第五节 定积分的应用
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(1)把区间[a , b]分成n个长度为xi的小区间 相应的曲边梯形被分成n个小窄曲边梯形， 第i相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯 形，第i小窄曲边梯形的面积为Ai，则 A Ai。
i 1 n
(2)计算Ai的近似值 Ai f ( i )xi
i xi
n i 1
(3)求和，得A的近似值A f ( i )xi。
分量之和；
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
定积分的元素法 元素法的一般步骤：
1 ）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间[a , b]；
2）设想把区间[a , b]分成 n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x , x dx ]，针对所求量U ，求 出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为[a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作 dU ，即 dU f ( x )dx ；
定积分在经济上的应用
企业在［0，T］这一段时间内的收入流的变化率为f(t)， 连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的 方法计算收入流的现值，将收入流分成许多小收入段， 相应地将区间［0，T］平均分割成长度为Δt的小区间. 当Δt很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数， 在t与t+Δt之间收入的近似值为f(t)Δt，相应收入的现值为 f(t) Δte-rt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限， 可求总收入的现值为
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
a
xx
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
一、平面图形的面积
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 (1)总收益 R(x)是边际收益的原函数，生产 100 个单位时的总收益 R1， 就是 x=0 到 x=100 时总收益的增加量，所以有
R1
100
0
R ( x)dx
'
100
0
x (30 )dx 5
x 2 100 (30 x ) 2000(百元)； 10 0
(2)产量从 100 个单位到 150 个单位时总收益的增加量 R2 为
r dV x dx h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
r r x hr 2 x dx 2 . 3 h 3 0 h
2
2
3 h
二、旋转体的体积
类似地，如果旋转体是由连续曲线
y 轴所围 x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
现值＝
T
0
f (t )e dt
rt
定积分在经济上的应用
例3 某企业将投资 800 万元生产一种产品，假设在投资的 前 20 年该企业以 200 万元/年的速度均匀地收回资金，且按 年利率 5%的连续复利计算，试计算该项投资收入的现值及 投资回收期.
定积分在经济上的应用
解 现值为 依题知 f(t)＝200， 由公式(1)知投资总收入的 现值＝ 0
体积为
y
d
2 [ ( y )] dy
V
d
c
x ( y)
c
o
x
二、旋转体的体积
注： 如果旋转体是由连续曲线 旋转一周而成的立体，体积为
、
直线x=a、x=b及x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
V y 2 x | f ( x ) | dx
a
b
平行截面面积为已知的立体的体积 2.平行截面面积为已知的立体的体积
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
1 2
3
1
一、平面图形的面积
例 2 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围
一、平面图形的面积
于是所求面积 A A1 A2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
3 2 2 3
0
3
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
二、旋转体的体积
1 . 旋转体的体积
x [a , b] o x x dx 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ]， x 轴旋转而成的薄 取以dx 为底的窄边梯形绕
片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
x
Biblioteka Baidu
旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a
b
二、旋转体的体积
例6 连接坐标原点O 及点 P ( h, r )的直线、直线
一、已知边际函数求总量的问题 例 1 已知生产某种产品 x 个单位时的总收益 R 的变化率 (边际收益 )为 R′ (x)=30－ x/5(百元 /单位 )(x≥ 0)， (1)求生产 100 个单位时的总收益； (2)求生产 100 个单位到 150 个单位时总收益的增加量 .
定积分在经济上的应用
如果立体上垂直于一定轴的各个截面面积
为已知，那么，这个立体的体积也可用定积分 来计算. A x 表示过点x
且垂直于x轴的
o
a
x x dx
b
x
截面面积.
dV A( x )dx ,
A x 为x的已知连续函数
立体体积 V
b
a
A( x )dx.
平行截面面积为已知的立体的体积
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中 心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体 体所得立体的体积. 解 取坐标系如图
x h及 x 轴围成一个直角三角形． 将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积．
解 直线 OP方程为
y
P
r y x h
r
o
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ]，
二、旋转体的体积
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的 体积为
20 0.05t
200e
200 0.05t 20 dt e 0 0.05
＝4000(1- e )＝2528.4. 假 设 回 收 期 为 T 年 ， 则 由 公 式 (1) 知
定积分在经济上的应用
二、投资问题
在第二章我们已经介绍了连续复利的概念，在此基础上 进一步讨论有关投资的问题.对于一个正常运营的企业而 言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的， 比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等. 但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大 型企业，其收入和支出更是频繁的进行着. 在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地 看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已 知在t时刻收入流的变化率为f(t)(单位：元/年、元/月等)， 那么如何计算收入流的现值呢?
定积分在经济上的应用
解 由于变上限的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成 本就是边际成本函数在［ 0， x］上的定积分，又已知固定成本为 100 万元，即 C(0)=100，因此生产 x 台的总成本函数为
C ( x) (0.2t 4)dt C (0) (0.1t 4t ) 100 0 0
底圆方程为
x 2 y 2 R2
垂直于x轴的截面为直角三角形
1 2 2 A ( x ) ( R x ) tan , 截面面积 2 R 2 1 3 2 2 立体体积 V R tan . (R x ) tan dx 3 2 R
定积分在经济上的应用
前面我们用元素法解决了定积分在几何上的 一些应用，本节将讨论定积分在经济上的应用问 题.
定积分的元素法
3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 区间[a , b]上作定积分，得U 即为所求量U 的积分表达式.
a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做元素法．
第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 二、旋转体的体积 三、定积分在经济管理中的应用
一、平面图形的面积
x R2 R ( x)dx (30 )dx 100 100 5 x 2 150 (30 x ) 250(百元)； 10 100
150 ' 150
定积分在经济上的应用
例2 已知某锅炉厂每年生产 x 台锅炉时，固定成本为 100 万元，边际成本函数为 C′(x)=0.2x＋4(万元 /台)， 求总成本函数 C(x)；如果每台锅炉的销售单价为 20 万元，且生产的锅炉可以全部售出，求总利润函数 L(x)，并问每年生产多少台时，才能获得最大利润 ?
例 3 计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
y x3 6x
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x2
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
选 x 为积分变量 x [2, 3]
y x3 6x 2 y x
(1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx ( 2) x [0,3], dA2 ( x 2 x 3 6 x )dx
y f ( x)
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b
o a x x dx bx
定积分的元素法
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量 x 的变化区间a , b有关 的量； （ 2 ） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间 a , b分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部
2
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y2 2 x y x4
( 2,2), (8,4).
选 y 为积分变量
y2 2 x
y [2, 4]
A dA 18.
2 4
2 y dA y 4 dy 2
一、平面图形的面积
2
x
x
0.1x 2 4 x 100
设销售 x 台得到的总收益函数为 R(x)，根据题意有 R(x)=20x. 由于 L(x)=R(x)－ C(x)=20x－ (0.1x 2 ＋ 4x＋100) =16x－ 0.1x 2 － 100 由 L′ (x)=16－ 0.2x=0，得 x=80，且 L″ (80)=－ 0.2＜ 0，所以每年生产 80 台时，才能获得最大利润，最大利润为 L(80)=16×80－ 0.1×802－ 100=540.
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
二、旋转体的体积
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、 x 轴所围成的曲边梯形绕 直线 x a 、 x b 及 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
第一节 定积分的元素法
定积分的元素法
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。
b a
o a
b x
A f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下:
定积分的元素法
定积分的元素法
（4） 求极限，得A的精确值
n
A lim f ( i )xi f ( x )dx a 0
b
提示 若用 A 表示任一小区间
i 1
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 A A，并取 A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx
i 1 n
(2)计算Ai的近似值 Ai f ( i )xi
i xi
n i 1
(3)求和，得A的近似值A f ( i )xi。
分量之和；
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
定积分的元素法 元素法的一般步骤：
1 ）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间[a , b]；
2）设想把区间[a , b]分成 n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x , x dx ]，针对所求量U ，求 出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为[a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作 dU ，即 dU f ( x )dx ；
定积分在经济上的应用
企业在［0，T］这一段时间内的收入流的变化率为f(t)， 连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的 方法计算收入流的现值，将收入流分成许多小收入段， 相应地将区间［0，T］平均分割成长度为Δt的小区间. 当Δt很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数， 在t与t+Δt之间收入的近似值为f(t)Δt，相应收入的现值为 f(t) Δte-rt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限， 可求总收入的现值为
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
a
xx
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
一、平面图形的面积
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 (1)总收益 R(x)是边际收益的原函数，生产 100 个单位时的总收益 R1， 就是 x=0 到 x=100 时总收益的增加量，所以有
R1
100
0
R ( x)dx
'
100
0
x (30 )dx 5
x 2 100 (30 x ) 2000(百元)； 10 0
(2)产量从 100 个单位到 150 个单位时总收益的增加量 R2 为
r dV x dx h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
r r x hr 2 x dx 2 . 3 h 3 0 h
2
2
3 h
二、旋转体的体积
类似地，如果旋转体是由连续曲线
y 轴所围 x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
现值＝
T
0
f (t )e dt
rt
定积分在经济上的应用
例3 某企业将投资 800 万元生产一种产品，假设在投资的 前 20 年该企业以 200 万元/年的速度均匀地收回资金，且按 年利率 5%的连续复利计算，试计算该项投资收入的现值及 投资回收期.
定积分在经济上的应用
解 现值为 依题知 f(t)＝200， 由公式(1)知投资总收入的 现值＝ 0
体积为
y
d
2 [ ( y )] dy
V
d
c
x ( y)
c
o
x
二、旋转体的体积
注： 如果旋转体是由连续曲线 旋转一周而成的立体，体积为
、
直线x=a、x=b及x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
V y 2 x | f ( x ) | dx
a
b
平行截面面积为已知的立体的体积 2.平行截面面积为已知的立体的体积
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
1 2
3
1
一、平面图形的面积
例 2 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围
一、平面图形的面积
于是所求面积 A A1 A2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
3 2 2 3
0
3
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
二、旋转体的体积
1 . 旋转体的体积
x [a , b] o x x dx 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ]， x 轴旋转而成的薄 取以dx 为底的窄边梯形绕
片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
x
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旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a
b
二、旋转体的体积
例6 连接坐标原点O 及点 P ( h, r )的直线、直线
一、已知边际函数求总量的问题 例 1 已知生产某种产品 x 个单位时的总收益 R 的变化率 (边际收益 )为 R′ (x)=30－ x/5(百元 /单位 )(x≥ 0)， (1)求生产 100 个单位时的总收益； (2)求生产 100 个单位到 150 个单位时总收益的增加量 .
定积分在经济上的应用
如果立体上垂直于一定轴的各个截面面积
为已知，那么，这个立体的体积也可用定积分 来计算. A x 表示过点x
且垂直于x轴的
o
a
x x dx
b
x
截面面积.
dV A( x )dx ,
A x 为x的已知连续函数
立体体积 V
b
a
A( x )dx.
平行截面面积为已知的立体的体积
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中 心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体 体所得立体的体积. 解 取坐标系如图
x h及 x 轴围成一个直角三角形． 将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积．
解 直线 OP方程为
y
P
r y x h
r
o
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ]，
二、旋转体的体积
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的 体积为
20 0.05t
200e
200 0.05t 20 dt e 0 0.05
＝4000(1- e )＝2528.4. 假 设 回 收 期 为 T 年 ， 则 由 公 式 (1) 知
定积分在经济上的应用
二、投资问题
在第二章我们已经介绍了连续复利的概念，在此基础上 进一步讨论有关投资的问题.对于一个正常运营的企业而 言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的， 比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等. 但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大 型企业，其收入和支出更是频繁的进行着. 在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地 看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已 知在t时刻收入流的变化率为f(t)(单位：元/年、元/月等)， 那么如何计算收入流的现值呢?
定积分在经济上的应用
解 由于变上限的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成 本就是边际成本函数在［ 0， x］上的定积分，又已知固定成本为 100 万元，即 C(0)=100，因此生产 x 台的总成本函数为
C ( x) (0.2t 4)dt C (0) (0.1t 4t ) 100 0 0
底圆方程为
x 2 y 2 R2
垂直于x轴的截面为直角三角形
1 2 2 A ( x ) ( R x ) tan , 截面面积 2 R 2 1 3 2 2 立体体积 V R tan . (R x ) tan dx 3 2 R
定积分在经济上的应用
前面我们用元素法解决了定积分在几何上的 一些应用，本节将讨论定积分在经济上的应用问 题.
定积分的元素法
3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 区间[a , b]上作定积分，得U 即为所求量U 的积分表达式.
a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做元素法．
第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 二、旋转体的体积 三、定积分在经济管理中的应用
一、平面图形的面积
x R2 R ( x)dx (30 )dx 100 100 5 x 2 150 (30 x ) 250(百元)； 10 100
150 ' 150
定积分在经济上的应用
例2 已知某锅炉厂每年生产 x 台锅炉时，固定成本为 100 万元，边际成本函数为 C′(x)=0.2x＋4(万元 /台)， 求总成本函数 C(x)；如果每台锅炉的销售单价为 20 万元，且生产的锅炉可以全部售出，求总利润函数 L(x)，并问每年生产多少台时，才能获得最大利润 ?
例 3 计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
y x3 6x
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x2
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
选 x 为积分变量 x [2, 3]
y x3 6x 2 y x
(1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx ( 2) x [0,3], dA2 ( x 2 x 3 6 x )dx
y f ( x)
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b
o a x x dx bx
定积分的元素法
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量 x 的变化区间a , b有关 的量； （ 2 ） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间 a , b分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部
2
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y2 2 x y x4
( 2,2), (8,4).
选 y 为积分变量
y2 2 x
y [2, 4]
A dA 18.
2 4
2 y dA y 4 dy 2
一、平面图形的面积
2
x
x
0.1x 2 4 x 100
设销售 x 台得到的总收益函数为 R(x)，根据题意有 R(x)=20x. 由于 L(x)=R(x)－ C(x)=20x－ (0.1x 2 ＋ 4x＋100) =16x－ 0.1x 2 － 100 由 L′ (x)=16－ 0.2x=0，得 x=80，且 L″ (80)=－ 0.2＜ 0，所以每年生产 80 台时，才能获得最大利润，最大利润为 L(80)=16×80－ 0.1×802－ 100=540.
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
二、旋转体的体积
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、 x 轴所围成的曲边梯形绕 直线 x a 、 x b 及 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
第一节 定积分的元素法
定积分的元素法
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。
b a
o a
b x
A f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下:
定积分的元素法
定积分的元素法
（4） 求极限，得A的精确值
n
A lim f ( i )xi f ( x )dx a 0
b
提示 若用 A 表示任一小区间
i 1
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 A A，并取 A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx