6个元素,全集U 有18个元素，≠⋂B A ∅，设集合)(B A C U ⋃有x 个元素，则x 的取值范围是（）A ．83≤≤x ，且N x ∈B ．82≤≤x ，且N x ∈C 。

北师版高中数学(必修1)专题一

高中数学北师大版（必修1）专题一集合的含义与基本关系一、重难点知识归纳1、集合与元素的含义集合：指定的某些对象的全体．元素：集合中的每个对象．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作．2、集合元素的特性（1）确定性：设A是给定的一个集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（2）互异性：对于给定的集合中任意两个元素都是不同的，即元素不能重复．（3）无序性：在给定的集合中元素之间无顺序关系，即集合中的两元素交换次序后所得的集合与原来的集合是同一个集合．3、列举法与描述法列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.在学习过程中，要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用描述法表示．4、集合的分类按集合的元素个数的多少，可分为有限集、无限集．空集就是不含任何元素的集合，空集可用“”表示．5、子集、真子集子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作（或）．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作（或）．Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．6、集合符号的区分（1）∈与的区别：前者表示元素与集合之间的关系，如0∈N，而后者则表示集合与集合之间的关系，如．（2）a与{a}的区别：a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的集合．（3）{0}与的区别：{0}是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合．7、子集的理解（1）空集是任何集合的子集．（2）空集是任何非空集合的真子集．（3）任何集合是它本身的子集．（4）子集、真子集都具有传递性．二、典型例题剖析例1、具有下列性质的对象能否构成集合，若能构成集合，用适当的方法表示出来．（1）10以内的质数；（2）x轴附近的点；（3）不等式3x＋2<4x－1的解；（4）比3大于1的负数；（5）方程2x＋y=8与方程x－y=1的公共解．例2、写出{a，b，c，d}的所有子集，并指出哪些是真子集．例3、用列举法表示下列集合：（1）；（2）．例4、以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）0与{0}；（2）0与；（3）与{0}；（4）{0，1}与{（0，1）}；（5）{( b,a)}与{(a，b)}．例5、若集合A={x|x2＋x－6=0}，B={x|mx＋1=0}，，求m的值．例6、设集合，且若a∈A，则8－a∈A，试问这样的A共有多少个？例1、分析：首先分析集合中元素的特征: 确定性，互异性，无序性. 则只有（2）不能构成集合，其次要了解列举法与描述法的区别，有限集用列举法，无限集用描述法．解：（1）能．用列举法表示为：{2，3，5，7}．（2）不能．无法确定哪些点是x轴附近的点．（3）能．用描述法表示为：{x|3x＋2<4x－1}.（4）能．这个集合中没有元素，为空集，用φ表示．（5）能．可表示为：．例2、分析：本题着重考察了子集与真子集的区别，对于非空集合而言，子集比真子集要多一个，而那一个恰好就是集合本身．解：子集为：、{a}、{b}、{c}、{d}、{a,b}、{a,c}、{a,d}、{b,c}、{b,d}、{c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{b,c,d}、{a,b,c,d}，共16个，其中前15个是{a,b,c,d}的真子集．点拨：一般的集合{a1，a2，a3，…，a n}共有2n个子集，有2n－1个真子集．例3、分析：集合P、Q中元素的形式不一致，要正确认识．解：（1）∵x∈N，且，∴1＋x=1，2，3，6，∴x=0，1，2，5．∴P={0，1，2，5}．（2）结合（1）知，，∴Q={6，3，2，1}．点拨：要注意P与Q的区别，集合P中的元素是自然数x，满足条件的是整数；集合Q中的元素是整数，满足条件的x是自然数．例4、解析：首先要分清是“元素与集合”的关系，还是“集合与集合”的关系．如果是“集合与集合”间的关系时，还要分清是子集，还是真子集．故有：（1）0∈{0}；（2）；（3）；（4）{0，1}≠{(0，1)}；（5）当a=b时，{(a，b)}={(b，a)}；当a≠b时，{(a，b)}≠{(b，a)}．例5、分析：要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什么，然后根据，求m 的值．解：A={x|x2＋x－6=0}={－3，2}，∵，∴mx＋1=0的解为－3或2或无解．当mx＋1=0的解为－3时，由m·(－3)＋1=0，得；当mx＋1=0的解为2时，由m·2＋1=0，得；当mx＋1=0无解时，m=0．综上所述，或或m=0．点拨：在这里易出现未考虑“，即方程mx＋1=0无解”这一情形的错误．例6、解析：由“若a∈A，则8－a∈A”可知，1与7、2与6、3与5成对地出现在A 中，各取一个数作“代表”，于是问题转化为求集合{1，2，3，4}的子集的个数．故这样的集合A共有24=16个．集合的含义与基本关系检测一、选择题1、方程组的解集为（）A．（1，2）B．C．D．2、集合是（）A．第二象限内的点集B．第四象限内的点集C．第二、四象限内的点集D．非第一、三象限内的点集3、集合P={x|x=(2n＋1)π,n∈Z}，Q={x|x=(4m±1)π，m∈Z}，则P与Q之间的关系是（）A．P Q B．Q P C．P=Q D．P≠Q4、已知方程组的解集是{（a，b）}，若{a＋b}是方程x2＋(a＋b)x＋c=0的解集的一个真子集，则这一方程的解集的又一个真子集是（）A．{3}B．{6} C．{－6}D．{0}5、在以下六个写法中：①{0}∈{0，1}；②{0}；③{0，－1，1}{－1，0，1}；④0∈；⑤Z={全体整数}；⑥{(0，0)}={0}.其中错误写法的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个6、已知集合M={a，b，c}中的三个元素是一个三角形的三边长，那么此三角形一定不是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7、满足条件{1，2}{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（）A．3个B．6个C．7个D．8个8、已知a，b，c为非零实数，代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（）A．0M B．－4M C．2∈M D．4∈M9、下列四个命题，其中正确命题的个数为（）①与1非常接近的全体实数能构成集合②{－1，(－1)2}表示一个集合③空集是任何一个集合的真子集④任何两个非空集合必有两个以上的子集A．0B．1 C．2D．310、设集合M={x|x=3m＋1，m∈Z}，N={y|y=3n＋2，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，则x0y0与集合M、N的关系是（）A．x0y0∈M B．x0y0M C．x0y0∈N D．x0y0N二、填空题11、设集合，若，则实数m的取值范围是_________．12、集合的元素个数是_________．三、解答题13、设可表示为两整数的平方差的整数的集合为M.(1)证明所有奇数都属于M.(2)为使偶数2t∈M，t应满足什么条件?(3)证明属于M的两个整数之积属于M.14、已知：A={x|x2＋4x=0}，B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1=0}，且B A，求实数a的值．15、已知三元素集合A={x，xy，x－y}，B={0，|x|，y}，且A=B，求x与y的值.16、已知数集A满足条件a≠1，若a∈A ，则.（1）已知2∈A，求证：在A中必定还有两个元素；（2）请你自己设计一个数属于A，再求出A中其他的所有元素；（3）从上面两小题的解答过程中，你能否悟出什么“道理”？并证明你发现的这个“道理”.答案及分析：1-10 BDCBB DCDCC1、解方程组可得x=1，y=2，所以解集为{(1,2)}．2、注意x和y可以等于0，即坐标轴上点也满足题意．3、当n为偶数时，可设n=2k，k∈Z，则x=(2·2k＋1)π=(4k＋1)π，当n为奇数时，可设n=2k－1，k∈Z，则x=[2(2k－1)＋1]π=(4k－1)π．所以P={x|x=(4k±1)π，k∈Z }，∴P=Q．4、由题知a=－3，b=0，故－3是方程x2－3x＋c=0的一个根，由－3＋x2=3，得x2=6．故方程的解集的另一真子集为{6}.5、仅②③正确．6、由集合中元素的互异性可知．7、M包含元素1，2，所以求{3，4，5}的非空子集的个数．8、分a，b，c同正、同负、二正一负、一正二负4种情况讨论．9、命题②④正确.10、由（3m＋1）（3n＋2）=9mn＋6m＋3n＋2=3（3mn＋2m＋n）＋2，∵m、n∈Z，∴3mn＋2m＋n∈Z，∴（3m＋1）（3n＋2）∈N.11、提示：注意A集合可以为空集．12、8 提示：由x∈Z，y∈Z知x可取－11，－7，－5，－4，－2，－1，1，5，y可取－1，－2，－4，－8，8，4，2，1，∴M={－1，－2，－4，－8，8，4，2，1}．13、(1)证明：设n∈Z，∵2n－1=，∴2n－1∈M.(2)解：若2t∈M，即设2t=，∵x＋y与x－y的奇偶相同，即同是奇数或同是偶数，而2t是偶数，∴x＋y与x－y都是偶数，则(x＋y)(x－y)＝4k(k∈Z)，∴t应是偶数.(3)证明：设p∈M，q∈M，即p＝，q＝(x,y,u,v是适当的整数)，则p·q＝()()＝=∈M．14、解：化简集合A={0，－4}，由B A，得B=，或B={0}，或B={－4}，或B={0,－4}．当B=时，△=[2(a＋1)]2－4(a2－1)=8(a＋1)<0，∴a<－1．同理：B={0}时，a=－1．B={－4}时，无解，即此种情况不可能．B={0,－4} a=1．综上所述：当a≤－1或a=1时，B A．15、解：∵0∈B，A=B，∴0∈A．∵集合A为三元素集，∴x≠xy，∴x≠0，y≠1．又∵0∈B，y∈B，∴y≠0．从而，x－y=0，x=y．这时，A={x，x2，0}，B={0，|x|，x}．∴x2=|x|，x=0(舍去)或x=1(舍去)，或x=－1．经验证x=－1，y=－1是本题的解.16、解：（1），而，故若2∈A，A中必定还有且仅有另外两个元素－1和．（2）不妨设3∈A，则，而，故若3∈A，则A中同样还有且仅有两个元素．（3）由（1）（2）可猜想A中只有3个元素，即．下面证明这三个数存在且不相等：先证存在性：∵a≠1，∴存在且不为0，必有意义．再证互不相等：若，∴a2－a＋1=0，∴△<0，故不可能．，同理可证成立．。

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高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数N N *N +Z Q 集，表示实数集.R （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.a M a M ∈a M ∉（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.x x x ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().∅【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B (1)A A⊆(2)A ∅⊆(3)若且，则B A ⊆B C ⊆A C ⊆(4)若且，则B A ⊆B A ⊆A B=A(B)或B A真子集A B≠⊂（或B A ）≠⊃，且B A ⊆B 中至少有一元素不属于A（1）（A 为非空子A ≠∅⊂集）(2)若且，则A B ≠⊂B C ≠⊂A C ≠⊂B A 集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A B ⊆(2)B A⊆A(B)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它A (1)n n ≥2n 21n -有个非空子集，它有非空真子集.21n -22n -【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集3∁u (∁uA )=A,4∁u (A ∩B )=(∁uA )∪(∁uB ),5∁u(A ∪B)=(∁uA)∩(∁uB)⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==0-1律：,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ=== 等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A∩ A∪=U ∁uA =∅CuA ∁uU =∅∁u∅=U反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)∁u ∁u ∁u ∁u ∁u ∁u 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的元素，在集合B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A→B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的叫做象，叫做原象。

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高中数学北师大版必修1全册知识点总结(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学北师大版必修1全册知识点总结(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1。

1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合。

（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集,Q表示有理数集，R表示实数集。

(3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M∉，两者必居其一。

∈，或者a M（4)集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合。

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

③描述法:｛x|x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集（∅）。

【1.1.2】集合间的基本关系(6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8)交集、并集、补集交集A B{|,x x A∈且}x B∈(1)A A A=(2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1)A A A=（2)A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集{|,}x x U x A∈∉且⑴(⑵⑶⑷⑸⑼集合的运算律：交换律：.;ABBAABBA==结合律：)()();()(CBACBACBACBA==分配律：)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律:,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===等幂律:.,AAAAAA==求补律:A∩ A∪=U反演律：（A∩B）=(A）∪（B）（A∪B)=（A）∩(B）第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应,这样的对应叫做到的映射,记作 .2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。

北师大高中数学必修1综合测试卷及答案1

班级：____________________ 姓名：____________________ 学号：____________________◇◇◇◇◇◇◇◇◇装◇◇◇◇◇◇订◇◇◇◇◇◇线◇◇◇◇◇◇内◇◇◇◇◇◇请◇◇◇◇◇◇勿◇◇◇◇◇◇答◇◇◇◇◇◇题◇◇◇◇◇◇◇◇2012-2013学年度高一(上)必修一检测（1）已知集合{}34A x x =-≤<，{}25B x x =-≤≤，则A B =（A ）{}35x x -≤≤（B ）{}24x x -≤<（C ）{}25x x -≤≤（D ）{}34x x -≤<（2）设集合2{650}M x x x =-+=，2{50}N x x x =-=，则MN 等于（）A.｛0｝B.｛0，5｝C.｛0，1，5｝D.｛0，－1，－5｝（3）已知5()lg ,(2)f x x f ==则（）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 25（4）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()2f a f ≥-，则a 的取值范围是（A ）2a ≤ （B ）2a ≥ （C ）22a a ≤-≥或（D ）22a -≤≤（5）函数23y ax bx =++在(],1-∞-上是增函数，在[)1,-+∞上是减函数，则（A ）0b >且0a < （B ）20b a =<（C ）20b a =>（D ）a ，b 的符号不确定（6）设x x e1e )x (g 1x 1x lg)x (f +=-+=，，则 ( ) A f(x)与g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 C f(x)与g(x)都是偶函数 D f(x)是偶函数，g(x)是奇函数（7）使得函数2x 21x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( ) A (0，1) B (1，2) C (2，3) D (3，4) （8）函数362+-=x kx y 图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A ．3<kB ．03≠<k k 且C ．3≤kD ．03≠≤k k 且（9）若函数()()22log 43f x kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是（A ）()30,4 （B ）[)30,4（C ）[]30,4（D ）(]()3,0,4-∞+∞ （10）若2()f x x =，则对任意实数x1，x2，下列不等式总成立的是 ( )（A ）12()2x x f +≤12()()2f x f x + （B ）12()2x x f +＜12()()2f x f x + （C ）12()2x x f +≥12()()2f x f x + （D ）12()2x x f +＞12()()2f x f x +二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

北师大版高中数学选择性必修一精品单元测卷第一章直线与圆

北师大版高中数学选择性必修一精品单元测卷第一章直线与圆学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、已知点(2,3)P -，点Q 是直线l ：3430x y ++=上的动点，则PQ 的最小值为( ) A.2B.95C.85D.752、两条平行直线3450x y +-=与6890x y +-=间的距离等于( ) A.110B.15C.45D.4103、经过点()1,4A -且在x 轴上的截距为3的直线方程是( ) A.3y x =--B.3y x =+C.3y x =-+D.5y x =-+4、已知点()2,3A -，()2,1B -，直线l 方程为20kx y k --+=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为( ) A.13k ≥或5k ≤-B.13k ≥或15k ≤-C.153k -≤≤D.3151k -≤≤5、设a ∈R ，直线1:22l x ay a +=+与直线2:1l ax y a +=+平行，则a 的值是( ) A.1±B.-1C.1D.06、圆心为()1,1C 且过点(4,3)A -的圆，该圆的标准方程是( ) A.()()22115x y -+-= B.()()22115x y +++= C.()()221125x y +++=D.()()221125x y -+-=7、圆221(1)(9:3)C x y -+-=和222(2)1:C x y +-=，,M N 分别是圆12,C C 上的点，P 是直线1y =-上的点，则PM PN +的最小值是( )A.4 1 C.6-8、过点()2,3P -的直线l 与圆222230x y x y ++--=相切，则直线l 的方程是（） A.2x =-或280x y -+= B.280x y -+= C.2x =-或210x y ++=D.210x y ++=9、若直线10x y -+=与圆22()(1)2x a y -+-=没有公共点，则实数a 的取值范围是（）A.(,(2,)-∞+∞B.)+∞C.(,2)(2,)-∞-+∞D.(2,)+∞10、圆心在y 轴上，半径为2，且过点()2,4的圆的方程为( ) A.22(1)4x y +-= B. 22(2)4x y +-= C.22(3)4x y +-=D. 22(4)4x y +-=二、多项选择题11、下列说法错误的是( )A.圆()()22125x y -+-=的圆心为()1,2,半径为5B.圆()2222()0x y b b ++=≠的圆心为()2,0-,半径为bC.圆((222x y ++=的圆心为,D.圆()()22225x y +++=的圆心为()2,2,12、若直线l 经过点()1,2--,且原点到直线l 的距离为1,则直线l 的方程为( ) A.3450x y --= B.1x =-C.1y =-D.3450x y +-=三、填空题 13、若直线的截距式1x ya b+=化为斜截式为2y x b =-+,化为一般式为80bx ay +-=,且0a >,则a b +=_______________.14、若直线10ax y +-=与连接()()2,3,3,2A B -的线段总有公共点，则a 的取值范围是________. 15、已知圆221x y +=与圆22(2)()25x y a ++-=没有公共点，则实数a 的取值范围是_________________.16、已知两点(4,9)A ，(6,3)B ，则以AB 为直径的圆的方程为____________. 四、解答题17、已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ,点()1,1B 为圆内一点,,P Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ ∠=︒,求线段PQ 中点的轨迹方程.18、已知线段BC 的中点为33,2D ⎛⎫⎪⎝⎭.若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9,求BC 所在直线的方程.参考答案1、答案：B解析：由题意得||PQ 的最小值为点P 到直线l的距离，min 9||5PQ ∴=. 2、答案：A解析：直线6890x y +-=方程可化为：93402x y +-=，由平行直线间距离公式可知所求距离110d ==. 3、答案：C解析：所求直线过点(1,4)A -，故可设为4(1)y k x -=+，0k ≠，令0y =，得134kx =--=，即1k =-，即所求直线的方程为3y x =-+，故选：C. 4、答案：A解析：直线l 方程为20kx y k --+=转化为(1)(2)0k x y ---=，所以直线l 过定点(1,2)P ，且与线段AB 相交，如图所示，则直线PA 的斜率是32521PA k --==--，直线PB 的斜率是121213PB k -==--，则直线l 与线段AB 相交时，它的斜率k 的取值范围是13k ≥或5k ≤-.故选：A.5、答案：C解析：当1a =-时直线1:0l x y -=，直线2:0l x y -+=，这两条直线重合不满足条件. 当0a =时直线1:2l x =直线2:1l y =，显然这两条直线的不平行故有1a ≠-，且0a ≠.再根据两条直线平行的条件可得11122a a a a +=≠+，解得1a =.所以C 选项是正确的. 6、答案：D解析：由题意可知，圆心为(1,1)，且过点(4,3)A -，所以半径为5，所以标准方程为22(1)(1)25x y -+-=. 7、答案：A解析：圆1C 关于1y =-的对称圆的圆心坐标()31,5C -，半径为3，圆2C 的圆心坐标()0,2，半径为1，由图象可知当P ，2C ，3C 三点共线时，||||PM PN +取得最小值， ||||PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即3231149452 4.C C --=+-=-．故选A ． 8、答案：B解析：把圆222230x y x y ++--=化为标准方程得：22(1)(1)5x y ++-=.因为(2,3)P -在圆上，所以过P 的切线有且只有一条.显然过点(2,3)P -且斜率不存在的直线2x =-与圆相交，所以过P 的切线的斜率为k ，因为切线与过切点的半径垂直，所以1311(2)k -⋅=----，解得：12k =，所以切线方程为：13(2)2y x --+，即280x y -+=.故选：B.9、答案：C解析：解：由题得圆心坐标为(,1)a>，||2a ∴>，2a ∴>或2a <-.所以实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞.10、答案：D解析：根据题意设圆心的坐标为(0,)b ，则有22(02)(4)4b -+-=，解可得4b =，则圆的方程为22(4)4x y +-=；所以D 选项是正确的. 11、答案：ABD解析：圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为()1,2,,A 错误；圆222(2)(0)x y b b ++=≠的圆心为(2,0)-,半径为b ,B 错误,C 正确；圆22(2)(2)5x y +++=的圆心为(2,2)--,,D 错误,故选ABD. 12、答案：AB解析：当直线l 斜率不存在时,方程为1x =-,满足题意；当直线l 斜率存在时,设直线l 的方程为()21y k x +=+,即20,kx y k -+-=∴原点到直线l 的距离为1d =,解得34k =,∴直线l 为35044x y --=,即3450x y --=.综上所述,直线l 的方程为1x =-或3450x y --=.故选AB. 13、答案：6 解析：由1x y a b +=,得b y x b a =-+,一般式为0bx ay ab +-=,2,8bab a ∴-=--=-,即28b a ab =⎧⎨=⎩,解得24a b =⎧⎨=⎩或24a b =-⎧⎨=-⎩.0,2,4,6a a b a b >∴==∴+=.14、答案：(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭解析：可得直线10ax y +-=的斜率为a -，且过定点()0,1P ，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤， 11,3PA PB k k ==-，∴1a -≥或13a -≤-，1a ∴≤-或13a ≥.15、答案：(,()-∞-⋃-⋃+∞46>，解得a -<或a <-a >. 16、答案：22(5)(6)10x y -+-=解析：由题意，得圆心为AB 的中点(5,6)，2221(46)(93)104r ⎡⎤=⨯-+-=⎣⎦，所以圆的方程为22(5)(6)10x y -+-=.17、答案：(1)设AP 的中点为(),,2M x y x ≠且0y ≠,则点P 的坐标为()22,2x y -. 因为点P 在圆224x y +=上, 所以()()222224x y -+=, 整理,得()2211x y -+=.故线段AP 中点的轨迹方程为()2211x y -+=,除去点()2,0.(2)设PQ 的中点为(),N x y . 在Rt PBQ 中,PN BN =. 连接ON ,则ON PQ ⊥,所以22222||||||||||OP ON PN ON BN =+=+,所以2222(1)(1)4x y x y ++-+-=,即2210x y x y +---=. 故线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=. 解析：18、答案：由已知得直线BC 的斜率存在且不为0.设直线BC 在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b .故直线BC 的截距式方程为1x ya b+=. 由题意得9a b +=,① 又点33,2D ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BC 上,331,6322b a ab a b∴+=∴+=,② 由①②联立得2221540a a -+=,即()()2960a a --=,解得92a =或6a =. 9,29,2a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩或6,3.a b =⎧⎨=⎩∴直线BC 的方程为22199x y +=或163x y +=, 即2290x y +-=或260x y +-=. 解析：。

数学北师大版高中必修1高三数学一轮复习：函数

高三数学一轮复习：函数一、选择题1．(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意知，f (a )＝log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈－∞，2]log 2x x ∈，＋，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16[答案] C[解析] 当f (x )＝2x时.2x＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >02xx ≤0，则f (f (19))＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14[答案] B[解析] ∵f (19)＝log 319＝－2<0∴f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－ 1x lg x x，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个[答案] C[解析] 由x 2＝1得x ＝±1，由x 2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )＝1－2x1＋x，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则g (1)等于( )A ．－32B ．－1C ．－12D ．0[答案] D[解析] 设g (1)＝a ，由已知条件知，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (a )＝1，即1－2a1＋a＝1，∴a ＝0.5．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )[答案] A[解析] 解法1：y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称．将y＝f(－x)的图象向右平移一个单位得y＝f(1－x)的图象，故选A.解法2：由f(0)＝0知，y＝f(1－x)的图象应过(1,0)点，排除B、C；由x＝1不在y＝f(x)的定义域内知，y＝f(1－x)的定义域应不包括x＝0，排除D，故选A.6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g(f(x))的表格，其三个数依次为( )A.3,1,2C．1,2,3 D．3,2,1[答案] D[解析] 由表格可知，f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，g(1)＝1，g(2)＝3，g(3)＝2，∴g(f(1))＝g(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2，g(f(3))＝g(1)＝1，∴三个数依次为3,2,1，故选D.(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为( )A．{1} B．{2}C．{3} D．∅[答案] C[解析] g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1；g[f(3)]＝g(1)＝3，故选C.7．若函数f(x)＝log a(x＋1) (a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于( ) A.13B. 2C.22D．2[答案] D[解析] ∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2，又∵0≤log a (x＋1)≤1，故a >1，且log a2＝1，∴a＝2.8．(文)(2010·天津文)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g x＋x＋4，x＜g xg x－x，x≥g x，则f(x)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)[答案] D[解析] 由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2 x <－1或x >2x 2－x －2 －1≤x ≤21°当x <－1或x >2时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74由函数的图可得f (x )∈(2，＋∞)．2°当－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，故当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－94，当x ＝－1时，f (x )max ＝f (－1)＝0，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 综上所述，该分段函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． (理)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x x f x －－f x －x，则f (2010)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] f (2010)＝f (2009)－f (2008)＝(f (2008)－f (2007))－f (2008)＝－f (2007)，同理f (2007)＝－f (2004)，∴f (2010)＝f (2004)，∴当x >0时，f (x )以6为周期进行循环， ∴f (2010)＝f (0)＝log 21＝0.9．(文)对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b 函数f (x )＝log 12(3x－2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log 12(3x －2)与log 2x的大致图象如右图所示，∴f (x )的值域为(－∞，0]．(理)定义max{a 、b 、c }表示a 、b 、c 三个数中的最大值，f (x )＝max{⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x －2，log 2x (x >0)}，则f (x )的最小值所在范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,3)[答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x －2与y ＝log 2x 的图象，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点为A (x 1，y 1)，y ＝x －2与y ＝log 2x 图象的交点为B (x 2，y 2)，则由f (x )的定义知，当x ≤x 1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x 1<x <x 2时，f (x )＝log 2x ，当x ≥x 2时，f (x )＝x －2，∴f (x )的最小值在A 点取得，∵0<y 1<1，故选C.10．(文)(2010·江西吉安一中)如图，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是()A ．9B ．6C ．6 3D ．12[答案] B[解析] 本题考察阅读理解能力，由映射f 的定义知，在f 作用下点(x ，y )变为(x ＋1,2y )，∴在f 作用下|A 1C 1|＝|AC |，|B 1D 1|＝2|BD |，且A 1、C 1仍在x 轴上，B 1、D 1仍在y 轴上，故S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12|A 1C 1|·12|B 1D 1|＝12SA 1B 1C 1D 1＝6，故选B. (理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 解法1：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b －＋c ＝c－2＋b－＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x ≤02 x >0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x 得，x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．解法2：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2可得，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图如图所示．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．二、填空题11．(文)(2010·北京东城区)函数y ＝x ＋1＋lg(2－x )的定义域是________． [答案] [－1,2)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥02－x >0得，－1≤x <2.(理)函数f (x )＝x ＋4－x 的最大值与最小值的比值为________． [答案]2[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ≥04－x ≥0，∴0≤x ≤4，f 2(x )＝4＋2x－x ≤4＋[x ＋(4－x )]＝8，且f2(x )≥4，∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤22，故所求比值为 2.[点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x ≤4，∴0≤x 4≤1，故可令x 4＝sin 2θ(0≤θ≤π2)转化为三角函数求解．12．函数y ＝cos x －1sin x －2x ∈[0，π]的值域为________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 [解析] 函数表示点(sin α，cos α)与点(2,1)连线斜率．而点(sin α，cos α)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y ∈[0，43]．13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，有下列函数①f (x )＝sin2x ②g (x )＝x 3③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④[解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－1,3)等．14．(文)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f f＋f f＋…＋f f＝________.[答案] 2011 [解析] 令b ＝1，则f a ＋f a＝f (1)＝1，∴ff＋f f＋…＋f f＝2011.(理)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有的正确命题的序号为________． [答案] ①②[解析] ①f (x )＝x |x |＋c＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0，如右图与x 轴只有一个交点．所以方程f (x )＝0只有一个实数根正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx 显然是奇函数．③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ，x ≥0－x 2＋bx ，x <0如右图方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)；∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张． (理)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？(2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)[解析] (1)依题意得三角形NDC 与三角形NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x30＝20－AD20，AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为S ＝20x －23x 2(0<x <30)，要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18. 所以AB 长度应在[12,18]内．(2)仓库体积为V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，V ′＝40x －2x 2＝0得x ＝0或x ＝20，当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时V ′<0，所以x ＝20时，V 取最大值80003m 3，即AB 长度为20米时仓库的库容最大．16．(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df ，Dg 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，规定：函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，当x ∈Df 且x ∈Dg ，f x ，当x ∈Df 且x ∉Dg ，g x ，当x ∈Dg 且x ∉Df .(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；(2)求问题(1)中函数h (x )的值域；(3)若g (x )＝f (x ＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f (x )，及一个α的值，使得h (x )＝cos4x ，并予以证明．[解析] (1)由定义知，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －1，x ∈－∞，∪，＋，1，x ＝1.(2)由(1)知，当x ≠1时，h (x )＝x －1＋1x －1＋2，则当x >1时，有h (x )≥4(当且仅当x ＝2时，取“＝”)；当x <1时，有h (x )≤0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)．则函数h (x )的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．(3)可取f (x )＝sin2x ＋cos2x ，α＝π4，则g (x )＝f (x ＋α)＝cos2x －sin2x ，于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x .(或取f (x )＝1＋2sin2x ，α＝π2，则g (x )＝f (x ＋α)＝1－2sin2x .于是h (x )＝f (x )f (x＋α)＝cos4x )．[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂h (x )的定义，第(3)问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x ＝cos 22x －sin 22x ＝(cos2x ＋sin2x )(cos2x －sin2x )积式的一个因式取作f (x )，只要能够找到α，使f (x ＋α)等于另一个因式也就找到了f (x )和g (x )．17．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：(1)(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t＋20 t <25，t ∈N *－t ＋t ≤30，t ∈N *(2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 t <25，t ∈N *t 2－140t ＋t ≤30，t ∈N *＝⎩⎪⎨⎪⎧－t －2＋900t <25，t ∈N *t －2－t ≤30，t ∈N *若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125. 由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192·(60－x )万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x )×5＝－5(x －30)2＋4950.当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．∵39758＋4950>1000，∴该规划方案有极大实施价值．第2章第2节一、选择题1．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根D ．有唯一实数根[答案] D[解析] ∵函数f (x )在[a ，b ]上是单调减函数，又f (a )，f (b )异号．∴f (x )在[a ，b ]内有且仅有一个零点，故选D.2．(2010·北京文)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] B[解析] 易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．(2010·济南市模拟)设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514，则( )A ．y 3<y 2<y 1B ．y 1<y 2<y 3C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2[答案] B[解析] ∵y ＝0.5x为减函数，∴0.513<0.514，∵y ＝x 13在第一象限内是增函数，∴0.413<0.513，∴y 1<y 2<y 3，故选B.4．(2010·广州市)已知函数⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1 x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a －2>0a －－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.5．(文)(2010·山东济宁)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ≥－4D ．a ≤－4[答案] D[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立，∴g (0)≤0，g (1)≤0，即a ≤－4.(理)已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[答案] B[解析] ∵tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω<0.当－π2<x <π2时，有－π2≤πω2<ωx <－πω2≤π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥－π2－π2ω≤π2ω<0，∴－1≤ω<0.6．(2010·天津文)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c[答案] D[解析] ∵1>log 54>log 53>0，∴log 53>(log 53)2>0，而log 45>1，∴c >a >b . 7．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[－2,2]C ．{2}D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2， ∴a ＝2.[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．8．(文)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13)＝0，则适合不等式f (log127x )>0的x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，13)C ．(0，＋∞)D ．(0，13)∪(3，＋∞)[答案] D[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127x )>0，得|log 127x |>13，即log 127x >13或log 127x <－13.选D.(理)(2010·南充市)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a[答案] D[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称， ∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)，即a <b <c .9．(2009·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] C[解析] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1.10．(2010·泉州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2[答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f (0)＝0，令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )．对任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[a ，b ]上最小值为f (b )．二、填空题11．(2010·重庆中学)已知函数f (x )＝ax ＋b x －4(a ，b 为常数)，f (lg2)＝0，则f (lg 12)＝________.[答案] －8[解析] 令φ(x )＝ax ＋b x，则φ(x )为奇函数，f (x )＝φ(x )－4， ∵f (lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4， ∴f (lg 12)＝f (－lg2)＝φ(－lg2)－4＝－φ(lg2)－4＝－8.12．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．因此，若k ≤0，则k －(－2)＝k ＋2<3，若k >0，∵f (x )在[－2,0]上单调减在[0，－k ]上单调增，∴最小值为f (0)，又在[－2，k ]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f (x )＝ax －1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13[解析] ∵f (x )＝a －3a ＋1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a <－13.14．(2010·江苏无锡市调研)设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是______． [答案] (1，1a)∪(0，a )[解析] f (log a t )>0，即f (log a t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴log a t >12，∵0<a <1，∴0<t <a .又f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， ∴f (log a t )>0又可化为f (log a t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上为增函数，∴0>log a t >－12，∵0<a <1，∴1<t <1a，综上知，0<t <a 或1<t <1a.三、解答题15．(2010·北京市东城区)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值集合．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值集合是{x |0<x <1}．16．(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a >0，a ≠1)．(1)求m 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若当x ∈(1，a －2)时，f (x )的值域为(1，＋∞)，求实数a 的值．[解析] (1)依题意，f (－x )＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，即log a 1－mx x －1＋log a 1＋mx－x －1＝0，∴1－mx x －1·1＋mx －x －1＝1，∴(1－m 2)x 2＝0恒成立， ∴1－m 2＝0，∴m ＝－1或m ＝1(不合题意，舍去)当m ＝－1时，由1＋xx －1>0得，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f (x )的定义域，又有f (－x )＝－f (x )，∴m ＝－1是符合题意的解． (2)∵f (x )＝log a 1＋xx －1，∴f ′(x )＝x －1x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x －1′log a e＝x －1x ＋1·x －－x ＋x －2log a e ＝2log a e1－x2①若a >1，则log a e >0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，即(1，＋∞)是f (x )的单调递减区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递减区间． ②若0<a <1，则log a e <0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )>0，∴(1，＋∞)是f (x )的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递增区间．(3)令t ＝1＋x x －1＝1＋2x －1，则t 为x 的减函数∵x ∈(1，a －2)， ∴t ∈⎝⎛⎭⎪⎫1＋2a －3，＋∞且a >3，要使f (x )的值域为(1，＋∞)，需log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a －3＝1，解得a ＝2＋ 3.17．(2010·山东文)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．[解析] (1)a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln2＋2，所以y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－ax2x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，①当a ＝0时，g (x )＝1－x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，g (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增； ②当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)[x －(1a－1)]，(ⅰ)当a ＝12时，g (x )≥0恒成立，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当0<a <12时，1a－1>1>0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减； x ∈(1，1a －1)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增； x ∈(1a－1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a <0时，1a－1<0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，有f ′(x )<0，f (x )单调递减 x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，有f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增，在(1a －1，＋∞)上单调递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．第2章第3节一、选择题1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x(x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x(x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x)D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.2．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.3．(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )A ．－12B.12C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f＋g ＝2f －＋g －＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＋g ＝2g－f＝1，∴f (1)＝12.4．(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．5．(2010·辽宁锦州)已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g (x )＝f (x )＋2，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定 [答案] C[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗xx ⊕－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B [解析] f (x )＝4－x2|x －2|－2，∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2，又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]．则f (x )＝4－x2－x，f (x )＋f (－x )＝0，故选B.7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c 1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f x1－f x ，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x )(x ∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f x ＋1－f x ＋＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4. 故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)， 9．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x<1，∴－1<x <0，故选A. 10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x ＋log 22＋x2－x＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()[答案] C[解析] ∵y ＝x sin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ，当x ＝π6时，y ＝π6sinπ6＝π3>1，排除B ，故选C.二、填空题11．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπxx f x －－x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．[答案] －2[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2. (理)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.12．(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f xg x<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎪⎫π3，π[解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f xg x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，或⎩⎪⎨⎪⎧fx g x，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.13．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0. (理)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，则f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2x ≤－10 －1≤x ≤1x －2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2010·山东枣庄模拟)若f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________.[答案] －1 [解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1.[点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lga ＋x ＋a 1＋x为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2010·吉林长春质检)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2＋x＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2＋x ＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2＋x ＝1， ∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4， ∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋42＋x ＝lg 2－x x ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x <－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x>0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2. 三、解答题15．(2010·杭州外国语学校)已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)若曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)若当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0，又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1. ∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3. (2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2. ∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)．令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值．又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.16．(2010·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0. 17．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a ＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x－12x ＋1，∴2x＝1＋y 1－y ，由2x>0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x－t2x＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋＋t －2≤022－t ＋＋t －2≤0，解得t ≥0.(理)设函数f (x )＝ax2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fxx >0－fx x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2x >0x ＋2x <0.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0.(3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c .又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 若m <0，则n >0.同理可得F (m )＋F (n )>0.综上可知F (m )＋F (n )>0.第2章第4节一、选择题1．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] ∵(x ＋y )α≠x α·y α，log a (x ＋y )≠l og a x ＋log a y ，a x ＋y＝a x ·a y，cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ≠cos x cos y ，∴选C.。

北师大版高中数学必修一第1、2章综合测试题.docx

高中数学学习材料唐玲出品第一、二章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|－2<x<3}，则下列结论正确的是()A．2.5∈M B．0⊆MC．∅∈M D．集合M是有限集[答案] A[解析]因为－2<2.5<3，所以2.5是集合M中的元素，即2.5∈M.2．(2014·山东文，2)设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0,2] B．(1,2)C．[1,2) D．(1,4)[答案] C[解析]A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x≤2}，故选C.3．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案] A[解析]偶函数的图像关于y轴对称，但不一定与y轴相交．反例：y＝x0，故①错误，③正确．奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点．反例：y ＝x －1，故②错误．若y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，由定义可得f (x )＝0，但未必x ∈R .反例：f (x )＝1－x 2＋x 2－1，其定义域为{－1,1}，故④错误．∴选A. 4．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则( )A ．f (x )是奇函数且f (1x )＝－f (x )B ．f (x )是奇函数且f (1x )＝f (x )C ．f (x )是偶函数且f (1x )＝－f (x )D ．f (x )是偶函数且f (1x )＝f (x )[答案] C[解析] f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )，又f (1x )＝1＋(1x )21－(1x)2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C.5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，|x |≥1，1－x 2，|x |<1，f (33)的值为( ) A ．－23B ．13C.23 D ．43[答案] C [解析] ∵|33|<1，则应代入f (x )＝1－x 2，即f (33)＝1－13＝23. 6．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．3 B ．3x C ．6x ＋3 D ．6x ＋1[答案] B[解析] 由f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝6x ＋3＝3(2x ＋1)，知f (x )＝3x .7．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以∁R S ∪T ＝{x |x ≤1}．8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[答案] A[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x ≠1∴0≤x <1，故函数定义域为[0,1)．9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，在[0，＋∞)上单调递减，且f (2－a )＋f (1－a )<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(32，2]B ．(32，＋∞)C ．[1，32)D ．(－∞，32)[答案] D[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)单调递减且f (x )为奇函数，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，从而f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (2－a )<f (a －1)， ∴2－a >a －1，∴a <32，故选D.10．如果奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)上，满足f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0成立的x 的取值范围是( )A ．x <0B ．1<x <2C ．x <2且x ≠0D ．x <0或1<x <2[答案] D[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x <0)x －1 (x >0)，∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2<0. ∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0⊆{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，则a ＝________.[答案] －12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，由题意知，－1＝4a ＋1， ∴a ＝－12.12．已知f (x )为偶函数，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ≤0，0≤x ≤1.[答案] 1－x[解析] 当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝1－x .13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．[答案] 4[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A .又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.15．函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2016)f (2015)的值是________． [答案] 2016[解析] ∵函数f (x )对任意正整数a ，b 都满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴令a ＝n ，b ＝1(n ∈N ＋)，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)．由n 的任意性得 f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝f (6)f (5)＝…＝f (2016)f (2015)＝f (1)．故f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2016)f (2015)＝1008f (1)＝1008×2＝2016.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 取值构成的集合． [解析] (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6，或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示：∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴所求集合为{a |2≤a ≤8}．17．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c .从而，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1又f (0)＝c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由(1)及f (x )>2x ＋m ⇒m <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则当x ∈[－1,1]时，g (x )＝x 2－3x ＋1为减函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，从而要使不等式m <x 2－3x ＋1恒成立，则m <－1. 18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}，若A ∩R ＋＝∅，求实数p 的取值范围．(其中R ＋＝{x ∈R |x >0})．[解析] ∵A ∩R ＋＝∅，R ＋＝{x ∈R |x >0}，A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}， ∴方程x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0没有正实数根，∴Δ＝(p ＋2)2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(p ＋2)2－4≥0－(p ＋2)<0，即p (p ＋4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧p (p ＋4)≥0，p >－2.解得－4－4.19．(本小题满分12分)设函数f (x )为奇函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] 设－3≤x 1<x 2≤3，则x 2－x 1>0， ∵f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )在[－3,3]上是减函数．故f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－[f (1)＋f (2)]＝－[f (1)＋f (1)＋f (1)]＝6， f (x )min ＝f (3)＝－f (－3)＝－6.20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②当x >1时，f (x )>0.求证： (1)f (1)＝0；(2)对任意的x ∈R ，都有f (1x )＝－f (x )；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性． [解析] (1)证明：令x ＝y ＝1，则有 f (1)＝f (1)＋f (1)⇒f (1)＝0. (2)对任意x >0，用1x 代替y ，有f (x )＋f (1x )＝f (x ·1x )＝f (1)＝0，∴f (1x)＝－f (x )．(3)f (x )在(－∞，0)上是减函数．取x 1<x 2<0，则x 1x 2>1，∴f (x 1x 2)>0，∵f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (1x 2)＝f (x 1x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数．21．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(a ，b ，c ∈R )，且同时满足下列条件：①f (－1)＝0；②对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0；③当x ∈(0,2)时，有f (x )≤(x ＋12)2.(1)求f (1)；(2)求a ，b ，c 的值；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )是单调函数，求m 的取值范围． [解析] (1)由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0， ①令x ＝1，有f (1)－1≥0和f (1)≤(1＋12)2＝1，∴f (1)＝1.(2)由f (1)＝1得a ＋b ＋c ＝1② 联立①②可得b ＝a ＋c ＝12，由题意知，对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0，即ax 2＋(a ＋c )x ＋c －x ≥0，即ax 2－12x ＋c ≥0对任意实数x 恒成立，于是⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，14－4ac ≤0.∵c ＝12－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >014－2a ＋4a 2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0(2a －12)2≤0⇒a ＝14， ∴a ＝c ＝14，b ＝12.(3)由(2)得：g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋12x ＋14－mx ＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]∵x ∈[－1,1]时，g (x )是单调的， ∴|－2－4m2|≥1，解得m ≤0或m ≥1. ∴m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册全册各章节课时分层练习题含解析

北师大版选择性必修第一册课时练习第一章直线与圆.................................................................................................................... - 2 -1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系 ........................ - 2 -2、直线方程的点斜式................................................................................................ - 7 -3、直线方程的两点式直线方程的一般式.......................................................... - 12 -4、两条直线的平行与垂直...................................................................................... - 16 -5、两条直线的交点坐标.......................................................................................... - 20 -6、平面直角坐标系中的距离公式.......................................................................... - 25 -7、圆的标准方程...................................................................................................... - 30 -8、圆的一般方程...................................................................................................... - 34 -9、直线与圆的位置关系.......................................................................................... - 38 -10、圆与圆的位置关系............................................................................................ - 44 - 第二章圆锥曲线 ................................................................................................................... - 50 -1、椭圆及其标准方程.............................................................................................. - 50 -2、椭圆的简单几何性质.......................................................................................... - 55 -3、双曲线及其标准方程.......................................................................................... - 61 -4、双曲线的简单几何性质...................................................................................... - 66 -5、抛物线及其标准方程.......................................................................................... - 73 -6、抛物线的简单几何性质...................................................................................... - 78 -7、直线与圆锥曲线的位置关系.............................................................................. - 84 - 第三章空间向量与立体几何................................................................................................ - 91 -1、点在空间直角坐标系中的坐标.......................................................................... - 91 -2、空间两点间的距离公式...................................................................................... - 96 -3、从平面向量到空间向量空间向量的运算(一) ............................................. - 100 -4、空间向量的运算(二) ......................................................................................... - 105 -5、空间向量的运算(三) ......................................................................................... - 110 -6、空间向量基本定理............................................................................................ - 117 -7、空间向量运算的坐标表示及应用.................................................................... - 123 -8、直线的方向向量与平面的法向量.................................................................... - 129 -9、用向量方法研究立体几何中的位置关系........................................................ - 135 -10、空间中的角...................................................................................................... - 142 -11、空间中的距离问题.......................................................................................... - 153 - 第五章计数原理 ................................................................................................................. - 163 -1、分类加法计数原理分步乘法计数原理........................................................ - 163 -2、基本计数原理的简单应用................................................................................ - 167 -3、排列与排列数排列数公式............................................................................ - 172 -4、组合组合数及其性质.................................................................................... - 175 -5、二项式定理的推导............................................................................................ - 179 -6、二项式系数的性质............................................................................................ - 182 - 第六章概率 ......................................................................................................................... - 187 -1、条件概率的概念................................................................................................ - 187 -2、乘法公式与事件的独立性全概率公式........................................................ - 192 -3、随机变量............................................................................................................ - 199 -4、离散型随机变量的分布列................................................................................ - 202 -5、离散型随机变量的均值.................................................................................... - 207 -6、离散型随机变量的方差.................................................................................... - 213 -7、二项分布............................................................................................................ - 220 -8、超几何分布........................................................................................................ - 225 -9、正态分布............................................................................................................ - 230 -第七章统计案例................................................................................................................ - 235 -1、一元线性回归.................................................................................................... - 235 -2、成对数据的线性相关性.................................................................................... - 240 -3、独立性检验问题................................................................................................ - 246 -第一章直线与圆1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系一、选择题1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为()A．3B．－2C．2D．不存在B[由题意可得AB的斜率为k＝2－41－0＝－2．]2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4，1)与(－4，－1) B．(0，1)与(1，0)C．(1，4)与(－1，4) D．(－4，1)与(－4，－1)D[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．]3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°C[直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°．]4．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B ．3 C ．233 D ．－3B [法一：设斜率为33的直线的倾斜角为α，则tan α＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴l 的斜率k ＝tan 2α＝3．故选B ．法二：设斜率为33的直线的倾斜角为α，则tan α＝33，∴l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2331－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3．故选B ．] 5．过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1．] 二、填空题6．已知直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是________．2 [如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0，2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2．]7．已知A (2，－3)，B (4，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．12 [因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－(－3)4－2＝m 2－(－3)5－2，解得m ＝12．] 8．若直线l 的斜率k 的取值范围是[)0，3，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 [当0≤k <3时，即0≤tan α<3，又α∈[)0，π，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3．] 三、解答题9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α．(1)A (2，3)，B (4，5)；(2)C (－2，3)，D (2，－1)；(3)P (－3，1)，Q (－3，10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°．(2) 存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°．(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°．10．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)．(1)求y ＋3x ＋2的最大值和最小值； (2) 求x ＋y ＋5x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)如图，可知y ＋3x ＋2表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ．由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)．易知k P A≤k≤k PB．由斜率公式得k P A＝43，k PB＝8，所以43≤k≤8．故y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43．(2)由(1)知，y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43．又x＋y＋5x＋2＝y＋3x＋2＋1，所以x＋y＋5x＋2的最大值是9，最小值73．11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C[∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝m2－11－2>0，∴－1<m<1．]12．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则() A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2，b＝3D．a＝3，b∈R且b≠1D[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．]13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是()A ．若()1，k 是直线l 的一个方向向量，则k 是该直线的斜率B ．若直线l 的斜率是k ，则()1，k 是该直线的一个方向向量C ．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角[答案] ABC14．(一题两空)已知点A (3，1)，B (－2，k )，C (8，1)．(1)直线AC 的倾斜角为________；(2)若这三点能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．0 (－∞，1)∪(1，＋∞) [因为k AC ＝1－18－3＝05＝0．所以直线AC 的倾斜角为0，又k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0．∴k ≠1．]15．把一块长和宽都是13 dm 的矩形纸片按图(1)裁好，问能否拼成图(2)所示的矩形，为什么？(1) (2)[解] 不能，如图，以B 为坐标原点建立直角坐标系，使得BE 在y 轴正半轴上，AB 在x 轴负半轴上．边AC所在直线的斜率为k AC＝88－5＝83，边EC所在直线的斜率为k EC＝135≠83，即k AC≠k EC，所以A、C、D、E四点不可能在同一条直线上．即不能拼成图(2)所示的矩形．2、直线方程的点斜式一、选择题1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示()A．任何一条直线B．不过原点的直线C．不与坐标轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线D[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．]2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是()A．y＋3＝4(x－2)B．y－3＝4(x－2)C．y－3＝4(x＋2) D．y＋3＝4(x＋2)[答案]A3．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于()A ．－12B ．12C ．－2D ．2C [直线x －ay ＝4可化为y ＝1a x －4a ，∴－4a ＝2，得a ＝－2．]4．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( )A ．k 1<k 2且b 1b 2C ．k 1>k 2且b 1>b 2D ．k 1>k 2且b 10，所以b 10)有两个公共点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1A [y ＝x ＋a (a >0)表示斜率为1，在y 轴上的截距为a (a >0)的直线，y ＝a |x |表示关于y 轴对称的两条射线．∴当0<a ≤1时，只有一个公共点；当a >1时，有两个公共点，故选A ．]二、填空题6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．－4 [由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4．]7．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点为________．(2，3) [将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，∴该直线过定点(2，3)．]8．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎨⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32．] 三、解答题9．已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°．求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．[解](1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行．∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0．(2)∵∠A＝60°，∴k AC＝3，AC边所在直线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y＋1－3＝0．又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1．∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0．10．如图，直线l：y－2＝3(x－1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程．[解]设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y－2＝3(x－1)知，直线l的斜率为3，则倾斜角为60°．当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝33(x－1)，即y＝33(x－1)＋2．综上，所求直线l′的方程为x＝1或y＝33(x－1)＋2．11．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()A B C DD [对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0．故选D ．]12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是( )A ．方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)表示同一条直线B ．直线l 过点P (x 0，y 0)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 0C ．直线l 过点P (x 0，y 0)，斜率为0，则其方程为y ＝y 0D ．所有直线都有点斜式和斜截式方程BC [A 中方程，k ＝y －2x ＋1，x ≠－1；D 中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴AD 错误，BC 正确．]13．(一题两空)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；再向右平移1个单位，所得到的直线为________．y ＝－13x y ＝－13x ＋13 [将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13．]14．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1．(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．[解] (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎨⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1．所以，实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1．15．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列结论正确的是( )A ．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点B ．如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点C ．直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数D ．存在恰经过一个整点的直线AD [A 正确，如直线y ＝2x ＋12，不经过任何整点(x ＝0，y ＝12；x ≠0，y 是无理数)B 错误，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；C 错误，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不通过任何整点； D 正确，比如直线y ＝2x 只经过一个整点(0，0)．]3、直线方程的两点式直线方程的一般式一、选择题1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式B[由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．] 2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则() A．C＝0，B>0B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0D[通过直线的斜率和截距进行判断．]3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<cC[由已知直线表达式，得l1：y＝－1a x－ba，l2：y＝－1c x－dc，由题图知⎩⎪⎨⎪⎧－1a >－1c >0－ba <0－d c >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <a <0b <0d >0.]4．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0B [如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°． ∴直线l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x ．]5．若直线Ax ＋By ＋C ＝0过坐标原点，则A ，B ，C 满足的条件是( ) A ．C ＝0B ．AB ≠0且C ＝0 C ．A 2＋B 2≠0且C ＝0D ．A ＋B ＝0C [A ，B 不能同时为0．] 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1，3)的直线的一般式方程为________．2x －y ＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0．]7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是________．－32 [直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32．]8．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是________．x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0 [设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为 y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)，得x ＋2y －1＝0．]三、解答题9．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距．[解] 由已知，直线过点(3，0)，所以3(a ＋2)－2a ＝0，即a ＝－6．所以直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，即4x －45y －12＝0．令x ＝0，得y ＝－415．故直线在y 轴上的截距为－415．10．求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程． [解] 由题意可知，所求直线的斜率为±1．又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0，或x ＋y －7＝0．11．过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 B [当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ；当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1|a |＝|b |，∴⎩⎨⎧ a ＝2b ＝2或⎩⎨⎧a ＝4b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y －4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B ．]12．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0A [∵点A (2，1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0．由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上． ∵点A (2，1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0．由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上． ∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0．]13．(多选题)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0B ．bc <0C ．ab <0D ．bc >0AB [易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a b <0，－c b >0，所以ab >0，bc <0．]14．(一题两空)已知点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________；最小值为________．3 0 [线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，所以xy ＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，所以当x ＝32时，xy 的最大值为3；当x ＝0或3时，xy 的最小值为0．]15．已知直线l 过点M (2，1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．[解]根据题意，设直线l的方程为xa＋yb＝1，由题意，知a>2，b>1，∵l过点M(2，1)，∴2a＋1b＝1，解得b＝aa－2，∴△AOB的面积S＝12ab＝12a·aa－2，化简，得a2－2aS＋4S＝0．①∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去)．∴S的最小值为4，将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，∴b＝aa－2＝2．∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.4、两条直线的平行与垂直一、选择题1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．ax－ay－a＝0B[显然B中直线与直线x－y－1＝0斜率相等但不重合．]2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不确定B[∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．]3．下列直线中，与已知直线y＝－43x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；直线与y 轴交点需在y 轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．]4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1，∴k 2＝－1a ；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合，故直线l 2的斜率不存在．∴直线l 2的斜率为－1a 或不存在．]5．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形C [∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC ．] 二、填空题6．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________．－23[－2m ＝3，∴m ＝－23．] 7．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为________．－5 [l 1、l 2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l 1⊥l 2，即2m ＋10＝0，∴m ＝－5．]8．已知A (3，1)，B (－1，－1)，C (2，1)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为________．3x＋2y－11＝0[k BC＝1－(－1)2－(－1)＝23，∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－3 2，∴所求直线方程为y－1＝－32(x－3)，即3x＋2y－11＝0．]三、解答题9．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M 的坐标．[解]设M(x，0)∴M是以AB为直径的圆与x轴的交点，∴AM⊥BM，∴k AM·k BM＝－1，即3－0－1－x×2－04－x＝－1，∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，∴M(1，0)或M(2，0)．10．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]∵A、B两点纵坐标不等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3．①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式k AB＝4－2－2m－4－(－m－3)＝2－(m＋1)，k CD＝3m＋2－m3－(－m)＝2(m＋1)m＋3．∵AB⊥CD，∴k AB·k CD＝－1，即2－(m＋1)·2(m＋1)m＋3＝－1，解得m＝1，综上m的值为1或－1．11．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．] 12．若{(x，y)|ax＋2y＋2＝0}∩{(x，y)|3x－y－2＝0}＝∅，则系数a＝()A．6B．－6C．32D．－32B[由题意知，两直线平行，∴a3＝2－1，∴a＝－6．]13．(多选题)下列说法中，不正确的是()A．若两直线斜率相等，则两直线平行B．若l1∥l2，则k1＝k2C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行ABD[当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，A不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，B不正确；显然C正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，D不正确．]14．(一题两空)直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)．(1)若l1∥l2，则a的值为________．(2)若l1⊥l2，则a的值为________．10 354[直线l2的斜率k2＝3－2a－1－1＝1a－2，由l1∥l2，得k1＝k2，∴1a－2＝34，∴a＝10 3．由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，∴1a－2×34＝－1，∴a＝54．]15．已知O 为坐标原点，点M (2，2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 的坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN ； (2)∠MPN 是直角． [解] 设P (x ，0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴MO ∥PN ，∴k OM ＝k NP ，又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5． ∴2x －5＝1，解得x ＝7，即P (7，0)． (2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1，∵k MP ＝22－x ，k NP ＝2x －5， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6． ∴P (1，0)或(6，0)．5、两条直线的交点坐标一、选择题1．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．不确定 B [∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13＜0，∴k 1≠k 2的两直线相交．] 2．直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：4x －3y －13＝0的交点坐标为( ) A ．(2，3) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，73 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫37，3B [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝04x －3y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73y ＝3，本题也可代入选项验证．]3．两条直线x ＋y －a ＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2＜a ＜2}B ．{a |a ＜－2}C ．{a |a ＞2}D ．{a |a ＜－2或a ＞2}C [联立方程，得⎩⎨⎧x ＋y －a ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22y ＝a －22，由交点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22>0a －22>0，解得a ＞2．所以实数a 的取值范围是{a |a ＞2}．]4．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－4B ．20C ．0D ．24 A [由两直线垂直得－a 4×25＝－1，∴a ＝10，将垂足代入ax ＋4y －2＝0，得c ＝－2，再代入2x －5y ＋b ＝0，得b ＝－12， ∴a ＋b ＋c ＝－4．]5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为( ) A ．－9 B ．9 C ．－6 D ．6 A [由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9．] 二、填空题6．三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________．－1 [由⎩⎨⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－2．将(4，－2)代入ax ＋2y ＋8＝0，得4a ＋2×(－2)＋8＝0， ∴a ＝－1．]7．已知直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在x 轴上，则k 的值为________．27[直线y ＝－14x ＋1交x 轴于点(4，0)． ∵两条直线的交点在x 轴上，∴直线y ＝kx ＋3k －2过点(4，0)．∴0＝4k ＋3k －2．∴k ＝27．]8．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．(－1，－2) [直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．]三、解答题9．已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． [解] (1)由⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点P 的坐标是(－2，2)．又所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0．把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2． ∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0．(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1．10．已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，6)，两边AB 、AC 上的高所在直线的方程分别为4x ＋5y －24＝0与x －6y ＋5＝0，求直线BC 的方程．[解] ∵AB 边上的高所在直线的方程为4x ＋5y －24＝0， ∴可设直线AB 的方程为5x －4y ＋m ＝0，把点A (5，6)坐标代入得25－24＋m ＝0， ∴m ＝－1，即直线AB 方程为5x －4y －1＝0，由⎩⎨⎧ 5x －4y －1＝0x －6y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1，即B (1，1)．同理可得C (6，0)， ∴k BC ＝1－01－6＝－15． ∴直线BC 的方程为y ＝－15(x －6)，即x ＋5y －6＝0．11．已知点P (－1，0)，Q (1，0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D ．[0，2]A [点P ，Q 所在直线的方程为y ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由－1≤b2≤1，得－2≤b ≤2．]12．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0D [设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于x ＝1对称的点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，所以2－x －2y ＋1＝0，即x ＋2y －3＝0．故选D ．]13．(多选题)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则( ) A ．Ax 0＋By 0＋C ≠0 B ．Ax 0＋By 0＋C ＝0C ．方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示不过点P 且与l 垂直的直线D ．方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示不过点P 且与l 平行的直线 AD [因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ．故选AD ．]14．(一题两空)已知直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点．(1)若它们相交于一点，则a ＝________； (2)若它们共有两个不同的交点，则a ＝________．－11 －1或23 [因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，25，若它们相交于一点，则－15a ＋45－3＝0，所以a ＝－11．若要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1；当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23．]15．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．[解] 取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0，2)，设点A (0，2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得 ⎩⎨⎧a ＝3，b ＝5，∴B (3，5)．由⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1，4)， ∴反射光线在经过点B (3，5)和点P (1，4)的直线上，该直线的方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x－2y＋7＝0．故反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0.6、平面直角坐标系中的距离公式一、选择题1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为()A．55B．255C．5D．25A[直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝|2×1－2＋1| 22＋(－1)2＝55，故选A．]2．已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于()A．3B．－3C．－33D．3或－33D[由|3＋3m－4|2＝1，解得m＝3或－33，故选D．]3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为()A．－6或12B．－12或1C．－12或12D．0或12A[|3m＋2＋3|m2＋12＝|－m＋4＋3|m2＋12，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或12．]4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是() A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0D [在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则|3×1－4×1＋m |32＋(－4)2＝3，解得m ＝16或m ＝－14，即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0．]5．过点P (0，1)且和A (3，3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0C [∵k AB ＝3－(－1)3－5＝－2，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即2x ＋y －1＝0，又AB 的中点C (4，1)，∴PC 的方程为y ＝1．] 二、填空题6．已知A (a ，3)，B (－2，5a )，|AB |＝13，则实数a 的值为________． 3或－2 [依题意及两点间的距离公式，得[a －(－2)]2＋(3－5a )2＝13，整理得a 2－a －6＝0，解得a ＝3或a ＝－2．]7．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．4 [由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4．]8．点A (－3，1)，C (1，y )关于点B (－1，－3)对称，则|AC |＝________．45 [由已知得y ＋12＝－3，解得y ＝－7，即C (1，－7)，∴|AC |＝[1－(－3)]2＋(－7－1)2＝45．] 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． [解] (1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得，所求直线方程为3x ＋4y －14＝0．(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．[解] ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18．故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0．(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22．故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0．11．在直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．25 A [如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4，2)， C (－2，0)，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|NP |＝|DM |＋|MN |＋|NC |．由对称性，D 、M 、N 、C 共线，∴|CD |即为所求，由两点间的距离公式得|CD |＝40＝210．]12．若直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2C ．12 D ．4B [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2．] 13．(多选题)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝2，则下列结论正确的是( ) A ．原点到直线l 距离等于2B ．若点P (x 0，y 0)在直线l 上，则x 20 ＋ y 20 ≥4C ．点(1，1)到直线l 距离d 的最大值等于2＋2D ．点(1，1)到直线l 距离d 的最小值等于2－ 2 ABCD [由点到直线的距离公式知，A 正确；由A 正确得，||OP ≥2，所以x 20 ＋ y 20 ≥4；因为d ＝|cos α＋sin α－2|cos 2α＋sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2，所以d 的最大值等于2＋2，最小值等于2－2．]14．(一题两空)在平面直角坐标系内，已知A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________．25 (2，4) [设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M (图略)，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 即为所求．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为 y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0．②联立①②得⎩⎨⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．]15．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l 的方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．[解] 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)．由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，得正方形的中心坐标为P (－1，0)，由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0．又正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0，3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋(－1)2＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或a ＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，3x －y －3＝0．∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0．7、圆的标准方程一、选择题1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝25 B ．x 2＋y 2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25C [r ＝(3－0)2＋(4－0)2＝5，故选C ．]2．圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2＝9的圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离等于( ) A ．65 B ．85 C ．245 D ．265B [由已知得，C (－4，3)，则圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离d ＝|－16＋9－1|42＋32＝85．] 3．点(a ，a )在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2a 2的内部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞A [由(a －1)2＋(a ＋2)2<2a 2，得a <－52．]4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2B [由题意，知 |PQ |的最小值即为圆心到直线x ＝－3的距离减去半径长，即|PQ |的最小值为6－2＝4，故选B ．]5．方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是()A．半圆B．圆C．两个圆D．两个半圆D[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是两个半圆．故选D．]二、填空题6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．(x－2)2＋y2＝5[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]7．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为________．26＋2[由(x－1)2＋(y－1)2的几何意义知：本题是求圆上一点到点(1，1)的最大值，其最大值为(0－1)2＋(－4－1)2＋2＝26＋2．]8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．1[∵|AB|＝2．∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为(2，2)，半径为1．所以此时C的坐标为(2，1)，S的最小值为1．]△ABC三、解答题9．求圆心C(8，－3)且过点P(5，1)的圆的标准方程．[解]法一：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，。

(完整)高一数学北师大版必修一集合单元复习答案

北师大版必修一高一上学期数学期末复习第一章集合姓名：班级：学号：一、选择题1.设集合A ={}|12,x x x N -<≤∈，集合B ={}3,2，则A Y B 等于（）A.{}1,2,3B.{}0,1,2,3C.{}2D.{}1,0,1,2,3-2.设集合U ={}1,2,3,4,5，A {}1,2,3=，B {}2,3,4=，则U (A I B )等于（）A.{}2,3B.{}1,4,5C.{}4,5D.{}1,53.设全集U ={}1,3,5,7,集合M ={}1,|5|a -,M ⊆U ，U M ={}5,7，则a 的值为（）A.2或-8B.-8或-2C.-2或8D.2或84.满足M ⊆{}1234,,,a a a a ,且M {}{}12312,,,a a a a a =I 的集合M 的个数是（）A.1B.2C.3D.45.已知全集U =R ，集合A ={x |-2≤x ≤3}，B ={x |x <-1或x >4}，那么集合A ∩(u B )等于（）A.{}|24x x -≤<B. {}|34x x x ≤≥或C. {}|21x x -≤<-D. {}|13x x -≤≤6.设集合S ={x |15x x <->或},T ={x |a <x <a +8}, S ∪T =R ,则a 的取值范围是（）A. -3<a <-1B. -3≤a ≤-1C. a ≤-3或a ≥-1D. a <-3或a >-17.已知U =R ，A ={x |x >0},B ={x |x ≤-1}，则(A ∩U B )∪(B IU A )等于（） A.∅ B.{x |x ≤0}C.{x |x >-1}D.{x |x >0或x ≤-1} 8.已知集合A={x |x 2-3x+2=0,x ∈R},B={x|0＜x ＜5,x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为（）A.1B.2C.3D.49.设全集U =R ，集合M ={x |x ≤1或x ≥3}，集合P ={}|1,R x k x k k <<+∈，且 U M I P ≠∅，则实数k 的取值范围是（）A.k ＜0或k ＞3B.1＜k ＜2C.0＜k ＜3D.-1＜k ＜310.定义集合运算：A *B ={}|,,.z z xy x A y B =∈∈设A ={},2,1B {},2,0=则集合 A *B 的所有元素之和为（）A.0 B.2 C.3 D.611.设U 为全集，非空集合A 、B 满足A B ，则下列集合为空集的是（）A.A I BB.A (I U B )C.B (I U A )D.(U A )I (U B )12. 下面关于集合的表示正确的个数是（）①}2,3{}3,2{≠；②}1|{}1|),{(=+==+y x y y x y x ；③}1|{>x x =}1|{>y y ； ④}1|{}1|{=+==+y x y y x x ； A ．0 B ．1 C ．2 D ．37.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x-y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为（）A.5B.4C.3D.25.已知集合A={x |x 是平行四边形}，B={x |x 是矩形}，C={x |x 是正方形}，D={x |x 是菱形}，则（）A.A ⊆BB.C ⊆BC.D ⊆CD.A ⊆D3.若集合A={x |1≤x ≤3},B={x |x ＞2},则A ∩B 等于（）A.{x |2≤x ≤3}B.{x |x ≥1}C.{x |2≤x ＜3}D.{x |x ＞2}6.设集合M={-1,0,1},N={x |x 2=x},则M ∩N=（）A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{0} 7.已知集合A={1,3,m }，B={1,m},A ∪B=A,则m=（）A.0或3B.0或3C.1或3D.1或31.已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则U A=（） A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}2.已知集合U={x |x ＞0},A={x |0＜x ＜2},则U A=( )A.{x |x ≤0或x ≥2}B.{x |x ＜0或x ＞2}C.{x |x ≥2}D.{x |x ＞2}3.设U=R,A={x |x ＞0},B={x|x ＞1},则A ∩U B=( ) A.{X |0≤X ＜1} B.{x |0＜x ≤1} C.{x |x ＜0} D.D{X |X ＞2}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知A ={a +2，(a +1)2，a 2+3a +3}，若1∈A ，则a = ；14．集合P =(){},0x y x y +=，Q =(){},2x y x y -=，则P ∩Q = ；15．已知集合A =126x NN x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示集合A = ； 16．已知集合A={x |x 2-3x+2=0},B={1,2},C={x |x ∈R,x ≤5}，用适当的符号填空：（1）2 C （2）{2} C （3）A B （4）A C4. 已知集合A={x ∈N|86－x∈N},试用列举法表示集合A . 1.用适当的符号填空（1）a {a,b,c} （2）{a,b} {a,b,c} (3){0} {x |x 2-x=0}5. 已知集合A={1,2,4},B={2，4，6}，则A ∪B=8.定义A-B={x|x ∈A,且x ∉B},若M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},求N-M= 已知集合U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={0,1,3,5,8},B={2,4,5,6,8},求（U A ）∩（U B ）=2.用“∈”，“∉”填空（1）-1 Z ； 0.817 Q; π R（2）A={x|x 2-x=0},则1 A; -1 A （3）B={x|-1≤x ≤3},则0 B; 3 B;-1 B 1.下列对象不能构成集合的有①最小的整数；②3的倍数；③方程x²-2x+1=0的解；④a,b,c,x,y,z ；⑤不等式x-3>0的解；⑥周长为10cm 的三角形；⑦中国古代四大发明；⑧某班全体学生的年龄；⑨地球上的四大洋；⑩地球的小河流。