数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

数列的综合应用

【考纲说明】

1．会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和； 2．能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题； 3 .理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；

【知识梳理】

考点一：通项公式的求解技巧

1. 归纳、猜想数列的通项.

2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.

3. 用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式.

4. 已知数列{a n }前n 项和S n ，则⎩⎨⎧-=-11n n

n S S S a 21≥=n n .

5. 已知a n -a n-1=f(n)(n ≥2),则可用叠加法求a n .

6. 已知a n

a n-1

=f(n)(n ≥2),则可用叠乘法求a n .

7. 已知数列{a n }前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n =11

1 n 2n n T n T T -=⎧⎪

⎨≥⎪⎩.

8. 已知混合型递推式f(a n ,S n )=0,可利用a n =S n -S n-1(n ≥2)将关系式转化为只含有a n 或S n 的递推式,再求a n 或先间接

求出S n 再求出a n .

9. 已知数列{a n }的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式

两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(a n )}为等差或等比数列.

例如:形如a n+1=Aa n +f(n)或a n+1=Aa n +q n ,均可以两边同时除以A n+1

后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如a n ＝a n-1

ka n-1+b 的递推数列可以两边同时倒数来求通项.

考点二：数列求和的技巧 一、公式法

1、等差数列的前n 项和公式

2

)1(2)(11d

n n na a a n S n n -+

=+=

2、等比数列的前n 项和公式

⎪⎩

⎪

⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n

3、常用几个数列的求和公式 （1）)1(2

1

3211+=

+⋯+++==

∑=n n n k S n

k n （2）)12)(1(6

1

321222212++=

+⋯+++==

∑=n n n n k S n

k n （3）23

3331

3)]1(21[321+=+⋯+++==

∑=n n n k S n

k n

二、错位相减法

用于求数列}{n n b a ⨯的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 三、裂项相消法

适用于{1a n a n+1}其中{a n }是各项不为0的等差数列。即:1a n a n+1=1d (1a n -1

a n+1),

特别:

111)1(1+-=+n n n n ;

)2

1

1(21)2(1+-=+n n n n . n n n

n a n -+=++=

111

四、倒序相加法

推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它 与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。

五、分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等 差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

考点三：数列的综合应用 一、数列与函数的综合 二、等差与等比数列的综合

三、数列的实际应用

数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合

【经典例题】

【例1】 (2011年高考天津卷理科4)已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的 等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和, *

n N ∈,则10S 的值为

A ．-110

B ．-90

C ．90

D ．110 【解析】D

【例2】(2011年高考江西卷理科5)已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且 11=a ,那么=10a ( )

A. 1

B. 9

C. 10

D. 55 【解析】A

【例3】（2008年江西省高考题）数列{a n }的通项公式是a n =

1

1++n n ，若前n 项和为10，

则项数为（ ）

A 、11

B 、99

C 、120

D 、121 【解析】C 【例4】（2008安徽）设数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=ca n +1-c ，n ∈N*，其中a ，c 为实数，c ≠0 1.求数列{a n }的通项公式； 2.设a=

21，c=2

1

，b n =n （1-a n ），n ∈N*，求数列{b n }的前n 项和S n 。

【解析】（1）∵a n+1-1=c （a n -1）

∴当a ≠1时，{a n -1}是首项为a-1，公比为c 的等比数列

∴a n -1=（a-1）c n-1，即a n =（a-1）c n-1

+1 当n=1时，a n =a 仍满足上式。

∴数列{a n }的通项公式为a n =（a-1）c n-1

+1（n ∈N*）

（2）由（1）得b n =n （1-a ）c n-1

=n （

2

1）n

， S n =b 1+b 2+…+b n =21+2（21）2+…+n （2

1）n

①

21S n =（21）2+2（21）3+…+（n-1）（21）n +n （2

1）n+1 ② ∴①-②得21S n =21+（21）2+…+（21）n -n （21）

n+1

∴S n =1+21+（21）2+…+（21）n-1-n （21）n =2[1-（21）n ]-n （2

1）n