23个经典的不等式专题
高中不等式题目30道
高中不等式的题目：1. x2+3x+2/x2+2x+1 的取值范围是什么？2. 对于实数x，求解不等式｜x-1｜+｜x+3｜≥5。
3. 若不等式(k+1)x2-2(k+2)x+4>0 对任意实数x 恒成立，求k 的取值范围。
4. 已知不等式ax2-2x+b<0 的解集是{x|1<x<3}，求a、b 的值。
5. 求下列不等式的解集：（1）3x2-7x-10≥0（2）4x2-12x+9≤0（3）4-3x-5x2≥0（4）6x-10x2≥06. 解不等式｜2x+1｜+｜3x-4｜≥5。
7. 求不等式-2x2+4x-3<0 的解集。
8. 若不等式(a-1)x2+2(a-1)x-3≤0 对于任意实数x 都成立，求a 的取值范围。
9. 解不等式｜x-3｜-｜2x+1｜≤x+2。
10. 求不等式x2+2x+3≥2x2+ x的解集。
11. 求下列不等式的整数解：（1）5x-7<3x+1（2）3(x-1)≥7(x-4)（3）10-4(3x-9)≤2(9-4x)（4）5(6x+1)-7(3x+2)≥012. 求不等式-3≤x< 4 的整数解。
13. 解不等式(x-5)(x+7)≥8(x-3)。
14. 求不等式4(3x-7)≥24(x-5)的解集。
15. 求不等式｜2x-3｜≤x+1 的解集。
16. 求不等式-2x+3>10-3x的解集。
17. 求不等式3(2x-4)≥5(x-1)的解集。
18. 求不等式2(4x-2)≥3(x+1)的解集。
19. 求不等式-3(x+2)≥4(x-3)的解集。
20. 求不等式5(x-1)≥2(x+2)的解集。
21. 求不等式-4(x-3)≥5(x-2)的解集。
22. 求不等式2(3x-1)≥5(x+1)的解集。
23. 求不等式6(x+1)≤7(x-2)的解集。
24. 求不等式5(x-1)≤2(x+3)的解集。
25. 求不等式3(x+1)≥5(x-1)的解集。
初二不等式经典例题
初二不等式经典例题摘要：1.初二不等式的概念和基本性质2.经典例题1：解不等式|x - 3| < 13.经典例题2：解不等式-2x + 3 > 54.经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }5.总结与展望正文：一、初二不等式的概念和基本性质初二不等式是初中数学中的重要内容，主要研究如何解不等式以及如何处理不等式组。
不等式是指用不等号（如"<"、"≤"、">"、"≥"）连接的两个数或代数式。
在初二阶段，我们主要学习解一元一次不等式、一元二次不等式以及不等式组。
二、经典例题1：解不等式|x - 3| < 1这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将绝对值符号拆掉，得到两个不等式：x - 3 < 1 和-(x - 3) < 1。
2.分别解这两个不等式，得到x < 4 和x > 2。
3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 2 < x < 4}。
三、经典例题2：解不等式-2x + 3 > 5这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：1.将常数项移到不等式左边，得到-2x > 2。
2.将不等式两边同时除以-2，并注意改变不等号方向，得到x < -1。
四、经典例题3：解不等式组{ 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }这是一个一元一次不等式组，我们可以通过以下步骤求解：1.解第一个不等式，得到x < 1。
2.解第二个不等式，得到x >3.5。
3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 3.5 < x < 1}。
五、总结与展望初二不等式是初中数学的基础知识，对于解决实际问题和进一步学习高中数学有着重要意义。
通过解决不等式和不等式组，我们可以提高自己的逻辑思维能力和运算能力。
23个经典的不等式专题
23个经典的不等式专题1、 证明：2221111+...223n+++< ；2、 若：332a b +=，求证：2a b +≤ ；3、 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 4、 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b c a b c+>+++ ； 5、 当2n ≥时，求证：222111111 (12)123n n n-<+++<-+ ； 7、 若x R ∈，求y = ；8、求函数2cos y θθ=-的最大值和最小值 ；9、 若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ ； 10、 若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ； 11、 若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值 ；12、 若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值；13、 若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，30ax by cz ++=，求：a b cx y z++++的值 ；14、 求证：21153nk k=<∑；（这回比较紧） 15、 当2n ≥时，求证：12(1)3nn<+< ； 16、求证：113135135...(21)...224246246 (2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ； 17、求证：1)1...1)<+< ；18、 已知：0x >,求证：ln(1)1xx x x<+<+ ; 19、 已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n+++<+<++++ ； 20、 已知：2n ≥，求证：2(1)nn n >- ；21、 已知：n N +∈，求证：21111 (2)3212n++++>- ； 22、设：...n S =+求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 23、 已知：n N +∈，求证： 1111 (21231)n n n <+++<+++ . 【解答】 1. 证明：2221111+...223n+++< ； 1、证明：221222111111111112(1)1nn n n k k k k k k k k k k n ====⎡⎤⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑.从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 2. 若：332a b +=，求证：2a b +< ；2、证明：3322()()()a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()2ab a b +≤则：3()6ab a b +≤，333()8a b ab a b +++≤，即：3()8a b +≤即：2a b +≤.立方和公式以及均值不等式配合.3. 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 3、由：n n n k n +≥+> (1,2,...,k n =得：1112nn kn≤<+ ，则：1111112nn nk k k n n k n===≤<+∑∑∑， 即：111...212n n n n n n n n ≤+++<+++ 故：1111...12122n n n≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和.4.若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ； 4、解：222()244(3)4()12a b a b ab ab a b a b +=++≥=++=++， 令：t a b =+，则上式为：24120t t --≥. 解之得：6t ≥. 均值不等式和二次不等式.5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b ca b c+>+++ ； 5、证明：构造函数()1xf x x=+，则在0x >时，()f x 为增函数. 所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +>，那么，()()f a b f c +>，即：11a b ca b c+>+++ .111111a b a b a b c a b a b a b a b c++>+=>+++++++++. 构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果. 6. 当2n ≥时，求证：222111111 (12)123n n n-<+++<-+ ； 6. 证明：当2n ≥时，11n n n -<<+，都扩大n 倍得：2(1)(1)n n n n n -<<+， 取倒数得：2111(1)(1)n n n n n >>-+， 裂项：21111111n n n n n ->>--+， 求和：222211111()()11nn nk k k k k k kk ===->>--+∑∑∑，即： 2221111111 (2321)n n n ->+++>-+ 先放缩，裂项求和，再放缩. 7、若x R ∈，求y =；7、解：y =-=-设：1(,22m x =+，1(,22n x =-， 则：m x ⎛=+ ，n x ⎛=- (1,0)m n -= 代入向量不等式：m n m n -<-得：1y m n m n =-≤-=，故：11y -≤≤.这回用绝对值不等式. 8、求函数2cos y θθ=-的最大值和最小值；8、解：将函数稍作变形为：M N y == ，设点(,)M M M x y ，点(,)N N N x y ，则(2,0)M ，(cos ,sin )N θθ-，而点N 在单位圆上，y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直线 N 点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围 就是：11y -≤≤ .故y 的最大值是1，最小值是-1. 原本要计算一番，这用分析法，免计算了. 9、若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ 9、证明：由柯西不等式：()()()2111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++⋅+++++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 即：()()2111239a b c a b b c c a ⎛⎫++⋅++≥=⎡⎤⎪⎣⎦+++⎝⎭即：()2229a b b c c a a b c ⎛⎫++≥ ⎪+++++⎝⎭柯西不等式.10、若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ；10、解：柯西不等式：()()()222222212222a b c a b c ⎡⎤+-+++≥-+⎣⎦； 即：()292522a b c ⨯≥-+，故：2215a b c -+≤；所以：152215a b c -≤-+≤. 柯西不等式.11、若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值 ；11、解：设：(2,1,2)m =--，(,,)n x y z =，则：22222(1)(2)9m =+-+-=； 2222n a b c =++；22m n a b c ⋅=--；代入m n m n ≥⋅得：()()222292236a b c a b c ++≥--=；即：2224a b c ++≥，故：最小值为4. 向量不等式.12、若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值；12、解：柯西不等式：()()()22222 2213421234a ca b cc⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥-+++-⎡⎤⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即：()22512a b c⨯≥++-；故：()525a b c-≤++-≤；于是：()37a b c-≤++≤.柯西不等式.13、若,,0a b c>，,,0x y z>，且满足22225a b c++=，22236x y z++=，30ax by cz++=，求：a b cx y z++++的值；13、解：本题满足：()()()2222222a b c x y z ax by cz++++=++即柯西不等式中等号成立的条件.故有：0a b cx y zλ===>，即：a xλ=，b yλ=，c zλ=.则：2222222()a b c x y zλ++=++；即：22222222536a b cx y zλ++==++，即：56λ=故：56a b c a b cx y z x y zλ++=====++ .柯西不等式中等号成立.14、求证：21153nkk=<∑；（这回比较紧）14、证明：222212222114411111124412121 n n n n nk k k k kk k k k k k =====⎛⎫=+=+<+=+-⎪--+⎝⎭∑∑∑∑∑1115121232133n⎛⎫=+⨯-<+⨯=⎪+⎝⎭注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.15、当2n ≥时，求证： 12(1)3nn <+< ；15、证明：① 由二项式定理得：1212011111111...12nnk n n n n n n k n k C C C C C n n n n n n =⎛⎫+=⋅=+⋅+⋅++⋅+⋅= ⎪⎝⎭>∑ ② 由二项式定理得：11111!11!1111!()!!()!nn n nkn k k k k k k n n C n n k n k n k n k n===⎛⎫+=+⋅=+⋅=+ ⎪--⎝⎭∑∑∑ 1121(1)(2)(1)111...111!!!nn nk k k n n n n k k n n n n k k ===---+⎡⎤=+⋅⋅⋅⋅⋅<+=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 22211111222213!(1)1nn nk k k k k k k k n ===⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪--⎝⎭∑∑∑本题①由二项式中，保留前两项进行放缩得到：1(1)2nn+>；本题②由二项式中，分子由从n 开始的k 个递减数连乘，分母由k 个n 连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：1(1)3nn+<.16、求证：113135135...(21)...224246246 (2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ； 16、证明：()()22221(21)(21)n n n n >-=-+，故：212221n nn n -<+；令：135(21)...246(2)n n S n -=⋅⋅⋅⋅， 246(2)...357(21)n n T n =⋅⋅⋅⋅+ ；则：n n S T <，即：2135(21)246(2)1......246(2)357(21)21n n nn n S S T n n n -<⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++ ；故：n S <①由<即：<，故：代入①式得：n S则：原式=1211...1nnn k k k S S S S ==+++=<=<∑∑本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差， 然后利用求和来消去中间部分，只剩两头. 17、求证：1)1...1)<+< ； 17、证明：由2>=；即：1121)nnk k ==>=∑ ① 由：()()()22222281811882n n n n ->--=-得：()281n ->==即：281n ->，即：2(21)2(21)1n n n n ++-->，即：21>1-><，多项求和：)111nnk k ==<= ②由①②，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法.18、 已知：0x >,求证：ln(1)1xx x x<+<+ ; 18、证明：(1)构造函数：()ln(1)f x x x =-+，则：(0)0f =.当0x >时，函数的导数为：1'()101f x x=->+， 即当0x >时，函数()f x 为增函数. 即：()(0)0f x f >=； 故：()ln(1)0f x x x =-+>，即：ln(1)x x +<. (2) 构造函数：()ln(1)1xg x x x=+-+，则：(0)0g =. 当0x >时，其导数为：()()2211'()01111x xg x x x x x ⎡⎤=--=>⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦. 即当0x >时，函数()g x 为增函数. 即：()(0)0g x g >=；故：()ln(1)01x g x x x =+->+，即：ln(1)1x x x<++. 由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、 已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n+++<+<++++ ； 19、证明：先构造函数：1()f x x=，在函数图象上分别取三点A,B,C ， 即：1(,)A k k,1(1,)1B k k --,1(1,)1C k k ++, 我们来看一下这几个图形的面积关系：；即：1111()1k kkk dx f k dx xx +-⋅<⋅<⋅⎰⎰ ；即：11ln ()ln kkk k x f k x +-<< ；即：1ln(1)ln ln ln(1)k k k k k+-<<-- ； (1) 1ln(1)ln k k k +-<求和：11111(ln(1)ln )1...2n nk k k k k n ==+-<=+++∑∑； 即：11ln(1)1...2n n+<+++； (2) 1ln ln(1)k k k<--求和：；即：121111...ln(1)231n k n k n +==+++<++∑; 由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题.20、 已知：当2n ≥时，求证：2(1)nn n >- ； 20、 证明：当21r n ≤≤-时，1r n nC C n >=，即：r n C n > 由二项式定理得：11112(11)(1)n n n nnkk nnk k k C C n n n --====+=>>=-∑∑∑证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、 已知：n N +∈，求证：21111 (2)3212n++++>- ； 21、 证明：设：1111 (2321)n n S =++++-，则：111111111111111()()()...(...)234567*********n n n n n n S --=++++++++++++-++-2233331111111111111()()()...(...)222222222222n n n n n >++++++++++++-11111111()()()...()1(1)2222222222n n n n n n =+++++-=+-=+-> 证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n 组，每组都大于12，这样放缩得证.22、设：...n S =+求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 22、证明：由(1)122k k k k ++<<=+得：12k k <<+，求和得：11112n n nk k k k k ===⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭∑∑ 即：2(1)(1)(2)(1)22222n n n n n n n n n S ++++<<+=< 即：2(1)2(1)n n n S n +<<+.本题首先构建含有.23、 已知：n N +∈，求证： 1111 (21231)n n n <+++<+++ . 23、 证明：设：111 (1231)n S n n n =++++++ ； 采用倒序相加得：111111112...131********n S n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 各括号内通分得：()()()()()()()()424242422...131********n n n n n S n n n n n n n n ++++=++++++++-++； 即：()()()()()()()()1111(21)...131********n S n n n n n n n n n ⎡⎤=+++++⎢⎥++++-++⎣⎦①；由：()()()()222(1)(31)21212121n n n n n n n n n ++=+-++=+-<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()()()()222(2)(3)21(1)21(1)21121n n n n n n n n n +=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()()()()222(3)(31)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n +-=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ……()()()()()222(31)(1)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n n n n ++=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 共有：(31)(1)121n n n +-++=+项.将上述不等式代入①式得：()()()()2222111(21)(21)...(21)121212121n n S n n n n n n ⎡⎤+>++++=+⋅=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦； 即：1n S > ② 另：1111112122......2123111111n n n S n n n n n n n n ++=+++<+++=<=++++++++； 即：2n S < ③由②和③，本题得证.本题中n S 有(21)n +项，将其放缩为同分母的分式是解题关键.附加题：若：2n n a =， 求证：12311113 (234)n a a a na ++++<. 证明：2312311111111......23222322n n a a a na n ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭ 2334111111111 (22222)222222n n +⎛⎫⎛⎫<++++=++++ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭1332111111111321122222241122n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=+⋅<+⋅=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
高中不等式例题(超全超经典)
技巧一：凑项例1：已知 ，求函数 的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
技巧三：分离例3.求 的值域。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为__________（答：（－1,2））
例2.(1)求函数 的最大和最小值；
(2)设 ，函数 .
若 ，求 的最大值
1．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如
（1）若 ，则 的取值范围是__________（答： 或 ）；
（2）解不等式
（答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）
1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法
3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集。如
基本不等式经典题型
基本不等式是数学中的一个重要的工具，它可以帮助我们求解一些问题的最值。
以下是一些基本不等式的经典题型：
1. 平方和不等式：对于任何实数a和b，都有a^2 + b^2 ≥2ab。
这个不等式经常用于解决最大面积、最小距离等问题。
2. 算术-几何平均不等式：对于任何正实数a和b，都有(a+b)/2 ≥√(ab)。
这个不等式常用于解决最大/最小化问题。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个向量x和y，有|x|^2 * |y|^2 ≥(x·y)^2。
这个不等式在向量分析中非常常见，用于证明或计算相关的问题。
4. Holder不等式：对于任意p, q > 1且1/p + 1/q = 1，对任意非负实数序列{a_n}和{b_n}，都有(sum a_n^p)^(1/p) * (sum b_n^q)^(1/q) ≥sum a_n*b_n。
这个不等式在概率论和统计学中有重要应用。
以上只是基本不等式的一部分，它们在不同的领域和问题中有广泛的应用。
理解这些不等式及其背后的原理，并能够灵活运用它们，是提高数学能力的重要一步。
经典不等式例题汇总
□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。
可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。
答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。
A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。
或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。
A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。
答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。
正确的有（）。
'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。
高中不等式例题(超全超经典)
一． 不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解不等式例题50道
解不等式例题50道一、一元一次不等式1. 解不等式：2x + 5>9- 解析：- 首先对不等式进行移项，将常数项移到右边，得到2x>9 - 5。
- 计算右边式子得2x>4。
- 两边同时除以2，解得x > 2。
2. 解不等式：3x-1<8- 解析：- 移项可得3x<8 + 1。
- 即3x<9。
- 两边同时除以3，解得x<3。
3. 解不等式：5x+3≤slant2x + 9- 解析：- 移项，把含x的项移到左边，常数项移到右边，得到5x-2x≤slant9 - 3。
- 计算得3x≤slant6。
- 两边同时除以3，解得x≤slant2。
4. 解不等式：4x-7≥slant3x+1- 解析：- 移项得4x - 3x≥slant1+7。
- 即x≥slant8。
5. 解不等式：(1)/(2)x+3>x - 1- 解析：- 移项可得(1)/(2)x-x>-1 - 3。
- 通分计算，((1)/(2)-(2)/(2))x>-4，即-(1)/(2)x>-4。
- 两边同时乘以 - 2，不等号变向，解得x < 8。
6. 解不等式：(2)/(3)x-1≤slant(1)/(3)x+2- 解析：- 移项得(2)/(3)x-(1)/(3)x≤slant2 + 1。
- 计算得(1)/(3)x≤slant3。
- 两边同时乘以3，解得x≤slant9。
7. 解不等式：2(x + 3)>3(x - 1)- 解析：- 先展开括号，得到2x+6>3x - 3。
- 移项得2x-3x>-3 - 6。
- 计算得-x>-9。
- 两边同时乘以 - 1，不等号变向，解得x < 9。
8. 解不等式：3(x - 2)≤slant2(x+1)- 解析：- 展开括号得3x-6≤slant2x + 2。
- 移项得3x-2x≤slant2+6。
- 计算得x≤slant8。
高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)
“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论： 当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。
跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（ ） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（ ） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（ ） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是 （ ） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（ ） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（ ）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1） 同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 （2） 转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3） 换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围 （4） 数形结合 基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为 巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式） 例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。
经典不等式23种不等式
经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。
2、小于等式：若x<y，则x≤y。
3、不等式：若x≠y，则x≠y。
4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。
5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。
6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。
7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。
8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。
9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。
10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。
11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。
12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。
13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。
14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。
15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。
16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。
17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。
18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。
19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。
20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。
21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。
22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。
23、条件不等式：若A>B且C>D，则AC>BD。
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总一、均值不等式：均值不等式是不等式理论中的重要分支，其中最基本的是算术平均数和几何平均数之间的关系。
1.算术均值不等式(AM-GM):对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn , 有以下不等式成立：(x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n ≥ √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn)证明：令a = (x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n，其中x1, x2, x3,⋯, xn为非负实数。
令 b = √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn) ，则要证明的不等式即为 a ≥ b。
根据均值不等式的性质，两个算术均值之间有一个几何均值，即a≥b。
2. 加权平均值不等式 (Chebyshev 不等式)：对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn 和 w1 , w2 , w3 ,⋯, wn 为正实数，并且 w1 + w2 + w3 + ⋯ + wn = 1，有以下不等式成立：w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥ (x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯xn^wn)证明：将w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn 展开为 w1/x1 + w2/x2 +w3/x3 + ⋯ + wn/xn，利用 AM-GM 不等式即可证明。
即 w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥(x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯ xn^wn)二、特殊不等式：特殊不等式是指在一些特殊条件下成立的不等式，是数学中的一种重要类型。
1. 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz):对于任意实数 a1, a2, a3,⋯, an 和 b1, b2, b3,⋯, bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ⋯ + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + a3^2 + ⋯+ an^2)· (b1^2 + b2^2 + b3^2 + ⋯ + bn^2)证明：考虑函数 f(t) = (a1t + a2t + a3t + ⋯ + ant)^2 ，求导可证明。
高中不等式所有知识及典型例题(超全)
一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 a =b =c 时取等号）； 6. 1n (a 1+a 2+……+a n )2n a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3)3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b) 7.浓度不等式：b －n a －n< b a < b +ma +m ,a>b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
最经典的不等式专题
题型一：不等关系与不等式〖例1〗(2007上海)已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( )A ．22a b <B ．22a b ab <C ．2211aba b < D ．b a a b < 〖例2〗若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .题型二：一元二次不等式及其解法〖例1〗（2007福建）2x <是260x x --<的什么条件……（ ） A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要〖例2〗(2008江西文)不等式224122xx +-≤的解集为__________． 〖例3〗已知集合{}2540A x x x =-+|≤，{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．题型三：简单的线性规划〖例1〗（2012届新高考联盟）设实数,x y 满足不等式组30023x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，则2x y +的最小值为 ；〖例2〗（2013杭二模）设实数,x y 满足不等式组10,260,20.x y x y x y k --≥⎧⎪--≤⎨⎪+--≥⎩且22x y +的最小值为m ，当925m ≤≤时，实数k 的取值范围是 ___________.X+2y-5≥0〖例3〗（2013浙江）若实数x ，y 满足不等式组 2x +y -7≥0,则3x+4y 的最小值是A ．13B ．15C ．20 x ≥0,y ≥0D ．28〖例4〗（2012湖北） 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x －y≥－2，4x ＋3y≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个题型四：基本不等关系〖例1〗（2008浙江）已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （ ）A ．21≤ab B ． 21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 〖例2〗（2012重庆）若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4练习题（陕西文）设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ）2a b a b ab +<<<（B 2a b a ab b +<<< （B ）（c ）2a b a ab b +<<< (D) 2a b ab a b +<<< （山东文）设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为(A)11 (B10 (C)9 (D)8.5（天津文）设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为A ．-4B ．0C ．43 D4 （广东文）不等式2210x x -->的解集是A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ （广东文）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅的最大值为 A ．3 B4 C ．32 D ．42（安徽文）设变量x,y 满足,x y 1x y 1x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩,则x y +2的最大值和最小值分别为（A ）1，-1（B2，-2 （C ）1，-2 （D ）2，-1 （上海文）不等式11x<的解为 。
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23个经典的不等式专题1、 证明：2221111+...223n+++< ； 2、 若：332a b +=，求证：2a b +≤ ；3、 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 4、 若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ； 5、 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b c a b c+>+++ ； 6、 当2n ≥时，求证：222111111 (12)123n n n-<+++<-+ ； 7、 若x R ∈，求y = ；8、求函数2cos y θθ=-的最大值和最小值 ；9、 若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ ； 10、 若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ； 11、 若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值 ；12、 若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 13、 若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，30ax by cz ++=，求：a b cx y z++++的值 ；14、 求证：21153nk k=<∑；（这回比较紧） 15、 当2n ≥时，求证：12(1)3nn<+< ； 16、求证：113135135...(21)...224246246 (2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ；17、求证：1)1...1)<++++< ； 18、 已知：0x >,求证：ln(1)1xx x x<+<+ ; 19、 已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n+++<+<++++ ； 20、 已知：2n ≥，求证：2(1)nn n >- ；21、 已知：n N +∈，求证：21111 (23212)n++++>- ； 22、设：...n S =++求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 23、 已知：n N +∈，求证： 1111 (21231)n n n <+++<+++ .【解答】 1. 证明：2221111+...223n+++< ； 1、证明：221222111111111112(1)1nn n n k k k k k k k k k k n ====⎡⎤⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑.从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 2. 若：332a b +=，求证：2a b +< ；2、证明：3322()()()a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()2ab a b +≤则：3()6ab a b +≤，333()8a b ab a b +++≤，即：3()8a b +≤即：2a b +≤.立方和公式以及均值不等式配合.3. 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 3、由：n n n k n +≥+> (1,2,...,)k n =得：1112nn kn≤<+ ， 则：1111112nn nk k k n n k n===≤<+∑∑∑， 即：111...212n n n n n n n n ≤+++<+++ 故：1111...12122n n n≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和.4.若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ； 4、解：222()244(3)4()12a b a b ab ab a b a b +=++≥=++=++， 令：t a b =+，则上式为：24120t t --≥. 解之得：6t ≥. 均值不等式和二次不等式.5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b ca b c+>+++ ； 5、证明：构造函数()1xf x x=+，则在0x >时，()f x 为增函数.所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +>， 那么，()()f a b f c +>，即：11a b ca b c+>+++ .111111a b a b a b c a b a b a b a b c++>+=>+++++++++. 构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果. 6. 当2n ≥时，求证：222111111 (12)123n n n-<+++<-+ ； 6. 证明：当2n ≥时，11n n n -<<+，都扩大n 倍得：2(1)(1)n n n n n -<<+，取倒数得：2111(1)(1)n n n n n >>-+，裂项：21111111n n n n n ->>--+， 求和：222211111()()11nn nk k k k k k kk ===->>--+∑∑∑， 即： 2221111111 (2321)n n n ->+++>-+ 先放缩，裂项求和，再放缩. 7、若x R ∈，求y =；7、解：y ==-设：1(,22m x =+，1(,22n x =- ，则：m =，n = (1,0)m n -=代入向量不等式：m n m n -<- 得：1y m n m n =-≤-=，故：11y -≤≤.这回用绝对值不等式.8、求函数2cos y θθ=-的最大值和最小值 ；8、解：将函数稍作变形为：M N y == ，设点(,)M M M x y ，点(,)N N N x y ，则(2,0)M ，(cos ,sin )N θθ-，而点N 在单位圆上，y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直线N 点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围 就是：11y -≤≤ .故y 的最大值是1，最小值是-1.原本要计算一番，这用分析法，免计算了. 9、若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ 9、证明：由柯西不等式：()()()2111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++⋅+++++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 即：()()2111239a b c a b b c c a ⎛⎫++⋅++≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭即：()2229a b b c c a a b c ⎛⎫++≥ ⎪+++++⎝⎭柯西不等式.10、若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ；10、解：柯西不等式：()()()222222212222a b c a b c ⎡⎤+-+++≥-+⎣⎦； 即：()292522a b c ⨯≥-+，故：2215a b c -+≤； 所以：152215a b c -≤-+≤. 柯西不等式.11、若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值 ；11、解：设：(2,1,2)m =-- ，(,,)n x y z =， 则：22222(1)(2)9m =+-+-= ； 2222n a b c =++ ；22m n a b c ⋅=--；代入m n m n ≥⋅ 得：()()222292236a b c a b c ++≥--=； 即：2224a b c ++≥，故：最小值为4.向量不等式.12、若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 12、解：柯西不等式：()()()222222213421234a c a b c c ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥-+++-⎡⎤⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即：()22512a b c ⨯≥++-； 故：()525a b c -≤++-≤； 于是：()37a b c -≤++≤. 柯西不等式.13、若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，30ax by cz ++=，求：a b cx y z++++的值 ；13、解：本题满足：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++=++ 即柯西不等式中等号成立的条件. 故有：0a b cx y zλ===>，即：a x λ=，b y λ=，c z λ=. 则：2222222()a b c x y z λ++=++；即：22222222536a b c x y z λ++==++，即： 56λ= 故：56a b c a b c x y z x y z λ++=====++ . 柯西不等式中等号成立.14、求证：21153nk k =<∑ ；（这回比较紧）14、证明：222212222114411111124412121nn n n nk k k k k k k k k k k =====⎛⎫=+=+<+=+- ⎪--+⎝⎭∑∑∑∑∑ 1115121232133n ⎛⎫=+⨯-<+⨯= ⎪+⎝⎭注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.15、当2n ≥时，求证： 12(1)3nn <+< ；15、证明：① 由二项式定理得：1212011111111...12nnk n n n n n n k n k C C C C C n n n n n n =⎛⎫+=⋅=+⋅+⋅++⋅+⋅= ⎪⎝⎭>∑ ② 由二项式定理得：11111!11!1111!()!!()!nn n nkn k k k k k k n n C n n k n k n k n k n===⎛⎫+=+⋅=+⋅=+ ⎪--⎝⎭∑∑∑ 1121(1)(2)(1)111...111!!!nn nk k k n n n n k k n n n n k k ===---+⎡⎤=+⋅⋅⋅⋅⋅<+=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 22211111222213!(1)1nn nk k k k k k k k n ===⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪--⎝⎭∑∑∑本题①由二项式中，保留前两项进行放缩得到：1(1)2nn+>；本题②由二项式中，分子由从n 开始的k 个递减数连乘，分母由k 个n 连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：1(1)3nn+<.16、求证：113135135...(21)...224246246 (2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ； 16、证明：()()22221(21)(21)n n n n >-=-+，故：212221n nn n -<+；令：135(21)...246(2)n n S n -=⋅⋅⋅⋅， 246(2)...357(21)n n T n =⋅⋅⋅⋅+ ；则：n n S T <，即：2135(21)246(2)1......246(2)357(21)21n n nn n S S T n n n -<⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++ ；故：n S < ①由>< 即：<，故：代入①式得：n S <则：原式=1211...1nnn k k k S S S S ==+++=<=<∑∑本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差， 然后利用求和来消去中间部分，只剩两头. 17、求证：1)1...1)<++++< ； 17、证明：由<2>=；即：1121)nnk k ==>=∑ ① 由：()()()22222281811882n n n n ->--=-得：()281n ->==即：281n ->，即：2(21)2(21)1n n n n ++-->，即：21>，即：1>故：<，多项求和：)111n nk k==<=②由①②，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法.18、已知：0x>,求证：ln(1)1xx xx<+<+;18、证明：(1)构造函数：()ln(1)f x x x=-+，则：(0)0f=.当0x>时，函数的导数为：1'()101f xx=->+，即当0x>时，函数()f x为增函数. 即：()(0)0f x f>=；故：()ln(1)0f x x x=-+>，即：ln(1)x x+<.(2) 构造函数：()ln(1)1xg x xx=+-+，则：(0)0g=.当0x>时，其导数为：()()2211'()01111x xg xx x x x⎡⎤=--=>⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦.即当0x>时，函数()g x为增函数. 即：()(0)0g x g>=；故：()ln(1)01xg x xx=+->+，即：ln(1)1xxx<++.由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、已知：n N+∈，求证：11111...ln(1)1...2312xn n+++<+<++++；19、证明：先构造函数：1()f xx=，在函数图象上分别取三点A,B,C，即：1(,)A kk,1(1,)1B kk--,1(1,)1C kk++,我们来看一下这几个图形的面积关系：；即：1111()1k kkk dx f k dx xx +-⋅<⋅<⋅⎰⎰ ；即：11ln ()ln k kk k x f k x +-<< ；即：1ln(1)ln ln ln(1)k k k k k+-<<-- ；(1) 1ln(1)ln k k k +-<求和：11111(ln(1)ln )1...2n nk k k k k n ==+-<=+++∑∑； 即：11ln(1)1...2n n+<+++；(2) 1ln ln(1)k k k<--求和：；即：121111...ln(1)231n k n k n +==+++<++∑; 由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题.20、 已知：当2n ≥时，求证：2(1)nn n >- ； 20、 证明：当21r n ≤≤-时，1r n nC C n >=，即：r n C n > 由二项式定理得：11112(11)(1)n n n nnkk nnk k k C C n n n --====+=>>=-∑∑∑证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、 已知：n N +∈，求证：21111...23212n ++++>- ； 21、 证明：设：1111 (23)21n n S =++++-，则： 111111111111111()()()...(...)234567*********n n n n n n S --=++++++++++++-++-2233331111111111111()()()...(...)222222222222n n n n n >++++++++++++-11111111()()()...()1(1)2222222222n n n n n n =+++++-=+-=+->证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n 组，每组都大于12，这样放缩得证.22、设：...n S =++求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ；22、证明：由(1)122k k k k ++<<=+得：12k k <<+，求和得：11112nnnk k k k k ===⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭∑∑即：2(1)(1)(2)(1)22222n n n n n n n n n S ++++<<+=< 即：2(1)2(1)n n n S n +<<+.本题首先构建含有. 23、 已知：n N +∈，求证： 1111 (21231)n n n <+++<+++ . 23、 证明：设：111 (1231)n S n n n =++++++ ； 采用倒序相加得：111111112...131********n S n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；各括号内通分得：()()()()()()()()424242422...131********n n n n n S n n n n n n n n ++++=++++++++-++；即：()()()()()()()()1111(21)...131********n S n n n n n n n n n ⎡⎤=+++++⎢⎥++++-++⎣⎦ ①；由：()()()()222(1)(31)21212121n n n n n n n n n ++=+-++=+-<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()()()()222(2)(3)21(1)21(1)21121n n n n n n n n n +=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()()()()222(3)(31)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n +-=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；……()()()()()222(31)(1)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n n n n ++=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦共有：(31)(1)121n n n +-++=+项. 将上述不等式代入①式得：()()()()2222111(21)(21)...(21)121212121n n S n n n n n n ⎡⎤+>++++=+⋅=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦； 即：1n S > ② 另：1111112122 (2123111111)n n n S n n n n n n n n ++=+++<+++=<=++++++++； 即：2n S < ③ 由②和③，本题得证.本题中n S 有(21)n +项，将其放缩为同分母的分式是解题关键.附加题：若：2nn a =，求证：12311113 (234)n a a a na ++++<. 证明：2312311111111......23222322n n a a a na n ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭2334111111111 (22222)222222n n +⎛⎫⎛⎫<++++=++++ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭ 1332111111111321122222241122n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=+⋅<+⋅=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。