浅谈数学归纳法在高考中的应用
高考数学复习第七章数列与数学归纳法专题探究课三高考中数列不等式证明的热点题型理市赛课公开课一等奖省名
≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an| ≤13232n－2＋232n－3＋…＋23n－1 ＝23n－1－232n－1 ≤23－233＝1207. 综上，|a2n－an|≤1207.15 分(得分点 4)
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❶得步骤分：抓住得分点步骤，“步步为营”，求得满分.如(1)中，归纳猜测得2分； 用数学归纳法证实得3分，第(2)放缩法证实结论得5分等.
殊到普通结论成立问题.所以，能够在数列不等式证实中大显身手.
【例 1】 (满分 15 分)(2018·绍兴检测)已知数列{an}满足，a1＝1，an＝an1＋1－12. (1)求证：23≤an≤1； (2)求证：|an＋1－an|≤13； (3)求证：|a2n－an|≤1207.
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满分解答 证明 (1)由已知得 an＋1＝an＋1 12， 又 a1＝1，则 a2＝23，a3＝67，a4＝1149， 猜想23≤an≤1.2 分(得分点 1) 下面用数学归纳法证明. ①当 n＝1 时，命题显然成立； ②假设 n＝k 时，有23≤ak≤1 成立，
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(2)证明 因为 a1>2，可用数学归纳法证明：an>2 对任意 n∈N*恒成立. 于是 an＋1－an＝a2n－1<0，即{an}是递减数列. 在 Sn≥na1－13(n－1)中，令 n＝2， 得 2a1＋a21－1＝S2≥2a1－13，解得 a1≤3，故 2<a1≤3. 下证：①当 2<a1≤73时， Sn≥na1－13(n－1)恒成立. 事实上，当 2<a1≤73时，由于 an＝a1＋(an－a1)≥a1＋2－73＝a1－13，
(3)证明 由(2)可得 an＝32n1＋1≥32n＋132n－1＝2523n－1. 所以 Sn≥25＋25·231＋…＋25·23n－1 ＝651－23n， 故 Sn≥651－23n成立．
高考数学一轮总复习中的重难点梳理
高考数学一轮总复习中的重难点梳理为了帮助同学们更好地备战高考数学，本文将对高考数学一轮总复习中的重难点进行梳理。
通过对这些难点的深入理解与掌握，可以提高解题能力，增加应试成功的机会。
一、函数与方程1. 一元二次函数及其图像特征一元二次函数是高考数学中的重点和难点之一。
要熟练掌握一元二次函数的标准形式、顶点形式、因式分解形式等表示方法，并能根据给定的函数图像，恢复出函数的相关特征参数。
2. 不等式与绝对值在解不等式和绝对值方程时，需要注意不等式的符号方向和绝对值的取值范围。
另外，还需了解常用不等式的性质和简化方法，例如柯西不等式和均值不等式。
二、解析几何1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要部分。
要熟悉直线方程和圆方程的不同表示形式，能够准确判断直线与圆的位置关系，并灵活应用到求解相关问题中。
2. 二次曲线的图像特征二次曲线的图像特征包括焦点、顶点、对称轴等，这些特征对于解析几何的问题求解非常关键。
需要掌握二次曲线的标准方程及其图像特性，能够根据给定的方程确定其图像的基本特征。
三、概率与统计1. 排列组合与概率排列组合是概率与统计中的基础知识点，也是高考中的常考题型。
要熟悉排列组合的基本概念和计算方法，并能够将其灵活应用到解决实际问题中。
此外，还需掌握概率的计算方法和常用定理，如乘法原理和加法原理。
2. 统计图表的分析与应用在解决实际问题时，常常需要通过统计图表来获取相关信息。
因此，需要掌握各种统计图表的绘制方法和数据分析技巧，能够准确解读统计图表，并运用到解题过程中。
四、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列和等比数列是数列的常见形式，在高考中经常出现。
需要熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式、前n项和与求和公式，并能够根据题目给出的条件进行推导和计算。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法是解决数列问题的常用方法，要掌握数学归纳法的基本思想和步骤，并能够通过数学归纳法证明数列相关的性质和结论。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用重庆市酉阳第一中学校李进 409812摘要：数学归纳法把具体的归纳猜想与严格的演绎推理结合在一起，形成了数学中最基本的逻辑推理方法之一。
数学归纳法在论证与自然数有关的教学命题中有着独到的功效，人们在认识真理的过程中经常使用归纳法来探索规律、发现结论。
数学归纳法是中学数学教学内容的重点与难点之一，重点是因为数学归纳法使用面较广，难点则是因为它及归纳、猜想、证明与一体，较为抽象，也是学生第一次接触从有限到无限的认识方式。
也是初步认识自然数的后继特征，同时涉及到的知识和技巧较多，学生难以理解。
本文第一部分归纳和总结了数学归纳法的理论依据与使用范围、基本形式，第二部分是本文的核心内容,主要总结归纳了数学归纳法以及在与正整数有关的某些不等式、代数恒等式、整除、几何命题、数列命题、排列组合等问题中的证明。
关键词：数学归纳法应用范围形式1、引言归纳法是从特殊到一般的思想方法，无数特殊性的事物中蕴涵着某种共同性的东西或普遍关系，把这种共同性的东西或普遍关系找出来表述为一般性命题或普遍公式，就是归纳法。
数学归纳法，是归纳法的一种特殊形式，是一种适用于发现和论证自然数命题的归纳法。
它也是从特殊过渡到一般的思想方法[1]，数学归纳法非常重要，当人们碰到一个与自然数n有关的数学问题时，如果一时无法入手，就应该首先观察简单的情形，即观察n=或3n=时，问题的解(或答案)应该怎样，如果连最简单的情形问题答案都1n=、2无法确定，那么对一般情形就更难琢磨了，因此要重视特例，耐心地观察特例，善于分析特例，并从中猜想出普遍性的结论，这就是使用归纳法的重要步骤，当然还要学会从=+的演绎推理方法 [2]。
n kn k=过渡到1数学归纳法与递推方法,逆向推理方法等同属程序性方法，从横的方面看,它和正整数有关的某些不等式、等式、整除、几何命题、数列命题、排列组合等问题密切相关，数学归纳法在高考中大多数是以压轴题，占有非常重要位[3]。
高考数学中的数学归纳法及应用
高考数学中的数学归纳法及应用在高考数学中，数学归纳法是一个重要的概念，它被广泛应用于各种数学问题的解决和证明，特别是那些与自然数和整数相关的问题。
在本文中，我们将主要讨论高考数学中的数学归纳法及其应用。
1. 数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种数学推理方法，通过一个已知的命题的真实性，证明其对于所有的自然数都成立。
数学归纳法的基本步骤包括以下三个部分：第一步，证明基本情况，即证明所要证明的命题在某个整数上成立。
这个整数一般是0或1，有时也可以是其他的整数。
第二步，证明归纳步骤，即证明如果命题在某个整数上成立，那么它在下一个整数上也会成立。
第三步，结论，即由前两步推出所要证明的命题对所有的自然数都成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用：2.1. 计算等差数列的和等差数列的和问题，就可以用数学归纳法来推导出通用公式。
具体步骤如下：首先，我们用初中阶段所学的方法，求出等差数列前n项和的通式Sn。
S1 = a1 (n=1时，Sn=a1)S2 = a1 + a2 (n=2时，Sn=a1+a2)S3 = a1 + a2 + a3 (n=3时，Sn=a1+a2+a3)……Sn = a1 + a2 + …… + an我们通过数学归纳法来推导出通用公式：证明基本情况，当n=1 时，Sn=a1 成立。
证明归纳步骤：假设当n = k（k≥1）时，Sn = a1 + a2 + …… + ak 成立。
即证明当n=k+1 时，Sn=a1+a2+……+ak+ak+1 成立。
即结论：对于所有的自然数n，等差数列的前n项和为Sn = n[a1 + an] / 2。
2.2. 证明不等式数学归纳法也可以用于证明不等式的真实性。
如果某个命题的成立可以从另一个命题的成立推导出来，而这两个命题都可以用数学归纳法进行证明，那么我们可以通过这两个命题的联合证明，来证明原来的不等式。
例如，我们可以用数学归纳法证明n ≥ 3 时，2^n > n^2。
数学归纳法及应用列举
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。 再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。 从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？ 常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。 作文题三十八 阅读下面的材料，根据要求作文。
23
n
题3：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被 x+y整除（对于多项式A，B，如果
A=BC，C也是多项式，那么A能被B整 除）
题4：平面内有n（n≧2）条直线，其中 任何两条不平行，任何三条不过同一点，
证明交点的个数f(n)等于 n(n 1)
2
已知数列｛an｝的通项公式
an
4 (2n 1)2
泪”只是你作文的导入或由头，如果单纯地写“杨振宁流泪”，那么就难以切题。 ? ?作文题三十三 阅读下面的材料，根据要求作文。 登山的人，有的目不旁视，奋力攀登，他执著于到达峰顶的瞬间风光；有的则流连沿途风景，且走且赏，山顶不过是他歇脚的地方。不只登山，
生活也是这样：两种心态，两种行为，两种价值观。你怎么看待这个问题呢？ 请以“进取心与平常心”为话题，联系现实生活，写一篇文章。自定立意，自拟标题，自选文体，不少于800字。 [写作提示]情感、态度、价值观，是新课标提出的课程理念之一。要关注生活、关注
高下相倾，音声相和，前后相随学说讲的就是这个道理。 “结合社会生活实际”是作文的关键。如果就寓言谈寓言，就庄子谈庄子，就匠石谈匠石，那么就“答非所问”了。 作文题三十 ? 阅读下面的材料，根据要求作文。
高考数学知识点占比分析
高考数学知识点占比分析高考作为我国学生升学选拔的最重要考试之一，对学生的数学知识的掌握有着较高的要求。
在备考过程中，了解各个知识点的占比情况能够帮助考生合理分配学习时间和精力，有针对性地进行复习。
一、函数与导数（20%）函数与导数是高考数学中的重要知识点，占据了整个数学部分的20%。
这部分内容涵盖了函数的基本概念、常见函数的性质和图像以及导数的定义和基本公式等。
在考试中，通常会涉及到函数的极值、最值问题以及函数图像的变化等题型。
因此，考生在备考过程中需要重点掌握函数与导数的相关知识，并能够熟练运用。
二、平面向量和立体几何（15%）平面向量和立体几何是高考数学中的另一个重要板块，占据了15%的比重。
平面向量主要包括向量的定义、加法、数量积和向量的共线与垂直问题等。
立体几何则涉及到空间中的点、直线、面的位置关系，常见的题型有平面与直线的位置关系、平面与平面的位置关系等。
考生在备考过程中需要熟练掌握平面向量和立体几何的相关知识，并能够理解和应用。
三、数列与数学归纳法（10%）数列与数学归纳法是高考数学中比重较大的一个知识点，占据了10%的比重。
数列是数学中的一个重要概念，指的是按照一定规律排列的一组数。
数学归纳法是一种证明方法，能够用来证明关于正整数的命题。
在考试中，常见的数列题型有递推关系、通项公式和数列的性质等。
考生在备考过程中需要掌握不同类型数列的求和公式和性质，并能够应用数学归纳法进行证明。
四、三角函数（10%）三角函数是高考数学中不可忽视的知识点之一，占据了10%的比重。
三角函数的相关知识包括常见角的定义、三角函数的性质和基本公式等。
在考试中，考生经常会遇到三角函数的求值、方程和不等式等题型。
因此，考生在备考过程中需要熟练掌握三角函数的相关知识，并能够运用到解题中。
五、概率与统计（10%）概率与统计是高考数学中比重较大的一个知识点，占据了10%的比重。
概率与统计主要涉及到事件的概率计算、统计指标的计算以及统计图表的分析等。
高考一轮复习练习： 数学归纳法
1．应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．证明：①当n ＝3时，三角形没有对角线，f (3)＝0，又f (3)＝12×3×(3－3)＝0，命题成立．②假设当n ＝k (k ≥3)时命题成立，即凸k 边形A 1A 2…A k 有f (k )＝12k (k －3)条对角线，再加一个顶点A k ＋1，构成凸k ＋1边形，则增加了k －2条对角线，又原来的边A 1A k 变成了对角线，故对角线增加了k －1条，即凸k ＋1边形有f (k ＋1)＝12k (k－3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]条对角线，可知当n ＝k ＋1时，命题成立，综合①②可知命题对于n ≥3的自然数n 都成立．2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何正整数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，a 1＋2a 2＝24，a 1＋2a 2＋3a 3＝60，解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3.故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得当n ＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当n ＝1时，结论显然成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＋(k＋1)a k＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n＝3n＋3，使得对任何正整数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)都成立．3．已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a2n＋1＋a n＋1－1＝a2n.求证：当n∈N*时，a n<a n＋1.证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1<a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤a k<a k＋1，因为a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋a k＋2－1)－(a2k＋1＋a k＋1－1)＝(a k＋2－a k＋1)(a k＋2＋a k＋1＋1)>0，所以a k＋1<a k＋2，即当n＝k＋1时，a n<a n＋1也成立．根据(1)和(2)，可知a n<a n＋1对任意n∈N*都成立．4．已知a>0，b>0，n>1，n∈N*.用数学归纳法证明：a n＋b n2≥(a＋b2)n.证明：(1)当n＝2时，左边－右边＝a2＋b22－(a＋b2)2＝(a－b2)2≥0，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k >1)时，不等式成立，即a k ＋b k 2≥(a ＋b 2)k .因为a >0，b >0，k >1，k ∈N *，所以(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k b ＋ab k )＝(a －b )·(a k －b k )≥0， 于是a k ＋1＋b k ＋1≥a k b ＋ab k .当n ＝k ＋1时，(a ＋b 2)k ＋1＝(a ＋b 2)k ·a ＋b 2≤a k ＋b k 2·a ＋b 2＝a k ＋1＋b k ＋1＋a k b ＋ab k 4≤a k ＋1＋b k ＋1＋a k ＋1＋b k ＋14＝a k ＋1＋b k ＋12， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)，(2)知，对于a >0，b >0，n >1， n ∈N *，不等式a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n 总成立．。
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题数学归纳法是一种常见且重要的数学技巧，在高考数学中经常被用于解决一些复杂的问题。
通过合理运用数学归纳法，可以简化问题的复杂性，从而更好地解决数学题。
本文将探讨高考数学中如何利用数学归纳法解决问题的技巧和方法，并通过一些例题进行说明。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它的基本原理是：设n为一个正整数，如果能证明当n取某个值时命题成立，而且如果在命题成立的情况下可以推导得到n+1的情况也成立，那么就可以得出结论：当n为任意正整数时，命题都成立。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法主要包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
1.基础步骤：首先需要证明当n取某个值时命题成立。
这个值通常是最小的正整数，可以是1或任意不为0的正整数。
2.归纳假设：假设当n取k（其中k为正整数）时命题成立，即假设命题P(k)为真。
3.归纳步骤：在已知P(k)为真的情况下，利用此假设证明P(k+1)为真。
通过推理和运算，将P(k+1)的真实性转化为某个已知条件的真实性，即从P(k)推导得到P(k+1)。
三、利用数学归纳法解决高考数学问题的技巧1.明确问题类型：在高考数学中利用数学归纳法解题，首先要明确问题的类型。
常见的问题类型包括数列、方程、不等式、集合等。
2.观察规律：利用数学归纳法解题的关键在于观察规律。
通过对问题的分析和计算，观察数列、方程等中数值、系数的变化规律，总结出规律的特点。
3.列出基础步骤：根据观察所得的规律，找到问题中的基础步骤。
基础步骤通常是证明当n取某个值时命题成立。
4.假设并证明：在观察到的规律的基础上，假设命题P(k)为真，并通过计算和推理证明该命题成立。
5.归纳得出结论：在已知P(k)为真的情况下，运用数学归纳法的归纳步骤，将P(k+1)的真实性转化为已知条件的真实性，进而得出结论。
四、数学归纳法解题的例子【例题】已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则证明：a_n=n^2。
高三数学重点难点归纳总结
高三数学重点难点归纳总结数学是一门既有逻辑性又需要动手能力的学科，对于高三学生来说，掌握好数学的重点和难点是至关重要的。
本文将对高三数学的重点难点进行归纳总结，旨在帮助学生们更好地备考。
一、函数与方程1. 一次函数与二次函数：了解函数的定义、性质，掌握图像、性质以及方程。
强化掌握一次函数和二次函数的图像、解析式、性质等内容，特别是二次函数的顶点和轴对称性质，从而应对与之相关的各种题型。
2. 指数与对数：熟悉指数与对数的定义与基本性质，重点掌握指数、对数的运算规则以及相关的方程和不等式的解法。
二、几何与三角形1. 几何证明：加强几何证明的训练，理解定理的含义和证明的逻辑，充分利用已知条件来推导结论。
2. 三角形的性质：掌握三角形的内角和外角性质，了解各种特殊三角形的边长关系，熟练应用正弦定理和余弦定理解决相关的题目。
三、概率与统计1. 统计图表的应用：能够读懂各种统计图表，掌握统计分布的特征和计算方法，理解统计分布的含义和应用场景。
2. 概率问题的解决：了解概率的基本概念，熟练掌握计算概率的方法，尤其是排列组合和条件概率的应用。
四、导数与微分1. 导数的定义与性质：熟悉导数的定义，关注导数的物理意义和几何意义，掌握导数的基本性质和运算法则。
2. 微分中值定理：了解微分中值定理的含义与应用，能够熟练运用微分中值定理进行问题的求解。
五、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列：熟悉等差数列和等比数列的性质，能够根据规律求解相关题目，理解等比数列的未来项与公比之间的关系。
2. 数学归纳法的应用：理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法的基本步骤和应用技巧，能够运用数学归纳法解答相关题目。
六、立体几何1. 空间图形的性质：掌握各种常见立体几何图形的性质，理解体积、表面积的计算方法，能够熟练解决与之相关的计算题目。
2. 空间向量的运算：了解向量的基本概念和运算法则，掌握向量的数量积和叉积的计算方法，并能够应用于空间几何问题的解决。
高考数学一轮复习方法之数学归纳法
高考数学一轮复习方法之数学归纳法
减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
常见数学归纳法及其证明方法
(一)第一数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况，
(2)假设当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法
对于某个与自然数有关的命题，
(1)验证n=n0时P(n)成立，
(2)假设no
综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，
(三)螺旋式数学归纳法
P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，
假如(1)P(n0)成立，
(2)假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，
(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)
(1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立，
(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，
综合(1)(2)，对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，
总而言之：归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法完全归纳法：数学归纳法就是一种不完全归纳法，在数学中有着重要的地位!
数学归纳法的全部内容就是这些，查字典数学网更多精彩内容请考生持续关注。
高考数学选择必考知识点
高考数学选择必考知识点在高考备考过程中，数学是每个考生必须重点复习和掌握的科目之一。
数学的高考内容非常广泛，但有些知识点是考生必须掌握的，也是高考选择题中经常出现的内容。
本文将针对高考数学中的选择必考知识点进行讨论。
第一大类：函数与方程函数与方程是数学中一个基础而重要的概念。
在高中数学教学中，函数与方程的知识点占据了很大的比重。
在高考选择题中，往往会涉及到函数的性质、方程的解等内容。
考生需要透彻理解函数的概念与分类，能够灵活运用函数的性质解决问题。
同时，对于方程的解的求法，如一元一次方程的求解、二次方程的求根公式、二次函数与一元一次方程的联系等，也是必须要掌握的知识点。
第二大类：几何与向量几何与向量是高中数学中的另一个重要内容，也是高考数学选择题中经常出现的知识点。
在几何与向量的学习中，考生需要掌握平面与空间中的图形性质、向量的定义与运算方法等。
在高考选择题中，可能会涉及到直线、平面的方程、空间几何中的投影、角平分线、共线与共面等概念与应用。
第三大类：数列与数学归纳法数列是高中数学中的一个重要概念，在高考选择题中也是一个常见的考点。
考生需要掌握数列的概念、等差数列与等比数列的性质与求和公式等，并能够应用数列的知识解决一些实际问题。
另外，数学归纳法也是高考数学选择题中经常考察的内容。
考生需要了解数学归纳法的基本思想与方法，并能够成功运用数学归纳法解决一些相关问题。
第四大类：概率与统计概率与统计是高中数学中的另一个重要内容，也是高考数学选择题中的考点之一。
考生需要掌握概率与统计的基本概念与方法，如事件的概率、条件概率、排列组合、抽样调查等。
在高考选择题中，可能会涉及到概率与统计的应用、问题求解等。
除了以上几个主要的知识分类，高考数学选择题中还可能涉及到其他一些主题，如三角函数、解析几何、导数与微分、积分等。
考生在备考过程中，应该对这些内容进行有针对性的复习，熟悉概念与公式，并能够运用相关知识解决实际问题。
高考数学中的数学归纳法及其扩展应用
高考数学中的数学归纳法及其扩展应用数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，其强大的证明能力不仅在数学理论中得到广泛应用，还在数学应用中有着许多扩展与应用。
其中在高考数学中，数学归纳法是一个非常重要的概念，它已经成为高中数学必修内容之一。
因此，本文将深入讨论数学归纳法及其在高考数学中的扩展应用。
一、数学归纳法的基本概念与模式数学归纳法是一种非常简便的证明方法，可以证明所有的自然数都满足某种规律。
其基本概念可以概括为以下两个部分：1. 基本步骤（或称“起始步骤”）：证明当n取某个特定的值时，命题成立。
2. 归纳步骤：证明当n=k时命题成立，可以推导出n=k+1时命题同样成立。
归纳法证明中的思考方向正好与演绎推理相反，也因此其非常具有灵活性。
当然，在日常应用中，使用归纳法无疑会比直接使用其他方法要轻松便捷的多。
二、数学归纳法在高考数学中的应用数学归纳法不仅在数学理论中有着重要的应用价值，而且在学科应用中也有着广泛的应用。
在高考数学中，尤其是在数列、函数等章节，数学归纳法的应用较为广泛。
1. 数列在数列数列的求和、证明和递推问题中，数学归纳法是一种常用的证明方法。
例如，我们可以使用归纳法证明某一数列满足递推公式S(k+1)=S(k)+k+2 (S(1)=2)。
(1) 当k=1时，S(k+1)=S(1+1)=S(2)=S(1)+3=5，此时等式成立。
(2) 假设n=k时命题成立，即S(k+1)=S(k)+k+2。
(3) 则当n=k+1时，有：S(k+2)=S(k+1)+(k+3)=S(k)+(k+2)+(k+3)=S(k)+(2k+5)通过简单的运算化简，可得S(k+2)=(k+1)(k+4)/2+2，由此命题在所有自然数范围内都成立。
2. 函数在高考数学中，函数的性质问题中也大量使用了归纳法证明。
例如，我们可以使用归纳法证明奇函数经过原点的图像对称于y 轴。
(1) 当k=1时，f(x)=-f(-x)，此时等式成立。
高考数学中的数学归纳法与数学归纳法证明
高考数学中的数学归纳法与数学归纳法证明数学归纳法是现代数学中一个重要的证明方法，也是高中数学中常见的方法之一。
在高考中，数学归纳法常常出现在数列、不等式等知识点中。
本文将重点探讨在高考数学中，如何应用数学归纳法及其证明方法。
一、数学归纳法的概念数学归纳法是一种证明命题的通用的方法，它是建立在自然数基础上的。
数学归纳法的基本思想是：先证明命题对于自然数 1的真实性，然后证明对于任意正整数 n，若命题对于正整数 n 成立，则命题对于正整数 n+1 成立。
根据这一思想，只要证明命题对于自然数 1 成立，且对于任意正整数 n 的情况也成立，即可得出命题在自然数范围内成立的结论。
二、应用数学归纳法的例题1、数列问题数列是高考中比较常见的数学知识点，其中数学归纳法的应用很多。
例如：证明：对于正整数 n，恒有1+2+3+……+n=n(n+1)/2。
解：首先证明当 n=1 时，命题成立，1=1(1+1)/2。
假设命题对于正整数 k 成立，即1+2+3+……+k=k(k+1)/2。
那么当 n=k+1 时，有：1+2+3+……+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=[(k+1)(k+2)]/2。
因此，当 n=k+1 时，命题也成立。
由此可知，命题对于任意正整数 n 成立。
2、不等式问题在不等式问题中，数学归纳法的应用也相当广泛。
例如：证明：对于正整数 n，有 2^n>n。
解：首先证明当 n=1 时，命题成立，2^1>1。
假设命题对于正整数 k 成立，即 2^k>k。
那么当 n=k+1 时，有：2^(k+1)=2*2^k>2k>k+1。
因此，当 n=k+1 时，命题也成立。
由此可知，命题对于任意正整数 n 成立。
三、数学归纳法证明的基本步骤数学归纳法的证明分为以下三步：1、证明基本情形。
即证明当 n=1 时，命题成立。
2、归纳假设。
假设命题对于某个正整数 k 成立，即证明在假设成立的前提下，命题对于正整数 k+1 成立。
名师高中数学复习之数学归纳法指导
名师高中数学复习之数学归纳法指导数学归纳法是一种有专门事例导出一样原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只依照一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不承诺的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n=1(或n)时成立，这是递推的基础，第二步是假设在n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判定命题的正确性能否由专门推广到一样，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤紧密相关，缺一不可，完成了这两步，就能够确信对任何自然数(或nn且nN)结论都正确。
由这两步能够看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n=k+1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，能够证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
常见数学归纳法及其证明方法(一)第一数学归纳法一样地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于一样数列取值为1，但也有专门情形，(2)假设当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k +1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
数学归纳法在高考中的应用
数学归纳法在高考中的应用学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学中占有很重要的地位．应用广泛．数学归纳法有下两种基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当（）时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当（）时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
（2005山东）是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于3k－1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值为36. 二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．（2005江西）是否存在常数，使得等式对一切自然数成立？并证明你的结论．解：假设存在，使得题设的等式成立，则当时也成立，代入得解得，于是对，下面等式成立：令假设时上式成立，即那么这就是说，等式当时也成立．综上所述，当时，题设的等式对一切自然数都成立．三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．（2008全国一22）．设函数．数列满足，．（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；（Ⅱ）证明：；解析：（Ⅰ）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；（ⅱ）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，，也就是说当时，也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.（2008辽宁卷21）．在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．解：（Ⅰ）由条件得由此可得．················································ 2分猜测．················································································4分用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．······································7分（Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知．··········································9分故综上，原不等式成立．四、用数学归纳法解决某些与正整数有关的探索性问题由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．（2002湖北）已知y=f（x）满足f（n－1）=f（n）－lg a n－1（n≥2，n∈N）且f（1）=－lg a，是否存在实数α、β使f（n）=（αn2+βn－1）lg a对任何n∈N *都成立，证明你的结论解：∵f（n）=f（n－1）+lg a n－1，令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=－lg a+lg a=0又f（1）=－lg a，∴∴∴f（n）=（n2－n－1）lg a证明：（1）当n=1时，显然成立（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k2－k－1）lg a，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lg a k=f（k）+k lg a=（k2－k－1+k）lg a=［（k+1）2－（k+1）－1］lg a∴当n=k+1时，等式成立综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn2+βn－1）lg a对任意n∈N *都成立点评：本题是探索性问题．它通过观察――归纳――猜想――证明这一完整的过程去探索和发现问题，并证明所得出的结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．通过上面的几个例子可知，数学归纳法在高考试题中常与数列、函数等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住关键点，并掌握一些常用技巧，重视变形转化能力，才能最终解决问题。
数学归纳法及应用列举
1
1 2
1 3
...
..
1 2n
1
n(n
*且n
1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
(2)
利用数学归纳法证明
(n 1)(n 2).....(n n) 2n 13...... (2n 1)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
说是我们男神老板买下你那栋房子,目前正在重新装修.”周子叶一脸是非,“陆陆,你不打算搬回去吗？你跟他交情辣么好,一定优先租给你.”事关安身之所,婷玉也很关心,“是呀,陆陆,你这么找不是办法,不如考虑一下？”“我跟少华不一样,他hold得住那些人,我不行.”陆羽摇摇 头,“再说,以后有旅行团进村不一定吵成什么样呢.不了,我打算回城郊买栋房子算了.”金梧国际附近有二手小别墅出售,售价两百万左右の也有.她向樊大姐打听过,以自己の经济条件可以挑好一些の,要么月供,要么借钱付全款.这是最后一步.那里好歹离城区近一些,监控集中在金梧国际, 治安还行.以后她想吃什么可以叫外卖,也可以回城里吃,以后学车考个牌,二手车贼便宜.快递还给她送到家门口,特方便.至于办居住,这就要找林师兄帮忙了.等她安定下来,再慢慢考虑别の事情.云非雪见状不再多提,微笑道：“我有同学在宁海,今天中午想来一个直播,大家一起吧？我知道
高二数学讲义：数学归纳法的原理及应用【讲师版】
海风寒假数学课程讲义数学归纳法的原理及应用学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长数学归纳法，与反证法一样，都属于数学方法一类。
即使在整个数学领域内，数学归纳法也有很重要的地位。
在高中数学中，数学归纳法作为一种方法，常常与数列相结合。
但实际上数学归纳法能与各种各样的问题相结合。
符合数学研究中的先猜后证，故在高考中也同样占有很重要的地位。
1. 归纳公理设S 是正整数集*N 的一个子集，满足条件： (1)S ∈1；(2)若S n ∈，则S n ∈+1. 那么*N S =.归纳公理是由皮亚诺提出的关于正整数的五条公理中的一条，它是数学归纳法的基础. 第一数学归纳法是最常用的一种形式，它就是我们高中课本中所提及的数学归纳法，2. 第一数学归纳法设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果 (1)当1=n 时，)(n P 成立；(2)由)(n P 成立可以推出)1(+n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.3. 第一数学归纳法的变形设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果 (1)当2,1=n 时，)(n P 成立；(2)由)(n P 、)1(+n P 成立可以推出)2(+n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.4. 第二数学归纳法设)(n P 是关于正整数n 的一个命题（或性质），如果 (1)当1=n 时，)(n P 成立；(2)由“对一切小于n 的正整数k ，)(k P 都成立”可以推出)(n P 成立. 那么，对任意*N n ∈，)(n P 都成立.以上两种数学归纳法是高考中常用的，也是同学们必须掌握的数学归纳法。
作为扩展，我们再介绍两种数学归纳法，同学们可以作为了解：5. 倒推归纳法（1）对于无穷多个自然数命题)(n P 成立；（2）假设)1(+k P 成立，并在此基础上推出)(k P 成立， 综合（1）（2），对一切自然数)(0n n ≥,命题)(n P 都成立；6. 螺旋式归纳法)()(n Q n P 和为两个与自然数n 有关的命题，假如 （1）)(0n P 成立；（2）假设)(),(0n k k P ≥成立，能推出)(k Q 成立，假设)(k Q 成立，能推出)1(+k P 成立；综合（1）（2）,对于一切自然数)(0n n ≥，)()(n Q n P 和都成立；一、题意直接指明利用数学归纳法证题的探索题型 例1 已知数列{}n x 满足：*1111,21n nx x n N x ∈+＋’＝＝. (1)猜想数列{}2n x 的单调性,并证明你的结论. (2)证明：1112|()65n n n x x -+-|≤. (1)解：由211=x 和n n x x +=+111，得2113,85,32642===x x x .由246x x x >>，猜想：数列{}2n x 是递减数列.下面用数学归纳法证明. ①当n=1时，命题成立.②假设当n=k时命题成立，即222k k x x +>，易知20k x >，那么23212224212321231111(1)(1)k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=-=++++=22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++->++++，即2(1)k k x x+++>，也就是说，当n=k+1时命题也成立.结合①②，可知命题成立.(2)证明：①当n=1时，12116n n x x x x +-=-=，结论成立. ②假设当k n =时命题成立，则有115261-+⎪⎭⎫⎝⎛⋅≤-k k k x x .当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<∴+<=>+.()()521111≤++∴-k k x x .当1+=k n 时，()()kk k k k k kk k k x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤++-=+-+=--++++526152526111111111112.也就是说，当1+=k n 时命题成立.结合①②，可知命题成立.小结 本题中明确说明“先猜想再证明”的数学归纳法的证题思路.观察、归纳、猜想、证明是解决这类探索型问题的思维方式，其关键在于进行正确、合理的归纳猜想，否则接下来的证明只能是背道而驰了. 难度系数 3二、与正整数n 有关的不等式证明通常采用数学归纳法的证明题型例2 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对于任意的*∈N n ，点(,)n n S 均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.(1)求r 的值.(2)当2=b 时，记()()*∈+=N n a b n n 1l o g22，证明：对于任意的*∈N n ，不等式nn b b b b b b 1112211+∙∙+∙+ 1+>n 成立. (1)解：因为对于任意的*∈N n ，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上，所以有nn S b r =+.当1n =时，11a S b r ==+.当2n ≥时，1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-.又数列{n a }是等比数列，所以1r =-，公比为b ，1(1)n n a b b -=-.(2)证明：当2=b 时，11(1)2n n n a b b --=-=， 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=，则1212n n b n b n++=，111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+所以121211135721 (246)2n nb b b n b b b n++++=⋅⋅. 下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (246)2n n b bb n b b b n++++=⋅⋅>. ①当1n =时，左边=32，右边.由于32>，所以不等式成立. ②假设当n k =时不等式成立，即121211135721 (246)2k k b b b k b b b k++++=⋅⋅>1n k =+时，左边=11212111113572123··· (24)6222k kk k b b b b kk b b bb k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+2322k k +==+所以当1n k =+时，不等式也成立.综合①②，可知不等式恒成立.小结 数学归纳法是证明不等式的一种重要方法.与正整数有关的不等式，如果用其他方法证明比较困难时，我们通常会考虑用数学归纳法.用数学归纳法证明不等式时，我们应分析()x f 与()1+x f 相关的两个不等式，找出证明的目标式子和关键点，适当地利用不等式的性质、比较法、分析法、放缩法等方法证得结论. 难度系数 3三、利用数学归纳法比较两个与正整数有关的代数式大小的题型例3 已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+(n 为正整数).(1)令2nn n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式.(2)令1n n n c a n+=，n n c c c T +++= 21，试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明. (1)证明：在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得1112n S a a =--+=，即112a =.当2n ≥时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，.11n 1112a (),212n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b .又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是有1(1)12,2n n n n n n b n n a a =+-⋅==∴=. (2)解：由(1)可得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以 ()nn n T ⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯=21121421321232， ①()143221121431321221+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n T . ②①-②，得()132211212121121+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n nn n T11111[1()]133421(1)()122212332n n n n nn n n T -++-+=+-+=--+∴=- 535(3)(221)3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=+++.于是确定521nn T n +与的大小关系等价于比较221n n +与的大小.由,;1522;1422;1322;1222;11225432 +⨯>+⨯>+⨯>+⨯<+⨯<可猜想当322 1.nn n ≥>+时，证明如下：(i)当n=3时，由上验算可知不等式显然成立.(ii)假设当()3≥=k k n 时，122+>k k 成立.则当1n k =+时，()()()()11212112241222221++>-+++=+=+>∙=+k k k k k k k .所以当1n k =+时猜想也成立.综合(i)(ii)，可知对于一切3n ≥的正整数，都有22 1.n n >+所以当2,1=n 时，125+<n nT n ；当3≥n 时，125+>n nT n . 小结 两个式子的大小关系随n 取值的不同而不同.像这种情况学生要注意不要由2,1=n 时的大小关系，得出125+<n nT n ，应向后多试验几个n 值后，再确定所下结论的准确性，以免走弯路. 难度系数 4四、用数学归纳法求范围的题型例4 首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈ (1)证明：若1a 为奇数，则对于一切2,n n a ≥都是奇数. (2)若对于一切n N +∈，都有1n n a a +>，求1a 的取值范围.(1)证明：已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系可得213(1)14k k a a m m ++==-+是奇数.根据数学归纳法，可知n N +∀∈，n a 都是奇数.(2)解：由21213,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >.22111133()(),444n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++--=-=由于21130,,4n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0.所以1n n a a +-与1n n a a --同号.根据数学归纳法，可知n N +∀∈，1n n a a +-与21a a -同号.因此，对于一切n N +∈，都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >.小结 解答本题是从特殊值()1=n 切入，找到所求的结论(1a 的范围)，再用数学归纳法证明结论的一般性，即将n n a a >+1退至具体的12a a >开始观察，以寻求1a 的范围，然后证明其正确性. 难度系数 4五、巧用数学归纳法探索数列的通项公式例5设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．(Ⅰ)求1a ，3a ；(Ⅱ)求数列{}n a 的通项n a ．解：(Ⅰ)由已知不等式得：1111112(1)2n nn n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭． ① 当1n =时，由①得：21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．∵1a 为正整数，∴11a =． 当2n =时，由①得：33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<． ∵3a 为正整数，∴39a =． ∴11a =，39a =．(Ⅱ)方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时，由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭3212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 221211(1)(1)11k k k a k k k k ++⇒+-<<++-+- ∵2k ≥时，2(1)(1)(2)0k k k k k -+-+=-≥，∴(]21011k k k +∈-+，． 11k -≥，∴(]1011k ∈-，．又1k a +∈*N ，∴221(1)(1)k k a k ++≤≤+． 故21(1)k a k +=+，即当1n k =+时，2n a n =成立．综上，由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．评析：①本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；②运用数学归纳法的关键是“由当k n =时成立，如何过渡与转换为当1+=k n 时也成立.” 难度系数 3六、巧用数学归纳法探索数列中参数的取值范围例6已知0>a ，}{n a 满足 a a =1，nn a a a 11+=+， ,3,2,1=n . (Ⅰ) 已知}{n a 的极限存在且大于0，求n n a A ∞→=lim ；(Ⅱ)设A a b n n -=， ,3,2,1=n .证明：)(1A b A b b n n n +-=+ ；(Ⅲ)若n n b 21≤对1,2,3,n =…都成立，求a 的范围.解：(Ⅰ)∵n n a ∞→lim 存在，∴A a a n n n n ==∞→+∞→lim lim 1， ∴)1(lim lim 1n n n n a a a +=∞→+∞→，即Aa A 1+=,………………………(*) ∵0>A ，∴242++=a a A .(Ⅱ)结合条件及(*)式得：)(11111A b A b A A b A a a A a b n n n n n n +-=-+=-+=-=++， ∴)(1A b A b b n nn +-=+.(Ⅲ)若nn b 21≤对 ,3,2,1=n 都成立，则当1=n 时有211≤b ，即 21242≤++-a a a ，解得：23≥a .下面用数学归纳法证明当23≥a 时，n nb 21≤对 ,3,2,1=n 都成立. ①当1=n 时，由前解答知结论成立. ②假设当)1(≥=k k n 时，结论成立，即k k b 21≤成立.则当1+=k n 时， Ab A A b A b A b A b b k k k k k k k +⋅≤+=+-=+121)()(1，∵23≥a ，∴2244923242=++≥++=a a A ，∴1212≥-=-≥+k k k b A A b .∴1121121)(++≤+⋅≤+=k kk k k k A b A A b A b b ，即当1+=k n 时，结论也成立. ∴由①、②可知，对任意*N n ∈，结论都成立. ∴nn b 21≤对,3,2,1=n 都成立的a 的取值范围是23≥a . 评析：①本题题涉及的知识点有数列、数列极限、方程、不等式、数学归纳法等，考查学生综合应用数学知识的能力，考查学生的运算、推理和逻辑思维能力；②本题第(Ⅲ)问是证明与自然数有关的命题，可优先考虑用数学归纳法，在确定a 的取值范围时，利用了从特殊到一般的思想方法. 难度系数 3例7自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及其捕捞强度对鱼群总量的影响.用n x 表示某鱼群在第n 年初的总量，+∈N n ，且01>x ，不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正数a ，b ，c .（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）猜测，当且仅当1x ，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)（Ⅲ）设1,2==c a ，为保证对任意1x )2,0(∈，都有+∈>N n x n ,0，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.解：（Ⅰ）从第n 年初到第1+n 年初，鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量分别为n ax 、n bx 、2n cx ，∴21n n n n n cx bx ax x x --+=+，即)1(1n n n cx b a x x --+=+(*N n ∈).………(*)（Ⅱ）若每年年初鱼群的总量保持不变，则1x x n =(*N n ∈)恒成立，从而由(*)得：)1(111cx b a x x --+=，即)1(111cx b a x x --+=，∴cba x -=1，∵01>x ，∴b a >. 于是于是猜测：当且仅当b a >，且cba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变.（Ⅲ）当1,2==c a 时，)3(1n n n x b x x --=+.………(**)若b 的值使得对任意1x )2,0(∈，都有*,0N n x n ∈>，则由(**)得：b x n -<<30，*N n ∈.特别地，有b x -<<301，∴130x b -<<，又∵1x )2,0(∈，∴10≤<b . ∴猜测b 的最大允许值是1.下面用数学归纳法证明当1x )2,0(∈，1=b 时，都有*,20N n x n ∈<<.①当1=n 时，结论显然成立.②假设当k n =(1≥k )时，结论成立，即20<<k x ,则当1+=k n 时，0)2(1>-=+k k k x x x ，又∵211)1()2(21<≤+--=-=+k k k k x x x x ，∴当1+=k n 时，结论也成立.综合①、②可得，当1x )2,0(∈，1=b 时，都有*,20N n x n ∈<<.∴为保证对任意1x )2,0(∈，都有+∈>N n x n ,0，则捕捞强度b 的最大允许值是1.评析：①由鱼群的总量不变推断出1x x n =恒成立，即得到cba x -=1，利用归纳、猜想、证明得到b 的最大允许值是1；②本题涉及的知识点有数列、方程、不等式、数学归纳法等，考查考生分析、归纳、推理、论证能力及应用所学知识解决实际问题的能力. 难度系数 3七、巧用数学归纳法证明数列不等式例8已知函数x x x f sin )(-=,数列}{n a 满足：101<<a ，)(1n n a f a =+， ,3,2,1=n .证明: (I)101<<<+n n a a ；(II)3161n n a a <+. 证明：(I)先用数学归纳法证明:10<<n a , ,3,2,1=n . ①当1=n 时，101<<a ，∴当1=n 时，10<<n a ； ②假设当k n =(1≥k )时，结论成立，即10<<k a .∵当10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ，∴)(x f 在)1,0(内单调递增. ∵)(x f 在]1,0[上连续，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a . ∴当1+=k n 时，结论成立.∴由①、②可得，10<<n a 对一切正整数都成立.又∵10<<n a ，n n n n a a a a <-=+sin 1，∴101<<<+n n a a . (II)设函数x x x x g sin 61)(3+-=(10<<x ). 由(I)知，当10<<x 时，)0(sin )(f x x x f >-=，即x x <sin . ∴02121sin 2121cos 121)(22222=->-=+-='x x x x x x x g ， ∴)(x g 在)1,0(内单调递增.∵)(x g 在]1,0[上连续，且0)0(=g ，∴当10<<x 时，0)(>x g ，∴0)(>n a g ，即0sin 613>+-n n n a a a ，∴13sin 61+=->n n n n a a a a ，即∴3161nn a a <+. 评析：本题以函数为载体，考查导数及应用、数学归纳法、构造法、不等式证明、递推数列等基础知识和基本技能，考查分析、判断、推理和运算能力以及等价转化的数学思想. 难度系数 4例9已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，证明：342-≤<n n a b ，123n =，，，…．解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．∴数列{n a是首项为21的等比数列，∴1)nn a ， ∴{}n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． (Ⅱ)用数学归纳法证明．(ⅰ)当1n =2<，112b a ==，所以112a b ≤<，结论成立．(ⅱ)假设当n k =时，结论成立，即342-≤<k k a b，也即430k k b a -<≤． 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知342-≤<n n a b ，123n =，，，…． 难度系数 4课堂练习：1．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对解析：选B.本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．难度系数 12．在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n，则a k ＋1＝( )A ．a k ＋12k ＋1B ．a k ＋12k ＋2－12k ＋4C ．a k ＋12k ＋2D ．a k ＋12k ＋1－12k ＋2解析：选D.a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n，a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，所以，a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2.难度系数 23．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C.当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．难度系数 24．用数学归纳法证明当n ∈N *时1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为________，从k →k ＋1时需增添的项是____________．解析：把n ＝k ，n ＝k ＋1相比较即可得出．答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4难度系数 25．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22时，当n ＝k ＋1时左端在n ＝k 时的左端加上________．解析：n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2难度系数 26．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立． 假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1，且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1. ∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立．∴a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．难度系数 3课后练习1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ＝k (k ≥1)正确，再推n ＝k ＋2正确解析：选B.首先要注意n 为奇数，其次还要使n ＝2k －1能取到1，故选B.难度系数 12．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)2 解析：选B.∵n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1) ＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2.故选B.难度系数 13．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：选C.当n ＝1时，左端＝1＋a ＋a 2.难度系数 14．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1 C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k )解析：选D.(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除． (2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．难度系数 25．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14 D ．不存在这样的a 、b 、c 解析：选A.∵等式对一切n ∈N *均成立， ∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c 1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.难度系数 26．在数列{a n } 中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C.由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ， 得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3.∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C .难度系数 27．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )； 当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k ) ·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)难度系数 38．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2难度系数 29．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16. 可猜想a n ＝n 2. 答案：n 2难度系数 210．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)． 证明：设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1. (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k 时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－2]·3＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)．∴由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立．难度系数 311.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n2(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13.a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为(13，13)∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a k 2(2a k＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上．难度系数 312．已知正项数列{a n }和{b n }中，a 1＝a (0＜a ＜1)，b 1＝1－a .当n ≥2时，a n ＝a n －1b n ，b n ＝b n －11－a 2n －1.(1)证明：对任意n ∈N *，有a n ＋b n ＝1； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＋b 1＝a ＋(1－a )＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＋b k ＝1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋b k＋1＝a k b k ＋1＋b k ＋1＝(a k ＋1)·b k ＋1＝(a k ＋1)·b k 1－a k 2＝b k 1－a k ＝b kb k＝1. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①、②可知，a n ＋b n ＝1对n ∈N *恒成立．(2)∵a n ＋1＝a n b n ＋1＝a n b n 1－a n 2＝a n (1－a n )1－a n 2＝a n1＋a n，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1， 即1a n ＋1－1a n＝1. 数列{1a n }是公差为1的等差数列，其首项为1a 1＝1a ，1a n ＝1a＋(n －1)×1，从而a n ＝a1＋(n －1)a. 难度系数 4补充练习1．利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1(n ∈N *，且n ≥2)时，第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是()．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比两式，可得结论．答案 C难度系数 22．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．答案 B难度系数 23．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．答案 C难度系数 24．已知S n＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n－1)(2n＋1)，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n2n＋1.答案13253749n2n＋1难度系数 25．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．答案2x2k－y2k能被x＋y整除难度系数 26．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋122＝54＜2－12＝32，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2＜2－1k，当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＜2－1k＋1(k＋1)2＜2－1k＋1k(k＋1)＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1，命题成立．由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．难度系数 37．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是()．A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 答案 C难度系数 28．命题P (n )满足：若n ＝k (k ∈N *)成立，则n ＝k ＋1成立，下面说法正确的是( )． A ．P (6)成立则P (5)成立 B ．P (6)成立则P (4)成立 C ．P (4)成立则P (6)成立 D ．对所有正整数n ，P (n )都成立解析 由题意知，P (4)成立，则P (5)成立，若P (5)成立，则P (6)成立．所以P (4)成立，则P (6)成立． 答案 C难度系数 29．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳、猜测得出a n 的表达式为________．解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5. 答案 a n ＝26n －5难度系数 310．求证：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n .证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝1＋12，原不等式成立； (2)设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k 成立，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1<12＋k ＋∴f (k ＋1)<12＋(k ＋1)即n ＝k ＋1时，命题成立． 综合(1)、(2)可得：原命题对n ∈N *恒成立．难度系数 411．数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *，先计算前4项后猜想a n ，并用数学归纳法证明． 证明 当n ＝1时，S 1＝2－a 1，∴a 1＝1， n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，∴a 2＝32， n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，∴a 3＝74， n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，∴a 4＝158. ∴猜想a n ＝2n －12n －1.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立， ②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k －12k －1成立．那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k －a k ＋a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k －12k －1＝2k ＋1－12k －1， ∴a k ＋1＝2k ＋1－12k ，即n ＝k ＋1时猜想成立． 由①②可知，对n ∈N *猜想均成立．难度系数 4。
完整版浅谈数学归纳法在高考中应用
赣南师范学院2015 届本科生毕业论文1、数学概括法的理论基础数学概括法，人类天才的思想、奇妙的方法、雅致的工具，解决无穷的问题。
它表现的是利用有限解决无穷问题的思想，这一思想凝固了数学家们无穷的想象力和创建力，这无疑形成了数学证明中一道绚烂多彩的景色线。
它的奇妙让人耐人回味，这一思想的发现为以后数学的发睁开辟了道路，如用有限维空间取代无穷维空间（多项式迫近连续函数）用有限过程取代无穷过程（积分和无量级数用有限项和答题，导数用差分取代）。
1.1 数学概括法的发展历史自古以来，人们就会想到问题的推行，由特别到一般、由有限到无穷，可人类对无穷的掌握不顺利。
在对无量思虑的过程中，古希腊出现了很多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了保证结论的正确，则一定考虑无穷。
还有生活中一些现象，如战火的传达，爆竹的燃放等，触动了人类的思想。
安提丰用圆周内接正多边形无量地迫近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无量地强迫圆，无量的问题层见迭出，以后古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无量的”的证明，经过了有限去实现无穷，表现了数学概括法递推思想。
但要形成数学概括法中明确的递推，清楚的步骤确是一件不简单的事，作为自觉运用进行数学证明倒是近代的事。
伊本海塞姆（ 10 世纪末）、凯拉吉（ 11 世纪上叶）、伊本穆思依姆（ 12 世纪末）、伊本班纳（ 13 世纪末）等都使用了概括推理，这表示数学概括法使用较广泛，特别是凯拉吉利用数学概括法证明1323n3 n2 (n 1)24这是数学家对数学概括法的最早证明。
接着 , 法国数学家莱维 . 本. 热尔松 (13 世纪末 ) 用" 逐渐的无穷递进 " ，即概括推理证明相关整数命题和摆列组合命题。
他比伊斯兰数学家更清楚地表现数学概括法证明的基础，递进概括两个步骤。
到 16 世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数相关的命题的证明作了深入的观察在1575 年，毛罗利科证了然an 1an n2此中ak1 23k 1,2他利用了逐渐推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学概括中“递归推理”的数学家，为无穷的掌握供给了思想。
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1、数学归纳法的理论基础数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。
它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。
它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。
1.1数学归纳法的发展历史自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。
在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。
还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。
安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。
但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。
伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。
接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。
他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。
到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++=其中1231,2k a k =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。
17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发现的帕斯卡三角形。
数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。
帕斯卡、毛罗利科、伊本穆思依姆等都很自觉地使用归纳推理，传承运用数学归纳法，但一直没有明确的名称，而是英国数学家德摩根在其命名上迈出了重要的一步，他曾在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，建议将“归纳法（数学）”改为“逐次归纳法”，有意思的是在后来的一次无意中他无意中使用了“数学归纳法”这便成为了最早的名称。
之后，英国数学家托德亨特的《代数》（1866年出版）中也采用了“数学归纳法”这一名称，从此这一名称在英国传播开了。
1.2数学归纳法的逻辑基础数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。
归纳公理：由自然数组成的集合为N ，1N ∈,若N 中任意自然数的后继也属于N ，则N 包含了全部自然数。
2、数学归纳法的步骤及其类型2.1 第一数学归纳法设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:(1) (1)p 成立；(2) 假设当n k =时,命题()p k 成立；可以推出(1)p k +也成立，则命题()p n 对一切自然数n 都成立。
证明:设M 是由满足命题()p n 的自然数组成的集合即M 是自然数集N 的子集,由于(1)p 成立1M ∴∈,又由(2)知k M ∈ 1k M +∈即k 的后继'k M ∈，由皮亚诺公理的归纳公理5得M N =因此对于一切自然数n ，()p n 都成立。
第一数学归纳法的应用例1 用数学归纳法证明22333(1)124n n n n N ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∈证明: （1）当1n =时，左边=1=右边命题成立（2）假设n k =时命题成立，即22333(k 1)124k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 那么当1n k =+时，223333(k 1)12(1)(1)4k k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++22(1)(k 2)4k ++= 即当1n k =+时命题也成立，所以原命题成立。
2.2 第二数学归纳法假设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:(1) (1)p 成立；(2)假设()p n 对于所有满足a k <的自然数a 成立，则()p k 也成立；那么,命题()p n 对一切自然数n 都成立。
证明:设{n |()M p n =∈成立，n N},又设A N M =-(差集)假设A 不空,由自然数的最小数原理, A 有最小数0a由条件(1)知1M ∈,故01a ≠因此01,21a M -∈L L ,又由条件(2)知01a M -∈,必有0a M ∈这与0a A ∈矛盾,所以A 为空集从而M N =,则命题()p n 对一切自然数n 都成立。
第二数学归纳法是第一数学归纳法的加强，在高考数学中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以开拓一个学生的思维，体会其中的思想奥妙，在一定程度上可以激发学生学习数学的兴趣，促使学生去创新，与此同时可以发现数学的美。
2.3 数学归纳法其他类型（1）跳跃数学归纳法①当时，成立，l n ,,3,2,1Λ=)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ②假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果a) 对无限多个正整数成立；b) 假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．（3）跷跷板数学归纳法针对两个与自然数有关命题,n n A Ba) 证明1A 成立；b) 假设k A 成立，递推证明k B 成立，即k A 成立推出k B 成立；又假设k B 成立，由此递推证明出1k A +也成立，即k B 成立推出1k A +。
于是，对于任意自然数，结论,n n A B 都成立3、结合高考试题体现数学归纳法3.1 高考中数学归纳法题型的分析在高考数学中，运用数学归纳法的证明一般不单独命题，考查常常渗透到数列综合题中，既考查推理论证能力，又考查探究思维能力。
近年江西高考压轴题的数列不等式，常常会用到数学归纳法，且常与放缩法有关。
其他省的高考题趋势也差不多，数学归纳法在高考中出现的几种题型主要是与数列、不等式、整除相结合考察，难度不是很大，但能体现出解题的效率大大增加，化复杂为容易、抽象为具体，是一个非常值得考察的知识点。
3.2 数学归纳法在代数中的应用在高考中数学归纳法知识的考察往往是结合代数一起进行的，而代数方面主要体现在数列、整除、不等式方面，但是在几何方面也是一个命题点，这样在一定程度上考察了学生的创新能力与想象能力，符合现代数学的教学目标。
下面就这两大方面进行分析阐述。
3.2.1数学归纳法在数列中的应用高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不k n =)(k P l k n +=)(n P 1≥n )(n P )(n P )(n P n k n =)(k P 1-=k n )1(-k P 1≥n )(n P好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。
在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。
例2 [2014·重庆卷] 设11a =，1(n N )n a b ++=∈(1)若1b =，求2a ，3a 及数列{}n a 的通项公式．(2)若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有n N +∈成立？证明你的结论．解：(1) 22a = 31a =变下形式有11a = 21a = 31a =根据这个规律进行猜想有1n a =下面用数学归纳法证明以上结论：证明：1、（1）当1n =时，结论显然成立．（2）假设n k =时命题成立 即1k a =则1111k a +===当1n k =+时命题也成立所以1n a n N +=∈2、设()1f x =则1()n n a f a +=令()c f c = 即1c =解得14c = 下面用数学归纳法证明命题2211n n a c a +<<<（1）当1n =时，2(1)0a f == 3(0)1a f ==23114a a <<<结论成立 （2）假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<易知(x)f 在(－∞，1]上为减函数，从而212()(1)(1)k c f c f a f a +=>+>=即2221k c a a +>>>再由(x)f 在(－∞，1]上为减函数，得2223()(2)()1k c f c f a f a a +=<+<=<故231k c a +<<因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<当1n k =+时命题也成立 综上，存在14c =使221n n a c a +<<对所有n N +∈成立3.2.2数学归纳法在不等式中的应用用数学归纳法证明不等式可以有效提高解题效率，解题过程得到优化甚至可以使避免一些具体问题或简化。
直接使用数学归纳法进行不等式的证明时，在归纳和过渡往往存在一定的困难，如果能灵活地使用不等式的传递性和可加性，在恰当的时候使用过渡不等式和假设不等式与目标不等式的特征关系，通过放缩常数和强化命题等技巧,可以顺利完成归纳和过渡。
同时，在利用它来解决不等式问题时首先要细心地观察，然后大胆地进行联想，发现一些内在的联系从而为解决问题提供了方法和途径。
例3 [2014·安徽卷] 设实数0c >，整数1p >，n N +∈。
(1)证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+ ；(2)数列{}n a 满足11p a c >，111p n n n p c a a a p p -+-=+，证明：11p n n a a c +>>。
证明：(1)用数学归纳法证明如下① 当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+原不等式成立．② 假设(2,)p k k k N +=≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立．当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++21(1)1(1)k x kx k x =+++>++ 所以当1p k =+时，原不等式也成立。