高中数学北师大版选修2-3课件：第二章 4 二项分布
北师大版选修2—3《二项分布课件》
第一投，我要努力！
Ohhhh，进球拉！！！
第二投，动作要注意！！
又进了，不愧 是姚明啊 ！！
第三投，厉害了啊！！
第三次登场了！
这都进了！！ 太离谱了！
第四投，大灌蓝哦！！
……
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8， 假设他每次命中率相同，请问他4投3中的概率是 多少？
n投k中呢？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
分析：令Ai “ 第i次投中” （i 1，2，3，4） 用X 表示4次投篮中投中的次数
P( X 4) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 ) 0.84
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
分析： P(X 0) P(A1 A2 A3 A4 )
P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 )
（1 0.8）4
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
分析：共有以下4种情况：
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 每种情况的概率都为：0.81 （1 0.8）3 P( X 1) 4 0.81 （1 0.8）3
1.二项分布
2.4二项分布2 线上课程课件-北师大版高中数学选修2-3
（3）至多有4次投中的概率为：
P C80 0.38 C81 0.7 0.37 C82 0.72 0.36 C83 0.73 0.35 C84 0.74 0.34 0.19410435
用y表示100次投掷中正面朝上的次数则易知y服从参数的二项分布因此100次投掷中恰有一半正面朝上的概率为某车间有5台机床每台机床正常工作与否彼此独立且正常工作的概率均为02设每台机床工作时需电力10kw但因电力系统发生故障现只能提供30kw的电力问此车间不能正常工作的概率有多少
北师大版高中数学选修2-3 第二章 概率
例2 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出
现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得
10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐
则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为 1 ，且各次击
鼓出现音乐相互独立.
所以每穴至少种3粒种子，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.
课堂小结
1.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的 概率公式及求解和步骤. 2.学会建立二项分布模型，解决实际问题.
课后作业:课本第56页练习1，2
1
答案：1.设人具有特定血型的概率 1000 ，则不具备该血型
的概率 1 1 ，且彼此之间相互独立，
解 (1) 设需整改的煤矿有X家， 则X～B(5,0.5)．
则恰好有两家煤矿必须整改的概率为
P（X
2)
C52 (1 0.5)2
0.53
5 16
(2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用 整改或只有一家必须整改”，其概率为：
P（X 0) P( X 1)
北师大版高中数学选修2-3课件2.4二项分布
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
题型一
题型二
题型三
解:在相互独立的重复射击中,击中目标的次数 X 服从二项分 布,X~B(n,p).
由已知得 n=4,p=0.8,P(X=k)=C4������ ·0.8k·0.24-k,k=0,1,2,3,4.
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
例如:社会福利组织定期发行某种奖券,每张奖券 1 元,中奖率为 p,某人 购买 1 张奖券,如果没有中奖,下次再继续购买 1 张,直到中奖为止,求此人购 买次数 X 的分布列.
购买奖券次数 X 的可能取值为全体正整数,事件“X=k”表示“此人购买 k 张奖券,前 k-1 张都没有中奖,而第 k 张中奖”,由于各期中奖与否是相互独 立的,因此 P(X=k)=(1-p)k-1p(k=1,2,3,4,…),分布列为
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固Fra bibliotek题型一
题型二
题型三
(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报都不准确或
只有 1 次准确”,其概率为 P(X=0)+P(X=1)=C50×0.25+C51×0.8×0.24=0.006 72. ∴5 次预报中至少有 2 次准确的概率为 1-0.006 72≈0.99. (3)由题意可知,第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确, ∴所求概率为 P=C41×0.8×0.23×0.8=0.020 48≈0.02,即恰有 2 次准确,且其
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
(北师大版)数学选修2-3课件：第2章-二项分布ppt课件
2020北师大版高中数学选修2-3 教师课件：第二章 二项分布
P
64 729
64 243
80 243
160 729
20 243
4 243
1 729
(2)由题意知， η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前 k 个路口没有遇上红灯，但在第(k＋1)个路
口遇上红灯，则其概率为 P(η＝k)＝(23)k·13，η＝6 表示路上没有遇上红灯，其概率为 P(η
＝6)＝(23)6.
解析：(1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条 件下，且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的 n 次和 m 次可看作 n 次独 立重复试验和 m 次独立重复试验． (2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作 m＋n 次独立重复 试验．
探究二 求独立重复试验的概率
P(X＝2)＝C27×0.752×0.255≈0.011 54， P(X＝3)＝C37×0.753×0.254≈0.057 68， P(X＝4)＝C47×0.754×0.253≈0.173 03， P(X＝5)＝C57×0.755×0.252≈0.311 46， P(X＝6)＝C67×0.756×0.251≈0.311 46， P(X＝7)＝C77×0.757×0.250≈0.133 48. 其分布列为：
[双基自测] 1．对独立重复试验有以下说法：
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有两个相互对立的结果；
③每次试验中事件 A 发生的概率相等；
④各次试验中，各个事件是互斥的．
其中正确的是( C )
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
解析：各次试验中，各个事件是相互独立的，所以④不正确．
2．已知 η～B(6，13)，则 P(η＝4)等于( B )
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第二章4二项分布含解析
§4二项分布[对应学生用书P28］某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为45，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题．问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验,那么一共进行了多少次试验?每次试验有几个可能的结果?提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中（成功）,未投中（失败）．问题2：X＝0表示何意义?求其概率．提示：X＝0表示3次都没投中，只有C03＝1种情况，P(X＝0）＝C错误!错误!3。
问题3：X＝2呢？提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C错误!＝3种情况，每种情况发生的可能性为错误!2·错误!。
从而P(X＝2）＝C错误!错误!2·错误!.二项分布进行n次试验,如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功"和“失败"；(2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p;（3）各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝C k n p k（1－p)n－k(k＝0，1，2，…,n)．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p 的二项分布,简记为X~B（n，p)．1．P（X＝k）＝C错误!·p k（1－p）n－k。
这里n为试验次数,p为每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立．错误!服从二项分布的随机变量的概率计算［例1]亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0。
6,试问3个投保人中：（1)全部活到70岁的概率；（2)有2个活到70岁的概率；(3）有1个活到70岁的概率．[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的,利用二项分布公式可求．[精解详析] 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0。
2.4二项分布 课件(北师大版选修2-3)
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
BS · 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－3
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●教学流程
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
BS · 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－3
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
ห้องสมุดไป่ตู้
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
P 0.001 6 0.025 6 0.153 6 0.409 6 0.409 6
菜
单
BS · 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－3
易 错 易 误 辨 析
1． 独立重复试验问题， 随机变量 X 的分布服从二项分布， 即 X～B(n，p)，这里 n 是独立重复试验的次数，p 是每次试 验中某事件发生的概率． 2．满足二项分布常见的实例有：①反复抛掷一枚质地均 匀硬币；②已知次品率的抽样；③有放回的抽样；④射手射 击目标命中率已知的若干次射击．
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
BS · 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
数学北师大版选修2-3知识导航 第二章4二项分布 含解析 精品
§4 二项分布自主整理进行n 次试验，如果满足以下条件：（1）每次试验只有________________相互________________的结果，可以分别称为“________________”和“________________”；（2）每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为________________； （3）各次试验是相互独立的.设X 表示这n 次试验中________________次数,则P(X=k)= ________________(其中k 可以取________________). 一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为__________. 高手笔记1.二项分布的识别策略(1)凡是所考虑的试验可以看作是一个只有两个可能结果A 和A 的试验的n 次独立重复,则n 次试验中A 发生的次数X 就服从二项分布.(2)凡是服从二项分布的随机变量一定只取有限个实数为其值,否则,随机变量不服从二项分布.例如:某射手射击击中目标的概率为0.8,从开始射击到击中目标所需的射击次数X.分析:本例中的试验虽然满足:①一次试验结果只有两个,“击中”和“不击中”;②各次试验是相互独立的,且每次试验“击中”发生的概率都是0.8.但是X 的取值不是有限个,而是无限个,即1,2,3,4,…,故本例中X 不服从二项分布.事实上,X 服从几何分布,其分布列为P(X=k)=(1-p)k-1·p (k=1,2,3,…).(3)凡服从二项分布的随机变量在被看作观察n 次试验中某事件发生的次数时,此事件在每次观察中出现的概率相等,否则不服从二项分布.例:(1)有一批产品共有N 件,其中M 件次品,采用不放回抽样方法,用X 表示n(n≤N -M 且n≤M )次抽取中出现次品的件数.(2)有一批产品共有N 件,其中M 件次品,采用放回抽样方法,用Y 表示n(n≤N -M 且n≤M)次抽取中出现次品的件数.(1)中X 不服从二项分布,而服从超几何分布,P(X=k)=nNk n MN k M C C C --∙(k=0,1,2,…,n) (2)中Y 服从二项分布,因为“放回”抽样能保证第一次、第二次、第三次、……抽取时抽到次品的概率为NM . 2.对P(X=k)=C kkn p (1-p)n-k (k=0,1,2,…,n)的理解与认识如果1次试验中,事件A 发生的概率是p,那么A 发生的概率就是1-p.由于在1次试验中事件A 要么发生,要么不发生,所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次,则在另外的n-k 次中A没有发生,但A 发生.因为P(A)=p,P(A)=1-p ，所以公式P(X=k)=C k n p k (1-p)n-k恰好为［(1-p)+p ］n展开式中的第k+1项，这一点充分揭示了排列组合、二项式定理和概率三者之间的密切联系.名师解惑1.“恰有k 次发生”和“某指定的k 次发生”的区别剖析：对于独立重复试验来说，恰有k 次发生实质上是k 种彼此互斥事件的情况，其概率为C k n p k (1-p)n-k ,而某指定的k 次发生是指某指定的试验要发生，另外的试验则不发生，其概率为p k (1-p)n-k .例:社会福利组织定期发行某种奖券,每券1元,中奖率为p,某人购买1张奖券,如果没有中奖,下次再继续购买1张,直到中奖为止,求此人购买次数X 的分布列.解:购买奖券次数X 的可能取值为全体自然数,事件“X=k”表示“此人购买第k 张奖券,前k-1张都没有中奖,而第k 张中奖”,由于各期中奖与否是相互独立的,因此-p) k-1独立重复试验是指在相同的条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都有两种结果（事件A 要么成功要么失败），并且在任何一次试验中，事件发生的概率是均等的.在本题中中奖之前是一定要发生“不中奖”这一事件,因此为独立事件,而不是n 次独立重复试验.这一点很易引起误解,一定要区分开.2.区别“事件A 恰好发生k 次”与“最后一次一定是事件A 发生”的差异剖析：在n 次独立重复试验中事件A 发生的概率为p,如果X 表示事件A 在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，则事件“A 恰好发生k 次”的概率是P （X=k ）=C k n p k (1-p)n-k，而“最后一次一定是事件A 发生”暗含在前n-1次试验中事件A 应出现k-1次，此时事件A 发生的概率为P （X=k ）=C 11--k n p k-1(1-p)n-k p=C 11--k n p k (1-p)n-k .例:甲、乙两队进行比赛,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,比赛实行五局三胜制,X 为本场比赛的局数,求X 的概率分布列.解:单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,则乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4,比赛三局结束有两种情况:甲队胜三局或乙队胜三局,因而有P(X=3)=0.63+0.43=0.28；比赛四局结束有两种情况:前三局中甲胜2局,第四局甲胜或前三局中乙胜2局,第四局乙胜,因而P(X=4)=C 23×0.62×0.4×0.6+C 23×0.42×0.6×0.4=0.374 4;比赛五局结束有两种情况:前四局中甲胜2局乙胜2局,第五局甲胜或乙胜,P(X=5)=C 24×0.62×0.42×0.6+C 24×0.42×0.62×0.4=0.345 6.在本题中,获胜的队都是最后一局要取得胜利,也就是说事件A 在最后一次要发生,前n-1次试验中事件A 发生k-1次,因此在计算二项分布的概率时应先计算前n-1次试验中事件A发生k-1次的概率C 11--k n p k-1(1-p)n-k,然后再乘上最后一次事件A 发生的概率p 即可.讲练互动【例1】在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1个,求: (1)不放回抽样时,抽到次品数X 的分布列;(2)放回抽样时,抽到次品Y 的分布列(保留三位有效数字). 分析：首先确定X 和Y 的可取值,然后求出每种取值下的随机事件的概率,列出对应表格即为分布列.解:(1)不放回抽样,抽到的次品数X=0,1,2,而P(X=0)=15731038=C C ，P(X=1)=1573102812=C C C ,P(X=2)= 3102218C C C =51,故X 的分布列为:（2）放回抽样时，抽到的次品数Y=0,1,2,3,而3=0.512,P(Y=1)=C 13(0.8)2×0.2=0.384,P(Y=2)=C 23·0.8×(0.2)2=0.096,P(Y=3)=0.23=0.008.绿色通道:从本例中可以看出超几何分布与二项分布的区别与联系：超几何分布是不放回抽样；二项分布是有放回抽样. 变式训练1.某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意地连续取出2件,其中次品解析：由题意“任意地连续取出2件”可认为两次独立重复试验,则次品数X 服从二项分布,即X —(2,0.05),∴X=0时,P 0=C 02(0.95)2=0.902 5; X=1时,P 1=C 120.95×0.05=0.095; X=2时,P 2=C 220.052=0.002 5.则X 的概率分布为:答案：0.902 5 0.095 0.002 5【例2】A 、B 两位同学各有五张卡片，现以抛掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时，A 赢得B 一张卡片,否则B 赢得A 一张卡片,如果某人已赢得所有卡片，则游戏中止，求投硬币的次数不大于7时游戏中止的概率.分析：本题首先要确定离散型随机变量X 的取值,然后利用互斥事件、独立事件、独立重复试验的概率知识求解.解:设X 表示游戏中止时掷硬币的次数,正面出现的次数为m,反面出现的次数为n,则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-.71,5||X X n m n m 可得当m=5,n=0或m=0,n=5时,X=5; 当m=6,n=1或m=1,n=6时,X=7. 所以X 的取值为5,7. P(X≤7)=P(X=5)+P(X=7)=2×(21)5+2C 17(21)7=.6411647322=+ 绿色通道:本题综合考查了等可能事件、互斥事件、相互独立事件、重复试验概率的计算，入手点高，综合性强，运用限制条件进行分类讨论和枚举X 的取值是本题的一大特色.. 变式训练2.甲、乙两名围棋手进行比赛，已知每一局甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，比赛时可采用三局两胜或五局三胜制，问:在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？解：在三局两胜中，甲获胜的情况有：两局全胜；三局中前两局一胜一负、第三局胜，则甲获胜的概率为P 1=0.62+C 12×0.6×0.4×0.6=0.648. 在五局三胜中,甲获胜的情况有:三局全胜;四局中前三局二胜一负,第四局胜;五局中前四局二胜二负，第五局胜.则甲获胜的概率为:P 2=0.63+C 230.62×0.4×0.6+C 24×0.62×0.42×0.6=0.682 56.∵P 1＜P 2,∴五局三胜的情况下，甲获胜的可能性大.【例3】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.求:(1)至少3人同时上网的概率;(2)至少几个人同时上网的概率小于0.3.分析：本题是相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算问题,运用相应的概率公式列式计算.解：(1)至少3人同时上网的概率,等于1减去至多2人同时上网的概率,即1-C 06(0.5)6-C 16 (0.5)6-C 26(0.5)6=1-641561+-=3227. (2)至少4人同时上网的概率为C 46(0.5)6+C 56(0.5)6+C 66(0.5)6=3211＞0.3. 至少5人同时上网的概率为（C 56+C 66）（0.5）6=647＜0.3. 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.绿色通道:若设6个员工中同时上网的人数为X ，则X —B(6,21). 变式训练3.设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率是0.6，试求： （1）同时射击一发炮弹而命中飞机的概率是多少？（2）若有一架飞机侵犯，要以0.99的概率击中它，问需多少门高射炮？ 解：（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机包括两发炮弹中恰有一发命中或两发都命中.设命中飞机为事件A ，则P(A)=C 12p(1-p)+C 22p 2=2×0.6×0.4+0.62=0.84, 即两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率为0.84.(2)设需n 门高射炮，同时发射一发炮弹命中飞机的概率为0.99，则P(A)=C 1n p(1-p)n-1+C 2n p 2(1-p)n-2+…+C n n p n =1-p(A )=1-C 0n p 0(1-p)n=1-0.4n =0.99. 即0.4n =0.01,∴n=4.0101.01g g =5,即要以0.99的概率击中敌机，需5门高射炮.【例4】将一枚骰子，任意地抛掷500次，问1点出现（指1点的面向上）多少次的概率最大？分析：设500次中1点恰好出现X 次，则X —B （500，61），通过比较P （X=k ）和P(X=k+1)的大小来判断P(X=k)的单调性，进而求出概率最大的X 值.解：kk kk k k C C k X P k X P -+-++==+=500500)1(50011500)65()61()65()61()()1( =)1(55005661)!499()!1()!500(!!500+-=∙∙-+-∙k kk k k k .注意到k 为正整数，由)1(500+-k k＞1,得k≤82,即当k≤82时,P(X=k)＜P(X=k+1),这时P(X=k)是单调增加的.当k≥83时，P(X=k)是单调减小的，从而P(X=82)是最大的. 故掷500次中1点出现82次的概率最大.绿色通道:本题巧妙地利用P(X=k)的单调性，求得P(X=k)的最大值. 变式训练4.某小组有10台各为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12分钟，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？ 解：由于每台机床正在工作的概率是6012=51，而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故某一时刻正在工作的机床台数X 服从二项分布，即X —B （10，51）且 P(X=k)=C k10(51)k (54)10-k (k=0,1,2,…,10).48千瓦可供6台机床同时工作，“用电超过48千瓦”就意味着“有7台或7台以上的机床在工作”，这一事件的概率为P(X≥7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=C 710(51)7(54)3+C 810(51)8(54)2+C 910(51)9(54)1+C 1010(51)10(51)0=11571. 【例5】有一批食品出厂前，要进行五项指标抽检，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂.已知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率是0.2. (1)求这批食品不能出厂的概率(保留三位有效数字);(2)求直至五项指标全部检验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字). 分析：设五项指标中抽检时不合格的指标数为X ，则X —B （5，0.2）.解：(1）五项指标抽检，有2项、3项、4项、5项指标不合格，则这批食品均不能出厂，其对立事件是五项指标抽检，全合格或有一项指标不合格，所以这批食品不能出厂的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-［C 05(1-0.2)5+C 150.21(1-0.2)4］=0.262 72≈0.263.（2）直至五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品是否出厂,即为:前4项指标检验中恰有一项指标不合格,故所求的概率为p 2=C 140.21(1-0.2)3=0.409 6≈0.410.绿色通道:(1)中利用了对立事件的概率来简化计算;(2)中的随机变量虽然也服从二项分布,但参数发生了变化,由(1)中的n=5变为n=4. 变式训练5.某金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机的功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相对独立的，现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率为多大？解：设X 表示某一时间同时工作的机床数，则P(X=k)=C k10(51)k (54)10-k，0≤k≤10，由于供电部门只提供50千瓦，所以同时工作的机床数不超过5台时，均能正常工作.所以能正常工作的概率: p=∑=5k P (X=k)=∑=510k k C (51)k ·(54)10-k . 教材链接［P 49思考交流］下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？ （1）掷n 枚相同的骰子，X 为“1”点出现的个数. （2）n 个新生婴儿,X 为男婴的个数.（3）某产品的次品率为p,X 为n 个产品中的次品数.（4）女性患色盲的概率为0.25%,X 为任取n 个女人中患色盲的人数. 答：(1)X 服从二项分布,其参数为n,p=61. (2)X 服从二项分布,其参数为n,p=21. (3)X 服从二项分布,其参数为n,p.(4)X 服从二项分布,其参数为n,p=25%.［P 57思考交流］1.如果用X 表示10次投掷中正面朝上的次数. (1)X 服从二项分布吗?与其他同学交流你的理由. (2)这个分布的参数是多少?(3)求出X 的分布列,并计算出“投掷一枚均匀的硬币10次,恰有5次正面朝上”的概率.答：(1)X 服从二项分布,因为掷均匀的硬币,一次试验出现的结果只有两个,即“正面朝上”与“反面朝上”;各次试验相互独立;每次试验“正面朝上”的概率都是21,恰好满足二项分布的定义.(2)其参数n=10,p=21. (3)（分布列略）投掷一枚均匀的硬币10次,恰好5次正面朝上的概率为:P(X=5)=C 510(21)5(1-21)5=25663≈0.246. 2.有的同学可能会继续思考,10次投掷中恰有一半正面朝上的可能性不大,那么增加投掷次数,比如100次,恰好出现一半“正面朝上”（即50次“正面朝上”）的可能性会不会大一些呢？答：X —B （100，21）,则投掷均匀硬币100次,恰好50次上面朝上的概率为P(X=50)=C 50100（21）50（1-21）50=C 50100（21）100≈0.08. 可以看出，当投掷次数由10增加到100时，概率反倒变得更小了.。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第二章 4 二项分布 Word版含解析
§4二项分布[对应学生用书P28]某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为45，且各次投中与否是相互独立的，用X 表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题．问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)． 问题2：X ＝0表示何意义？求其概率．提示：X ＝0表示3次都没投中，只有C 03＝1种情况，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫153. 问题3：X ＝2呢？提示：X ＝2表示3次中有2次投中，有C 23＝3种情况，每种情况发生的可能性为⎝ ⎛⎭⎪⎫452·15.从而P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452·15.二项分布进行n 次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1－p ； (3)各次试验是相互独立的． 用X 表示这n 次试验中成功的次数，则 P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )．若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．1．P (X ＝k )＝C k n ·p k (1－p )n －k .这里n 为试验次数，p 为每次试验中成功的概率，k 为n 次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n 次；其三是各次试验相互独立．[对应学生用书P28][1]在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：(1)全部活到70岁的概率； (2)有2个活到70岁的概率； (3)有1个活到70岁的概率．[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分布公式可求． [精解详析]设3个投保人中活到70岁的人数为X ，则X ～B (3,0.6)，故P (X ＝k )＝Ck30.6k ·(1－0.6)3－k (k ＝0,1,2,3)．(1)P (X ＝3)＝C 3·0.63·(1－0.6)0＝0.216； 即全部活到70岁的概率为0.216. (2)P (X ＝2)＝C 23·0.62·(1－0.6)＝0.432. 即有2个活到70岁的概率为0.432. (3)P (X ＝1)＝C 13·0.6·(1－0.6)2＝0.288. 即有1个活到70岁的概率为0.288.[一点通] 要判断n 次试验中A 发生的次数X 是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的； (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变； (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是( ) A.12 B.38 C.25D.14解析：由题意，出现正面的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12， ∴出现3个正面1个反面的概率为P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝14.答案：D2．甲每次投资获利的概率是p ＝0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算： (1)有5次获利的概率； (2)6次都获利的概率．解：用X 表示甲在6次投资中获利的次数，则X 服从二项分布B (6,0.8)，且(1)P (X ＝5)＝C 560.85(1－0.8)≈0.39， 他5次获利的概率约等于0.39. (2)P (X ＝6)＝C 60.86≈0.26. 他6次都获利的概率约等于0.26.3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38.(2)乙至少击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027. (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫233·C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123 ＝118＋19＝16.[2](12分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数．求(1)随机变量X 的分布列；(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[思路点拨] 求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率．[精解详析] (1)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25， 则P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，(3分) P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125，(4分) P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125，(5分)P (X ＝3)＝C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝8125.(6分)∴X 的分布列为(8分)(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”．因此有 P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－27125＝98125.(12分)[一点通] 解决这类问题一般步骤：(1)判断所述问题是否是相互独立试验；(2)建立二项分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列．4．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P(X ＝3)等于( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34.答案：C5．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X 的分布列．解：由题意，得到的次品数X ～B (2,0.05)， P (X ＝0)＝C 02×0.952＝0.902 5； P (X ＝1)＝C 12×0.05×0.95＝0.095； P (X ＝2)＝C 2×0.052＝0.002 5. 因此，次品数X 的分布列如下：6．射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分．某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为23，第二枪命中率为13，该运动员进行2轮比赛．(1)求该运动员得4分的概率为多少？ (2)若该运动员所得分数为X ，求X 的分布列．解：(1)记“运动员得4分”为事件A ， 则P (A )＝23×13×23×13＝481.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4. P (X ＝0)＝P (X ＝4)＝481，P (X ＝1)＝P (X ＝3)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2081，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝3381.∴X 的分布列为1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．2．二项式[(1－p )＋p ]n 的展开式中，第k ＋1项T k ＋1＝Ck n(1－p )n －k p k ，可见P (X ＝k )＝Ck np k (1－p )n －k 就是二项式[(1－p )＋p ]n 的展开式中的第k ＋1项．错误!1．若X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)＝( ) A.316 B.4243 C.13243D.80243解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， ∴P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.答案：D2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A.13B.25C.56D.34解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581.所以1－p ＝23，p ＝13.答案：A3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( ) A.81125 B.54125 C.36125D.27125解析：至少有2次击中目标包含以下情况： 只有2次击中目标，此时概率为 C 23×0.62×(1－0.6)＝54125，3次都击中目标，此时的概率为C 3×0.63＝27125，∴至少有2次击中目标的概率为54125＋27125＝81125.答案：A4．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )A ．0.6k －1×0.4B ．0.24k －1×0.76C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k －1×0.24解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76.所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k －1×0.76.答案：B5．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k (1－p )2－k ，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X <1) ＝1－P (X ＝0) ＝1－C 02p 0(1－p )2 ＝1－(1－p )2.由P (X ≥1)＝59，得1－(1－p )2＝59，结合0<p ≤1，得p ＝13.答案：136．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________．解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝96625.答案：966257．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为P 1＝35×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×35＝1083 125；(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X ～B (5，35)，故所求其概率为P (X ＝3)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫353×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝216625.8．(四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列． 解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000，P (X ＝2)＝C 23×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为。
高中数学北师大版选修2-3 4 二项分布课件(39张)
某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后面第 2 位)： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率．
【精彩点拨】 由于 5 次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不 准确)，符合独立重复试验．
[ 再练一题] 2 1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为 ，没 3 有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________． 65 (2)在 4 次独立重复试验中，事件 A 至少发生 1 次的概率为 ，则事件 A 在 81 1 次试验中出现的概率为________．
2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
1 【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为 ，由于每次试验的结果不受影 2 响，故由独立重复试验可知，所求概率为
【答案】 3 8
3 1112 P＝C3 ＝ .
22
8
[ 小组合作型]
独立重复试验中的概率问题
次遇到”“或到达”的含义，并明确 η 的取值．再求 η 取各值的概率．
【自主解答】
3 3
1 (1)ξ～B5， ，ξ 3
的分布列为 P(ξ＝k)
k 1k25－k ＝C5 ，k＝0,1,2,3,4,5.
(2)η 的分布列为 P(η＝k)＝P(前 k 个是绿灯，第 k＋1 0,1,2,3,4； P(η＝5)＝P(5 η P
其概率为
5 1 4 P＝C0 × (0.2) ＋ C × 0.8 × 0.2 ＝0.006 72≈0.01. 5 5
所以所求概率为 1－P＝1－0.01＝0.99. 所以 5 次预报中至少有 2 次准确的概率约为 0.99. (3)说明第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确．
2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3课件：2-4 二
概
率
§4
二项分布
学习目标
重点难点
1.结合具体实例，理解二项分布的概念． 1.重点是利用二项 2．能结合二项式定理及二项分布的概念 推导二项分布的概率公式，并能判断出 属于二项分布的概率模型． 3．能利用二项分布的概率公式解决相关 的实际问题. 分布的概率公式求 概率模型的概率． 2．难点是解决与 二项分布相关的实 际问题.
某学生从学校乘车到火车站的途中有 3 个交通岗， 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 2 是5，设 X 为途中遇到红灯的次数． (1)求随机变量 X 的分布列； (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解：(1)由题意 则
2 X～B3，5， 5 5
解：依题意，质点 P 移动五次后位于点(－1,0)，则这五次 移动中必有某两次向右移动，另三次向左移动，因此所求的概 率等于
2 2 2 1 3 C5 ＝
3 3
40 243．
【点评】
独立重复试验求概率的三个关注点
(1)关注判断问题中所涉及的试验是否为独立重复试验，即 条件相同，要么 A 发生，要么 A 不发生．
解析：依题意，质点 P 移动五次后位于点(1,0)，则这五次 移动中必有某三次向右移动，另二次向左移动，因此所有的概 率等于
3 2 3 1 2 C5 ＝
3 3
80 243，故选 D．
答案：D
[互动探究] 若本例中的条件不变，求移动五次后质点P位 于点(－1,0)的概率．
5 5
8 125． 1 54 125 2 36 125 3 8 125
∴X 的分布列为 X＝k P(X＝k) 0 27 125
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，
P(X＝0)＝C20×0.952＝0.902 5； P(X＝1)＝C21×0.05×0.95＝0.095； P(X＝2)＝C22×0.052＝0.002 5. 因此，次品数X的分布列如下：
X＝k
0
1
2
P(X＝k) 0.902 5 0.095 0.002 5
[精解详析] (1)由题意X～B3，25， 则P(X＝0)＝C03250353＝12275， P(X＝1)＝C31251352＝15245， P(X＝2)＝C32252351＝13265， P(X＝3)＝C33253350＝1825.
(3分) (4分) (5分) (6分)
∴X的分布列为
X＝k
0
Байду номын сангаасP(X＝k)
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个
反面”的概率是
()
1
3
A.2
B.8
2
1
C.5
D.4
解析：由题意，出现正面的次数X～B4，12，
∴出现3个正面1个反面的概率为P(X＝3)＝C43×123×12＝14.
答案：D
2．甲每次投资获利的概率是p＝0.8，对他进行的6次相互独立 的投资，计算： (1)有5次获利的概率； (2)6次都获利的概率． 解：用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项 分布B(6,0.8)，且 (1)P(X＝5)＝C560.85(1－0.8)≈0.39， 他5次获利的概率约等于0.39. (2)P(X＝6)＝C660.86≈0.26. 他6次都获利的概率约等于0.26.
1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可
能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发
生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．
2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项Tk＋1＝C
k n
(1－
p)n－kpk，可见P(X＝k)＝C
k n
pk(1－p)n－k就是二项式[(1－p)＋p]n的
[一点通] 要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分 布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点 为：
(1)每次试验是在相同的条件下进行的； (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相 互独立的； (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变； (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．
(1)P(X＝3)＝C33·0.63·(1－0.6)0＝0.216； 即全部活到70岁的概率为0.216. (2)P(X＝2)＝C23·0.62·(1－0.6)＝0.432. 即有2个活到70岁的概率为0.432. (3)P(X＝1)＝C13·0.6·(1－0.6)2＝0.288. 即有1个活到70岁的概率为0.288.
、
6．射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中
两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分．某
射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为
2 3
，
第二枪命中率为13，该运动员进行2轮比赛．
(1)求该运动员得4分的概率为多少？
(2)若该运动员所得分数为X，求X的分布列．
解：(1)记“运动员得4分”为事件A，
从而P(X＝2)＝C23452·15.
二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件： (1)每次试验只有_两__个__相___互__对__立__的结果，可以分别称为 “成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为 _1_－__p__；
(3)各次试验是_相__互__独__立___的． 用X表示这n次试验中成功的次数，则 P(X＝k)＝__C_nk_p_k_(_1_－__p_)n_－_k_(k_＝__0_,_1_,2_，__…__，__n__) _． 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n， p的二项分布，简记为_X__～__B_(_n_，__p_) ．
§4
第 二 章
二 项 分
布
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二
§4
二项分布
某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为
4 5
，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的
次数，思考下列问题．
问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进
行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？
则P(A)＝23×13×23×13＝841.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝P(X＝4)＝841，
P(X＝1)＝P(X＝3)
＝C2123133＋C1213233＝2801，
P(X＝2)＝134＋234＋4232132＝3831.
∴X的分布列为
X＝k
01234
P(X＝k)
4 20 33 20 4 81 81 81 81 81
展开式中的第k＋1项．
应用创新演练见课时跟踪检测(十二)
＝C23232·13C03123＋C33233·C31123 ＝118＋19＝16.
服从二项分布的随机变量的分布列
[例2] (12分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假 设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 25，设X为途中遇到红灯的次数．求
(1)随机变量X的分布列； (2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． [思路点拨] 求随机变量的分布列，首先应根据题目中的 条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个 值的概率．
提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成
功)，未投中(失败)．
问题2：X＝0表示何意义？求其概率．
提示：X＝0表示3次都没投中，只有C
0 3
＝1种情况，P(X＝0)
＝C03153.
问题3：X＝2呢？
提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C
2 3
＝3种情况，每种情
况发生的可能性为452·15.
3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
1 2
，乙
每次击中目标的概率为23，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C32123＝38. (2)乙至少击中目标2次的概率为 C3223213＋C33233＝2207. (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次 且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好 击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件． P(A)＝P(B1)＋P(B2)
4．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进
行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于
()
A．C32142×34
B．C23342×14
C.142×34
D.342×14
解析：P(X＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概
率，则P(X＝3)＝142×34. 答案：C
5．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中 任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．
1．P(X＝k)＝C
k n
·pk(1－p)n－k.这里n为试验次数，p为每次
试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其
一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其
一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次
试验相互独立．
服从二项分布的随机变量的概率计算
[例1] 在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的 死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投 保人中：
(1)全部活到70岁的概率； (2)有2个活到70岁的概率； (3)有1个活到70岁的概率．
[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分 布公式可求．
[精解详析] 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～ B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C3k0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1,2,3)．
27 125
1
2
3
54 36 8 125 125 125
(8分)
(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红 灯都没有遇到”．因此有
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－12275＝19285.
(12分)
[一点通] 解决这类问题一般步骤： (1)判断所述问题是否是相互独立试验；(2)建立二项分布模 型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列．