平面向量之 角平分线性质
探究角平分线所在的直线方程求解策略
ｋ ＝７
或
ｋ
＝
－
１ ７
( 舍) .
故角
Ａ
的平分线
ＡＴ
所
在的直线方程为 ｙ － ４ ＝ ７ ( ｘ － ３ )即 ７ｘ － ｙ － １７ ＝ ０.
(法 ２)由角平分线的“对称性” 进一步可以知道三角
形内角的一边上的任意一点与其关于这个角平分线所在
直线的对称点的连线中点必在这个角平分线所在的直线
上. 设角 Ａ 的 平 分 线 ＡＴ 所 在 的 直 线 方 程 为 ｙ － ４ ＝
－
２) ꎬ易求得边
ＡＢ
＝
５ꎬ
ＡＣ
＝ １０ꎬ所以有ＣＴＢＴ
＝
ＡＣ ＡＢ
＝
１０ ５
＝ ２ꎬ
收稿日期:２０１８ － １２ － ０５ 作者简介:姚舜予(２００１. ４ － ) ꎬ男ꎬ江苏省南京人ꎬ在校学生.
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则 得 Ｃ→Ｔ ＝ ２ Ｔ→Ｂ. 设 点 Ｔ 为 ( ｍꎬｎ )ꎬ 则 有 ( ｍ ＋ ５ꎬｎ ＋ ２ ) ＝
的简单几何性质ꎬ直线的点斜式方程与一般方程ꎬ点到直
线的距离公式等基础知识ꎻ考查解析几何的基本思想、综
合运算能力.
答案结果:(１)
ｘ２ １６
＋
ｙ２ １２
＝ １ꎻ(２)
２ｘ
－
ｙ
－１
＝
平面向量知识点归纳
平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)
微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB=PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.34.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.15.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或357.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30° B.45° C.60° D.90°11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.7212.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO =λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.3513.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心 C.外心，垂心 D.外心，内心二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =016.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =017.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78 B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =1418.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-420.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC=0 B.AG ⋅BC =-73C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC三、填空题公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA =1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB =___________．24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN=2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.26.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0，则∠A =___________．27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．28.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC=___________公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC，由已知得BC=a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，ACAC为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +ACAC，即AP =λAB AB +ACAC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B【解析】因为IB =IA+AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB+cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +cAC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC =-bca +b +c AB c +AC b=-bca +b +c AB AB +AC AC，所以IA在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A【解析】PA =PB=PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB|⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA+OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA2，得BH ⋅HC=CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB+6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC=0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC.故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB2=12AB 2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC=0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF=13λAE +13μAF，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB ABcos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C ACcos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +ACACcos C 与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公∴AB AB cos B +ACACcos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB+12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心D.垂心【答案】C公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA=2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC=35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×ADAO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC=36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC=0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO=13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公故选：C .11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab=22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公故选:C12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB =OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC )，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，公众号 数学有得聊得聊数学有得聊公众号 数学有得聊学有得聊公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公众号公众号 数学有得聊公众号 数学有得聊公。
2022-2023学年高一数学人教A版教案：解三角形中角平分线中线内切外接圆问题
第15讲 解三角形中角平分线中线内切外接圆问题【考点分析】考点一：角平分线相关的定理遇到角平分线问题一般有两种思路： 思路一：角平分线定理：CDBDAC AB =思路二：等面积法：ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+ 考点二：有关三角形中线问题 遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法：延长中线，构造平行四边形思路二：利用平面向量：上图中若D 为BC 的中点，则()AC AB AD +=21，两边平方即得 考点三：有关三角形外接圆内切圆问题三角形外接圆：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为三角形内切圆的半径） 三角形面积和内切圆半径的关系：()r c b a S ABC ⋅++=∆21（其中r 为三角形内切圆的半径）【题型目录】题型一：角平分线相关的定理及应用 题型二：有关三角形中线问题题型三：有关外接圆，内切圆问题（正弦定理，等面积法）【典型例题】题型一：角平分线相关的定理及应用【例1】（多选题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D 且3BD = ） A ．111a c+= B ．b 的最小值是2C ．3a c +的最小值是43D ．ABC 3【答案】ABDABCS=由余弦定理)2c+-【例2】在ABC中，内角A的平分线与边BC交于点D且sin2sinB C=，1AB=，若ABC的面积S⎤∈⎥⎣⎦，则AD的取值范围是（）A．23⎤⎥⎣⎦B．⎣C．⎣⎦D．23⎡⎢⎣⎦【详解】sin2sinB=ABD ACDS S+=△△即11sin22AAD⨯⨯+即3sin2sin 4sin cos 222A A A AD A ==，解得4cos 32A AD =， 又因为1312sin sin ,122ABC S A A ⎡⎤=⨯⨯=∈⎢⎥⎣⎦△，所以60120A ︒≤≤︒，即30602A ︒≤≤︒，13cos 222A ∴≤≤， 4223cos [,]3233A AD ∴=∈，故选：D【例3】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 【详解】（1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =． 由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，222234cos 222AD BD AB x ADB AD BD +--∠==⋅，222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅， ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，∴223342222x x --=-，解得1x =，即1AC =．【例4】在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为 ．解析：由题意知ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，所以111sin sin sin 222ac B cBD ABD aBD CBD ∴=∠+∠，即1311111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯即32ac c a ∴=+，所以123a c ∴=+，所以()()1123438322222443333a c a c a c a c c a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题型专练】1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且=1BD ，则,a c 满足的方程关系为__________；4a c +的最小值为_______. 【答案】 a ＋c ＝ac 9 【分析】空1：根据面积关系ABCABDCBDS SS=+，结合三角形面积公式化简整理即可；空2：由a c ac +=可得111a c+=，利用“乘1法”结合基本不等式运算求解. 【详解】空1：∵ABCABDCBDS SS=+，则111sin sin sin 222ac ABC c BD ABD a BD CBD ∠=⨯∠+⨯∠即13131311222222ac c a ⨯=⨯⨯+⨯⨯，整理得a c ac += 空2：∵a c ac +=，则111a c+=()1144445259c a c a a c a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当4c a a c =时等号成立∴4a c +的是小值为9 故答案为：a c ac +=；9.【点睛】利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.2.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23BAC π∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1AD =，则b c +的最小值为 ．解析：ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，所以111sin sin sin 222bc A cAD BAD bAD CAD ∴=∠+∠，即11111222bc c b ∴=⨯+⨯bc b c =+，所以111b c ∴=+，所以()111124b c b c b c b c c b ⎛⎫+=++=+++≥= ⎪⎝⎭3．在平面四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，CD =120ABC ∠=︒，90ADC ∠=︒. (1)证明：AC 平分BAD ∠； (2)求ABD △的面积. 在ABC 中，由余弦定理及已知，得22AC AB =+Rt ADC 中，所以c os CAD ∠在ABC 中，由余弦定理得所以cos BAC ∠所以cos CAD ∠2）由（1）知，Rt ADC 中，sin DAB ∠=ABD △的面积为12ABDSAB =⨯所以ABD △的面积为4.△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠ ；（Ⅱ）若60BAC ∠=,求B ∠. 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠= 所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠, 所以3tan ,30.3B B ∠=∠=题型二：有关三角形中线问题 遇到角平分线问题一般有两种思路： 思路一：中线倍长法 思路二：利用平面向量【例1】在ABC 中，22AB =，6AC =，BC 边上的中线5AD =，则ABC 面积S 为（ ） A ．134B ．34C ．392D ．53【答案】C【分析】作出辅助线，利用余弦定理求出∠ACE 的余弦值，进而求出正弦值，利用面积公式求出答案. 【详解】延长AD 到点E 使DE =AD ，连接CE ，则因为BC 边上的中线5AD =，ABC 面积等于在三角形cos ACE ∠则sin ACE ∠所以111339sin 6222242ABC ACESSAC CE ACE 故选：C【例2】ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()223a b c ab +=+． (1)求角C 的大小；(2)若3a =，7c =，D 为AB 边上的中点，求CD 的长．【例3】锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan .cos aB C c B=+ (1)求角C 的大小；(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围． 【答案】(1)4π(2).【解析】 【分析】（1）结合同角三角函数基本关系以及正弦定理化简求解tan 1C =，因为()0C ，π∈，所以4C π；（2）由余弦定理与正弦定理()21414CD ==+=+，然后结合三角函数性质求解其取值范围即可. (1) 因为tan tan cos a B C c B =+，所以sin sin sin sin cos cos cos A B CC B B C=+， 即()sin sin sin cos sin cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos B C A B C C B AC B B C B C B C++===， 又因()0A B π∈，，，所以sin 0A ≠， 又由题意可知cos 0B ≠，所以tan 1C =，因为()0C ，π∈，所以4C π.(2)由余弦定理可得222222cos 4c a b ab C a b =+-=+=， 又()12CD CA CB =+， 则()222211()244CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅()()22114144a b =++=+=，由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C===a A =，32cos 2sin 4b B A A A π⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，所以21cos2cos 2Aab A A A A -=+=+4sin 24A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭023042A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得42A ππ<<，则32444A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 所以2sin 2142A π⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，，所以(42422ab ⎤∈+⎦，， 所以(25322CD ⎤∈+⎦，，所以中线CD 长的取值范围为(512.⎤+⎦，【题型专练】1.在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+ ， （1）求角B 的值；（2）若2c = ，AC 边上的中线32BD =， 求ABC ∆的面积. 【详解】 （1）cos cos sin 00cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C+=⇔+=++, ()cos 2sin sin sin cos 0B A C B C ⇒++= 2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=()2sin cos sin 0A B B C ⇒++=.()1sin 2cos 10,sin 0,cos 2A B A B ⇒+=≠∴=-.所以23B π=,（2）解法一：中线倍长法：延长BD 到E ，使BD=DE ，易知四边形AECD 为平行四边形， 在BEC ∆ 中，EC=2，3,因为23ABC π∠=，所以3BCE π∠= ，由余弦定理 2222cos BE EC BC EC BC BCE =+-⋅⋅∠ ，即223222cos3a a π=+-⋅⋅，2210a a -+=，解得1a = ，所以1133sin 1222ABC S ac B ∆==⋅⋅=解法二：BC BA BD +=，所以()22BC BA BD +=B BC BA BC BA BD 2+=即︒++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 223222ac a c ，即⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯++=21424432a a ，2210a a -+=，解得1a = ，所以11sin 1222ABC S ac B ∆==⋅⋅=2.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22222sin 2sin sin 2sin sin cos cos2A B C B C C C ---=-.(1)求角A ；(2)若AD 是ABC 的中线，且2AD =，求b c +的最大值. 【答案】(1)2π3(2)8 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解；（2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积极及基本不等式即可求解. (1)由22222sin 2sin sin 2sin sin cos cos2A B C B C C C ---=-及二倍角的余弦公式，得()2222222sin 2sin sin 2sin sin cos cos sin A B C B C C C C ---=--，即22222sin 2sin sin 2sin sin sin A B C B C C ---=，于是有，222sin sin sin sin sin B C A B C +-=-及正弦定理，得222b c a bc +-=-，由余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-， 2π0π,=3A A <<∴. (2)因为AD 是ABC 的中线，所以()12AD AB AC =+，两边平方，得 ()222124AD AB AB AC AC =+⋅+,由（1）知，2π=3A ，2AD =，所以22212π22cos43c c b b ⎛⎫=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭， 所以()()()2222221163324b c c bc b b c bc b c b c +⎛⎫=-+=+-≥+-⨯=+ ⎪⎝⎭即()264b c +≤，所以8b c +≤， 当且仅当4b c ==时，等号成立， 所以b c +的最大值为8.题型三：有关外接圆，内切圆问题（正弦定理，等面积法）【例1】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，()21b c bc -=-，则ABC 外接圆的面积是（ ） A ．π3B ．4π3C ．2πD ．4π【详解】1a =，∴222b c a bc +-设ABC 外接圆半径为ABC ∴外接圆的面积故选：A.【例2】在ABC 中, 角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c )cos c b A a -=，b =ABC 的外接圆面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．8π D ．9π则ABC 的外接圆面积29s R ππ==. 故选：D【例3】在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c A 为锐角，若2sin a B =，且ABCb c S +==则（ ） A ．4a =B ．a =C ．ABC 的外接圆的半径为4D ．ABC 的外接圆的半径为再由正弦定理求出ABC 的外接圆的半径，从而判断2sin a B =2sin sin A B =sin 2A = ABCS=sin bc A 16=，【例4】已知ABC 中，=3AB ，5=AC ，7BC =，O 为ABC 外接圆的圆心，I 为ABC 内切圆的圆心，则下列叙述错误的是（ ） A．ABC B ．ABC C ．8AO BC ⋅= D ．2AI BC ⋅=，由()A AC AB AO BC O -⋅=⋅可求出；对，由()A AC AB AI BC I -⋅=⋅可求出【详解】在ABC 中，22235712co 2s 35A +-==-⨯⨯，所以， 设ABC 外接圆半径为R ，则72sin 32BC R A ===733=，故A 正确； 设ABC 内切圆半径为ABCS=因为3cos 1433BAO ∠=所以()A AO BC AO AO A C AB A OC AB --⋅=⋅=⋅⋅3537333538314314⨯⨯-⨯⨯=，故C 正确；设内切圆与三角形分别切于,,D E F ，则设=A =,AE F x CE =5y 22所以()AI BC AI AC AB AI AC AI AB ⋅=⋅-=⋅-⋅1=⨯故选：D.【例5】在中，，，，则A. B.C. 外接圆直径是D. 内切圆半径是【答案】【解答】解：，，又，，由余弦定理，，，故A正确；且为三角形内角，，所以的面积为，故B错误；根据正弦定理其中表示外接圆的半径得：，即外接圆的直径为，故C正确；如图，设内切圆圆心为，半径为，连接，，，因为内切圆与边，，相切，故设切点分别为，，，连接，，，可知：，且，，，根据题意：，利用等面积可得：，即：， ，故D 正确．故选ACD ．【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 5A =，π4B =，且ABC 的外接圆面积为25π，则ABC 的面积为（ ） A ．24 B ．25C ．27D ．28【答案】D【分析】根ABC 的外接圆面积为25π可得ABC 的外接圆半径5R =，再根据()sin sin C A B =+，结合正弦定理化简可得cos cos 72c a B b A =+=，再根据面积公式求解即可.【详解】易知ABC 的外接圆半径5R =.由3cos 5A =可得234sin 155A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2sin 8a R A ==，2sin 52b R B ==，由()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，结合正弦定理可得cos cos 72c a B b A =+=，所以112sin 87228222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△. 故选：D2．设ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，()2cos cos 3B C A -+=，且3bc =，则ABC 的外接圆的周长为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．2π3【答案】B【分析】根据三角形内角和和两角和与差的余弦公式化简题中的等量关系，根据bc 的乘积正弦定理求解三角形的外接圆的半径，从而得到三角形外接圆的周长. 【详解】由()2cos cos 3B C A -+=得()()2cos cos 3B C B C --+=, 即2cos cos sin sin cos cos sin sin 3B C B C B C B C +-+=，所以1sin sin 3B C =，又因为3bc =，结合正弦定理2sin sin b cR B C==（其中R 为△ABC 的外接圆的半径）得 2244sin sin 33bc R B C R ===， 解得32R =， 则△ABC 的外接圆的周长为2π3πR =. 故选：B.3.三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为和，则A. 三角形另一边长为B. 三角形的周长为C. 三角形内切圆面积为D. 三角形外接圆周长为【答案】【解答】解：因为三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为和， A .由余弦定理得：三角形另一边长为，故A 错误；B .三角形的周长为，故B 正确；C .设三角形内切圆的半径为，由面积法得到：，解得，所以内切圆的面积为，故C 正确；D .设三角形外接圆的半径为，则由正弦定理得到，解得，所以三角形外接圆周长为，故D 错误．故选BC ．4．在ABC 中，2cos 2,3B AC AB m ===，则下列结论正确的是（ ） A ．ABC 外接圆的面积为9π B ．若33m =60C =︒ C ．ABC 的面积有最大值322+D ．当02m <≤时，ABC 有一解【答案】AC【分析】由正弦定理可判断AB ，由余弦定理和基本不等式可判断C ，由方程2242403ac c a -+-=的解的情况可判断D. 【详解】由cos 223B =可知1sin 3B =，由正弦定理得：221sin 3b RB ==，所以3R =，所以ABC 外接圆的面积29S R ππ==，A 正确； 若33m =，由正弦定理得：sin sin AC mB C=， 解得：3sin 2C =，所以60C =︒或120︒（均符合题意），B 错误； 由22222cos 22a c b ac b B ac ac +--=≥得222432ac ac-≥， 解得：6(322)ac ≤+，当且仅当623a c ==+时取等号， 所以111sin 6(322)322223ABCSac B =≤⨯+⨯=+，C 正确； 222224cos 22a c b a c B ac ac +-+-==得2242403ac c a -+-=，222424(36)()4(4)39a a a -∆=---=， 此方程有唯一正解等价于Δ0=或2Δ040a >⎧⎨-≤⎩，又0a >，解得：02a <≤或6a =，D 错误. 故选：AC5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若22a =6b ，1cos 3A =，则（ ）A ．ABC 外接圆的半径为32B ．ABC 外接圆的半径为3C ．c =D ．c =设ABC 外接圆的半径为，所以ABC 外接圆的半径为，所以cos )，所以cos . 6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .其面积为S ，周长为L .若sin sin 2A Ba c A +=，且2c =，则（ ） A ．6C π=B ．SC ．ABCD ．L 的最小值为6再利用正弦定理可求出ABC 的外接圆利用正弦定理结果三角函数恒等变换公式可求出设ABC 的外接圆半径为22sin3Rπ=，得由余弦定理得当且仅当a =7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且=4a ，3c b =． (1)若1cos 6A =，求ABC 的周长； (2)若ABC 内切圆、外接圆的半径分别为r ，R ，求r R ⋅的取值范围． (1)ABC 的周长为，由此求ABC 的周长；，根据内切圆的性质及三角形面积公式可得r ==4，3c b =，所以ABC 的周长为； A ，设ABC 的面积为1sin 2bc A =，，3c b =，所以r。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示2.下列关于向量的命题，正确的是（）A．零向量是长度为零，且没有方向的向量B．若=﹣2（a≠0），则是的相反向量C．若=﹣2，则||=2||D．在同一平面上，单位向量有且仅有一个【答案】C【解析】A中，零向量的长度为零，方向是任意的，∴命题错误；B中，相反向量是模长相等，方向相反的向量，∴命题错误；C中，当=﹣2时，||=2||，∴命题正确；D中，单位向量是模长为1的向量，在同一平面上，单位向量有无数个，∴命题错误；故选：C．3.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【答案】C【解析】∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）•（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C4.向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ、μ∈R)，则＝________．【答案】4【解析】以向量a、b的交点为原点作直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb＝λ(－1，1)＋μ(6，2)则＝4.5.已知和点满足．若存在实数使得成立，则=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】试题分析:，因此k=3．故选B．.【考点】向量的加法及其几何意义.6.已知，，则向量与的夹角为 .【答案】【解析】∵，，∴，即，∴，∴.【考点】1.向量的运算；2.向量的夹角.7.在中，已知，则||的值为（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】由可知为以,设AB中点为D，可知,由，,可得,故选B.【考点】1.向量的加减运算；2.向量的数量积；3.向量的模8.已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足＝2，则·＝．【答案】【解析】,于是.【考点】平面向量基本运算.9.中，为角平分线，为的中点，交于，若，且，，用、表示，，【答案】，，【解析】根据角平分线的性质可知,从而可得，再利用,，再确定时，可以利用,,从而表示出解：由角平分线定理得,，解得，10.设的斜边中点，若,则的值是A．1B．2C．-1D．-2【答案】D【解析】解：因为设的斜边中点，若,则,选D11.如图在平行四边形中，已知，，，E为的中点，则A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为在平行四边形中，已知，，，E为的中点，则12.若O是∆ABC所在平面上任一点,且满足:,则动点P的轨迹必经过∆ABC的A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【解析】，AD是BC边中线，故动点P的轨迹必经过∆ABC的重心。
平面向量的概念重难点解析版
突破6.1 平面向量的概念一、学情分析二、学法指导与考点梳理考点一 向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线 相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0考点二 向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则 (1)交换律： a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b＋c)减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa)＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb考点三 经典结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0； (2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念例1．(1)．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．若a b =，则a b =± B ．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】B【解析】【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】=仅表示a与b的大小相等，但是方向不确定，A：a b故a b=±未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.(2)．（2019·西藏·林芝一中高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,==，则a ca b b c=D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【解析】【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量//AB CD就是AB所在的直线与CD所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若,==，则a ca b b c=，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.【变式训练1-1】、（2021·江苏·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．若0a=a=，则||0B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的【答案】B【解析】【分析】由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误.【详解】A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确；故选：B【变式训练1-2】、（2020·全国·高二课时练习）下列命题中假命题是（）A．向量AB与BA的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】【分析】利用相反向量的概念可判断A选项的正误；利用相等向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量的定义可判断C选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，AB与BA互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确；对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确；对于C选项，只有零向量的模等于0，C选项正确；对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.重难点题型突破2 平面向量的简单线性运算例2、(1)．（2022·辽宁辽阳·高一期末）在ABC中，D为AC的中点，E为BC上靠近B点的三等分点，则DE （）A ．2736AB AC +B ．2136AB AC -C ．1766AB AC -+D ．1166AB AC --【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为AB 和AC 即可． 【详解】()121221232336DE DC CE AC CB AC CA AB AB AC =+=+=++=-. 故选：B(2)．（多选题）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）A ．,AB CD =BC AD = B ．AD OD AO += C ．AO OD AC CD +=+ D ．AB BC CD DA ++=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则、四边形法则，逐一分析选项即可. 【详解】对于A ：在四边形ABCD 中，AB DC =，故A 错误； 对于B ：AO OD AD +=，故B 错误；对于C ：AO OD AD +=，AC CD AD +=，故C 正确； 对于D ：AB BC CD AD ++=，故D 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查向量的线性运算，需牢记向量的三角形法则与四边形法则，属基础题.【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，图中与CA 共线的向量有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据图像，直接判断即可. 【详解】由图可知，根据正六边形的性质， 与CA 共线的有AC ，DF ，FD ，共3个， 故选：C.【变式训练2-2】、（多选题）已知M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++=C ．2133BM BA CD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【解析】 【分析】作出示意图，由点M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，得到,E F 是,AC AB 的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，因为点M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，可得,E F 是,AC AB 的中点，由1111()2222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以A 正确；由D 为BC 的中点，根据向量的平行四边形法则，可得2MB MC MD +=，又由M 是ABC 的重心，根据重心的性质，可得2MA MD =，所以20+=MA MD ， 即0MA MB MC ++=，所以B 正确； 根据三角形重心的性质，可得221()332BM BE BA BC ==⨯+112(2)333BA CD BA CD =-=-，所以C 不正确；由重心的性质，可得221112()(2)332333CM CF CA CB CA CD CA CD ==⨯+=+=+，所以D正确.故选：ABD.重难点题型突破3 平面向量共线定理的应用例3．(1)．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与BC相等的向量为（）A．BA B．CD C．AD D．OD【答案】D【解析】【分析】方向相同，模长相等的向量为相等向量.【详解】AB选项均与BC方向不同，C选项与BC模长不等，D选项与BC方向相同，长度相等.故选：D(2)．（多选题）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（）A．AB＝EFB．AB与FH共线C．BD与EH共线D．CD＝FG【答案】ABD【解析】【分析】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误. 【详解】由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知：AB EF =，即A 正确； 由图形可知：AB 与FH 的方向相反，CD 与FG 方向相同且长度相同即CD ＝FG ， 故B 、D 正确；而BD 与EH 不一定共线，故C 不一定正确. 故选：ABD.【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AC 与CB B ．OB 与ODC ．AC 与BD D ．AO 与OC【答案】D 【解析】 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 【详解】因为AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ，BD 互相平分。
用向量解决解析几何中角的有关问题.
用向量解决解析几何中“角”的有关问题同济二附中 钱嵘向量（vector ）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。
希腊的亚里士多德（前384-前322）已经知道力可以表示成向量，德国的斯提文（1548?-1620?）在静力学问题上，应用了平行四边形法则。
伽利略（1564-1642）清楚地叙述了这个定律。
稍后丹麦的未塞尔（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示，德国高斯（1777-1855）建立了复平面的概念，从而向量就与复数建立了一一对应，这不但为虚数的现实化提供了可能，也可以用复数运算来研究向量。
向量是高中数学新教材与高中数学课程标准中新增内容，向量的应用是一种新的思想方法,由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，容易激发并凝注学生的参与，探索新的解题途径，展示各自的思维能力和创新意识。
向量具有代数与几何形式的双重身份，它可以作为新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与解析几何或三角的交汇是当今高考命题的必然趋势.本文主要从“角”的角度关注了一些近年来与向量相关的高考题，浅析了一些命题趋势，希望为向量教学或复习带来一些帮助。
一．用来证明直线间的垂直关系例题1. （2004湖南文）如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A ，B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-；解：依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、22(,),x y12,x x 则是方程①的两根.所以 .421m x x -=由点P （0，m ）分有向线段所成的比为λ， 得.,012121x xx x -==++λλλ即又点Q 是点P 关于原点的对称点，故点Q 的坐标是（0，－m ），从而)2,0(m =.1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-=+-+1212(,(1)).x x y y m λλλ=--+-])1([2)(21m y y m λλλ-+-=-⋅221212122212144)(2])1(44[2x m x x x x m n x x x x x x m +⋅+=++⋅+=.0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m 所以 ).(λ-⊥二、用来求直线间的夹角例题2. （2004年全国卷Ⅱ第21题）给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
2.3平面向量基本定理
当向量的始点在坐标原点时， 向量的坐标就是向量终点的坐标．
[思考尝试· 夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0；与 y 轴平行的向量的横坐 标为 0.( √ )
(2)两个向量的终点不同， 则这两个向量的坐标一定不同． (× ) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( √ )
练习：P53步步高，例 2，跟踪训练3 例题讲解：P53 跟踪训练1.
练习：P54 当堂检测3，5
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
[知识提炼· 梳理]
1．平面向量共线的条件 向量 a(a≠0)与 b 共线， 当且仅当有唯一一个 实数 λ，使 b＝λ_a．
2.平面向量共线的坐标表示： 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a，b 共 线⇔x1y2－x2y1＝0．
[常规解答] 设 AC，BD 交于点 O， 1→ 1 → → 1→ 1 → → 则有AO＝OC＝ AC＝ a，BO＝OD＝ BD＝ b. 2 2 2 2 1 1 → → → → → 所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝ a－ b， 2 2 1 1 → → → BC＝BO＋OC＝ a＋ b. 2 2
练习：步步高P51例3，跟踪训练3
2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
[知识提炼· 梳理] 1．平面向量基本定理
条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底
→ ＝－OC → ，故 O 为 CM 的中点， 所以OM 1 1 1 所以 S△AOC＝ S△CAM＝ S△ABC＝ ×4＝1. 2 4 4
平面向量与四心(向量与三角形内心、外心、重心、垂心),含答案,上课直接用
补充：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）证明：⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.（2）证明：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.*（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：b AC c AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴bACc AB +平分BAC ∠,(λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．3C ．23D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21B ．0C ．1D ．21-3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 9.在△ABC 中，已知向量21||||0||||(==⋅+AC ACAB ABBC AC AC AB AB AC AB 满足与，则△ABC 为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 10. 在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为 .补充：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇答案一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量方法总结(带例题)【大全】
平面向量应试技巧总结一。
向量有关概念:1。
向量得概念：既有大小又有方向得量，注意向量与数量得区别。
向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段，为什么?(向量可以平移)。
如:已知A（１,2),B(4,2)，则把向量按向量＝（－1,3)平移后得到得向量就是＿___＿（答:(３，0））2.零向量：长度为0得向量叫零向量，记作：,注意零向量得方向就是任意得;3。
单位向量：长度为一个单位长度得向量叫做单位向量(与共线得单位向量就是）；4.相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;５.平行向量(也叫共线向量）：方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量与任何向量平行.提醒：①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!（因为有);④三点共线共线;6。
相反向量：长度相等方向相反得向量叫做相反向量。
得相反向量就是-.如下列命题:（１)若,则．(２）两个向量相等得充要条件就是它们得起点相同，终点相同。
（３）若,则就是平行四边形。
(４)若就是平行四边形,则。
(５)若,则。
(6)若，则。
其中正确得就是＿____＿_(答：(4）(5)) 二。
向量得表示方法:1.几何表示法：用带箭头得有向线段表示,如，注意起点在前，终点在后；2。
符号表示法:用一个小写得英文字母来表示，如,，等;3。
坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同得两个单位向量,为基底,则平面内得任一向量可表示为，称为向量得坐标，=叫做向量得坐标表示.如果向量得起点在原点,那么向量得坐标与向量得终点坐标相同。
三.平面向量得基本定理:如果e1与ｅ2就是同一平面内得两个不共线向量，那么对该平面内得任一向量a,有且只有一对实数、，使a=e1+e2。
如(1）若,则_____＿(答:）;(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底得就是Ａ、B、C、D、(答：B）;(3）已知分别就是得边上得中线,且，则可用向量表示为＿__＿_(答:)；(4)已知中，点在边上,且,，则得值就是_＿_(答：0）四.实数与向量得积:实数与向量得积就是一个向量，记作，它得长度与方向规定如下：当〉0时,得方向与得方向相同，当<0时,得方向与得方向相反,当=０时，,注意：≠0。
专题02 平面向量解析三角形的“四心”高一数学下学期同步讲义(人教A版2019必修第二册)
专题02 平面向量解析三角形的“四心”一．“四心”的概念介绍及平面向量表示1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1.⇔=++O 是ABC ∆的重心.2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是ABC ∆的内心.O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．==⇔O 为ABC ∆的外心.二．考点讲解 考点一：三角形的重心例1：在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =______. 【答案】2133a b 【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-， 所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.例2：若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【分析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+= 取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.考点二：三角形的垂心例3：已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得0AP BC ⋅=从而得到结论． 【详解】()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥(1t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心， 故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题． 考点三：三角形的内心例4：O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【分析】先根据||ABAB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC→方向上的单位向量，确定||||A A B A A C C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 考点四：三角形的外心例5：在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.三．课后作业1．在ABC ∆中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.2．已知点O 是ABC ∆所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB c OC →→→→++=，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE →→，作AF AD AE →→→=+，则AF 平分BAC ∠，用,,OA AB AC →→→表示出,OB OC →→代入条件式，用,AB AC →→表示出AO→，则可证明A ，F ，O 三点共线，即AO 平分BAC ∠．【详解】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c →→=，AC AE b →→=，则||||1AD AE →→==．以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bc AO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3．点M ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC ∆的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 4．（多选）已知M 为ABC ∆的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【答案】BC【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误； 对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确； 对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.5．ABC ∆中，3AB =，6AC =，G 为ABC ∆的重心，O 为ABC ∆的外心，则AO AG ⋅=______． 【答案】152【分析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值. 【详解】解：因为G 为ABC 的重心，O 为ABC 的外心，所以212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅221166AB AC =+93615662=+=， 即152AO AG ⋅=. 故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 6．已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()()122123OP OD OC R λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）. 【答案】重心【分析】根据已知条件判断,,P C D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心. 【详解】∵点P 满足()()()122123OP OD OC λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦R ，且()()112212133λλ-++=， ∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题. 7．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝ ，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝ 即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OGOP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝ ，再根据G 是OAB 的重心知：()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝ ，最后根据OA OB 、 不共线得到关于x y λ，， 的方程组即可求解 【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，△G 是△OAB 的重心，△＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，△由①②，得解得△＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．。
平面向量的角平分线定理和线段比例定理
平面向量的角平分线定理和线段比例定理在平面向量的研究中，角平分线定理和线段比例定理是两个重要的定理。
它们在解决几何问题和计算向量时起着关键的作用。
本文将详细介绍这两个定理，并讨论其应用。
一、角平分线定理角平分线定理是研究平面向量时常用的定理之一。
它给出了平面上三个向量之间的关系。
设有三个非零向量a、b、c，且满足以下条件：向量c的起点与向量a和向量b的起点相同，且向量c的终点与向量a 和向量b的终点相连时，向量c将平面一分为二，并且角∠bca的角度等于角∠acb的角度。
根据角平分线定理，我们可以推导出以下结论：结论1：如果向量a与向量b的方向相同或相反，那么向量c与向量a和向量b的夹角为0度或180度，即向量c与向量a和向量b平行或共线。
结论2：如果向量a与向量b的方向垂直，则向量c与向量a和向量b的夹角为90度，即向量c与向量a和向量b垂直。
结论3：如果向量a与向量b的夹角为θ，则向量c与向量a和向量b的夹角为θ/2。
利用角平分线定理，我们可以解决一些几何问题，如证明三角形的角平分线相交于一点。
同时，在计算向量的过程中，角平分线定理也为我们提供了便利。
二、线段比例定理线段比例定理是另一个在平面向量研究中常用的定理。
它描述了一条线段被一点分割成两部分的比例关系。
假设有两个向量a和b，并且有一点P在向量a上，将向量a分成了两部分AP和PB。
根据线段比例定理，我们可以得出以下结论：结论1：如果点P在向量a上，那么向量a和向量b的比值等于线段AP和线段PB的比值。
即AP/PB = ||a||/||b||，其中||a||代表向量a的模，||b||代表向量b的模。
结论2：如果点P在向量b上，那么向量a和向量b的比值等于线段PA和线段PB的比值。
即PA/PB = ||a||/||b||。
线段比例定理可以应用于许多问题中，比如证明三角形的重心为三条中线的交点，计算向量的模等等。
综上所述，平面向量的角平分线定理和线段比例定理是解决几何问题和计算向量的有力工具。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =，则a b =.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =. （5）若a b =，b c =，则a c =.（6）若//a b ，//b c 则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y =叫做向量a 的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c = . 结果：1322a b -. （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e =D.1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则A B B C ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____. （4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例 5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠； （2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小.结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b A B B C A C +=+=；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2； （5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为 .结果：120.2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--. 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1). （2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ . 结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+；④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系 （1）P 内分线段12P P ，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>； （2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13M P M N =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a =. 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x xh y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=. 说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数s i n 2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+； （3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式 在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G++=⇔为△ABC 的重心.（2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||ABAC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心. 6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得P A P B P C αβ=+且1αβ+=． 举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
常考问题平面向量的线性运算及综合应用
常考问题平面向量的线性运算及综合应用部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑常考问题8平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟] 1．(2018·辽宁卷>已知点A(1,3>，B(4，－1>，则与向量A错误!同方向的单位向量为( >．b5E2RGbCAPA.错误!B.错误!p1EanqFDPwC.错误!D.错误!DXDiTa9E3d解读A错误!＝(4，－1>－(1,3>＝(3，－4>，∴与A错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!.RTCrpUDGiT答案A 2．(2018·福建卷>在四边形ABCD中，错误!＝(1,2>，错误!＝(－4,2>，则该四边形的面积为( >5PCzVD7HxAA.错误!B．2错误!C．5D．10解读因为错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!.jLBHrnAILg 故四边形ABCD的面积S＝错误!|错误!||错误!|＝错误!×错误!×2错误!＝5.xHAQX74J0X答案C 3．(2018·湖北卷>已知点A(－1,1>，B(1,2>，C(－2，－1>，D(3,4>，则向量错误!在错误!方向上的投影为( >LDAYtRyKfEA.错误!B.错误!C. －错误!D．－错误!解读错误!＝(2,1>，错误!＝(5,5>，所以错误!在错误!方向上的投Zzz6ZB2Ltk影为错误!＝错误!＝错误!＝错误!.dvzfvkwMI1答案A 4．(2018·新课标全国Ⅰ卷>已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t>b.若b·c＝0，则t＝________.rqyn14ZNXI 解读因为向量a，b为单位向量，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝错误!，由b·c＝0，得∴b·c＝ta·b＋(1－t>·b2＝错误!t＋(1－t>×12＝错误!t＋1－t＝1－错误!t＝0.∴t＝2.EmxvxOtOco答案2 5．(2018·山东卷>已知向量错误!与错误!的夹角为120°，且|错误!|＝3，|错误!|＝2.若A错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．SixE2yXPq5解读由错误!⊥错误!知错误!·错误!＝0，即错误!·错误!＝(λ错误!＋错误!>·(错误!－错误!>＝(λ－1>错误!·错误!－λA 错误!2＋错误!2＝(λ－1>×3×2×错误!－λ×9＋4＝0，解得λ＝错误!.6ewMyirQFL答案错误![考题分析]题型选择题、填空题难度低档考查平面向量的有关概念(如单位向量>、数量积的运算(求模与夹角等>．中档在平面几何中，求边长、夹角及数量积等．高档在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等.1．向量的概念(1>零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2>长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±错误!.(3>方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量>．(4>如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k>是直线l的一个方向向量．(5>|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．2．两非零向量平行、垂直的充要条件设a＝(x1，y1>，b＝(x2，y2>，(1>若a∥b⇔a＝λb(λ≠0>；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2>若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的性质(1>若a＝(x，y>，则|a|＝错误!＝错误!.(2>若A(x1，y1>，B(x2，y2>，则|A错误!|＝错误!.kavU42VRUs (3>若a＝(x1，y1>，b＝(x2，y2>，θ为a与b的夹角，则cosθ＝错误!＝错误!.y6v3ALoS89 4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量错误!＝错误!－错误!(其中O为我们所需要的任何一个点>，这个法则就是终点向量减去起点向量．M2ub6vSTnP 5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．0YujCfmUCw 6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.eUts8ZQVRd热点一平面向量的线性运算【例1】(2018·江苏卷>设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC.若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!(λ1，λ2为实数>，则λ1＋λ2的值为________．sQsAEJkW5T解读如图，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!>＝－错误!错误!＋错误!错误!，则λ1＝－错误!，λ2＝错误!，λ1＋λ2＝错误!.GMsIasNXkA答案错误![规律方法]在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1>题就是把向量错误!用TIrRGchYzg 错误!，错误!表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．7EqZcWLZNX【训练1】(2018·天津卷>在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若错误!·错误!＝1，则AB的长为________．lzq7IGf02E 解读在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!－错误!错误!，又错误!＝错误!＋错误!，zvpgeqJ1hk ∴错误!·错误!＝(错误!＋错误!>·(错误!－错误!错误!>＝错误!2－错误!错误!·错误!＋错误!·错误!－错误!错误!2＝|错误!|2＋错误!|错误!||错误!|·cos60°－错误!|错误!|2＝1＋错误!×错误!|错误!|－错误!|错误!|2＝1.NrpoJac3v1∴错误!|错误!|＝0，又|错误!|≠0，∴|错误!|＝错误!.1nowfTG4KI答案错误!热点二平面向量的数量积【例2】若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( >．A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!fjnFLDa5Zo 解读法一由已知|a＋b|＝|a－b|，两边平方，整理可得a·b＝0.①由已知|a＋b|＝2|a|，两边平方，整理可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②把①代入②，得b2＝3a2，即|b|＝错误!|a|.③而b·(a＋b>＝b·a＋b2＝b2，故cos〈b，a＋b〉＝错误!＝tfnNhnE6e5错误!＝错误!＝错误!.HbmVN777sL又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝错误!.法二如图，作O错误!＝a，O错误!＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则O错误!＝a＋b，B错误!＝a－b.V7l4jRB8Hs 由|a＋b|＝|a－b|，可知|O错误!|＝|B错误!|，所以平行四边形OACB是矩形．又|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，可得|O错误!|＝|B错误!|＝2|O错误!|，故在Rt△AOB中，|错误!|＝错误!83lcPA59W9＝错误!|O错误!|，故tan∠OBA＝错误!＝错误!，所以∠BOC＝∠OBA＝错误!.而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝错误!.mZkklkzaaP答案A [规律方法]求解向量的夹角，关键是正确求出两向量的数量积与模．本例中有两种解法，其一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解，其二构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．AVktR43bpw 【训练2】(2018·湖南卷>已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( >．ORjBnOwcEd A．[错误!－1，错误!＋1] B．[错误!－1，错误!＋2]2MiJTy0dTTC．[1，错误!＋1] D．[1，错误!＋2]解读由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0>，b＝(0,1>，又设c＝(x，y>，代入|c－a－b|＝1得(x－1>2＋(y－1>2＝1，又|c|＝错误!，故由几何性质得错误!－1≤|c|≤错误!＋1，即错误!－1≤|c|≤错误!＋1.答案A热点三平面向量与三角函数的综合【例3】已知向量m＝(sinx，－1>，n＝(cosx,3>．(1>当m∥n时，求错误!的值；(2>已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，错误!c＝2asin(A＋B>，函数f(x>＝(m＋n>·m，求f错误!的取值范围．gIiSpiue7A解(1>由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－错误!，∴错误!＝错误!＝错误!＝－错误!.uEh0U1Yfmh(2>在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B>＝sinC，由正弦定理，得错误!sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝错误!.又△ABC为锐角三角形，∴A＝错误!，于是错误!<B<错误!.∵f(x>＝(m＋n>·m＝(sinx＋cosx,2>·(sinx，－1>＝sin2x＋sinxcosx－2＝错误!＋错误!sin2x－2＝错误!sin错误!－错误!，IAg9qLsgBX ∴f错误!＝错误!sin错误!－错误!＝错误!sin2B－错误!.由错误!<B<错误!得错误!<2B<π，∴0<sin2B≤1，－错误!<错误!sin2B－错误!≤错误!－错误!，WwghWvVhPE即f(B＋错误!>∈错误!.asfpsfpi4k [规律方法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．ooeyYZTjj1【训练3】(2018·江苏卷>已知向量a＝(cosα，sinα>，b＝(cosβ，sinβ>，0<β<α<π.BkeGuInkxI(1>若|a－b|＝错误!，求证：a⊥b；(2>设c＝(0,1>，若a＋b＝c，求α，β的值．(1>证明由|a－b|＝错误!，即(cosα－cosβ>2＋(sinα－sinβ>2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.PgdO0sRlMo(2>解由已知条件得错误!3cdXwckm15 cosβ＝－cosα＝cos(π－α>，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sinα＋sin (π－α>＝1，即sinα＝错误!，故α＝错误!或α＝错误!.当α＝错误!时，β＝错误!(舍去>h8c52WOngM 当α＝错误!时，β＝错误!.审题示例(四> 突破有关平面向量问题的思维障碍图1解读法一设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图1所示，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(4,0>，B(0,4>，因为D为AB的中点，所以D(2,2>．因为P为CD的中点，所以P(1,1>．故|PC|2＝12＋12＝2，|PA|2＝(4－1>2＋(0－1>2＝10，|PB|2＝(0－1>2＋(4－1>2＝10，所以错误!＝错误!＝10.v4bdyGious图2法二如图2所示，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别作为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设|CA|＝a，|CB|＝b，则A(a,0>，B(0，b>，则D错误!，P错误!，J0bm4qMpJ9∴|PC|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，XVauA9grYP|PB|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，bR9C6TJscw|PA|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，pN9LBDdtrd 所以|PA|2＋|PB|2＝10错误!＝10|PC|2，DJ8T7nHuGT∴错误!＝10.法三如图3所示，取相互垂直的两个向量C错误!＝a，C错误!＝b 作为平面向量的基向量，显然a·b＝0.QF81D7bvUA图3则在△ABC中，B错误!＝a－b，因为D为AB的中点，所以C错误!＝错误!(a＋b>．4B7a9QFw9h 因为P为CD的中点，所以P错误!＝－错误!C错误!＝－错误!×错误!(a＋b>＝－错误!(a＋b>．在△CBP中，P错误!＝P错误!＋C 错误!＝－错误!(a＋b>＋b＝－错误!a＋错误!b，在△CAP中，P 错误!＝P错误!＋C错误!＝－错误!(a＋b>＋a＝错误!a－错误!b.所以|P错误!|2＝错误!2＝错误!(a2＋b2＋2a·b>＝错误!(|a|2＋|b|2>，|P错误!|2＝错误!2＝错误!a2＋错误!b2－错误!a·b＝错误!|a|2＋错误!|b|2，|P错误!|2＝错误!2＝错误!a2＋错误!b2－错误!a·b＝错误!|a|2＋错误!|b|2.故错误!＝错误!＝10.ix6iFA8xoX答案D 方法点评以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢地把握向量的这两个基本特征．wt6qbkCyDE [针对训练]在△ABC中，已知BC＝2，错误!·错误!＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是________．Kp5zH46zRk解读以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0>，C(1,0>．设A(x，y>，则错误!＝(－1－x，－y>，错误!＝(1－x，－y>，于是错误!·错误!＝(－1－x>(1－x>＋(－y>(－y>＝x2－1＋y2.Yl4HdOAA61由条件错误!·错误!＝1知x2＋y2＝2，ch4PJx4BlI这表明点A在以原点为圆心，错误!为半径的圆上．当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即S△ABC＝错误!×2×错误!＝错误!.(建议用时：60分钟>1．(2018·陕西卷>设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( >．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解读由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.qd3YfhxCzo答案C 2．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝错误!则|b|等于( >．E836L11DO5A．5B．4C．3D．1解读向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝错误!，则a·b＝|a||b|·cos120°＝－错误!|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去>或|b|＝4.答案B 3．(2018·辽宁一模>△ABC中D为BC边的中点，已知A错误!＝a，A错误!＝b则在下列向量中与A错误!同向的向量是( >．S42ehLvE3MA.错误!＋错误!B.错误!－错误!501nNvZFisC.错误!D．|b|a＋|a|b解读∵A错误!＝错误!(A错误!＋A错误!>＝错误!(a＋b>，jW1viftGw9∴向量错误!与向量A错误!是同向向量．xS0DOYWHLP答案C 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为( >．LOZMkIqI0wA．30°B．60°C．120°D．150°解读因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b>．所以|c|2＝(a＋b>2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3.所以|c|＝错误!.ZKZUQsUJed 又c·a＝－(a＋b>·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－错误!，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!＝－错误!.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.dGY2mcoKtT答案D5．(2018·安徽卷>在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|错误!|＝|错误!|＝错误!·错误!＝2，则点集{P|错误!＝λ错误!＋μ错误!，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( >．rCYbSWRLIA A．2错误!B．2错误!C．4错误!D．4错误!FyXjoFlMWh 解读由|错误!|＝|错误!|＝错误!·错误!＝2，知cos∠AOB＝错误!，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝错误!，又A，B是两定点，可设A(错误!，1>，B(0,2>，P(x，y>，由错误!＝λ错误!＋μ错误!，可得错误!⇒错误!TuWrUpPObX 因为|λ|＋|μ|≤1，所以错误!＋错误!≤1，当错误!7qWAq9jPqE 由可行域可得S0＝错误!×2×错误!＝错误!，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4错误!，故选D.llVIWTNQFk答案D 6．(2018·新课标全国Ⅱ卷>已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则错误!·错误!＝________.yhUQsDgRT1解读由题意知：错误!·错误!＝(错误!＋错误!>·(错误!－错误!>＝(错误!＋错误!错误!>·(错误!－错误!>＝错误!2－错误!错误!·错误!－错误!错误!2＝4－0－2＝2.MdUZYnKS8I答案2 7．(2018·江西卷>设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为错误!，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．09T7t6eTno 解读a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝错误!.∵a·b＝(e1＋3e2>·2e1＝2e错误!＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴错误!＝错误!.答案错误! 8．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰DC上的动点，则|P错误!＋3P错误!|的最小值为______．e5TfZQIUB5解读建立如图所示的直角坐标系，设DC＝m，P(0，t>，t∈[0，m]，由题意可知，A(2,0>，B(1，m>，P错误!＝(2，－t>，P错误!＝(1，m－t>，P错误!＋3P错误!＝(5,3m－4t>，|P错误!＋3P 错误!|＝错误!≥5，当且仅当t＝错误!m时取等号，即|P错误!＋3P错误!|的最小值是5.s1SovAcVQM答案59．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为错误!，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈错误!.GXRw1kFW5s(1>用θ表示点B的坐标及|OA|；(2>若tanθ＝－错误!，求O错误!·O错误!的值．UTREx49Xj9解(1>由题意，可得点B的坐标为(2cosθ，2sinθ>．在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝错误!，∠B＝π－错误!－θ＝错误!－θ.由正弦定理，得错误!＝错误!，8PQN3NDYyP即|OA|＝2错误!sin错误!.mLPVzx7ZNw(2>由(1>，得O错误!·O错误!＝|O错误!||O错误!|cosθAHP35hB02d＝4错误!sin错误!cosθ.NDOcB141gT因为tanθ＝－错误!，θ∈错误!，1zOk7Ly2vA所以sinθ＝错误!，cosθ＝－错误!.又sin错误!＝sin错误!cosθ－cos错误!sinθ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!，fuNsDv23Kh 故O错误!·O错误!＝4错误!×错误!×错误!＝－错误!.tqMB9ew4YX 10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m ＝(a，b>，n＝(sinB，sinA>，p＝(b－2，a－2>．HmMJFY05dE(1>若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2>若m⊥p，边长c＝2，C＝错误!，求△ABC的面积．(1>证明因为m∥n，所以asinA＝bsinB，即a·错误!＝b·错误!(其中R是△ABC外接圆的半径>，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．ViLRaIt6sk(2>解由题意，可知m·p＝0，即a(b－2>＋b(a－2>＝0，所以a＋b ＝ab，由余弦定理，知4＝c2＝a2＋b2－2abcos错误!＝(a＋b>2－3ab，即(ab>2－3ab－4＝0，所以ab＝4或ab＝－1(舍去>．9eK0GsX7H1所以S△AB C＝错误!absinC＝错误!×4×sin错误!＝错误!.naK8ccr8VI11．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π>，C点坐标为(－2,0>，平行四边形OAQP的面积为S.B6JgIVV9ao(1>求O错误!·O错误!＋S的最大值；P2IpeFpap5(2>若CB∥OP，求sin错误!的值．3YIxKpScDM解(1>由已知，得A(1,0>，B(0,1>，P(cos θ，sin θ>，因为四边形OAQP是平行四边形，所以O错误!＝O错误!＋O错误!＝(1,0>＋(cosθ，sinθ>gUHFg9mdSs＝(1＋cosθ，sinθ>．所以O错误!·O错误!＝1＋cos θ.uQHOMTQe79又平行四边形OAQP的面积为S＝|O错误!|·|O错误!|sinθ＝sinθ，IMGWiDkflP 所以O错误!·O错误!＋S＝1＋cosθ＋sinθ＝错误!sin错误!＋1.WHF4OmOgAw又0<θ<π，所以当θ＝错误!时，O错误!·O错误!＋S的最大值为错误!＋1.aDFdk6hhPd(2>由题意，知C错误!＝(2,1>，O错误!＝(cosθ，sinθ>，ozElQQLi4T因为CB∥OP，所以cosθ＝2sinθ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sinθ＝错误!，cosθ＝错误!，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝错误!，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝错误!.CvDtmAfjiA 所以sin错误!＝sin2θcos错误!－cos2θsin错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.QrDCRkJkxh申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
专题12 平面向量-2022高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的
定义式，属于简单题目.
4、（2020
海南省新高考全国Ⅱ卷·T3）在
ABC
中，D
是
AB
边上的中点，则
CB
=（
）
A. 2CD CA
B. CD 2CA
C. 2CD CA
D. CD 2CA
【答案】C
k
a
b
a
0
，
2
即： k a a b k
2 0 ，解得： k
2.
2
2
故答案为： 2 ． 2
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
4、（2020
北京卷·T13）已知正方形
ABCD
的边长为
2，点
P
满足
AP
余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0, ] ．
6、（2019 年高考全国 II 卷理数）已知 AB =(2,3)， AC =(3，t)， BC =1，则 AB BC =（ ）
A．−3
B．−2
C．2
D．3
【答案】C
【 解 析 】 由 BC AC AB (1,t 3) ， BC 12 (t 3)2 1 ， 得 t 3 ， 则 BC (1, 0) ，
专题 12 平面向量
—2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】
本部分内容在备考时应注意加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向
量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法．
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知，，则把向量按向量平移后得到的(1,2)A (4,2)B AB(1,3)a =-向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的0方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共AB线的单位向量是）；||AB AB ±4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、a叫做平行向量，记作：∥，b ab 规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线.A B C 、、AB AC ⇔、6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向a量记作.a -举例2 如下列命题：（1）若，则.||||a b = a b =（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若，则是平行四边形.AB DC =ABCD （4）若是平行四边形，则.ABCD AB DC =（5）若，，则.ab = bc = a c =（6）若，则.其中正确的是 . 结果：（4）//ab //bc //a c（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，AB终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；a b c3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同x y 的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为,i j a，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.(,)a xi yj x y =+= (,)x y a (,)a x y =a 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，12,e ea 则存在唯一实数对，使.12(,)λλ1122a e e λλ=+（1）定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，1122aλe λe =+ a且表达式唯一；反之，是对向量的合成.a（3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交12,e e 1122aλe λe =+a 分解．举例3 （1）若，，，则 . 结果：(1,1)a =(1,1)b =- (1,2)c =- c = .1322a b - （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.，B.，C.，1(0,0)e = 2(1,2)e =- 1(1,2)e =- 2(5,7)e = 1(3,5)e = 2(6,10)e = D.，1(2,3)e =- 213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知分别是的边，上的中线,且，,则,AD BEABC △BC AC AD a =BE b = 可用向量表示为 . 结果：.BC ,a b2433a b + （4）已知中，点在边上，且，，则的ABC △D BC 2CDDB = CD r AB s AC =+r s +=值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如λa a λ下：（1）模：；||||||a a λλ=⋅（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，0λ>a λ a0λ<的方向与的方向相反，当时，，a λ a 0λ=0a λ= 注意：.0aλ≠五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量，，作，，则把ab OA a = OB b = 称为向量，的夹角.(0)AOB θθπ∠=≤≤ab 当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂θ=a b θπ=a b 2πθ=a b 直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，abθ我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：||||cos a b θ ab ，即.a b ⋅||||cos a b a b θ⋅=⋅ 规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）中，，，，则_________. ABC △||3AB =||4AC = ||5BC = AB BC ⋅=结果：.9-（2）已知，，，，与的夹角为，则 11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭c a kb =+d a b =- c d 4πk =____. 结果：1.（3）已知，，，则____. .||2a =||5b = 3a b ⋅=- ||a b += （4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为,ab ||||||a b a b ==- a a b +____. 结果：.303.向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大b a||cos b θ 于0.举例5 已知，，且，则向量在向量上的投影为||3a=||5b = 12a b ⋅= a b ______. 结果：.1254.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.a b ⋅ a b ⋅a ||ab a 5.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：ab θ（1）；0a b a b ⊥⇔⋅=（2）当、同向时，，特别地，；a b ||||a b a b ⋅=⋅ 22||||aa a a a =⋅=⇔= 是、同向的充要分条件；||||a b a b ⋅=⋅ ab 当、反向时，，是、反向的充要分条a b ||||a b a b ⋅=-⋅ ||||a b a b ⋅=-⋅ ab 件；当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不θ0a b ⋅>a b0a b ⋅>θ充分条件；当为钝角时，，且、不反向；是为钝角的必要不θ0a b ⋅< a b 0a b ⋅<θ充分条件.平面向量基础知识复习（3）非零向量，夹角的计算公式：；④.a b θcos ||||a ba b θ⋅= ||||a b a b ⋅≤ 举例6 （1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的(,2)a λλ=(3,2)b λ= a b λ取值范围是______. 结果：或且；43λ<-0λ>13λ≠（2）已知的面积为，且，若，则，夹角的OFQ △S 1OF FQ ⋅= 12S <OF FQ θ取值范围是_________. 结果：；,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭（3）已知，，且满足（其中）.(cos ,sin )a x x =(cos ,sin )b y y = |||ka b a kb +- 0k >①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小. k ab ⋅ a b ⋅a b θ结果：①；②最小值为，.21(0)4k ab k k +⋅=> 1260θ=六、向量的运算1.几何运算（1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若，，则向量叫做与的和，即AB a = BC b = AC ab ；a b AB BC AC +=+=作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若，，则，即由减向量的终AB a = AC b = a b AB AC CA -=-=点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：① ；② ；③AB BC CD ++= AB AD DC --=. 结果：①；②；③；()()AB CD AC BD ---= AD CB 0（2）若正方形的边长为1，，，，则 . ABCD AB a =BC b = AC c = ||a b c ++=结果：（3）若是所在平面内一点，且满足，则O ABC △2OB OC OB OC OA -=+-的形状为. 结果：直角三角形；ABC △（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足D ABC △BC ABC △P ，设，则的值为 . 结果：2；0PA BP CP ++= ||||AP PD λ=λ（5）若点是的外心，且，则的内角为 . O ABC △0OAOB CO ++=ABC △C结果：.1202.坐标运算：设，，则11(,)a x y =22(,)b x y = （1）向量的加减法运算：，.1212(,)a b x x y y +=++ 1212(,)a bx x y y -=--举例8 （1）已知点，，，若，则当(2,3)A (5,4)B (7,10)C ()AP AB AC λλ=+∈R____时，点在第一、三象限的角平分线上. 结果：；λ=P 12（2）已知，，且，，则 .结(2,3)A (1,4)B 1(sin ,cos )2AB x y = ,(,)22x y ππ∈-x y +=果：或；6π2π-（3）已知作用在点的三个力，，，则合力(1,1)A 1(3,4)F =2(2,5)F =- 3(3,1)F =的终点坐标是 . 结果：.123F F F F =++(9,1)（2）实数与向量的积：.1111(,)(,)a x y x y λλλλ==（3）若，，则，即一个向量的坐标等11(,)A x y 22(,)B x y 2121(,)AB x x y y =--于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设，，且，，则的坐标分别是(2,3)A (1,5)B -13AC AB =3AD AB = ,C D __________. 结果：.11(1,7,9)3-（4）平面向量数量积：.1212a b x x y y ⋅=+举例10 已知向量，，.(sin ,cos )a x x =(sin ,sin )b x x = (1,0)c =- （1）若，求向量、的夹角；3x π=a c（2）若，函数的最大值为，求的值.结果：3[,]84x ππ∈-()f x a b λ=⋅ 12λ（1）；（2）或.150121（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+⇔=举例11 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝ .,ab 60|3|a b +=（6）两点间的距离：若，，则11(,)A x y 22(,)B x y ||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系中，关xOy 60xOy ∠=P 于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中轴同12OP xe ye =+ 12,e ey 方向的单位向量，则点斜坐标为.P (,)x y （1）若点的斜坐标为，求到的距离；P (2,2)-P O ||PO （2）求以为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程.O xOy 结果：（1）2；（2）.2210x y xy ++-=七、向量的运算律1.交换律：，，；a b b a +=+ ()()a a λμλμ=a b b a ⋅=⋅ 2.结合律：，，；()ab c a b c ++=++ ()a b c a b c --=-+ ()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅3.分配律：，，.()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅举例13 给出下列命题：① ；② ；③ ()ab c a b a c ⋅-=⋅-⋅ ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；222()||2||||||a b a a b b -=-+④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧0a b ⋅= 0a = 0b = a b c b ⋅=⋅ a c = 22||a a = 2a b ba a⋅= ；⑨.222()a b a b ⋅=⋅ 222()2ab a a b b -=-⋅+ 其中正确的是 . 结果：①⑥⑨.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？()()ab c a b c ⋅⋅≠⋅⋅八、向量平行(共线)的充要条件.221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=举例14 (1)若向量，，当_____时，与共线且方向(,1)ax =(4,)b x = x =a b 相同. 结果：2.（2）已知，，，，且，则 . (1,1)a =(4,)b x = 2u a b =+ 2v a b =+ //u v x =结果：4.（3）设，，，则 _____时，共线. 结(,12)PA k =(4,5)PB = (10,)PC k =k =,,A B C 果：或11.2-九、向量垂直的充要条件.12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=特别地.||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭举例15 (1)已知，，若，则 .结果：(1,2)OA=- (3,)OB m = OA OB ⊥m =；32m =（2）以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，，则O (4,2)A OAB 90B ∠=︒点的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；B （3）已知向量，且，则的坐标是 .结果：(,)n a b = n m ⊥ ||||n m =m = 或.(,)b a -(,)b a -十、线段的定比分点1.定义：设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个P 12P P 1P 2P 实数 ，使，则实数叫做点分有向线段所成的比，λ12P P PP λ=λP 12P P λ点叫做有向线段的以定比为的定比分点.P 12P Pλ2.的符号与分点的位置之间的关系λP （1）内分线段，即点在线段上；P 12P PP 12P P 0λ⇔>（2）外分线段时，①点在线段的延长线上，②P 12P PP 12P P 1λ⇔<-点在线段的反向延长线上.P 12P P 10λ⇔-<<注：若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成P 12PPλP 21P P的比为.1λ举例16 若点分所成的比为，则分所成的比为 . P AB34A BP 结果：.73-3.线段的定比分点坐标公式：设，，点分有向线段所成的比为，则定比111(,)P x y 222(,)P x y (,)P x y 12P Pλ分点坐标公式为. 1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩特别地，当时，就得到线段的中点坐标公式1λ=12P P 1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、(,)x y 11(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.22(,)x y （2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.λ举例17 （1）若，，且，则点的坐标为 . (3,2)M --(6,1)N -13MP MN =-P 结果：；7(6,)3--（2）已知，，直线与线段交于，且，则(,0)A a (3,2)B a +12y ax =AB M 2AM MB =. 结果：２或.a =4-十一、平移公式如果点按向量平移至，则；曲线(,)P x y (,)a h k = (,)P x y '',.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩按向量平移得曲线.(,)0f x y =(,)a h k =(,)0f x h y k --=说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量把平移到，则按向量把点平a (2,3)-(1,2)-a(7,2)-移到点______. 结果：；(8,3)-（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是sin 2y x =a，则________. 结果：.cos21y x =+a = (,1)4π-十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：.||||||||||a b a b a b -≤+≤+（1）右边等号成立条件：同向或中有； ab 、 a b、0||||||a b a b ⇔+=+（2）左边等号成立条件：反向或中有； a b 、 a b 、0 ||||||a b a b ⇔-=+（3）当不共线. ab、||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+ 3.三角形重心公式在中，若，，，则其重心的坐标为ABC △11(,)A x y 22(,)B x y 33(,)C x y .123123(,33x x x y y y G ++++举例19 若的三边的中点分别为、、，则的ABC △(2,1)A (3,4)B -(1,1)C --ABC △重心的坐标为 .结果：.24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭5.三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心，特别地1()3PG PA PB PC G =++⇔ABC 为△的重心.0PA PB PC G ++=⇔ABC （2）为△的垂心.PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔ABC （3）为△的内心；向量||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC 所在直线过△的内心.(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭ABC 6.点分有向线段所成的比向量形式P 12P Pλ设点分有向线段所成的比为，若为平面内的任一点，则P 12P PλM ，特别地为有向线段的中点.121MP MPMP λλ+=+ P 12P P 122MP MPMP +⇔=7.向量中三终点共线存在实数，使得,,PA PB PC,,A B C ⇔,αβ且．PA PB PC αβ=+1αβ+=举例20 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，O (3,1)A ，若点满足,其中且,则点的轨迹是 . (1,3)B -C 12OC OA OB λλ=+12,λλ∈R 121λλ+=C 结果：直线.AB。
平面向量的角平分线与垂直平分线
平面向量的角平分线与垂直平分线平面向量是数学中重要的概念，在几何学和物理学中都有广泛应用。
在平面向量的研究中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将详细探讨平面向量的角平分线和垂直平分线的性质和应用。
1. 角平分线的定义和性质角平分线是指将一个角分为两个角，使得这两个角的度数相等的线段。
在平面向量中，角平分线可以通过向量的加法和减法运算来表示。
假设有两个非零向量 a 和 b，它们的和向量 a + b 和差向量a − b 分别表示了一个角的两条角平分线。
具体而言，角平分线的定义如下：设向量a ≠ 0，向量b ≠ 0，且a ≠ −b，如果存在唯一的数λ ∈ R 使得a + λb = 0，则直线 AB 是角 AOC 的角平分线。
角平分线的性质如下：（1）角平分线上的向量长度相等，即 |a| = |b|。
（2）角平分线与角的两边之间的夹角相等。
2. 垂直平分线的定义和性质垂直平分线是指将一条线段分为两个相等的线段，并且与该线段垂直的线段。
在平面向量中，垂直平分线也可以通过向量的运算来表示。
假设有一个非零向量 a，垂直平分线可以通过向量的加法和减法运算来表示，即 a + b 和a − b。
其中，向量 b 表示垂直平分线的方向。
垂直平分线的定义如下：设向量a ≠ 0，如果存在向量b ≠ 0 使得 a ⋅ b = 0，则直线 AB 是线段 AB 的垂直平分线。
垂直平分线的性质如下：（1）垂直平分线上的向量与线段 AB 的向量的夹角为90°。
（2）垂直平分线和线段 AB 的长度相等。
3. 角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，角平分线和垂直平分线可以帮助我们求解各种不规则图形的性质。
比如，在三角形中，角平分线和垂直平分线的交点是三角形内接圆的圆心，通过这一性质可以帮助我们求解三角形的面积、周长等问题。
在物理学中，角平分线和垂直平分线也有重要的应用。