高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习.docx

北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解

第一章集合与函数概念

知识架构

第一讲集合

★知识梳理

一：集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互界性;

2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;

3.集合中元素与集合的关系：

二：集合间的基本关系

三：集合的基本运算

①两个集合的交集:Ap|B= {x\xe A^xe B];

②两个集合的并集：AUB = {x|xe Mxe B）；

③设全集是U,集合A^U f^\C u A={x\xe t/且兀电A]

方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

★重、难点突破

重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：

1.集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合屮元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；

2.集合的表示法

(1)列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{x|y = /(%)}> {y］y ={(x,y)|y = /(x)}等的差别，如果对集

合中代表元素认识不清，将导致求解错误：

问题：已知集合看+召= l},N = {y|扌+* = 1},则McN二( )

A.①；

B. {(3,0), (0,2)}；

C. ［-3,3］；

D. {3,2}

2 2

［错解］误以为集合M表示椭圆—+ ^- = 1,集合W表示直线-4-^ = 1,由于这直

9 4 3 2

线过椭圆的两个顶点，于是错选B

［正解］C；显然M = {x|-3

(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3.集合间的关系的几个重要结论

(1)空集是任何集合的子集，即

(2)任何集合都是它本身的子集，即Ac A

(3)子集、真子集都有传递性，即若Acfi, BuC ,则AcC

4.集合的运算性质

(1)交集：①= ② API A = A；③ 4介0 = 0；④ AQ B c A , ApBc B

⑤AC\B = A^ A Q B；

(2)并集：① AUB=BUA;② A\JA = A；③ A\J(/)= A；④ A\JB^A, A\J B B ⑤ A\JB = A^ B Q A；

(3)交、并、补集的关系

①AP\C U A=(P；

②C U(AP\B) = © A) U © B) ；C〃(A U B) = (C u A) A © B)

★热点考点题型探析

考点一：集合的定义及其关系

题型1：集合元素的基本特征

［例1］（2008年江西理）定义集合运算：A*3 = {z| z = E，兀w 3}・设

A = {l,2},

B = {0,2},则集合A*B的所有元素之和为（）

A. 0；

B. 2；

C. 3；

D. 6

［解题思路］根据A^B的定义，让兀在A屮逐一取值，让y在B屮逐一取值，兀y在值就是A * B 的元素

［解析］:正确解答本题，必需清楚集合A^B中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知

={0,2,4},故应选择D

【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点, 这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

题型2：集合间的基本关系

［例2］.数集X ={（27?+1X/?G Z}与丫 = {（4£±1）龙,£丘乙}2的关系是（）

A. xiy ；

B. yix ； c. x =Y； D.X

［解题思路］可有两种思路：一是将x和y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。

［解析］从题意看，数集x与丫之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义, 逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。

［新题导练］

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合2{参加北京奥

运会比赛的运动员},集合扫{参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是（）

A. A<^B

B. BcC

C. AC\B = C

D. B\JC = A

［解析］D；因为全集为A,而BUC二全集二A

2 . （2006 •山东改编）定义集合运算：A®B = {z| =巧+兀〉，2,辭册，设集合A = {1,0}, B = {2,3},则集合A®B的所有元素之和为 ________________________

［解析］18,根据A®B的定义，得到A0B = {0,6,12},故A®B的所有元素之和为18

3. (2007-湖北改编)设P和Q是两个集合，定义集合P-Q = {x\xe如果P = ［x|log3 x

［解析］{x|l

P-<2 = (1,3)

4•研究集合A = {^y = x2-4］, B = {y\y = x2-4\f C = {(x,y)|y = x2间的关系［解析］A与C, B与C都无包含关系，而B^A；因为A = {^\y = x2-4］表示

y = x2 - 4的定义域，故A = R : B = {y］y = x2-4}表示函数y = %2 - 4的值域，B =［-4,+oo): C = ^x,y)\y = x2-4}表示曲线 ^ = x2-4 上的点集，可见，而A 与C, 3与C都无包含关系

考点二：集合的基本运算

［例3］设集合A={4『_3X +2= O},B = {^x2 + 2(a + l)x + (a2 -5) = o}

(1)若AQB = {2},求实数G的值；

(2)若AUB二A,求实数d的取值范围若A^B = \2},

［解题思路］对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。

［解析］因为A =卜卜2-3x + 2 = 0}= {1,2},

(1)由AQB = {2}知,2G B,从而得224-4(^+1)+(6Z2-5)=O,即

a2 + + 3 = 0,解得Q =-1或。=一3

当a = -\时，B - {x|x2 - 4 = o}= |_2,-2j,满足条件；

当。=一3时，〃 ={加2_4兀+ 4二0}={2},满足条件

所以Q = -1或G = -3

(2)对于集合B,由△ = 4(a + l)2_4(a2_5) = 8(d + 3)

因为AUB = A,所以BeA

①当△<(),即a<-3时，B =(p,满足条件；

②当△ = (),即a = —3时，3 = {2},满足条件；