安徽省六校教育研究会2021届高三2月第二次联考理科数学试题
安徽省六校教育研究会2021届高三2月22日第二次联考理科数学试题(含答案)
所以 AB1 面 A1EC
又 M 是 AD 的中点，易得 AM B1C1, AM // B1C1, 所以 MC1AB1 为平行四边形,
所以 MC1 // AB1 得 MC1 面 A1EC 所以 MC1 A1C
……………………5 分
方法 2：:由图知 CA1 CD DA AA1 AB AD AA1
由
x0 2
y02
5 得 Q 点轨迹方程为 5 16
x2
5y2
1 ，且焦点恰为
F1, F2 ，
故 QF1 QF2 2
4 5
8 5,
当切线 PA, PB 的斜率有一个不存在时，易得 QF1 QF2
8 5
综上得 QF1 QF2
8
.
5
......................................12 分
若
安徽省六校教育研究会 2021 届高三联考数学（理）参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B A C D A D C B B C D B
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 9
14.9
15. y 2 3 x
3
三、解答题 （总分 70 分）
安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试（理）
注七事项：
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安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷含解析
安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米3．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．2C．12±D ．2±4．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y x =，则双曲线的离心率为（）ABCD 5．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-6．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,17．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦8．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．59．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π1210．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．21-C ．2D ．112．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或173二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽六校教育研究会2022高三下2月第二次联考数学(理)(解析版)
2022届安徽省六校教育研究会高三下学期2月第二次联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ） A ．{}11x x -<≤ B ．{}11x x -<< C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<【答案】C【分析】根据对数函数的单调性求出集合B ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：{}{}2log 102B x x x x =<=<<， 所以A B ={}01x x <≤. 故选：C.2．若复数z 满足1z i i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）. A ．0 B ．1-C ．i -D ．12i【答案】B【分析】化简复数z 为a bi +的形式，由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()111i i i z i i i i -⋅--===--⋅-，故z 的虚部为1-. 故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查虚部的概念，属于基础题.3．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．2a cb +> D ．2a bc +> 【答案】A【分析】根据频率分布直方图读出众数a ，计算中位数b ，平均数c ，再比较大小. 【详解】由频率分布直方图可知：众数7080752a +==； 中位数应落在70-80区间内，则有：0.004100.018100.04(70)0.5b ⨯+⨯+⨯-=，解得：77b =； 平均数5060607070800.004100.018100.0410222c +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+8090901000.032100.0061022++⨯⨯+⨯⨯2.211.73027.2 5.776.8=++++=所以b c a >> 故选：A4．设1sin 2a =，ln πb =，12πc -=，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】B【分析】根据已知条件，将1sin 2与sin 0和πsin 6进行比较，将ln π与ln e 进行比较，将12π-与0π和12进行比较确定a 、b 、c 三个数的大小，从而完成求解.【详解】1π10sin sin sin 262==0＜＜，所以1(0,)2a ∈，ln πlne=1＞，所以(1,)b ∈+∞，1021ππ12-===＜，所以1(,1)2c ∈，所以a c b <<. 故选：B.5．设x ，y 满足约束条件502803x y x y y +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）A ．12B ．17C ．18D ．392【答案】C【分析】根据线性约束条件作出可行域，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由z 的几何意义即可求解.【详解】根据线性约束条件作出可行域如图：由34z x y =+可得344z y x =-+，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由图知：过点A 时，4z最大即z 最大，由503x y y +-=⎧⎨=⎩可得()2,3A ，所以max 324318z =⨯+⨯=， 故选：C.6．某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A ，B ，C 三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两个单位.已知A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为（ ） A ．13B ．23C ．25D ．35【答案】B【分析】求出三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件数，再求出甲单位不接种需要打三针的 重组蛋白疫苗的基本事件数，然后利用古典概率公式计算作答,【详解】当A ，B ，C 三家医院都接待一个单位时有33A 种，当A ，B ，C 三家医院有两家接待两个单位时有222332C C A 种，因此，三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件有32223332A C C A 24+=个，它们等可能，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的事件M ，即甲不选C 医院，选A ，B 医院之一，有12C 种选法，乙、丙从A ，B ，C 三家医院中任选一家，去掉他们都选A 医院的情况，有231-种选法，因此，事件M 含有的基本事件数为122C (31)16-=个，所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率162()243P M ==. 故选：B7．已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（ ） A ．1 B ．4C ．5D【答案】D【分析】先求得直线AB 的方程，再去求点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值即可解决. 【详解】设(2,)P m -，切点11(,)A x y ，22(,)B x y由题意知在点A 处的切线斜率存在且不为0，设在点A 处切线斜率为A k 在点A 处切线方程可设为11()A y k x x y =-+由2114()A y x y k x x y ⎧=⎨=-+⎩，可得2114440A Ay y y x k k -+-=由21144440A A y x k k ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12A k y =则在点A 处切线方程可化为1112()y x x y y =-+，即11220x y y x -+= 由题意知在点B 处的切线斜率存在且不为0，设在点B 处切线斜率为B k 在点B 处切线方程可设为22()B y k x x y =-+由2224()B y x y k x x y ⎧=⎨=-+⎩，可得2224440By y y x k k -+-=由22244440B B y x k k ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得22B k y =则在点B 处切线方程可化为2222()y x x y y =-+，即22220x y y x -+= 又两条切线均过点P ，则()222220y m x --+=，()112220y m x --+= 则直线AB 的方程为420ym x --+=，即()220x ym --= 则直线AB 恒过定点()2,0Q点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值即为点()0,1M 到()2,0Q 的距离MQ故点()0,1M 到直线AB 故选：D8．在10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（ ） A ．45 B ．90C ．120D ．1【答案】A【分析】写出10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式通项，令x 的指数为2，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】1010202220221111x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的展开式通项为11020221C rr r A x x +⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 20221rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()202220231C C k k r k k r kk r r B x x x ---+=⋅⋅=⋅， 故10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式通项为20231,110C C r k r k r k r T x -++=⋅，令20232r k -=，且010k r ≤≤≤，k 、N r ∈，所以，2r =，0k =，故展开式中2x 项的系数为20102C C 45=.故选：A.9．已知点()1,0P -，圆()2219x y -+=上的两个不同的点()11,A x y 、()22,B x y 满足()R AP PB λλ=∈，则112243254325x y x y +-++-的最大值为（ ）A ．12B ．18C ．60D ．272【答案】C【分析】根据给定条件求出弦AB 中点的轨迹，再求出这个轨迹上的点到直线34250x y +-=的距离最大值即可推理计算作答.【详解】因()R AP PB λλ=∈，则点A ，P ，B 共线，即过点P 的直线AB 与圆()2219x y -+=交于不同的两点A ，B ，112243254325x y x y +-++-=表示点A 、B 到直线34250x y +-=的距离和的5倍，设弦AB 中点00(,)M x y 2=于是得：11224325432510x y x y +-++-=圆()2219x y -+=的圆心(1,0)Q ，显然点P 在此圆内，即过点P 的任意直线与圆都相交， 当点M 与点P ，Q 都不重合时，由圆的性质知，PM QM ⊥，有0PM QM ⋅=， 当点M 与点P ，Q 之一重合时，0PM QM ⋅=也成立，于是得0PM QM ⋅=，又0000(1,),(1,)PM x y QM x y =+=-，从而得22001x y +=，即点M 的轨迹是以原点为圆心的单位圆，圆22001x y +=的圆心到直线34250x y +-=的距离5d ==，则圆22001x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最大值为16d +=，所以112243254325x y x y +-++-的最大值为60. 故选：C10．直线a 与平面α所成的角为15°，点P 为空间一定点，过点P 作与α成45°、与a 成60°的直线l 可以作（ ） A ．2条 B ．3条C ．4条D ．无数条【答案】B【分析】设直线a 与平面α交于点A ，过点A 作与α成45︒的直线，它在如图的轴截面为等腰直角三角形的圆锥侧面上运动．设a 在α内的射影为直线b ，a 、b 确定的平面为β，由直线与平面所成角的性质可得当圆锥的母线在落在平面β内时，它与a 所成角为60︒或30．由此将圆锥的母线绕点A 旋转并观察母线与直线a 所成角的变化，可得圆锥侧面上共有三条母线所在的直线与a 所成角为60︒，由此结合异面直线所成角的定义可得满足条件的直线l 的条数．【详解】解：设直线a 与平面α相交于点A ，a 在α内的射影直线为b ， 设圆锥的顶点为A 点，圆锥的轴AO ⊥平面α，圆锥的轴截面为等腰Rt ABC ，如图所示．可得图中圆锥的任意一条母线与平面α所成角都等于45︒， 设直线c 为圆锥的一条母线所在直线，直线a 、b 确定的平面为β， 由直线与平面所成角的性质，可得当c 落在平面β内时， 直线c 与直线a 所成角等于4515︒+︒或4515︒-︒，当c 与AB 所在直线重合时，c 与a 所成角为60︒；当c 与AC 所在直线重合时，c 与a 所成角为30． 当直线c 从AC 的位置按顺时针方向旋转到AB 位置时，a 、c 所成角从30增大到90︒，再减小到60︒， 这个过程中必定有一个位置满足c 与a 所成角为60︒；同理当直线c 从AC 的位置按逆时针方向旋转到AB 位置时，这个过程中也存在一个位置满足c 与a 所成角为60︒． 综上所述，经过点A 的直线c 共有3条满足c 与a 所成角为60︒． 将满足条件的直线c 平移到使它经过空间的点P 得到直线l ，根据异面直线所成角的定义，可得直线l 与直线a 所成角为60︒，满足条件的直线l 有3条．∴过点P 作与α成45︒、与a 成60︒的直线l 可以作3条．故选：B ．11．已知数列{}n a 满足：11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N *--=+≥∈，若将数列{}n a 的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 段圆弧所在正方形的面积之和为n S ，第n 段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c .现有如下命题：1p ：2111n n n n S a a a +++=+⋅；2p ：132121n n a a a a -+++=-；3p ：12321n n a a a a a +++++=-；4p ：()1124πn n n n c c a a -+--=⋅.则下列选项为真命题的是（ ） A ．12p p ⌝∧ B ．13p p ⌝∨⌝ C ．23p p ⌝∧⌝ D ．24p p ∨【答案】D【分析】命题1p ，可以取1n =、n k =和1n k =+去验证是否成立；命题2p ，可以通过对n 进行取值验证；命题3p ，可通过叠加的方法来进行推导；命题4p ，可以通过题意写出{}n c 的表达式，然后带入化简验证，判断完四个命题后，再根据四个选项的组合进行选择.【详解】因为11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N *--=+≥∈，1p ，2111n n n n S a a a +++=+⋅，当1n =时，222212S a a a =+⋅=，而122a a +=成立，假设当n k =时，2111k k k k S a a a +++=+⋅，那么当1n k =+时，22222212211211212()k k k k k k k k k k k k k k S S a a a a a a a a a a a a ++++++++++++=+=++⋅=++⋅=+⋅，则当1n k =+时，等式也成立，所以对于任意*N n ∈，2111n n n n S a a a +++=+⋅成立，故该命题正确；2p ，由题意可得11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，132121n n a a a a -+++=-，当2n =时，13431a a a +=≠-，该命题错误；3p ，11a a =，231a a a =-，34211,,n n n a a a a a a +-=-=-，叠加得：1232221n n n a a a a a a a ++++++=-=-，故该命题正确；4p ，由题意可知2π4n n c a =，所以()22111112π44?()π()()π4n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ----+--=-=-+=⋅，故该命题正确； 所以选项A ，12p p ⌝∧为假命题；选项B ，13p p ⌝∨⌝为假命题；选项C ，23p p ⌝∧⌝为假命题；选项A ，24p p ∨为真命题. 故选：D.12．已知函数()()434xf x x x e =-⋅，若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2x ，()3123x x x x <<，则24ax -的取值范围是（ ）A ．327,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．327,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】求得()()2212xf x x x e '=-，得到函数()f x 单调性进而画出函数()f x 的图象，结合图象a ⎛∈ ⎝，进而得到2x 的取值范围为()-，得到23224x a x e x =-，构造新函数，结合导数求得函数的额单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()()434x f x x x e =-⋅，可得()()()42221212x xf x x x e x x e '=-=-，当x <-()0f x '>，()f x 单调递增；当x -<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >()0f x '>，()f x 单调递增；又由当x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，且(f -=()00f =，((144f e =-故可大致画出()f x 的图象如下：由图象可知，a 的取值范围为231449630,e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 此时对应2x 的取值范围为()23,0-，而()2243223222444x x x x e a x e x x -==--，故令()()3230x g x x e x =-≤≤，则()()()32233x xg x x x e x x e '=+=+，故当233x -≤<-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当30x -<≤时，()0g x '>，()g x 单调递增； 而()23243230g e -=-<，()3273g e -=-，()00g =， 故24a x -的取值范围是327,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.二、填空题13．已知向量a =（1，2），b =（3，﹣4），则向量a 在向量b 上的投影为__． 【答案】﹣1【分析】利用向量投影的意义解答即可. 【详解】解：由已知,向量a 在向量b 上的投影为22131||34a b b ⋅⨯-==-+.故答案为：−1.【点睛】本题考查了平面向量的投影求法；利用数量积的几何意义求之即可.14．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点F 关于其一条渐近线的对称点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为______.【分析】求出焦点关于一条渐近线的对称点P 的坐标，代入双曲线方程求解作答. 【详解】由双曲线的对称性，不妨令F 为右焦点，渐近线为by x a=，即0bx ay -=，令半焦距为c ，则(c,0)F ， 过F 垂直于渐近线b y x a=的直线方程为：()ay x c b =--，即ax by ac +=，由0bx ay ax by ac -=⎧⎨+=⎩解得2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即过F 垂直于渐近线b y x a =的直线与该渐近线交于点2()a ab c c,，依题意，点P 的坐标为222(,)a ab c c c-，而点P 在双曲线上，则有2222222()()1a ab c c c a b --=， 即222()4()1a c a c a c --=，而ce a =，于是得2224()1e e e--=，整理得：25e =，而1e >，解得e =15．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，已知π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且对于任意的x ∈R 都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______.【答案】5【分析】根据已知条件，利用ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭建立起关于ω的等量关系，然后根据()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，卡出ω的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可. 【详解】因为函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π3sin(?)33ωϕ+=，所以πππ(Z)32k k ωϕ+=+∈，11πππ(Z)23k k k ϕ=-+∈,因为于任意的x ∈R 都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ππsin ()?sin ?()66x x ωϕωϕ⎡⎤⎡⎤-+=--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以ππsin sin 66x x ωωωϕωϕ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22ππ2π(Z)66x x k k ωωωϕωϕ-+=+-+∈或33πππ(Z)66x x k k ωωωϕωϕ-+++-=∈，所以22ππ(Z)6k k ωϕ=+∈或332π(Z)x k k ω=∈，即33π(Z)2k x k ω=∈（舍去），所以22ππ(Z)6k k ωϕ=+∈， 因为11πππ(Z)23k k k ϕ=-+∈，所以121ππππ=π(Z)236k k k k ω-++∈，即1212()k k ω=+-， 令12t k k =-，所以12()t t Z ω=+∈，()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，2π5ππ93612-=，π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以在区间5π2π,369⎛⎫ ⎪⎝⎭中包含在一个对称轴和对称中心之间（4T ）即π124T ≤， 所以6ω≤，而12()t t Z ω=+∈， 所以ω的最大值为5. 故答案为：5.16．在四棱锥S ABCD -中，已知SA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，3AB =，6CD AD ==，M 是平面SAD 内的动点，且满足CMD BMA ∠=∠.则当四棱锥M ABCD -的体积最大时，三棱锥M ACD -外接球的表面积为______. 【答案】136π 【分析】分析可知12MA MD =，然后以点以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),0,M x z ，求出点M 的轨迹方程，可知当点M 到平面ABCD 的距离最大时，四棱锥M ABCD -的体积最大，设点()2,0,4M -，设三棱锥M ACD -的球心为(),,O a b c ，列方程组求出点O 的坐标，可求得球O 的半径，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】因为//AB CD ，AB AD ⊥，3AB =，6CD AD ==，则四边形ABCD 为直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，则AB SA ⊥，AB AD ⊥，SA AD A =，AB ∴⊥平面SAD ，则CD ⊥平面SAD ，AM 、DM ⊂平面SAD ，AB AM ∴⊥，CD DM ⊥，则90BAM CDM ∠=∠=， 故1tan tan 2AB CD MA BMA CMD BMA CMD MA MD MD ∠=∠⇔∠=∠⇔=⇔=， SA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,3,0B 、()6,6,0C 、()6,0,0D ，设点(),0,M x z ， 由12MA MD=可得()222226x z x z +=-+()22216x z ++=，即点M 的轨迹为圆，当点M 到平面ABCD 的距离最大时，四棱锥M ABCD -的体积最大， 不妨设点()2,0,4M -，设三棱锥M ACD -的球心为(),,O a b c ，由OA OM OA OC OA OD ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，可得()()()()()22222222222222222224666a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎧++=+++-⎪⎪++=-+-+⎨⎪++=-++⎪⎩，解得334a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，三棱锥M ACD -的外接球球心为()3,3,4O ，球O 的半径为22233434OA =++=因此，三棱锥M ACD -的外接球的表面积为24434136OA πππ⨯=⨯=.故答案为：136π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 三、解答题17．在ABC 中，AD 是底边BC 上的高，垂足为点D ，且13ADBC =. (1)若边长AB ，BC ，CA 成等比数列，求BAC ∠的正弦值；(2)求AC ABAB AC+的最大值. 【答案】(1)13【分析】（1）设AB c =，BC a =，CA b =，AD h =，根据等面积法可得11sin 22ah bc BAC =∠，再由13h a =，即可得到23sin a bc BAC =∠，最后由三边成等比数列，即可得到2b ac =，从而得解；（2）设BAC θ∠=由余弦定理及（1）中的结论可得223sin 2cos b c bc bc θθ+=+，再两边同除bc ，即可得到3sin 2cos AC ABAB AC θθ+=+，最后利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】(1)解：设AB c =，BC a =，CA b =，AD h =.由面积公式可得11sin 22ah bc BAC =∠.又已知13h a =，代入上式可知23sin a bc BAC =∠.又由于a ，b ，c 成等比数列，即2b ac =，代入上式，得1sin 3BAC ∠=.(2)解：设BAC θ∠=，在ABC 中，由余弦定理可知2222cos b c a bc θ+=+， 由（1）可知23sin a bc θ=，代入上式可知223sin 2cos b c bc bc θθ+=+，于是()3sin 2cos 13sin AC AB b cAB AC c bθθθϕ+=+=+=+， 其中2tan 3ϕ=，ϕ为锐角，故当()sin 1θϕ+=时，max13AC AB AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭. 18．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马” P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =.(1)若4PB =，试计算底面ABCD 面积的最大值；(2)过棱PC 的中点E 作EF PB ⊥，交PB 于点F ，连DE ，DF ，BD .若平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3，试求DCBC 的值.【答案】(1)22【分析】（1）根据已知条件，可设PD CD x ==，AD y =，表示出底面ABCD 的面积，然后利用基本不等式即可完成最值得求解；（2）设出AD λ=，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求解出平面DEF 与平面ABCD 的法向量，然后利用已知条件，求解出λ，即可求解出DCBC的值. 【详解】(1)设PD CD x ==，AD y =，由已知可知22216x y +=，而底面ABCD 的面积为xy . 则由均值不等式，可知222242222ABCDx y S xy x y +==⋅≤=2x y =时等号成立.(2)如图，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系.设1PD DC ==，AD λ=，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，(),1,0B λ，()0,1,0C ， 所以(),1,1PB λ=-.由于E 是PC 的中点，则110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，故110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF ，故(),1,1PB λ=-是平面DEF 的一个法向量. 而因为PD ⊥平面ABCD ，所以()0,0,1DP =是平面ABCD 的一个法向量. 由已知平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3， 则2π11cos322BP DP BP DPλ⋅===⋅+，解得2λ= 所以12DC BC λ==. 故当平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3，2DC BC 19．某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜的次数之和不少于3次就可以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为1P ，2P . (1)若134P =，223P =，求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率；(2)若1243P P +=，且在前n 轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则n 的最小值是多少？并求此时的1P ，2P 的值. 【答案】(1)23(2)27，1223P P ==【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号的概率；（2）求得第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为221212833P PP P P =-，根据题意得到1211414,339PP P P ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令12t PP =，得到()2833P h t t t ==-+，结合二次函数的性质和二项分布的性质，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，在“第一轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号”为事件A ， 则()12212222222231223321332224433443344333P A C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)解：他们在第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为()()12222122222112221222212211P C P P C P C P C P P C P C P =-+-+()2222121212121282333PP P P P P PP P P =+-=-，由于101P ≤≤，201P ≤≤，因此1113P ≤≤，故1211414,339PP P P ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令12t PP =，则()2284161433392739P h t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-+=--+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当49t =时，可得max 1627P =， 甲乙两人小组前n 轮游戏中获得“最佳拍档”称号的次数(),B n P ξ~， 由16E np ξ==，知min max1627n P ==. 所以n 的最小值是27，此时1223P P ==. 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，且椭圆C 上的点M 满足127MF =，12150MF F ∠=︒.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任意一条直线l 与椭圆的两个交点P 、Q ，都有2211EPEQ+为定值，试求出此定值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）根据焦点坐标和焦点三角形12MF F △中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可； （2）先联立直线和椭圆的方程，然后根据韦达定理表示出P 、Q 两点的纵坐标的关系，进而表示出2211EPEQ+，即可求得该定值，同时也对直线l 为x 轴时检验即可 【详解】(1)依题意得：c =122F F c ==由椭圆定义知：122MF MF a += 又127MF =，则2227MF a =-，在12MF F △中，12150MF F ∠=︒由余弦定理得：2222112112122cos MF MF F F MF F F MF F =+-⋅∠即(22222222cos150777a ⎛⎫⎛⎫-=+-⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2a = 又2221b a c =-=故所求椭圆方程为：2214x y +=(2)设(),0E m 、()11,P x y 、()22,Q x y ，当直线l 不为x 轴时的方程为x ty m =+ 联立椭圆方程得：2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得：()()2224240t y tmy m +++-=根据韦达定理可得：12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+ ()()()()212122222222221212211111111y y y y y y t y t y t EP EQ +-+=+=⋅+++ ()()()22222232828114m m t t m -++=⋅+- 当且仅当2232828m m -=+，即m =22115EP EQ +=（定值）即在x 轴上存在点E 使得2211EPEQ+为定值5，点E的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭经检验，当直线PQ 为x 轴时，上面求出的点E 也符合题意【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21．已知函数()ln f x x x =的图象曲线C 满足以下两个特性： ①过点()1,P t 存在两条直线与曲线C 相切；②曲线C 上有A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，()21201x x x <<<，且满足两点在曲线C 上等高.请完成以下两个问题.(1)求实数t 的取值范围；(2)若22121252x x k x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，且k Z ∈，求k 值. 【答案】(1)(),0∞- (2)2k =【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线方程()()ln 1ln y u u u x u -=+-，代入点()1,P t ，转化为1ln t u u -=-在()0,∞+有两解，利用导数求得()ln g x x x =-的单调性与最值，即可求解； （2）结合()f x 的单调性得到1212101,1x x ex ex e<<<<<<，令()22ln 1h x x x x =-+，利用导数求得函数的单调性转化为11122212111122x ex x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫⋅--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到122x x e+>，构造函数()()ln 011x g x x x =<<-，利用导数求得函数的单调性，转化为1221x x e <+<，得到22121252x x k x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，函数()ln f x x x =，可得()1ln f x x '=+， 设切点为(),u v ，则切线的斜率为()1ln f u u '=+，即有切线的方程为()()ln 1ln y u u u x u -=+-，代入点()1,P t ，即有()()ln 1ln 1t u u u u -=+-，即为1ln t u u -=-在()0,∞+有两解， 又由()ln g x x x =-，可得()11g x x'=-， 当1x >时，()0g x '<，()g x 递减； 当01x <<时，()0g x '<，()g x 递增， 所以当1x =时， ()()max 11g x g ==-，且当x →+∞时，()g x →-∞；当0x →时，()g x →-∞， 即有11t -<-，解得0t <，故实数t 的取值范围是(),0∞-. (2)①解：由()1ln f x x '=+，当10x e<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x e >时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()10f =，则有12101x x e<<<<，121ex ex <<， 令()22ln 1,01h x x x x x =-+<<，可得()2(ln 1)h x x x '=-+，令()ln 1x x x ϕ=-+，则()11x xϕ'=-， 因为01x <<，所以()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，又由()10ϕ=，所以()0x ϕ<，即()0h x '<，所以()h x 单调递减， 所以()()10h x h <=，即22ln 10x x x -+<， 所以不等式11ln ,201x x x x ⎛⎫>- ⎪⎝<<⎭成立，则()11111111111ln ln 2x x x ex x x ex x ex ⎛⎫=->⋅-- ⎪⎝⎭，222222222111ln ln 2x x x x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫=--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11122212111122x ex x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫⋅--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得122x x e+>， 构造函数()()ln 011x g x x x =<<-，则()()211ln 1x x g x x --'=-， 令1()ln 1,(0,1)m x x x x =+-∈，可得22111()x m x x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，可得()0m x '<，所以()m x 单调递减，又因为(1)0m =，所以()0m x <，即1ln 10x x +-<，所以11ln 0x x--< 可得()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以()()12g x g x >， 即1212ln ln 11x x x x >--，因此()()11221122ln ln 11x x x x x x x x >--，整理得121x x +<. 因此有1221x x e <+<，故22121221055,22x x k x x e ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若k 为整数，则2k =.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C ：()π06θρ=和3C ：()π06θρ=-，曲线1C 分别交2C ，3C 于P ，Q 两点. (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)求OPQ △的面积.【答案】(1)24cos 2ρθ=，()0y x =≥；(2)【分析】（1）先求出曲线1C 的普通方程，再求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1OP ρ==2π,6Q ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2OQ ρ==. 【详解】(1)解：由参数方程1,1,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），可得2,2,x y t x y t +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 消去t 可得1C 的普通方程为224x y -=.又cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入224x y -=，可得2222cos sin 4,ρθρθ-=， 即1C 的极坐标方程为24cos 2ρθ=； 由极坐标方程()π06θρ=≥，可得tan θ=， 所以2C的直角坐标方程为()0y x =≥. (2)解：设1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 2ρθ=，可得2148πcos 3ρ==，所以1OP ρ==设2π,6Q ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得2OQ ρ==所以11ππsin sin 2266S OP OQ POQ ⎛⎫=⨯⨯⨯∠=⨯+= ⎪⎝⎭23．函数()()2R f x x x a a =++-∈.(1)当2a =时，不等式()8f x ≤的解集M ；(2)若()0,1x ∈时，不等式()4f x x <+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1){}44x x -≤≤(2)12a -≤≤【分析】（1）分2x -≤、22x -<<、2x ≥三种情况解不等式()8f x ≤，综合可得出集合M ；（2）分析可得当()0,1x ∈时，2x a -<，可得出{}{}0122x x x a x a <<⊆-<<+，进一步可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】(1)解：当2a =时，()22f x x x =++-.当2x -≤时，由()2228f x x x x =--+-=-≤，可得4x ≥-，此时42x -≤≤-； 当22x -<<时，由()2248f x x x =++-=≤恒成立，此时22x -<<； 当2x ≥时，由()2228f x x x x =++-=≤，可得4x ≤，此时24x ≤≤. 综上所述，{}44M x x =-≤≤.(2)解：当()0,1x ∈时，()2f x x x a =++-，由()4f x x <+，得2x a -<，可得22a x a -<<+，因为当()0,1x ∈时，不等式()4f x x <+恒成立， 所以，{}{}0122x x x a x a <<⊆-<<+，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤， 因此，12a -≤≤.。
安徽省六校教育研究会高三数学2月联考试题 理(含解析)新人教A版
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数221zi i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） （A ）2 （B ）22（C ）3 （D ） 22.已知命题p ：“1a =是0ax x x,+2>≥”的充分必要条件”；命题q ：“存在0x R ∈，使得20020x x +->”，下列命题正确的是（ ）(A)命题“p q ∧”是真命题 (B)命题“()p q ⌝∧”是真命题 (C)命题“()p q ∧⌝”是真命题 (D)命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题3.执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） (A) 4n >？ (B) 8n >？ (C) 16n >？ (D) 16n <？4.在极坐标系中，点π(2,)3和圆θρcos2=的圆心的距离为( )(A) 3 (B) 22π19+2π49+【答案】A5.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） (A)1142+a b (B) 1124+a b (C) 2133+a b (D) 1233+a b6.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*， 若32b =-,1012b =,则8a =（ ）(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11【答案】B7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）（A）43（B）8 (C) 83 (D) 478.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）（A ）521（B ）27 （C ）13（D ）8219.设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） (A)213 (B) 193 (C) 73(D) 73310.10．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d，则22()()a c bd 的最小值为（ ）2 (B) 2 (C) 22第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.．已知0sin ,a xdx π=⎰则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．二项式5 1ax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x-的系数为()()333510280C a-=⨯-=-考点：1、定积分的求法；2、二项式定理.12.如图所示，第n个图形是由正2n+边形拓展而来（1,2,n=），则第2n-个图形共有____ 个顶点．13.若不等式组50,5,02x yy kxx-+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范是 .14.抛物线2(33)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ．15.对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}|(),y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“好区间”．给出下列4个函数：①()sin f x x =；②()21xf x =-；③3()3f x x x =-；④()lg 1f x x =+．其中存在“好区间”的函数是 ． （填入所有满足条件函数的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量33(sin ,cos ),(,)22m x x n ==，x R ∈，函数(),f x m n =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中，设角A ，B 的对边分别为,a b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小．17.（本小题满分12分）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结1A B 、1AC (如图2). （Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ;（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.直线1PA 与平面1A BD 所成的角1PA H ∠，设PB 的长为x ，用x 表示11,,A D A H DH ，在直角∆1A DH 中，Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- ,由22211A D DH A H +=, 得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,解得18.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前n 项和.2、参变量范围的求法. 19.（本小题满分12分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为 次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [)70,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件A 8 12 40 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；（ii ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．20.（本小题满分13分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3a a⎛⎫+⎪⎝⎭()0a >上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果对任意的1x ，)22x e ，⎡∈+∞⎣，有121211()()f x f x m x x -≥-，求实数m 的取值范围．递减，故()f x 在1x =处取得极大值． ……………………3分21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆G 与抛物线24y x =-有一个公共的焦点，且过点6(. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ) 设点P 是椭圆G 在第一象限上的任一点,连接12,PF PF ,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆G 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为1k ,2k ,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值； （III ）在第(Ⅱ)问的条件下，作22F Q F P ⊥，设2F Q 交l 于点Q ， 证明:当点P 在椭圆上移动时，点Q 在某定直线上.。
安徽六校教育研究会2022高三2月联考试卷--数学(理)
安徽六校教育研究会2022高三2月联考试卷--数学（理）数学（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时刻120分钟．2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清晰．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的 1.复数21(1)i+的虚部是( ) A ．0 B ．2 C ．2- D ．2i -2.命题p ：若a ，b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|＞1的充分而不必要条件． 命题q ：函数21--=x y 的定义域是(][)+∞⋃-∞-,31,，则 ( )A.“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真3.在极坐标系中，以A （0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是（ ）A.ρ=4sin θB.ρ=2C.ρ=4cos θD. ρ=2sin θ+2cos θ 4.已知集合{}Ra a M ∈+==λλ),4,3()2,1(，{}Ra a N ∈+--==λλ),5,4()2,2( ，则N M ⋂等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．φ 5.右图给出的是运算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判定框内应填入关于的条件是（ ）A.i=10B.i ≥9C.i ≤10D.i ≥11 6.若双曲线122=+my x 的一条渐近线的倾斜角∈α(0，3π),则m 的取值范畴是（ ）A.()0,3-B.()0,3-C.()3,0D.）（0,33- 7.四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图 如右图所示，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所 截得的线段长为22，则该球表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22πD ．12π8.角α的顶点在坐标原点O,始边在y 轴的正半轴上，终边在第三象限过点P ,且43tan -=α；角β的顶点在坐标原点O,始边在x 轴的正半轴上，终边在第二象限通过点Q ，且2tan -=β，则POQ ∠cos 的值为（ ）A.55 B. 55-C. 25511D. 25511-9.在四棱柱的所有棱、面对角线及体对角线所在直线中任取两条，这两条直线异面的概率是（ ）A. 31 B. 32 C.6329 D.632210.设,10a b +<<若关于x 的不等式22)()(b x ax -<的解中恰有四个整数，则a 的取值范畴是（ ）A.13-<<-aB. 21<<aC. 32<<aD. 63<<a第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若直线y=kx +1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是 ． 12.某单位为了了解用电量y （度）与气温)(0C x 之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如下表：由表中数据可得线性回来方程ˆy bx a =+中的2b =-，推测当气温为10C -︒时，该单位用电量的度数约为_______度．13.高三某班级有6名同学参加自主招生，预备报考3所院校，每人只报考一所，每所院校至少报1人，则不同的报考方法为__________.（用数字作答） 14.设函数)(,)2(1)11()2()2()(211n f a x dx x x x a x f n x=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=⎰-π，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范畴为 .15.函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[,]a b 内是单调函数；（2）()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ，则称区间[,]a b 为()y f x =的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的有__________（只需填符合题意的条件序号） ①)0()(2≥=x x x f ； ②()()x f x e x =∈R ； ③)0(14)(2≥+=x x xx f ； ④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f xa 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）函数1)sin()(-+=ϕωx A x f ,00>>ω，（A ϕ)2π<的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π，且通过点)21,12(π-.(1)求函数)(x f 的单调递增区间； (2)若57)(=αf ，且∈α⎥⎦⎤⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值.17.（本小题满分12分）美国NBA 总决赛采纳七局四胜制，赛前估量2020年参加决赛的两队实力相当，且每场竞赛组织者可获得200万美元，问：（1）竞赛只打4场的概率是多少？（2）组织者在本次竞赛中获利不低于1200万美元的概率是多少？ （3）组织者在本次竞赛中获利的期望是多少？18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求证：FC ∥平面EAD ； （3）求二面角B FC A --的余弦值．19.（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；ECBADF(2）设过点M 且斜率不为0的任意直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>。
2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。
安徽六校二联高三考试理数
安徽省六校教育研究会2021届高三联考 数学能力测试（理）个题：淮北一中六校联考个延如注意亨项:1. 各基前，考生务必将自己的姓名、考生号等埃写在答题卡和试*指定住赛上•2. 回各选择题时，选出每小袈备案后，用铅宅把各•题卡对应题目的各案标号涂，黑.如需改动'用榜•安J 〒 冷后，再选涂其他各斐标号.回各非选择题时，将备案写在答题卡上•写在本试卷上无效・3. 若试姑束后，将本试卷和各题卡一并文回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1（设全举为实数集R,集合PA. {4}B.{3,4}C. {2,3,4}D. {123.4}2.已知发数::与（z + 2）2-8i 均是纯曜数.则::的覆部为（）A.-2B.2C. -2iD. -2ifx-2y+ 4> 03.实数x,y 满足不等式组]2x + y-22 0 ,则x : + y 2的成小仙为（ [3、-）'-3三0A. 1B.2C.3D.45. 己知向量B = （1,V5）,向i 房在向鱼B 方向上的投形为一6‘若（疝+B ）上B,\ \ 1A. —B. —C. —D. 333 3 6. 在线！ ： 2x + y + 3 = 0 倾斜，。
为 a .则 sin 2a,4 4 3 A. ~~ B. ---------- C.—5557-已知点，M （2,yo ）为抛物线）尸=2px , 酮牛顺0\,则p 的侃为（）效学试也（理）.'i. 1或匚匕.2或3C. 3或2D. I 或24 2 422^54A. —B. 1C.-5 54.不定方程的整数解.问地是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富, 数学家丢花臼•谐研究下而一道不定方程整数解•的问题：已知 整数解有（）组.B.11）.2西方最早研咒不定方程的人是花腊 + y 2 = 2y\x eZ.yeZ ）则该方程炳= WxWl + Ji,xwR"集合Q = {1,23,4},则悝中阴影部分表示的染合村+ cos'a 的他为（D. ~5（p>0）上一点，F 为抛物我仙焦点，O 为坐标原点，岩则实数久的值为（8•函数/(x) = sinx + x\x.务白足+ 的， ).七充分不"条件B.，必妥不充分条件C.充耍条件D.场不充分也不必受条件9. 已知数列匠)的筋〃顼引5”=，己将故列依所均浒按照务〃纽有2”以的要求分级们202】在第几组， )A. 8B.9C. 10D. 1110. 已知三校性A - BCD涓足：AB = AC = AD. NBCD是边云为2的等边三角澎.其歼接或的申匚”涓足：瓦，左+而二6・可该三梭性的化矽.为，>112 •:X. — B. — C. — D. 16 3 311. 原。
安徽省2021年高考数学二模试卷(理科)(I)卷
安徽省2021年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·长春期中) 在复平面内，复数对应向量（o为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：， ,则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: ,则（）A .B .C .D .2. （2分）已知全集则（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·佛山模拟) 变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A . 2B . 4C . 5D . 64. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是（）A . 函数的值域与的值域不同B . 存在，使得函数和都在处取得最值C . 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象D . 函数和在区间上都是增函数5. （2分）(2020·焦作模拟) 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分） (2015高一上·扶余期末) 如图所示，矩形ABCD的边AB=m，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=3，现有数据：① ；②m=3；③m=4；④ ．若在BC边上存在点Q（Q不在端点B、C处），使PQ⊥QD，则m可以取（）A . ①②B . ①②③C . ②④D . ①7. （2分）(2017·常宁模拟) 已知奇函数y=f（x），x∈R，a= [f（x）+ x2]dx，则二项式（﹣）9的展开式的常数项为（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣1D . ﹣8. （2分）已知函数，则其图象的下列结论中，正确的是（）A . 关于点中心对称B . 关于直线轴对称C . 向左平移后得到奇函数D . 向左平移后得到偶函数9. （2分）已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则（）A .B .C .D .10. （2分）若某空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C . 2D . 611. （2分）在一次数学测试中，某同学有两道单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·嘉兴模拟) 已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（）A . e﹣1B . eC . 1﹣e﹣3D . 1二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·南通期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若 =2，S4=4，则S8的值为________．14. （1分） (2017高一下·淮安期末) 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是________．15. （1分） (2019高三上·中山月考) 对于，有如下命题：①若，则一定为等腰三角形；②若，则定为钝角三角形；③在为锐角三角形，不等式恒成立；④若，则；⑤若，则 .则其中正确命题的序号是________ .（把所有正确的命题序号都填上）16. （1分） (2017高一上·青浦期末) 函数f（x）= 的零点个数是________．三、解答题： (共7题；共70分)17. （10分）(2020·绍兴模拟) 在中，已知内角的对边分别是，且，.（1）求角；（2）若，求的面积.18. （10分） (2016高二上·潮阳期中) 设Sn是数列[an}的前n项和，．（1）求{an}的通项；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．19. （15分）(2018·广元模拟) 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.参考公式： .（1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.0.050.013.841 6.63520. （5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，AP=BP=AB，BC⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积．（Ⅲ）（理科做，文科不做）求二面角B﹣AP﹣C的正弦值．21. （10分） (2019高二上·三明月考) 已知函数（1）求的最值；（2）若仅有唯一解，求的取值范围.22. （10分） (2016高一下·河源期末) 已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函数f（x）= 的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x= 上，且 = ．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1=0，当n≥2时，Sn=f（）+f（）+f（）+…+f（），求Sn ．23. （10分）(2017·武邑模拟) 综合题：（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2022年2月安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月联考数学(理)试卷参考答案
(
√#
⋅ √2 ⋅ ≤
(
√#
⋅
#$ ! )= !
当且仅当√2 = 时等号成立.
#
= 4√2
（5 分）
数学（理） 第 3 页 共 9 页
2022年2月安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月联考数学（理）试卷
（2）如图，以点为原点，射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直
安徽省六校教育研究会 2022 届高三联考
数学（理科）能力测试
时长：120 分钟 分值：150 分 命题人、审题人：张旭升 查道庆
一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
B
C
B
D
A
C
B
D
A
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）
的取值范围是@− . # , 0>，即选
.
"! #$
A.
16.【解析】
如图，容易证明底面是一个直角梯形，且
⊥平面， ⊥平面，
从而∠ = ∠ = 90°，
故∠ = ∠ ⇔ tan ∠ = tan ∠
⇔
1
=
⇔
=
;
:
|47|
|46|
故当sin( + ) = 1时，|46| + |47|的=√13.
（12 分）
18.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如
2021年高三第二次六校联考试卷(数学理)
2021年高三第二次六校联考试卷（数学理）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1．设集合，集合，那么下列结论正确的是----( )A． B. C. D.2．方程一定有解，则的取值范围是 ------------------ （） A． B． C． D．以上都不对3．将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为------ （）．A． B． C． D．4．已知是等比数列，，则=( )A. 16（）B. 16（）C. （）D. （）5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（）A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5）D．（2，4）6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，Array则函数在内有极小值点共有-------------------------------------（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为---------------------------------------------------------（）A． B．C． D．8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，设，，则函数的图象大致是--------------------------------------------------------------（）x二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、 是的导函数，则的值是 ．10、函数的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为11、在ΔABC 12、 则实数的取值范围是 ；13、已知数列满足，，则=__ _____14、设x ，y 均为正实数，且，则xy 的最小值为三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷(理科)(解析版)
2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为（）A．2B．3C．4D．53．下列说法中错误的是（）A．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”B．在△ABC中，A＜B⇔sin A＜sin B⇔cos A＞cos BC．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立4．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A．2B．C．D．5．已知平面向量＝（，﹣1），||＝，且（+2）•（﹣）＝2，则|﹣|＝（）A．B．2C．D．36．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型f（x）＝．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）A．5B．6C．7D．87．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（）A．64B．72C．80D．908．设a＝log54，b＝ln2，c＝π0.1，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．f（x）＝2f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1，则y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．2x+3y+7＝0C．2x﹣y+3＝0D．2x+3y﹣7＝0 10．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，，当内角C 最大且b＝3时，△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，AB＝BF2，cos ∠ABF2＝，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．已知函数，x1、x2、x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在上单调递增；④ω的取值范围是．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值是．14．若二项式的展开式的各项系数之和为﹣1，则含x﹣1项的系数是．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|FB|，则线段AB的中点到y轴的距离为．16．已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}，S n是a n的前n项的和，且满足，数列{b n}是等差数列，b2+b6＝a4，a5﹣b4＝2b6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{S n}的前n项和为T n，设，求{c n}的前n项的和D n．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是边长为3的等边三角形，CD＝CB，CD⊥平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM∥平面APN．（1）求证：BM⊥AN；（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．19．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝16，点F（﹣1，0），P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M．（1）求点M的轨迹方程E．（2）A，B是M的轨迹方程与x轴的交点（点A在点B左边），直线GH过点T（4，0）与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x＝1交于点N，求证：动直线NH过定点．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k（k＞1，k∈N*）局，谁便赢得全部奖金a元．每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1﹣p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m（m＜k）局，乙赢了n（n＜k）局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．（1）规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．若k＝4，m＝2，n＝1，，求P甲：P乙．（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f（p），并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．21．已知函数f（x）＝e x（x2+mx+m2），g（x）＝ax2+x+axlnx．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取极小值，求实数m的值；（2）设m＝0，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，由B中不等式变形得：log2x＞0＝log21，解得：x＞1，即B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|x＞1}，故选：B．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为（）A．2B．3C．4D．5解：由（1+i）（1﹣bi）＝a，得（1+b）+（1﹣b）i＝a，则，得a＝2，b＝1．∴．故选：A．3．下列说法中错误的是（）A．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”B．在△ABC中，A＜B⇔sin A＜sin B⇔cos A＞cos BC．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立解：命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”满足命题的否定形式，所以A确；A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a＝2r sin A，b＝2r sin B，故sin A＞sin B．由同角三角函数的基本关系可得cos A＜cos B，所以B正确；这6个数的平均数为3，方差为2现又加入一个新数据3，此时这7个数的平均数为3，方差为2×＝，所以C不正确；从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”包含：事件：没有红球和事件，只有一个红球；与“都是红球”互斥且对立，所以D正确；故选：C．4．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A．2B．C．D．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A﹣BCD；如图所示：所以：CD＝2，BC＝2，BD＝2，，AD＝2，AB＝2，所以，，．故选：C．5．已知平面向量＝（，﹣1），||＝，且（+2）•（﹣）＝2，则|﹣|＝（）A．B．2C．D．3解：平面向量＝（，﹣1），||＝，且（+2）•（﹣）＝2，＝2，可得＝2，则|﹣|＝＝＝．故选：A．6．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型f（x）＝．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）A．5B．6C．7D．8解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令，得，解得n＞2ln15≈2×2.71＝5.42，∵n∈N*，∴n的值为6．故选：B．7．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（）A．64B．72C．80D．90解：3位回文数的特点为，百位和个位数字相同但不能为零，第一步，选百位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间数字，有10种选法；故3位回文数有9×10＝90个，故选：D．8．设a＝log54，b＝ln2，c＝π0.1，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b解：∵0＝log51＜log54＜log55＝1，∴0＜a＜1，∵0＝ln1＜ln2＜lne＝1，∴0＜b＜1，又∵＝＝＝＝＝，且ln5＜lne2＝2，∴，∴0＜b＜a＜1，∵π0.1＞π0＝1，∴c＞1，∴b＜a＜c，故选：B．9．f（x）＝2f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1，则y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．2x+3y+7＝0C．2x﹣y+3＝0D．2x+3y﹣7＝0解：取x＝2，得f（2）＝2f（2）﹣1，可得f（2）＝1，对函数f（x）＝2f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1求导，得f'（x）＝﹣2f'（4﹣x）﹣2x+2，∴f'（2）＝﹣2f'（2）﹣2，得f'（2）＝﹣，由此可得曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k＝﹣．∴所求切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简2x+3y﹣7＝0，故选：D．10．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，，当内角C 最大且b＝3时，△ABC的面积等于（）A．B．C．D．解：因为，由正弦定理得a+b＝，两边平方，得a2+2ab+b2＝，所以9（a2+b2﹣c2）＝5a2+5b2﹣8ab，由余弦定理得cos C＝＝（2）＝，当且仅当，即a＝b时取等号，此时cos C取得最小值，C取得最大值，三角形ABC中，sin C＝，△ABC的面积S＝＝＝2．故选：C．11．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，AB＝BF2，cos ∠ABF2＝，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．解：设|AF2|＝m，由双曲线的定义可得|AF1|＝m﹣2a，由|AB|＝|BF2|，可得m﹣2a＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，即有m＝4a，因为△ABF2为等腰三角形，所以cos∠ABF2＝cos（π﹣2∠F1AF2）＝﹣cos2∠F1AF2＝1﹣2cos2∠F1AF2＝，解得cos∠F1AF2＝，在△F1AF2中，cos∠F1AF2＝＝＝，化为c＝a，即有e＝＝．故选：D．12．已知函数，x1、x2、x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在上单调递增；④ω的取值范围是．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：∵ω＞0，当x∈[0，π]时，．设进行替换，作出函数y＝cos t的图象如下图所示：由于函数y＝f（x）在[0，π]上满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，即函数y＝cos t在上有且只有3个零点，由图象可知，解得，结论④不正确；由图象知，y＝cos t在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；当时，，由知，所以y＝cos t在上递增，则函数y＝f（x）在上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值是﹣1．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，1），由z＝3x+2y，得y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．14．若二项式的展开式的各项系数之和为﹣1，则含x﹣1项的系数是﹣672．解：由题意令x＝1代入二项式可得：（1+a）7＝﹣1，则1+a＝﹣1，所以a＝﹣2，所以二项式（x2﹣）7的展开式的通项公式为T＝C，令14﹣3r＝﹣1，解得r＝5，所以含x﹣1的系数为C＝﹣21×32＝﹣672，故答案为：﹣672．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|FB|，则线段AB的中点到y轴的距离为．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，可得p＝2，即有抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，设直线AB的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，①由|AF|＝3|FB|，可得＝3，即有0﹣y1＝3（y2﹣0），②由①②解得m＝±，可得AB的中点的横坐标为2m2+1＝2×+1＝．所以线段AB的中点到y轴的距离为．故答案为：．16．已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．解：将△ABD沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，所以∠AEC＝120°；△ABD与△BCD是边长为4的等边三角形．分别记三角形△ABD与△BCD的重心为G、F，则，；即EF＝EG；因为△ABD与△BCD都是边长为4的等边三角形，所以点G是△ABD的外心，点F是△BCD的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，根据球的性质，可得OF⊥平面BCD，OG⊥平面ABD，所以△OGE与△OFE都是直角三角形，且OE为公共边，所以Rt△OGE与Rt△OFE全等，因此，所以；因为AE⊥BD，CE⊥BD，AE∩CE＝E，且AE⊂平面AEC，CE⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC；又OE⊂平面AEC，所以BD⊥OE，连接OB，则外接球半径，所以外接球表面积为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}，S n是a n的前n项的和，且满足，数列{b n}是等差数列，b2+b6＝a4，a5﹣b4＝2b6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{S n}的前n项和为T n，设，求{c n}的前n项的和D n．解：（1）n＝1时，a1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）＝2a n﹣2a n﹣1，则a n＝2a n﹣1，所以{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；由{b n}是等差数列，设公差为d，由2b4＝b2+b6＝a4＝8，a5﹣b4＝16﹣4＝2b6，得b4＝4，b6＝6，所以2d＝6﹣4，即d＝1，所以b n＝n；（2）由（1）可得，T n＝（2+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣n﹣2，＝，所以D n＝﹣（+）+（+）﹣（+）﹣…+（﹣1）n（+）＝﹣2+（﹣1）n•．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是边长为3的等边三角形，CD＝CB，CD⊥平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM∥平面APN．（1）求证：BM⊥AN；（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：⇒CD⊥BM，又∵正△ABC中，AM＝MC⇒BM⊥AC，∴⇒BM⊥面ACD，∴BM⊥AN，（1分）（2）解：连接MD交AN于G，连接PG，作PH⊥BC于H，连接AH，∵⇒PH⊥平面ABC，∴∠PAH为AP与平面ABC所成角，（1分）又∵AN，DM都是△ACD的中线，∴G为△ACD的重心．（1分）又∵⇒BM∥PG，∴P为BD的三等分点，（1分）∴Rt△AHP中：PH＝1，，（1分）∴（1分）法二：建立如图空间直角坐标系：（1分）∵，∴P（3﹣3λ，3λ，0）（1分）设面APN的法向量为，∴，（1分）令x＝1，则，∴，（1分）∴P（2，1，0），（1分）又∵面ABC的法向量为：，（1分）∴．19．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝16，点F（﹣1，0），P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M．（1）求点M的轨迹方程E．（2）A，B是M的轨迹方程与x轴的交点（点A在点B左边），直线GH过点T（4，0）与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x＝1交于点N，求证：动直线NH过定点．解：（1）由圆（x﹣1）2+y2＝16，可得圆心C（1，0），半径r＝4，因为|FC|＝2＜4，所以点F在圆C内，又由点M在线段PF的垂直平分线上，所以MF＝MP，所以MC+MF＝MP+MC＝PC＝4，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以F，C为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝1，b2＝3，所以点M的轨迹方程为．证明：（2）设直线GH的方程为x＝my+4，G（x1，y1），H（x2，y2），A（﹣2，0），B（2，0），将x＝my+4代入，得（3m2+4）y2+24my+36＝0，，，∵相交，∴△＞0，设直线AG的方程为，令x＝1得，∴N（1，）∵＝﹣＝﹣＝0，所以直线NH恒过（2，0）．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k（k＞1，k∈N*）局，谁便赢得全部奖金a元．每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1﹣p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m（m＜k）局，乙赢了n（n＜k）局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．（1）规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．若k＝4，m＝2，n＝1，，求P甲：P乙．（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f（p），并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．解：（1）设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢．由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金．当X＝2时，甲以4：1赢，所以；当X＝3时，甲以4：2赢，所以；当X＝4时，甲以4：3赢，所以．所以，甲赢的概率为．所以，P甲：P乙＝243：13；（2）设比赛继续进行Y局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢．当Y＝3时，乙以4：2赢，P（Y＝3）＝（1﹣p）3；当Y＝4时，乙以4：3赢，；所以，乙赢得全部奖金的概率为P（A）＝（1﹣p）3+3p（1﹣p）3＝（1+3p）（1﹣p）3．于是甲赢得全部奖金的概率f（p）＝1﹣（1+3p）（1﹣p）3．求导，f'（p）＝﹣3（1﹣p）3﹣（1+3p）⋅3（1﹣p）2（﹣1）＝12p（1﹣p）2．因为，所以f'（p）＞0，所以f（p）在上单调递增，于是．故乙赢的概率为，故事件A是小概率事件．21．已知函数f（x）＝e x（x2+mx+m2），g（x）＝ax2+x+axlnx．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取极小值，求实数m的值；（2）设m＝0，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值．解：（1）f′（x）＝e x[x2+（m+2）x+m2+m]，由题意得f′（﹣1）＝0，即m＝±1，当m＝1时，f′（x）＝e x（x+1）（x+2），此时f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，符合题意；当m＝﹣1时，f′（x）＝e x（x+1）x，此时f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，不符合题意．综上可得，m＝1．（2）由f（x）≥g（x）得xe x﹣1﹣a（x+lnx）≥0，指数化得不等式e x+lnx﹣1﹣a（x+lnx）≥0恒成立，令t＝x+lnx，则∀t∈R，不等式e t﹣at﹣1≥0恒成立，令h（t）＝e t﹣at﹣1，t∈R，则h′（t）＝e t﹣a，当a≤0时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，h（﹣1）＝+a﹣1＜0，不符合题意；当a＞0时，令h′（t）＝0，得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，所以h（t）min＝h（lna）＝a﹣alna﹣1，所以a﹣alna﹣1≥0，即lna+﹣1≤0，令φ（a）＝lna+﹣1，则φ′（a）＝，所以φ（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0，所以a＝1．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程是：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4；直线l的直角坐标方程为：y＝x﹣m，∴圆心（2，0）到直线l的距离（弦心距）为d＝＝，圆心（2，0）到直线y＝x﹣m的距离为：即＝，∴|m﹣2|＝1，解得m＝1或m＝3；…（2）曲线C的方程可化为（x﹣2）2+y2＝4，其参数方程为（θ为参数）；又M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y＝2+2cosθ+2sinθ＝2+2sin（θ+），∴x+y的取值范围是．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|＝，当x≥1时，不等式化为x+2＜2，解得x＜0，可得x∈∅；当﹣＜x＜1时，不等式化为3x＜2，解得x＜，可得﹣＜x＜；当x≤﹣时，不等式化为﹣x﹣2＜2，解得x＞﹣4，可得﹣4＜x≤﹣；综上可得，原不等式的解集为（﹣4，）；（2）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为：f（x）min≤a﹣，由x≥1时，x+2≥3；﹣＜x＜1时，﹣＜3x＜3：x≤﹣时，﹣x﹣2≥﹣．可得f（x）min＝﹣，即有a﹣≥﹣，解得﹣1≤a≤3；所以a的取值范围是[﹣1，3]．。
安徽省六校教育研究会2021届高三下学期2月第二次联考理科数学试题(原卷版)
安徽省六校教育研究会2021届高三联考数学能力测试（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集为实数集R，集合{}1|P x x x R =≤+∈，集合{}1,2,3,4Q =，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}4 B.{}3,4 C.{}2,3,4 D.{}1,2,3,42.已知复数z 与2(2)8z i +-均是纯虚数，则z 的虚部为（）A.2-B.2C.2i- D.2i-3.已知实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的最小值是（）A.2B.1C.5D.454.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（）组．A.1B.2C.3D.45.已知向量(b = ，向量a 在b方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥ ，则实数λ的值为（）A.13B.13-C.23D.36.直线:230l x y ++=倾斜角为α，则2sin 2cos αα+的值为（）A.45 B.45- C.35D.35-7.已知点()02,M y 为抛物线()22,0y px p =>上一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若87MF MO =．则p 的值为（）A.1或54 B.52或3 C.3或54 D.1或528.函数3()sin f x x x x =++，则1a >-是(1)(2)0f a f a ++>的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，将数列{}n a 依原顺序按照第n 组有2n 项的要求分组，则2021在第几组（）A.8B.9C.10D.1110.已知三棱锥A BCD -满足：AB AC AD ==，BCD △是边长为2的等边三角形．三棱锥A BCD -的外接球的球心O 满足：0OB OC OD ++=，则该三棱谁的体积为（）A.16 B.13C.23D.111.圆O 半径为1，,PA PB 为圆O 的两条切线，A ，B 为切点，设APO α∠=，则2tan2PABS α最小值为（）A.4-+B.3-+C.4-+D.3-+12.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且首项10a >，给出下列命题：1p ：若3412a aa e a e =，则()3)(110a q --≤；2p ：若3412a a e a e a =++，则22,00,33q ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则下列说法正确的是（）A.1p 为真命题，2p 为假命题B.1p ，2p 都为真命题C.1p 为假命题，2p 为真命题D.1p ，2p 都为假命题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13.从编号为1、2、3、 、88的88个网站中采用系统抽样抽取容量为8的样本，若所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站最小编号为________．14.若31nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式常数项为84，则n =________．15.双曲线221mx ny -=左右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线渐近线上一点，若以12F F 为直径的圆经过P 点，且3APB π∠=．则该双曲线的渐近线方程为________．16.A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC 中，D 是BC 的中点，2,4,3AB AC AD ===．（1）求ABC 的面积；（2）若E 为BC 上一点，且AB AC AE AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，求λ的值．18.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠= ．1AA ⊥平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：11C M A C⊥；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．19.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度x /℃21232527293235平均产卵数y /个711212466115325xyz()()1ni i i x x z z=--∑()21ni i x x=-∑27.42981.2863.61240.182147.714表中ln i z y =，7117ii z z ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与dx y ce =（其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为()01p p <<.（ⅰ）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率0p .（ⅱ）当()fp 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.附：对于一组数据()()()112277,,,,,,x z x z x z ⋅⋅⋅，其回归直线 z a bx =+ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()71721ˆiii i i x x z z bx x ==--=-∑∑， az bx =- .20.已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点．（ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率；（ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．21.已知函数()21,xx mx f x m R e++=∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1,0m ∈-，证明：对任意的[]()1212,1,1,45x x m f x x ∈-+<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值．23.已知()11f x ax x =++-（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集：（2）若()1,2x ∈时不等式()f x x <成立，求a 的取值范围．。
安徽省合肥市2021届高三数学第二次教学质量检测试题理含解析
某某省某某市2021届高三数学第二次教学质量检测试题理（含解析）一、选择题（共12小题）.1．设复数z满足z﹣iz＝4i（i是虚数单位），则z在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知A＝{x|x2＜4x}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩（∁R B）＝（）A．（0，2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．[2，4）3．声强级（单位：dB）由公式L I＝10lg给出，其中I为声强（单位：W/m2）．某班级为规X同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10﹣7W/m2，2×10﹣9W/m2，5×10﹣10W/m2，9×10﹣11W/m2，则这4人中达到班级要求的有（）A．1人B．2人C．3人D．4人4．“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法．如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输入x＝a，n＝2，输出s＝26，则输入的实数a的值为（）A．﹣4或﹣3B．﹣3或4C．﹣4或3D．3或4 6．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，ABC的面积等于c （a sin A+b sin B﹣c sin C），则a+b的取值X围是（）A．（2，3]B．（，3]C．（3，2]D．（，2]8．设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点A的切线l的斜率为2，则切线l与AF夹角的正弦值为（）A．B．C．D．9．某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（）A．B．C．D．10．在《通用技术》课上，某小组同学准备用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型（其底面在正四面体一个面上），要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为（）A．B．C．4D．211．已知f（x）＝e x﹣e﹣x﹣sin2x，单调递增等差数列{a n}满足f（a2﹣3）≤0，f（4a1）+f （7﹣a2）≥0，则a3的取值X围是（）A．（0，3]B．（0，7）C．（﹣，3]D．（﹣，7]12．某校建立了一个数学，本校师生可以用特别密码登录免费下载学习资源．这个特别密码与图数表有关．数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推．每年的特别密码是由该年年份及图表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字构成的五位数．如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字．以此规则，2021年的特别密码是（）A．20212B．20214C．20216D．20218二、填空题（每小题5分）.13．已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|﹣|＝．14．在文明城市创建过程中，某市创建办公室对市区内从事小吃、衣帽、果蔬、玩具等6类商户数进行了统计并绘成如图所示的条形统计图，对商户进行了文明城市知识教育培训．2021年初，该市创建办公室计划从2000户商户中，按照商户类型进行分层抽样，随机抽取100户进行文明城市知识教育培训效果调查，则衣帽类和果蔬类商户抽取的户数分别为．15．已知数列{a n}满足a n+1＝，a1＝1．若从四个条件：①A＝；②ω＝2π；③φ＝；④B＝中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{a n}的通项a n表示为A sin（ωn+φ）+B（ω＞0，|φ|＜）的形式，则a n＝．16．已知空间三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2∥l3，两两之间的距离都为2．点A，B是直线l1上的两动点，且AB＝2，C，D分别在直线l2，l3上运动．下列命题：①四面体ABCD的体积是定值；②四面体ABCD的棱AB与CD所成角为θ，CD•sinθ是定值；③四面体ABCD表面积的最小值为++4；④四面体ABCD的内切球的体积最大值为．其中真命题是.（填上所有真命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）•2n+1+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．18．某外卖平台对其产品进行调查，发现用户数量约2.5亿，合作商户超过200万家，活跃骑手超过50万名，日完成订单超过1800万．抽样调查数据显示用户年龄分布如图．从所有用户中随机抽取100名对其一周内点外卖次数进行统计，得到数据如表：2次及以下3～5次6～8次8次以上男 2 30 15 5女 3 22 20 3（1）根据上表，从一周点外卖“8次以上”的8名用户中随机抽取3名，求男性用户数量X的分布列及其期望；（2）从所有用户中随机抽取n名用户，满足“至少一名用户年龄为30岁以上”的概率超过，若用样本频率估计总体概率，求n的最小值．（参考数据：lg2∈（0.301，0.302），lg3∈（0.477，0.478））19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝，AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为棱AB上一点，BD＝3AD，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角E﹣CF﹣B的正弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右顶点M到左焦点的距离为3，直线l与椭圆C交于点A，B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MA，MB的斜率为k1，k2．若4k1k2+9＝0，求|AB|的最小值．21．已知函数f（x）＝a（x+2）e x﹣（x+3）2（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞时，证明：f（x﹣2）＞lnx﹣x2﹣x﹣3．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C2与曲线C1交于点A，B，M（﹣2，2），求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝3．（1）证明：；（2）证明：．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．设复数z满足z﹣iz＝4i（i是虚数单位），则z在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由z﹣iz＝4i，得（1﹣i）z＝4i，∴z＝，∴z在复平面内的对应点的坐标为（﹣2，2），位于第二象限．故选：B．2．已知A＝{x|x2＜4x}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩（∁R B）＝（）A．（0，2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．[2，4）解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，∴∁R B＝{x|x≤2}，A∩（∁R B）＝（0，2]．故选：A．3．声强级（单位：dB）由公式L I＝10lg给出，其中I为声强（单位：W/m2）．某班级为规X同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10﹣7W/m2，2×10﹣9W/m2，5×10﹣10W/m2，9×10﹣11W/m2，则这4人中达到班级要求的有（）A．1人B．2人C．3人D．4人解：依题意，当I＝10﹣7W/m2时，；当I＝2×10﹣9W/m2时，＝10（lg2+3）＝30+10lg2＜30+10lg10＝40；当I＝5×10﹣10W/m2时，＝10（lg5+2）＝20+10lg5＜20+10lg10＝30；当I＝9×10﹣11W/m2时，＝10lg（9×10）＝10（lg9+1）＝10+10lg9＜10+10lg10＝20．∴这4人中达到班级要求的有3人．故选：C．4．“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由题意可得圆C：（x﹣2）2+y2＝3，圆心C（2，0）半径为，根据题意“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”，可得圆的圆心到直线l：y＝kx的距离小于等于半径，即，解得k∈[﹣，]．故由“”可推出“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”，由“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”不能推出“”，故“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2+y2＝3相交”的充分不必要条件，故选：A．5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法．如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输入x＝a，n＝2，输出s＝26，则输入的实数a的值为（）A．﹣4或﹣3B．﹣3或4C．﹣4或3D．3或4解：由题意，模拟程序的运行，可得x＝a，n＝2；k＝0，s＝0；执行循环体，s＝2，k＝1；不满足退出循环的条件，执行循环体，s＝2a+2，k＝2；不满足退出循环的条件，执行循环体，s＝a（2a+2）+2，k＝3；此时，满足退出循环的条件，退出循环，输出s的值为a（2a+2）+2＝26，整理可得a2+a﹣12＝0，解得a＝﹣4或3．故选：C．6．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）＝＝＝1+，有f（﹣x）+f（x）＝1++1﹣＝2，则f（x）的图像关于点（0，1）对称，排除C，f（﹣1）＝＝﹣＜0，排除AD，故选：B．7．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，ABC的面积等于c （a sin A+b sin B﹣c sin C），则a+b的取值X围是（）A．（2，3]B．（，3]C．（3，2]D．（，2]解：∵△ABC的面积＝ac sin B＝c（a sin A+b sin B﹣c sin C），∴ab＝a2+b2﹣c2，∴cos C＝＝＝，∵0＜C＜π，∴C＝，又∵c＝，由正弦定理＝2，可得a＝2sin A，b＝2sin B，∴a+b＝2sin A+2sin B＝2sin A+2sin（﹣A）＝cos A+3sin A＝2sin（A+），∵A∈（0，），A+∈（，），可得sin（A+）∈（，1]，∴a+b＝2sin（A+）∈（，2]．故选：D．8．设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点A的切线l的斜率为2，则切线l与AF夹角的正弦值为（）A．B．C．D．解：抛物线x2＝4y，即y＝，可得y′＝x，过抛物线上点A（m，n）的切线l的斜率为2，可得，解得m＝4，则n＝4，所以切点坐标A（4，4），抛物线的焦点坐标：F（0，1），k AF＝＝，切线l与AF夹角θ的正切函数值为：tanθ＝＝，sinθ＝tanθ•cosθ＝＝＝．故选：A．9．某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（）A．B．C．D．解：该同学投篮比赛得3分的情况有为：①第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中，概率为P1＝＝；②第一、二次连续两次投中，其它三次都没有投中，概率为：P2＝（）2×（）3＝；③第二、三次连续两次投中，其它三次都没有投中，概率为：P3＝（）2×（）3＝；④第三、四次连续两次投中，其它三次都没有投中，概率为：P4＝（）2×（）3＝；⑤第四、五次连续两次投中，其它三次都没有投中，概率为：P5＝（）2×（）3＝．∴该同学投篮比赛得3分的概率为：P＝P1+P2+P3+P4+P5＝＝．故选：C．10．在《通用技术》课上，某小组同学准备用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型（其底面在正四面体一个面上），要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为（）A．B．C．4D．2解：如图：正四面体ABCD的内接正三棱柱DEF﹣D1E1F1，首先D、E、F三个顶点必在四个全的三棱柱棱上，才能使得三棱柱体积体积最大值，正四面体ABCD棱长为6，则高为AM＝＝2，设正三棱柱高为h，底面边长为a，因为平面DEF∥平面BCD，所以，，＝＝，＝，≤＝8，当且仅当2h＝2﹣h，即时等式成立，故选：A．11．已知f（x）＝e x﹣e﹣x﹣sin2x，单调递增等差数列{a n}满足f（a2﹣3）≤0，f（4a1）+f （7﹣a2）≥0，则a3的取值X围是（）A．（0，3]B．（0，7）C．（﹣，3]D．（﹣，7]解：因为f（x）＝e x﹣e﹣x﹣sin2x，所以f′（x）＝e x+e﹣x﹣2cos2x≥2﹣2cos2x ≥0，所以f（x）在R上单调递增，又f（0）＝0，所以f（a2﹣3）≤0，等价于f（a2﹣3）≤f（0），所以a2﹣3≤0，解得a2≤3，f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin2x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（4a1）+f（7﹣a2）≥0，等价于f（4a1）≥f（a2﹣7），所以4a1≥a2﹣7，由a2≤3，可得6≥a1+a3，①由4a1≥a2﹣7，可得8a1≥a1+a3﹣7，即7a1≥a3﹣7，②①×7+②可得42+7a1≥7a1+7a3+a3﹣7，解得a3≤7，因为{a n}是单调递增数列，所以a3＞a2＞a1，所以4a2＞4a1≥a2﹣7，所以a2＞﹣，所以a3＞a2＞﹣，所以a3的取值X围是（﹣，7]．故选：D．12．某校建立了一个数学，本校师生可以用特别密码登录免费下载学习资源．这个特别密码与图数表有关．数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推．每年的特别密码是由该年年份及图表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字构成的五位数．如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字．以此规则，2021年的特别密码是（）A．20212B．20214C．20216D．20218解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列，且第n行的公差是2n﹣1，记第n行的第m个数为f（n，m），则有f（n，1）＝f（n﹣1，1）+f（n﹣1，2）＝2f（n﹣1，1）+2n﹣2，所以＝+，故数列{f（n，1）}构成一个首项为，公差为等差数列，所以＝（n+1）•2﹣2，故f（n，1）＝（n+1）•2n﹣2，所以第n行第1个数是（n+1）•2n﹣2．又因为2的1次方，个位是22的2次方，个位是42的3次方，个位是82的4次方，个位是62的5次方，个位是2 （开始循环），2019＝4×504+3，故第2012行的第一个数为：（2021+1）•22021﹣2的末位是8×2＝16的6，故2021年的特别密码是：20216．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|﹣|＝．解：根据题意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若∥，则有（﹣2）x＝1，则有x＝﹣，则＝（﹣，1），则有﹣＝（﹣，3），故|﹣|＝＝，故答案为：．14．在文明城市创建过程中，某市创建办公室对市区内从事小吃、衣帽、果蔬、玩具等6类商户数进行了统计并绘成如图所示的条形统计图，对商户进行了文明城市知识教育培训．2021年初，该市创建办公室计划从2000户商户中，按照商户类型进行分层抽样，随机抽取100户进行文明城市知识教育培训效果调查，则衣帽类和果蔬类商户抽取的户数分别为25，15 ．解：共有2000户，需要抽取100户，故抽取的比例为＝，由图表可知，衣帽类有500户，果蔬类有300户，则衣帽类抽取500×＝25户，果蔬类抽取300×＝15户．故答案为：25，15．15．已知数列{a n}满足a n+1＝，a1＝1．若从四个条件：①A＝；②ω＝2π；③φ＝；④B＝中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{a n}的通项a n表示为A sin（ωn+φ）+B（ω＞0，|φ|＜）的形式，则a n＝或．．解：数列{a n}满足a n+1＝，a1＝1．当n＝1时，解得，当n＝2时，解得a3＝1，当n＝3时，解得，故数列的周期为2，故，解得ω＝π，故②不能作为条件，设a n＝A sin（ωn+φ）+B，所以a1＝A sin（π+φ）+B＝1，①，a2＝A sin（2π+φ）+B＝﹣，②，①+②得B＝，故④不能作为条件．当①A＝时，φ）+，由于a1＝1，所以φ＝﹣．故．当③φ＝作为条件时，，由于a1＝1，所以A＝﹣，故．故答案为：或．16．已知空间三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2∥l3，两两之间的距离都为2．点A，B是直线l1上的两动点，且AB＝2，C，D分别在直线l2，l3上运动．下列命题：①四面体ABCD的体积是定值；②四面体ABCD的棱AB与CD所成角为θ，CD•sinθ是定值；③四面体ABCD表面积的最小值为++4；④四面体ABCD的内切球的体积最大值为．其中真命题是①②④.（填上所有真命题的序号）解：根据题意作图如下，①AB＝2，在△ABD中，无论D在哪个位置，高h为定值2，故S△ABC的面积为定值，点C到平面ABD的距离不变，故四面体ABCD的体积是定值，①正确；②无论D在哪个位置，CD•sinθ表示的都是l2到l3的距离，故CD•sinθ是定值，②正确；③当CD移动到垂直平分AB的位置时，四面体ABCD表面积最小，为S＝×××2+2×2××2＝4+2，③错误；④当CD移动到垂直平分AB的位置时，内切球的体积最大，V＝πR3＝π，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）•2n+1+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．【解答】（1）解：∵a1+2a2+3a3+…+na n＝（n﹣1）•2n+1+2（n∈N*），∴当n≥2时，有a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减得：na n＝（n﹣1）•2n+1﹣（n﹣2）•2n＝n•2n，即a n＝2n，n≥2，又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，∴a n＝2n；（2）证明：由（1）可得：b n＝＝＝﹣，∴S n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＜．18．某外卖平台对其产品进行调查，发现用户数量约2.5亿，合作商户超过200万家，活跃骑手超过50万名，日完成订单超过1800万．抽样调查数据显示用户年龄分布如图．从所有用户中随机抽取100名对其一周内点外卖次数进行统计，得到数据如表：2次及以下3～5次6～8次8次以上男 2 30 15 5女 3 22 20 3（1）根据上表，从一周点外卖“8次以上”的8名用户中随机抽取3名，求男性用户数量X的分布列及其期望；（2）从所有用户中随机抽取n名用户，满足“至少一名用户年龄为30岁以上”的概率超过，若用样本频率估计总体概率，求n的最小值．（参考数据：lg2∈（0.301，0.302），lg3∈（0.477，0.478））解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，所以P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，所以用户数量X的分布列为：X0 1 2 3P所以X的数学期望为E（X）＝；（2）用随机变量Y表示n名用户中年龄为30岁以上的用户数量，则事件“至少一名用户年龄为30岁以上”的概率为P（Y≥1）＝1﹣P（Y＝0）＞，所以P（Y＝0）＜，即，所以，因为且n∈N*，所以n的最小值为7．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝，AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为棱AB上一点，BD＝3AD，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角E﹣CF﹣B的正弦值．解：（1）证明：如图，取AB的中点H，连接CH，DE，PE，∵BD＝3AD，∴D为AH的中点，∴DE∥CH，∵AC＝BC，∴CH⊥AB，∴ED⊥AB，∵点E在平在PAB上的射影F在线段PD上，∴EF⊥平面PAB，∴EF⊥AB，∵EF∩ED＝E，EF、DE⊂平面PDE，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵点E为棱AC的中点，PA＝PC，∴PE⊥AC，∵AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∵PE⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．（2）∵AC⊥BC，∴以C为原点，，所在方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，∵PA＝PC＝，AC＝BC＝2，∴AB＝4，CH＝2，PE＝DE＝1，F为PD的中点，∴C（0，0，0），B（0，2，0），E（，0，0），P（，0，1），D（，，0），F（），＝（），＝（，0，0），＝（0，2，0），＝（，），设平面ECF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝，得＝（0，，﹣1），设平面BCF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝2，得＝（2，0，﹣5），∴cos＜＞＝＝＝．∴二面角E﹣CF﹣B的正弦值为＝．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右顶点M到左焦点的距离为3，直线l与椭圆C交于点A，B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MA，MB的斜率为k1，k2．若4k1k2+9＝0，求|AB|的最小值．解：（1）由题意可得：且a+c＝3，所以a＝2，c＝1，则b＝，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x整理可得：（4+3m2）y2+6mny+3n2﹣12＝0，所以y，所以k1k2＝＝＝＝＝，解得n＝1，所以直线l的方程为：x＝my+1，直线l过定点（1，0），此时y，所以|AB|＝＝＝≥3，当且仅当m＝0时取等号，此时|AB|的最小值为3．21．已知函数f（x）＝a（x+2）e x﹣（x+3）2（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞时，证明：f（x﹣2）＞lnx﹣x2﹣x﹣3．解：（1）f′（x）＝a（x+3）e x﹣2（x+3）＝（x+3）（ae x﹣2），a≤0时，ae x﹣2＜0，可得f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，+∞）上单调递减．a＞0时，令ae x﹣2＝0，解得x＝ln，令ln＝﹣3，解得a＝2e3．0＜a＜2e3时，ln＞﹣3，则函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增．a＝2e3时，f′（x）＝（x+3）2≥0，函数f（x）在R上单调递增．a＞2e3时，ln＜﹣3，则函数f（x）在（﹣∞，ln）上单调递增，在（ln，﹣3）上单调递减，在（﹣3，+∞）上单调递增．综上可得：a≤0时，f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，+∞）上单调递减．0＜a＜2e3时，函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增．a＝2e3时，函数f（x）在R上单调递增．a＞2e3时，函数f（x）在（﹣∞，ln）上单调递增，在（ln，﹣3）上单调递减，在（﹣3，+∞）上单调递增．（2）证明：f（x﹣2）＝axe x﹣2﹣（x+1）2，f（x﹣2）＞lnx﹣x2﹣x﹣3，即axe x﹣2﹣lnx﹣x+2＞0，x∈（0，+∞）．当a＞时，axe x﹣2﹣lnx﹣x+2＞xe x﹣3﹣lnx﹣x+2，因此只要证明：xe x﹣3﹣lnx﹣x+2≥0即可．令g（x）＝xe x﹣3﹣lnx﹣x+2，x∈（0，+∞）．g′（x）＝（x+1）e x﹣3﹣﹣1＝（x+1）（e x﹣3﹣），令h（x）＝e x﹣3﹣在x∈（0，+∞）上单调递增，又h（3）＝1﹣＝＞0，h（2）＝﹣＜0，∴存在唯一x0∈（2，3），使得h（x0）＝0，＝，即x0﹣3＝﹣lnx0．x0是函数g（x）的极小值点，此时函数g（x）在x0取得最小值．∴g（x）≥g（x0）＝1+x0﹣3﹣x0+2＝0，∴当a＞时，axe x﹣2﹣lnx﹣x+2＞0．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C2与曲线C1交于点A，B，M（﹣2，2），求的值．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数）．整理得，两式相减得：；曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为：x﹣y+4＝0，（2）由于点M（﹣2，2）满足直线的方程，故转换为参数方程为（t为参数），把直线的参数式代入，得到：，所以，，故＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝3．（1）证明：；（2）证明：．【解答】证明：（1）a，b，c为正数，a+b+c＝3，可得a+b+c≥3，即为0＜abc≤1，所以++＝＝≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，故原不等式成立；（2）因为a，b，c＞0，所以＝≥＝，同理可得≥，≥，所以++≥++＝[（a+3）+（b+3）+（c+3）]（++）＝×3×3＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时，取得等号，所以原不等式成立．。
2021届安徽省皖江名校联盟高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省皖江名校联盟高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}24B x y x ==-，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0D ．{}0,1,2【答案】A【分析】先求出集合,A B ，从而得到UB ，图中阴影部分表示的集合为()U A B ，由此能求出结果.【详解】由Venn 图知：阴影部分对应的集合为()U A B ,集合{}0,1,2,3A =，{}(][)24,22,B x y x ==-=-∞-⋃+∞，所以{}22UB x x =-<<.所以图中阴影部分表示的集合为(){}0,1UA B =.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查Venn 图、补集、交集，解题的关键是先分析阴影部分表示集合，考查运算求解能力，是基础题.2．命题“x R ∀∈，2230x x -+>”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，2230x x -+≥B ．x R ∀∈，2230x x -+≤C ．0x R ∃∈，200230x x -+>D ．0x R ∃∈，200230x x -+≤【答案】D 【解析】该题命题的否定是：0x R ∃∈，200230x x -+≤．特称命题和全程命题的否定，固定的变换方式是：换量词，否结论，不变条件． 故答案选D ．3．定积分()122131d x x x x --+-=⎰（ ）A ．12π+B ．22π+C ．3π+D ．4π+【答案】B【分析】由定积分的运算法则，得到()()11122221113131x x x dx x x dx x dx ----+-=-+-⎰⎰⎰，根据定积分的计算和定积分的几何意义，即可求解.【详解】由定积分的运算法则，可得()()11122221113131x x x dx x x dx x dx ----+-=-+-⎰⎰⎰，又由()11232111113=112222x x dx x x --⎛⎫--=-++= ⎪⎝⎭⎰，又由21y x =-，可得221(0)x y y +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的半圆，此半圆的面积为21122S ππ=⨯=， 根据定积分的几何意义，可得12112x dx π--=⎰，所以()12213122x x x dx π--+-==+⎰.故选：B .【点睛】本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中解答中熟记定积分的运算法则，以及定积分的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．函数cos 22xxy =的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，进而分析数据即可得出结果. 【详解】令cos 2()2x xf x =，则()()()cos 2cos 22xx x x f x f x ----==≠±， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，排除B ，C 选项，由函数解析式可看出，函数的零点呈周期性出现，且x →+∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越小，而当x →-∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越大，故排除A ，所以选项D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，考查奇偶性的判断，考查分析问题能力，属于基础题.5．已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q ：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．26m -<<B ．06m <<C ．06m <<且2m ≠D ．26m -<<且2m ≠【答案】C【分析】根据椭圆和抛物线的标准方程和几何性质，分别求得命题p 和q ，再结合命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题，即可求解.【详解】对于命题2:2p x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题22:162x yq m m +=-+表示椭圆，所以602062m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得26m -<<且2m ≠，因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题， 所以实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠. 故选：C.【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记椭圆与抛物线的几何性质，正确求解两个命题是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列最接近52361100003的是（ ）（注：lg30.477≈） A ．2510 B ．2610C ．3510D ．3610【答案】D【分析】根据题意，取对数得5236110000lg 35.83≈，得到5235.836110000103≈，分析选项，即可求解.【详解】由题意，对于52361100003，得525236136110000lg lg10000lg3524361lg335.83=-=⨯-⨯≈， 得5235.836110000103≈，可得D 中3610与其最接近. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中掌握对数的运算性质是解答的关键，着重考查计算与求解能力，属于基础题.7．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x x f x e=，则满足()()35f f -的值（ ） A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0 D ．无法判断【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数.再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项． 【详解】当1x <时，'1()0x x f x e-=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数. 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()f x 在()1,+∞内是减函数，.∴()()350f f ->.故选：C ．【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，抽象函数的对称性的应用，以及由函数的单调性比较其函数的大小关系，属于中档题．8．对x R ∀∈，不等式()()21110a x a x -+--<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1-B ．(]3,1- C ．()4,1-D ．[]4,1-【答案】B【分析】首先根据不等式恒成立，对二次项系数是否为零进行讨论，结合图形的特征，列出式子求得结果.【详解】对x R ∀∈，不等式()()21110a x a x -+--<恒成立，当1a =时，则有10-<恒成立；当10a -≠，10a -<且2(1)4(1)0a a ∆=-+-<， 解得31a -<<.实数a 的取值范围是(]3,1-. 故选：B.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有分类讨论思想的应用，一元二次不等式恒成立的条件，属于简单题目. 9．已知4log 5a =，41log 314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 6c =，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D【分析】先利用作商法，结合换底公式、基本不等式得到1log (2)log (1)n n n n ++<+，可得2a c >>，再由对数的运算求得3b =，从而可得结论.【详解】()()()()21111log 2log 2log 2log log 12n n n n n n n n n n n ++++⎡⎤++⋅=+⋅<⎢⎥+⎣⎦，∵22(2)2(1)n n n n n +⋅=+<+，∴21log (2)12n n n ++⋅⎡⎤<⎢⎥⎣⎦， 因而1log (2)1log (1)n n n n ++<+，即1log (2)log (1)n n n n ++<+，则45log 5log 6>，即2a c >>； 而4441log 13log log 3314434b -⎛⎫==== ⎪⎝⎭，所以b a c >>. 故选：D .【点睛】本题主要考查对数的运算，基本不等式的应用，考查了作商法比较大小，属于综合题. 比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.10．函数()31f x x ax =-+在()2,2-上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A ．[]0,12a ∈B ．()0,15a ∈C ．()0,12a ∈D ．()1,12a ∈【答案】D【分析】求导()2'3f x x a =-，由()'0f x ≥或()'0f x ≤，则()f x 为单调函数解得a 的范围，则其补集为不单调的充要条件求解.【详解】因为()31f x x ax =-+，所以()2'3f x x a =-，当()2'30f x x a =-≥或()2'30f x x a =-≤，()f x 为单调函数，则0a ≤或12a ≥，所以()f x 在()2,2-上不单调时，a 的范围为()0,12，所以C 是充要条件，D 是充分不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查以导数与函数的单调性为载体的逻辑条件的判断，属于中档题. 11．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，若函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-上恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]3,5B ．()3,5C ．D ．【答案】C【分析】判断出()f x 的周期，由()g x 在区间()1,3-上的零点个数，结合图象列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可求得[]1,0x ∈-，函数()()31x f x f x -=-=-，()()2f x f x -=，即周期为2，又由函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-恰有3个不同的零点，即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在区间()1,3-上有3个不同的交点，又由()()132f f ==，则满足()log 122a +<且()log 322a +≥，解得35a <≤.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查函数零点，属于中档题.12．已知函数21()1x x f x x ++=+，()g x x m =-+，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【分析】对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，等价于()f x 的值域是()g x 值域的子集，只要求出两函数在[]1,3上的值域，列出不等式组可求得答案【详解】依题意()()222113311x x x x x f x x x ++++++==++121x x =+++， 则()()2111f x x '=-+，当[]1,3x ∈时，()0f x '>，故函数()f x 在[]1,3上单调递增， 当[]11,3x ∈时，()1721,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,1,124m m ⎡⎤⊆-+⎢⎥⎣⎦， 故7122114m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得17942m ≤≤， 所以实数m 的取值范围为179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．二、填空题13．已知函数2,2()(1),22x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2log 3f 的值为_______.【答案】3【分析】先判断2log 32<，代入得()()221log 3log 312f f =+.再判断2log 312+>，代入可得答案．【详解】∵2log 32<，∴()()221log 3log 312f f =+. ∵2log 312+>，∴()()2log 622log 31log 626f f +===，∴()2log 33f =.故答案为：3．【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查对数的运算和对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力，属于中档题.14．已知p ：()29x m -<，q ：()4log 31x +<，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是_______.【答案】[]2,0-【分析】解不等式()29x m -<和()4log 31x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】因为q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件， 解不等式()29x m -<，得33m x m -<<+，解不等式()4log 31x +<，即034x <+<，解得31x -<<.p ：33m x m -<<+，q ：31x -<<，∴{}31x x -<< {}33x m x m -<<+，所以3331m m -≤-⎧⎨+≥⎩，即20m -≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]2,0-.故答案为：[]2,0-．【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.15．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，所以在[]2,6x ∈-上关于x 的方程()()3log 30f x x -+=恰有________个不同的实数根. 【答案】4【分析】先利用已知条件求出函数()f x 的周期，把求方程()()3log 30f x x -+=的实数根问题转化为两个函数的交点个数问题，画图观察图象即可得出结果.【详解】∵()()4f x f x += ∴函数()f x 的周期为4.又()f x 为定义在R 上的偶函数，当[]0,2x ∈时，()22xf x =-，所以当[)2,0x ∈-时，()()22xf x f x -=-=-，求方程()()3log 30f x x -+=的实数根问题可转化为函数()y f x =和()()3log 3g x x =+图象的交点个数问题，根据()f x 的周期性，及()f x 在[]2,2-上的解析式，可作出()f x 在[]2,6-上的图象，如下图所示，()()3log 3g x x =+是()3,-+∞上的增函数，作出()g x 的图象，如下图所示，易知()()3222log 2f g =>=，()()()36226log 92f f g =====，可得出()f x 和()g x 的图象[]2,0-上有1个交点，在()0,2上有1个交点，在[]2,4上有1个交点，在(]4,6上有1个交点，即在[]2,6-上共4个交点. 所以关于x 的方程()()3log 30f x x -+=恰有4个不同的实数根.故答案为：4.【点睛】方法点睛：本题考查求方程解的个数问题.一般的，求方程()0f x =的解的个数，常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数；（2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是方程的解的个数； （3）化方程()0f x =为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是方程的解的个数. 16．已知函数3211()32x f x ax ax xe =+-有三个极值点，则a 的取值范围是_______.【答案】(),e +∞【分析】求导()2'xxf x ax ax e xe =+--，根据函数3211()32x f x ax ax xe =+-有三个极值点，即()2'0xxf x ax ax e xe =+--=有三个不同的实根，即()()10xx ax e +-=有三个不同的实根，由1x =-，转化为xe a x=有两个不等于-1的根，利用数形结合法求解. 【详解】由函数3211()32x f x ax ax xe =+-， 求导()2'xxf x ax ax e xe =+--， 因为函数3211()32x f x ax ax xe =+-有三个极值点， 所以()2'0xxf x ax ax e xe =+--=有三个不同的实根， 即()()10xx ax e+-=有三个不同的实根，由1x =-，则0x ax e -=有两个不等于-1的根，即xe a x=有两个不等于-1的根，设()x e h x x =，则()22'(1)x x x h e x e e x x x x --==， 当()'0h x >得1x >，当()'0h x <得1x <且0x ≠， 所以当1x =时，()()minh x e =，当0x <时，()0h x <，作出()xe h x x=图象，如图所示：要使xe a x=有两个不同的根，则满足a e >，∴(),a e ∈+∞.【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点以及函数的零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知m R ∈，设p ：[]1,1x ∀∈-，222420x x m m --+-≥成立；q ：[]1,2x ∃∈，()212log 11x mx -+<-成立，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围.【答案】()3,1,32m ⎡⎤∈-∞⎢⎥⎣⎦【分析】由不等式恒成立问题，构造函数2()22f x x x =--，[]1,1x ∈-，用配方法求函数最小值，由存在性问题，求max 1()()g x x x=-，[]1,2x ∈，利用单调性求最大值，再由“p 真q 假”或“p 假q 真”，列不等式组求解．【详解】若p 为真，则对[]1,1x ∀∈-，22422m m x x -≤--恒成立，设()222f x x x =--，配方得()()213f x x =--，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为-3，∴243m m -≤-，解得13m ≤≤，∴p 为真时，13m ≤≤.若q 为真，则[]1,2x ∃∈，212x mx -+>成立，即21x m x-<成立.设()211x g x x x x-==-，则()g x 在[]1,2上是增函数，∴()g x 的最大值为()322g =， ∴32m <，∴q 为真时，32m <. ∵“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，∴p 与q 一真一假.当p 真q 假时，1332m m ≤≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，∴332m ≤≤. 当p 假q 真时，∴1>332m m m <⎧⎪⎨<⎪⎩或，∴1m <. 综上所述，()3,1,32m ⎡⎤∈-∞⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了恒成立问题及存在性问题及复合命题及其真假，属于中档题． 18．已知函数()22g x x x a =-+在[]1,x m ∈时有最大值为1，最小值为0.（1）求实数a 的值；（2）设()()g x f x x=，若不等式1122log 2log 0f x k x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）2,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由题得2()21(1)120g m m m a g a ⎧=-+=⎨=-+=⎩，解方程组即得解；（2）2221log 22log 0log x k x x+--⋅≤，在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，则[]2,3t ∈，22121211k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，再求211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭最大值即得解. 【详解】（1）函数22()2(1)1g x x x a x a =-+=-+-，∴()g x 在区间[]1,m 上是增函数，故2()21(1)120g m m m a g a ⎧=-+=⎨=-+=⎩，解得12a m =⎧⎨=⎩. （2）由已知可得()221g x x x =-+，则()1()2g x f x x x x==+-， 所以不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≤，转化为2221log 22log 0log x k x x+--⋅≤， 在[]4,8x ∈上恒成立.设2log t x =，则[]2,3t ∈，即1220t kt t+--≤，在[]2,3t ∈，上恒成立，即：22121211k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，∵[]2,3t ∈，∴111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当113t =时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为21419t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则429k ≥，即29k ≥，∴k 的取值范围是2,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，考查对数函数的值域的求法，考查二次不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于较难题.19．已知定义在R 上的函数()()12,2xx b f x a R b R a+-=∈∈+是奇函数.（1）若关于x 的方程()0f x m +=有正根，求实数m 的取值范围；（2）当()1,2x ∈时，不等式()230xkf x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6k ≤-. 【分析】（1）由题意可得(0)0f =，求得b ，再由(1)f f -=-（1），求得a ，检验可得所求值；（2）运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数的值域，结合恒成立思想，可得所求范围．【详解】（1）由题意：因为函数()()12,2x x b f x a R b R a+-=∈∈+是奇函数，所以()00f =，解得1b =，又()()11f f =--，得1121242a a---=-++，解得2a =，当2a =，1b =时，112()2xx f x 2+-=+，定义域为R ，111212()()2222x xx x f x f x --++--+-===-++，所以()f x 为奇函数，∴2a =，1b =. ()121212()22221x x x x m f x +-+-=-==++，即11221x m =-+，∵0x >，212x +>，110212x<<+， ∴11102212x <-<+，∵()m f x =-有正根，∴10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）由2()30xkf x +->，得1123222x xx k +-⋅>-+，∵()1,2x ∈，所以121022x x +-+<+，∴()()1322212xx xk +-+<-.令21x t -+=，则()3,1t ∈--，此时不等式可化为42k t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，记4()2h t t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当()3,1t ∈--时，4y t =和y t =-均为减函数，∴()h t 为减函数，故10()6,3h t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∵()k h t <恒成立，∴6k ≤-. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数， 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究， 就不要使用分离参数法.20．已知函数()212x x f x kx e =++-(e 为自然对数的底数).（1）当1k =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程和()f x 的单调区间； （2）当[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤，求整数k 的最大值.【答案】（1）切线方程为0y =，()f x 在R 上单调递减；（2）最大值为2.【分析】（1）利用导数的几何意义，由点斜式即可求得切线方程；对函数求导，根据导数的正负，判断()f x 的单调性；（2）对参数k 进行分类讨论，对函数进行二次求导，根据函数单调性求参数范围即可.【详解】（1）当1k =时，2()12x x f x x e =++-，()'1xf x x e =+-；所以()00f =，()'00f =，故可得切线方程为0y =；设()1xg x x e =+-，∵()'1xg x e =-，令()'0g x =，解得0x =，∴()'fx 在区间(),0-∞单调递增，在区间()0,∞+单调递减，∴()()''00f x f ≤=，∴()f x 在R 上单调递减.（2）∵[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤恒成立，即：[)2,x ∈+∞，2()102x x f x kx e =++-≤恒成立. 又()'x fx x k e =+-，设()x g x x k e =+-，()'1x g x e =-，()'f x 在区间(),0-∞单调递增，在区间()0,∞+单调递减，故()()''01fx f k ≤=-.①当10k -≤，即1k ≤时，()'0fx ≤，故()f x 在[)2,+∞单调递减.故()()22221f x f k e ≤=++-，若满足题意，只需2320k e +-≤，解得2322e k ≤-.故1k ≤；②当10k ->，即1k >时，∵()'f x 在区间()2,+∞单调递减，且()'222f k e =+-，1.当()'20f≤时，()()'20f x f ≤≤，此时()f x 在区间[)2,+∞单调递减，要满足题意只需()22320f k e =+-≤，解得2322e k ≤-，故此时只需231,22e k ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 2.当()'20f>时，因为()'f x 在区间()2,+∞单调递减，故一定存在02x >，()0'000x f x x k e =+-=，且使得()f x 在区间()02,x 单调递增，()0,x +∞单调递减.故()02max00()12x x f x f x kx e ==++-要满足题意，只需()max 0f x ≤，即0200102x x kx e ++-≤.结合000x x k e +-=，只需2000102x x k kx +---≥，02x >恒成立即可.只需2001(1)102x k x k -+-+-≥在02x >时恒成立即可. 显然2001(1)12y x k x k =-+-+-是关于0x 且开口向下的二次函数，无法满足题意.综上所述：满足题意的范围是23,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.又因为k Z ∈，且()232,322e -∈，故满足题意的整数k 的最大值为2.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用单调研究函数的单调性和恒成立问题，属于难题.21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x (万元)在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x (万元)随企业原纳税额x (万元)的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x mf x x=-+(其中m 为参数)作为补助款发放方案.（1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围. 【答案】（1）满足，理由见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当12m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由121442x x x -+≥，结合二次函数的性质，即可得到答案； （2）求得224'()4x m f x x +=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x mx+≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解. 【详解】（1）当12m =时，所以12()44x f x x =-+，可得2112'()04f x x=+>， 所以函数()f x 在[]4,8x ∈为增函数，满足条件①； 又由不等式121442x x x -+≥，可化为216480x x -+≤， 设()21648g x x x =-+，可得对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =，所以121()442x f x x x =-+≥恒成立， 综上可得，当使用参数12m =时满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x mf x x x+=+=， 所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<， 综上可得，4m ≥-，由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+.当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤，综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 22．已知函数()()1ln 2f x x ax a R =-∈. （1）若()f x 的最大值为-1，求a 的值；（2）若存在实数1,,42m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且2m n -≥，使得()()f m f n =，求证：8ln 2ln 23a ≤≤. 【答案】（1）2a =；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导'12()22a ax f x x x-=-=-，分0a ≤和0a >，两种情况讨论导函数的正负，得出函数()f x 的单调性，从而得出函数()f x 的最大值，可求得a 的值； （2）由（1）知0a >，得出函数()f x 的单调性.若存在实数1,,42m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f m f n =，则2a 介于m ，n 之间，不妨设1242m n a≤<<≤，由函数的单调性可得证.【详解】（1）根据题意可得x 的取值范围为0x >，'12()22a ax f x x x-=-=-， 若0a ≤，则()'0fx ≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 无最值，不合题意；若0a >，当20x a<<时，()'0f x >，当2x a >时，()'0f x <，所以函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最大值2212ln 12f a a a a ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，解得2a =，符合题意. 综上，2a =.（2）若()()f m f n =，则由（1）知0a >， 所以函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.若存在实数1,,42m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f m f n =，则2a介于m ，n 之间，不妨设1242m n a≤<<≤， ∵()f x 在2,m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()()f m f n =，所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n ≥=，由142m n ≤<≤，2m n -≥，可得[]2,m n ∈，故()()()2f f m f n ≥=，又()f x 在2,m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且122m a≤<，所以()12f m f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 同理()()42f f ≤.所以11ln ln 224ln 42ln 2a aa a⎧-≤-⎪⎨⎪-≤-⎩，解得8ln 2ln 23a ≤≤，不等式得证.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值，以及运用导函数证明不等式，属于较难题．。
安徽省2021-2022年高考数学二模试卷(理科)A卷
安徽省2021-2022年高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·宜昌月考) 已知集合则（）A . [2,3]B . （ -2,3 ]C . [1,2）D .2. （2分）(2019·赤峰模拟) 已知为虚数单位，复数，则下列结论正确的是（）A . 的共轭复数为B . 的虚部为C . 在复平面内对应的点在第二象限D .3. （2分） (2015高二上·金台期末) 在下列结论中，正确的结论是（）①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．A . ①②B . ①③C . ②④D . ③④4. （2分）设向量，记，函数的周期是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·中山月考) 阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为（）A . 4B . 5C . 6D . 76. （2分） (2017高二下·高青开学考) 在△ABC中，已知A=30°，a=8，b= ，则△ABC的面积为（）A .B . 16C . 或16D . 或7. （2分） (2019高二下·凤城月考) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一下·吉林期末) 函数的一个单调增区间是（）A .B .C .D .9. （2分）(2012·江西理) 下列命题中，假命题为（）A . 存在四边相等的四边形不是正方形B . z1 ，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1 ， z2互为共轭复数C . 若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1D . 对于任意n∈N* ， + +…+ 都是偶数10. （2分）(2020·安徽模拟) 已知实数满足不等式组，则的最小值为（）A . 2B . 3C . 4D . 511. （2分）(2017·安庆模拟) 已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1 ，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 212. （2分） (2019高一上·会宁期中) 函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·伊春月考) 数据，，…，平均数为6，标准差为2，则数据，，…，的方差为________.14. （1分）已知cosα= ，cos（α+β）= ，α，β均为锐角，则cosβ=________．15. （1分） (2020高三上·长沙月考) 如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点处，“大摆锤”启动后，主轴在平面内绕点左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持， .已知，在“大摆锤”启动后，直线与平面所成角的正弦值的最大值为________.16. （1分） (2020高一下·六安期末) 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （10分） (2020高三上·景德镇期末) 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的首项为1，公差为1，求数列的前项和 .18. （10分） (2016高二下·卢龙期末) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．19. （5分） (2017高二下·莆田期末) 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．20. （5分） (2017高二上·延安期末) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1 ， F2在x 轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．21. （15分） (2016高二下·三亚期末) 已知函数f（x）=x3+ax2+b满足f（1）=0，且在x=2时函数取得极值．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最大值g（t）的表达式．四、选做题 (共2题；共20分)22. （10分） (2018高二下·中山月考) 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线经过定点，倾斜角为。
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安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试（理）
命题：淮北一中六校联考命题组注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为实数集R,集合
,x ∈R},集合Q={1,2,3,4},则
图中阴影部分表示的集合为
A.{4}
B.{3,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
2.已知复数z 与（z+2)2-8i 均是纯虚数，则z 的虚部为（）A.-2 B.2 C.-2i D.-2i
3.实数x,y 满足不等式组240220330
x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,则x 2+y 2的最小值为（）
A.5
B.1
C.45
D.24.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图。
请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x 2020+y 2=2y,(x ∈Z,y ∈Z)则该方程的整数解有（）组。
A.1
C.3
D.45.已知向量b =(1,向量a 在向量b 方向上的投影为－6,若（λa +b )⊥b ,则实数入的值为（）
A.
13 B.-13 C.23 D.36.直线1:2x+y+3=0倾斜角为α,则sin2α+cos 2α的值为（）
A.45
B.-45
C.35
D.-35
7.已知点M(2,y 0)为抛物线y 2=2px,(p>0)上－点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若8|MF|=7|MO|..则p 的值为（）
A.1或54
B.52或3
C.3或54
D.1或52
8.函数f(x)=sinx+x 3+x,则a>-1是f (a+1)+f (2a)>0的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,将数列{a n }依原顺序按照第n 组有2”项的要求分组，则2021在第几组
A.8
B.9
C.10
D.112021.2
10.已知三棱锥A-BCD 满足：AB=AC=AD,ΔBCD 是边长为2的等边三角形。
其外接球的球心O 满足：0OB OC OD ++= ,则该三棱谁的体积为（）A.1
6 B.1
3 C.2
3 D.1
11.圆O 半径为1,PA,PB 为圆O 的两条切线，A,B 为切点，设∠APO=α,则
2tan 2PAB S α
∆最小值为（）2 B.-3+222
12.已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且首项a 1>0,给出下列命题：p 1:若3412a a a e a e =,则（a 3-1)(q-1)≤0;p 2:若a 1+a 2=34a a e e +,则22(,0)(0,).33q ∈-⋃则下列说法正确的是（
A.p 1为真命题，p 2为假命题
B.p 1,p2都为真命题
C.p 1为假命题，p 2为真命题
D.p 1,p 2都为假命题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
13.从编号为1,2,3,..,88的88个网站中采用系统抽样抽取容量为8的样本，若所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站最小编号为.
14.若3(n x x x 的展开式常数项为84,则n=.
15.双曲线22=1左右焦点分别为F 1,F 2,左右顶点分别为A,B,P 为双曲线渐近线上一点，若
以F 1F 2为直径的圆经过P 点，且∠APB=
3π.则该双曲线的渐近线方程为.16.A,B,C,D.四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分．
17.在ΔABC 中，D 是BC 的中点，3（I)求ΔABC 的面积；（II)若E 为BC 上一点，且(||||
AB AC AE AB AC λ=+ ,求λ的值。
18.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，AA 1=A 1B 1=
12
AB,∠ABC=60°.AA 1⊥平面ABCD.
（I)若点M 是AD 的中点，求证：C 1M ⊥A 1C;（II)棱BC 上是否存在一点E,使得二面角E-AD 1-D 的余弦值为13
?
若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由。
19.农业是国民经济的基础，农业防害是科技工作者时时关注的事情，棉铃虫是棉花的主要害虫之一，夏季尤甚，据农业专家调查统计知道每只棉铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关。
现截取7组统计数据，并计算部分统计量值和作散点图如下：
（I)根据散点图判断，y=bx+a 与y=ce dx (e 为自然对数的底数）哪一一个更适宜作为平均产卵款y 关于平均温度x 的回归方程类型？据判断结果和所给数据求出相应的回归方程（计算结果精确到小数产后第三位）
（II)根据以往数据统计，该地区每年平均温度达28°C 以上时棉铃虫会造成严重危害，需人工防治，其他情况可以自然生长，记该地区每年平均温度达28°C 以上的概率为p(0<p<1).
（i)记该地区在近5年中恰好有2年需要人工防治的概率为f (p)、求f (p)的最大值，非求出此时的p 的值：
（ii)当f (p)取最大值时，记今后5年中需要人工防治的次数为X,求X 的数学期望和方差。
附：对于一组数据（x 1,z 1),(x 2,z 2),…,(x 7,z 7),其回归直线z=a+bx 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
20.已知圆O::x 2+y 2
=5,椭圆τ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点为F 1,F 2,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2（I)求椭圆的标准方程；
（II 如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两
点．
（i)若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；
（ii)作PQ ⊥AB 于点Q,求证：｜QF 1|+|QF 2|是定值．
21.已知函数f(x)=21(),.x x kx f x k R e
++=∈（1)讨论f (x)的单调性；
（11)若k ∈(-1,0),证明：对任意的x 1,x 2∈[1,1-k],有4f (x 1)+x 2<5.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1:x+y=1与曲线C 2:22cos 2sin x t y t =+⎧⎨=⎩
(t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
（I)写出曲线C 1,C 2的极坐标方程；
（II)在极坐标系中，已知l :θ=α(ρ>0)与C 1,C 2的公共点分别为A,B,α∈(0，2
).当||||OB OA ＝4时，求α的值．22.[选修4-5:不等式选讲］（10分）已知f (x)=|ax+1|+|x-1|
（I)当a=2时，求不等式f (x)<2的解集：
（I1)若x ∈(1,2)时不等式f (x)<x 成立，求a 的取值范围。