南京大学期末试卷2015-2016大学物理I期中答案
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Hale Waihona Puke Baidu
五、（10 分）一匀质球绕通过其中心的轴以一定角速度转动，如果该球的半径减至原来
的 1 ，那么该球的动能增大至多少倍？ n
解：匀质球绕通过其中心的轴的转动惯量 J = 2 mR2 5
由角动量守恒： J11
=
J 22
，由于
J2
=
1 n2
J1 ，则 2
=
n 21
球的转动动能 Ek2
=
1 2
J
2 2
2
=
J1 2n 2
=
(m 2 + m 2 )c 2 2m
， E
=
(m 2 − m 2 )c 2 2m
6
O dx
x
解：建立如图所示的坐标系，细杆的线密度 = m ， l
（1）在 x 处取一线元 dx ，其质量 dm = dx = m dx l
dm 所受摩擦力 df = m gdx l
dm 受的力矩 dM = m gxdx l
杆受的力矩 M
=
l/2
2
m
gxdx
=
1
mgl
0l
4
5
（2）由定轴转动定理 M = dL = J d dt dt
n412
= n2
1 2
J
2
11
=
n2 Ek1
该球的动能增大至 n2 倍
六、（15 分）设一匀质细杆的质量为 m，长为 L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆 自水平静止释放。求： 1 ）当杆与水平方向成 角时的角加速度； 2 ）当杆过竖直位置时的角速度； 3 ) 当杆过竖直位置时，利用质心运动定理，求轴作用于杆上的力。
r
dv = − v2
dt
r
v dv t
− = dt
v2
v0
0r
v = v0r r + v0t
2
2015—2016 学年第一 学期
四、（10 分）m1 、m2 静止在光滑的水平面上，以劲度系数为 k 的弹簧相连，弹簧处于自 然伸展状态，一质量为 m 、水平速率为 v0 的子弹入射到 m1 内，弹簧最多压缩了多少？
半径为 r 的圆环内，在 t = 0 时，物体沿着环的内壁（即在切线方向）以速度 v0 运动， 物体与圆环间的摩擦系数为 ，求物体在运动过程中 t 时刻的速度大小。
v
f
0
Nr
解：物体受力情况如图所示
支持力 N = m v2 ，摩擦力 f = m v2
r
r
切向： ma
= m dv = −m v2
dt
P
A
B
a n O
解： tan
=
a an
， a
= an
tan
an
=
v2 R
，R
=
l 2 cos
a=
a 2 + an 2 = an
1 + tan 2 = an = v 2 = 2v 2 cos R cos l
二、（10 分）角动量为 L ，质量为 m 的人造卫星，在半径为 r 的圆轨迹上运行，试求它 的动能、势能和总能量。
设弹簧的最大压缩量为 x ，由机械能守恒：
1 2
(m
+
m1 )v12
=
1 2
kx 2
+
1 (m 2
+
m1
+
m2 )v2
将 v1 和 v 代入上式
kx 2 = m 2v0 2 − m 2v0 2 m + m1 m + m1 + m2
x=
(m
+
m2 m1)(m +
m1
+
m2
)k
mv0
3
2015—2016 学年第一 学期
t
0
− Mdt = Jd
0
0
−
1 4
mglt
=
−1 12
ml
20
t = 0l 3g
2015—2016 学年第一 学期
八、(15 分) + 介子衰变为 + 子和中微子 ： + → + +
用守恒定律及狭义相对论能量和动量关系，求质心系中 + 子和中微子 的能量，已知
三粒子的静止质量分别为 m 、 m 和 0 。（提示：质心系中 + 介子速度为零）
− mg + N y
= m
L 2 2
=
3 mg 2
Ny
=
5 mg 2
杆过竖直位置时，轴对杆的作用力竖直向上，大小为 5 mg 2
七、（15 分）一匀质细杆长为 l ，质量为 m ，平放在摩擦系数为 的水平桌面上，设开
始时杆以角速度 0 绕过中心 O 且垂直于桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力 矩；（2）经过多长时间杆停止转动。
N
y
O
x
mg
解：杆受到两个力的作用：重力 mg 和轴对杆的作用力 N
作用力 N 对轴的力矩为零。
重力对轴的力矩： M = mg L cos 2
以 增大的方向为正，则由定轴转动定律：
mg L cos = J d = 1 mL2 d
2
dt 3 dt
1）角加速度 = d = 3g cos dt 2L
2）以轴位置作为重力势能的零点，因为作用力 N 不作功，杆与地球系统的机械能守恒
解： L = pr
动能 Ek
=
p2 2m
=
L2 2mr 2
；m v2 r
=
L2 mr3
=
G
mM r2
势能 Ep
= −G mM r
=
−
L2 mr 2
总能量
E
=
Ek
+
Ep
=
−
L2 2mr 2
1
2015—2016 学年第一 学期
三、（15 分）质量为 m 的物体在无摩擦的桌面上滑动，其运动被约束于固定在桌面上的
0 = 1 J 2 − mg L
2
2
4
2015—2016 学年第一 学期
将 J = 1 mL2 代入上式，得：当杆过竖直位置时的角速度 = 3g
3
L
3）当杆过竖直位置时， = ，角加速度为 0，杆质心的切向（x 方向）加速度为 0 2
N 的 x 方向分力 N x = 0
在 y 方向，由质心运动定理：
2015—2016 学年第一 学期
南京大学 电子科学与工程学院 全日制统招本科生
《大学物理 I》期中考试 试卷 参考答案
一.（10 分）如图所示，设质点在平面曲线上某点 P 的加速度方向与曲率圆上弦 PB 重 合。已知 PB = l ,质点在 P 点的速度为 v ，试求质点在 P 点的加速度大小。
av
v
0
m
m 1
m 2
解：子弹射入 m1 瞬间，设子弹与 m1 的速度为 v1 ，由动量守恒：
mv0
=
(m +
m1 )v1 ， v1
=
m
m + m1
v0
弹簧压缩最多时，子弹和 m1 及 m2 具有相同的速度 v ，由动量守恒：
mv0 = (m + m1)v1 = (m + m1 + m2 )v
v = mv0 m + m1 + m2
解：由能量动量关系 E 2 = E02 + ( pc)2 ，对于中微子 ：
p = E c
由动量守恒，可知 + 子的动量大小也为 p = E ，所以对 + 子，有： c
E 2 = m 2c 4 + p 2c 2 = m 2c 4 + E 2 ；
由能量守恒： m c 2 = E + E
由以上两式解得： E
五、（10 分）一匀质球绕通过其中心的轴以一定角速度转动，如果该球的半径减至原来
的 1 ，那么该球的动能增大至多少倍？ n
解：匀质球绕通过其中心的轴的转动惯量 J = 2 mR2 5
由角动量守恒： J11
=
J 22
，由于
J2
=
1 n2
J1 ，则 2
=
n 21
球的转动动能 Ek2
=
1 2
J
2 2
2
=
J1 2n 2
=
(m 2 + m 2 )c 2 2m
， E
=
(m 2 − m 2 )c 2 2m
6
O dx
x
解：建立如图所示的坐标系，细杆的线密度 = m ， l
（1）在 x 处取一线元 dx ，其质量 dm = dx = m dx l
dm 所受摩擦力 df = m gdx l
dm 受的力矩 dM = m gxdx l
杆受的力矩 M
=
l/2
2
m
gxdx
=
1
mgl
0l
4
5
（2）由定轴转动定理 M = dL = J d dt dt
n412
= n2
1 2
J
2
11
=
n2 Ek1
该球的动能增大至 n2 倍
六、（15 分）设一匀质细杆的质量为 m，长为 L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆 自水平静止释放。求： 1 ）当杆与水平方向成 角时的角加速度； 2 ）当杆过竖直位置时的角速度； 3 ) 当杆过竖直位置时，利用质心运动定理，求轴作用于杆上的力。
r
dv = − v2
dt
r
v dv t
− = dt
v2
v0
0r
v = v0r r + v0t
2
2015—2016 学年第一 学期
四、（10 分）m1 、m2 静止在光滑的水平面上，以劲度系数为 k 的弹簧相连，弹簧处于自 然伸展状态，一质量为 m 、水平速率为 v0 的子弹入射到 m1 内，弹簧最多压缩了多少？
半径为 r 的圆环内，在 t = 0 时，物体沿着环的内壁（即在切线方向）以速度 v0 运动， 物体与圆环间的摩擦系数为 ，求物体在运动过程中 t 时刻的速度大小。
v
f
0
Nr
解：物体受力情况如图所示
支持力 N = m v2 ，摩擦力 f = m v2
r
r
切向： ma
= m dv = −m v2
dt
P
A
B
a n O
解： tan
=
a an
， a
= an
tan
an
=
v2 R
，R
=
l 2 cos
a=
a 2 + an 2 = an
1 + tan 2 = an = v 2 = 2v 2 cos R cos l
二、（10 分）角动量为 L ，质量为 m 的人造卫星，在半径为 r 的圆轨迹上运行，试求它 的动能、势能和总能量。
设弹簧的最大压缩量为 x ，由机械能守恒：
1 2
(m
+
m1 )v12
=
1 2
kx 2
+
1 (m 2
+
m1
+
m2 )v2
将 v1 和 v 代入上式
kx 2 = m 2v0 2 − m 2v0 2 m + m1 m + m1 + m2
x=
(m
+
m2 m1)(m +
m1
+
m2
)k
mv0
3
2015—2016 学年第一 学期
t
0
− Mdt = Jd
0
0
−
1 4
mglt
=
−1 12
ml
20
t = 0l 3g
2015—2016 学年第一 学期
八、(15 分) + 介子衰变为 + 子和中微子 ： + → + +
用守恒定律及狭义相对论能量和动量关系，求质心系中 + 子和中微子 的能量，已知
三粒子的静止质量分别为 m 、 m 和 0 。（提示：质心系中 + 介子速度为零）
− mg + N y
= m
L 2 2
=
3 mg 2
Ny
=
5 mg 2
杆过竖直位置时，轴对杆的作用力竖直向上，大小为 5 mg 2
七、（15 分）一匀质细杆长为 l ，质量为 m ，平放在摩擦系数为 的水平桌面上，设开
始时杆以角速度 0 绕过中心 O 且垂直于桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力 矩；（2）经过多长时间杆停止转动。
N
y
O
x
mg
解：杆受到两个力的作用：重力 mg 和轴对杆的作用力 N
作用力 N 对轴的力矩为零。
重力对轴的力矩： M = mg L cos 2
以 增大的方向为正，则由定轴转动定律：
mg L cos = J d = 1 mL2 d
2
dt 3 dt
1）角加速度 = d = 3g cos dt 2L
2）以轴位置作为重力势能的零点，因为作用力 N 不作功，杆与地球系统的机械能守恒
解： L = pr
动能 Ek
=
p2 2m
=
L2 2mr 2
；m v2 r
=
L2 mr3
=
G
mM r2
势能 Ep
= −G mM r
=
−
L2 mr 2
总能量
E
=
Ek
+
Ep
=
−
L2 2mr 2
1
2015—2016 学年第一 学期
三、（15 分）质量为 m 的物体在无摩擦的桌面上滑动，其运动被约束于固定在桌面上的
0 = 1 J 2 − mg L
2
2
4
2015—2016 学年第一 学期
将 J = 1 mL2 代入上式，得：当杆过竖直位置时的角速度 = 3g
3
L
3）当杆过竖直位置时， = ，角加速度为 0，杆质心的切向（x 方向）加速度为 0 2
N 的 x 方向分力 N x = 0
在 y 方向，由质心运动定理：
2015—2016 学年第一 学期
南京大学 电子科学与工程学院 全日制统招本科生
《大学物理 I》期中考试 试卷 参考答案
一.（10 分）如图所示，设质点在平面曲线上某点 P 的加速度方向与曲率圆上弦 PB 重 合。已知 PB = l ,质点在 P 点的速度为 v ，试求质点在 P 点的加速度大小。
av
v
0
m
m 1
m 2
解：子弹射入 m1 瞬间，设子弹与 m1 的速度为 v1 ，由动量守恒：
mv0
=
(m +
m1 )v1 ， v1
=
m
m + m1
v0
弹簧压缩最多时，子弹和 m1 及 m2 具有相同的速度 v ，由动量守恒：
mv0 = (m + m1)v1 = (m + m1 + m2 )v
v = mv0 m + m1 + m2
解：由能量动量关系 E 2 = E02 + ( pc)2 ，对于中微子 ：
p = E c
由动量守恒，可知 + 子的动量大小也为 p = E ，所以对 + 子，有： c
E 2 = m 2c 4 + p 2c 2 = m 2c 4 + E 2 ；
由能量守恒： m c 2 = E + E
由以上两式解得： E