浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础

数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。

1.1数学归纳法的发展历史

自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。

安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。

伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明

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(1)124n n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。

接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。

到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++=

其中1231,2k a k =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。

17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

现的帕斯卡三角形。数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。

帕斯卡、毛罗利科、伊本穆思依姆等都很自觉地使用归纳推理，传承运用数学归纳法，但一直没有明确的名称，而是英国数学家德摩根在其命名上迈出了重要的一步，他曾在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，建议将“归纳法（数学）”改为“逐次归纳法”，有意思的是在后来的一次无意中他无意中使用了“数学归纳法”这便成为了最早的名称。之后，英国数学家托德亨特的《代数》（1866年出版）中也采用了“数学归纳法”这一名称，从此这一名称在英国传播开了。

1.2数学归纳法的逻辑基础

数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。

归纳公理：由自然数组成的集合为N ，1N ∈,若N 中任意自然数的后继也属于N ，则N 包含了全部自然数。

2、数学归纳法的步骤及其类型

2.1 第一数学归纳法

设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:

(1) (1)p 成立；

(2) 假设当n k =时,命题()p k 成立；

可以推出(1)p k +也成立，则命题()p n 对一切自然数n 都成立。

证明:设M 是由满足命题()p n 的自然数组成的集合

即M 是自然数集N 的子集,由于(1)p 成立

1M ∴∈,又由(2)知k M ∈ 1k M +∈

即k 的后继'k M ∈，由皮亚诺公理的归纳公理5得M N =

因此对于一切自然数n ，()p n 都成立。

第一数学归纳法的应用

例1 用数学归纳法证明22333(1)124n n n n N ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∈

证明: （1）当1n =时，左边=1=右边命题成立

（2）假设n k =时命题成立，即

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(k 1)124k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 那么当1n k =+时，223333(k 1)12(1)(1)4k k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++

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(1)(k 2)4

k ++= 即当1n k =+时命题也成立，所以原命题成立。

2.2 第二数学归纳法

假设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:

(1) (1)p 成立；

(2)假设()p n 对于所有满足a k <的自然数a 成立，则()p k 也成立；

那么,命题()p n 对一切自然数n 都成立。

证明:设{n |()M p n =∈成立，n N},又设A N M =-(差集)

假设A 不空,由自然数的最小数原理, A 有最小数0a

由条件(1)知1M ∈,故01a ≠

因此01,21a M -∈L L ,又由条件(2)知01a M -∈,必有0a M ∈

这与0a A ∈矛盾,所以A 为空集

从而M N =,则命题()p n 对一切自然数n 都成立。

第二数学归纳法是第一数学归纳法的加强，在高考数学中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以开拓一个学生的思维，体会其中的思想奥妙，在一定程度上可以激发学生学习数学的兴趣，促使学生去创新，与此同时可以发现数学的美。

2.3 数学归纳法其他类型

（1）跳跃数学归纳法

①当时，成立，

l n ,,3,2,1Λ=)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ