数学新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 学案

3.2函数的基本性质

3.2.1单调性与最大(小)值

【素养目标】

1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽象)

2．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．(直观想象)

3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据分析)

4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理)

5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．(数据分析)

【学法解读】

1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质．

2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用．

3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练．

第1课时函数的单调性

必备知识·探新知

基础知识

知识点1函数的单调性

前提条件设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I

__∀x1，x2∈D__，x1

条件

都有f(x1)f(x2) 图示

结论f(x)在区间D上单调__递增__f(x)在区间D上单调__递减__ 特殊情况当函数f(x)在它的定义域上单调递当函数f(x)在它的定义域上单调递

增时，我们就称它是__增函数__ 减时，我们就称它是__减函数__

思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？ 提示：不能，不能用特殊代替一般．

知识点2 函数的单调性与单调区间

函数y ＝f (x )在__区间D __上是单调递增或单调递减，则函数在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数的单调区间．

思考2：区间D 一定是函数的定义域吗？

提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念．

基础自测

1．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是减函数，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( B ) A ．f (x 1)

D ．以上都有可能

[解析] 因为函数y ＝f (x )在(a ，b )上是减函数，且x 1f (x 2)，故选B ． 2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( B ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1

x

D ．y ＝－x 2

[解析] 分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B ． 3．若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有 f (a )－f (b )

a －b

>0成立，则必有( A )

A ．f (x )在R 上是增函数

B ．f (x )在R 上是减函数

C ．函数f (x )是先增后减

D ．函数f (x )是先减后增

[解析] 由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a 、b ，总有f (a )－f (b )

a －

b >0成立，

则f (x )在R 上是增函数，故选A ．

4．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (3

4)的大小关系为__f (a 2

－a ＋1)≤f (3

4

)__.

[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥3

4

，

又∵f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2－a ＋1)≤f (3

4

)．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一 求函数的单调区间

例1 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．

[分析] (1)函数f (x )在D 上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？ (2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？

[解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． [归纳提升] 函数单调区间的求法及表示方法

(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．

(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y ＝1

x 在(－∞，0)

∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．

(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．

【对点练习】❶ 据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．

[解析]由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．

由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．题型二用定义法证明函数的单调性

例2 利用单调性定义证明：函数f(x)＝x－1在其定义域内是增函数．

[分析]由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明．

[证明]函数f(x)＝x－1的定义域是x∈[1，＋∞)，

设∀x1，x2∈[1，＋∞)且x1

则f(x2)－f(x1)＝x2－1－x1－1

＝(x2－1－x1－1)(x2－1＋x1－1)

x2－1＋x1－1

＝

x2－x1

x2－1＋x1－1

.

因为x1，x2∈[1，＋∞)，且x1

所以x2－1＋x1－1>0，x2－x1>0.

所以f(x1)

即函数f(x)＝x－1在定义域上是增函数．

[归纳提升]函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的，用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”．当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法．解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化．从形式上看是由“－”变成“＋”．

【对点练习】❷(1)用函数单调性定义证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数；