小专题22__与圆的切线有关的计算与证明
(完整版)证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有:一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直•例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.求证：EF与O 0相切.证明：连结OE, AD.•/ AB是O 0的直径，••• AD 丄BC.又••• AB=BC ,•••/ 3= / 4.——• BD=DE，/ 1 = / 2.又••• OB=OE , OF=OF ,•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS)•••/ OBF= / OEF.••• BF与O O相切，•OB 丄BF.•••/ OEF=9O°.•EF与O O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA与O O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC.•/ AD 是/ BAC 的平分线， •••/ DAB= / DAC. •/ PA=PD , •••/ 2= / 1+ / DAC. •••/ 2= / B+ / DAB , •••/ 1 = / B.•/ AE 是O O 的直径,• AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. •••/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. • PA 与O O 相切.•/ PA=PD , •••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE,证明二：延长AD 交O O 于E ,连结•/ AD 是/ BAC 的平分线, • BE=CE , • OE 丄BC.•••/ E+/ BDE=90 0.•/ OA=OE , •••/ E=/ 1. PP 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.说明：例3 求证：证明一证明二•••/ 1 + / PAD=90°即OA丄PA.• PA与O O相切此题是通过证明两角互余，证明垂直的如图，AB=AC，AB是O O的直径，DM与O O相切.:连结OD.-AB=AC ,•/ B= / C.-OB=OD ,•/ 仁/ B.•/ 仁/C.•OD // AC.-DM 丄AC,•D M 丄OD.•D M与O O相切:连结OD, AD.•/ AB是O O的直径，•AD 丄BC.又••• AB=AC,• / 1= / 2.•/ DM 丄AC ,•/ 2+Z °，解题中要注意知识的综合运用O O交BC于D, DM丄AC于M • / 3+/4=90°.即0D 丄DM. ••• DM 是O O 的切线解题中注意充分利用已知及图上已知例4 如图，已知：AB 是O 0的直径，点 D 在AB 的延长线上.求证：DC 是O 0的切线 证明：连结OC 、BC.•/ OA=OC ,•••/ A= / 1= / 30°.•••/ BOC= / A+ / 1= 60°. 又••• OC=OB , • △ OBC 是等边三角形 • OB=BC. •/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线. 证明：连结OC•/ OA 2=OD • OP , OA=OC ,说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,C 在O O 上，且/ CAB=30 °, BD=OB ,3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较• OC2=OD • OP,OC op ODOC .又•••/ 1= / 1,•••△ OCP s\ODC.•••/ OCP= / ODC.•/ CD 丄AB ,•••/ OCP=9O°.• PC是O O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：CE与厶CFG的外接圆相切分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点, 证明：为此我们取FG的中点O,连结. OC,证明CE丄OC即可得解.取FG中点O,连结OC.T ABCD是正方形，• BC 丄CD , △ CFG 是Rt△•/ O是FG的中点，EC • O是Rt A CFG的外心.•/ OC=OG ,•••/ 3= / G,•/ AD // BC,• / G= / 4.•/ AD=CD , DE=DE ,/ ADE= / CDE=45°,• △ ADE CDE (SAS)•••/ 4= / 1,Z 1 = / 3.•••/ 2+ / 3=90°, •••/ 1 + / 2=90°.即CE 丄OC.• CE 与厶CFG 的外接圆相切、若直线I 与O O 没有已知的公共点， 又要证明I 是O O 的切线，只需作OA 丄I ,A 为垂足，证明 OA 是O O 的半径就行了，简称："作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC , D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切.证明一：连结DE ,作DF 丄AC , F 是垂足.••• AB 是O D 的切线，• DE 丄 AB. •/ DF 丄 AC , •••/ DEB= / DFC=90°. •/ AB=AC , •••/ B= / C. 又••• BD=CD ,•••△ BDE 也厶 CDF (AAS ) • DF=DE.• AC 是O D 的切线连结DE , AD ，作DF 丄AC , F 是垂足.••• AB 与O D 相切， • DE 丄 AB.•/ AB=AC , BD=CD , •/ DE 丄 AB , DF 丄 AC , ••• DE=DF.证明二: 負B C••• F 在O D 上.• AC与O D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关•例8 已知：如图，AC, BD与O O切于A、B,且AC // BD，若/ COD=9O0. 求证：CD 是O O的切线.证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.•••/ 4+ / 5=90°.•••/ 1 = / 5.• Rt△AOC s Rt△BDO.•AC OC"OB OD.•/ OA=OB ,•AC OC…OA OD.又•••/ CAO= / COD=90°,• △ AOC ODC ,•••/ 1 = / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD,••• OE=OA.••• E点在O O上.• CD是O O的切线.证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.••• AC，BD 与O O 相切，•AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,•••/ F=Z BDO.又••• OA=OB ,•△ AOF ◎△ BOD(AAS•OF=OD.•••/ COD=9O°,•CF=CD，/ 1= / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD ,•OE=OA.•E点在O O上.•CD是O O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE丄CD于E ,取CD中点F ,连结OF.••• AC与O O相切,• AC 丄AO.•/ AC // BD , • AO 丄BD.9••• BD与O O相切于B,•AO的延长线必经过点•AB是O O的直径.•/ AC // BD , OA=OB ,B.CF=DF ,••• OF // AC ,•••/ 仁/COF.•••/ COD=90°, CF=DF ,1•OF —CD CF .2•••/ 2=Z COF.•••/ 仁/2.•/ OA 丄AC , OE 丄CD,•OE=OA.•E点在O O上.•CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明/ 1 = / 2.证明三是利用梯形的性质证明/ 1= / 2,这种方法必需先证明A、0、B三点共线.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考11。
圆的切线证明方法归纳
圆的切线证明方法归纳切线是指与圆相切且与圆的半径垂直的直线。
在几何学中，圆的切线是一个重要的概念。
证明圆的切线有许多不同的方法，下面将介绍一些常见的证明方法。
1.垂直切线法：这是最常见的证明方法之一。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA，并且将OA延长到交切线于点T。
（3）根据勾股定理可得：OA^2 =OT^2 + AT^2。
（4）由于OT和AT都是切线的一部分，所以OT和AT都垂直于OA。
（5）根据垂直定理可知OT和AT平方和等于OA的平方，即OT^2 + AT^2 = OA^2。
（6）根据步骤4和5可得：AT^2 = OA^2 - OT^2。
（7）OT是半径,所以OT^2= r^2，代入上式得：AT^2 = OA^2 -r^2。
（8）AT是切线的一部分，所以AT > 0。
因此，OA^2 - r^2 > 0。
（9）根据正数平方根的性质，OA^2 - r^2的平方根存在。
（10）所以，根据步骤9，AT存在，即OT与切线上的一点T并非同一点。
（11）由于OT与圆的半径相交于点O，所以OT是与半径垂直的直线，即切线。
2.切线垂直与半径的证明：这种证明方法基于一个重要的定理：切线垂直于半径。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA和OT。
（3）由于AO是圆的半径，所以AO与圆心O的向量相等，即AO = OT。
（4）由于切线与圆相切，切点A是切线上的一点，所以OA与切线垂直。
（5）根据向量几何的性质可得，向量OA与向量OT垂直。
（6）根据定义，切线上的每一个点与圆心都构成一个向量，这个向量与向量OA垂直。
（7）所以，根据步骤6，切线与所有圆心上的向量都垂直，即切线垂直于半径。
3.外切圆的切线证明：这种证明方法适用于外切圆。
具体步骤如下：（1）假设有一个三角形ABC，其中AB和BC是两条直线段，角ABC是直角。
圆的切线的证明与计算
1、证明相切的基本思路：
无已公知共半径点---------直-“接证连直半线与径半，径垂证直垂； 直” 有常公 用方共法：点 - - -“作垂直，证半径”
证平行、证全等、计算角度、运用角平分线 的性质…… 2、根据切线的性质，构造相似三角形，利
用相似三角形对应边成比例的性质，建 立方程求解，运 用勾股定理，三角函 数……
已知：A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B 在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的 切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径， 证垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】
如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO＝BD＝ BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
中考数学专题 复习
圆的切线的证明与计算
第四中学
杨琴
一、本课主要知识梳理 1. 定义：与圆只有一个__公__共__点__的直线叫做圆的切线，这个
公共点叫做切点.
O
A CB
2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过__切__点__的半径.
3. 切线的判定定理：经过半径的外端点并且_垂__直___于这条半 径的直线是圆的切线.
4. 证明一条直线是圆的切线方法：
主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于_半__径___，
二 是利用切线的__判__定__定__理__。
常作的辅助线：有切点，连__半__径____证__垂__直__，
无切点，作__垂__直__证__半__径__. 2
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【教材原型】
【中考预测】
如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交 AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线， 交AC的延长线于点F. (1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF的度数；
中考数学专题复习---圆的切线有关的证明与计算
与圆的切线有关的证明与计算
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
对应训练
4. 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD ， 设⊙O是△BDE的外接圆。 求证：AC是⊙O的切线。
对应训练 5．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD，
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
有交点，连半径，证垂直
例1
对应训练 1.如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. （1）求证：直线PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3， PC=4.求弦CE的长．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.
∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， OD 为半径作圆。
12 ∴ CF 5
9 在Rt△COF中， OF CO CF 5
圆切线证明的方法(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】切线证明法切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．图1∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，图2AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1，B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？ 解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC ， ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．∵∠COD 是△BOC 的外角， ∴∠COD =∠OCB +∠B =2∠B ． ∵∠ACD =2∠B ， ∴∠ACD =∠COD ． ∵CD ⊥AB 于D ，∴∠DCO +∠COD =90°． ∴∠DCO +∠ACD =90°． 即OC ⊥AC ．图3O ABCD2 31∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC,OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900. DC即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12】如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ，OCOPOD OC. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F. 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解. 证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △ ∵O 是FG 的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E 点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC ∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.。
专题22解答题重点出题方向圆的证明与计算(原卷版)
专题22 解答题重点出题方向圆的证明与计算（原卷版）模块一2022中考真题解析1．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2√2，点E在BC的延长线上，连接DE．（1）求直径BD的长；（2）若BE＝5√2，计算图中阴影部分的面积．2．（2022•呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BD＝CD；（2）若tan C=12，BD＝4，求AE．3．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC 为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．4．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE 的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2√10，求BC的长．5．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．6．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．7．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB=√2，AD＝1，求CD的长度．8．（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CÊ的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径．9．（2022•淮安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4√3，求图中阴影部分的面积．10．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．11．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O 作BC的平行线交PC的延长线于点D．（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tan A=12，求△OCD的面积．12．（2022•娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB 长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？（2）若BC＝3，CD=3 2，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α＝30°给予验证．13．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．14．（2022•攀枝花）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．（1）求证：∠PCB＝∠P AD；（2）若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．15．（2022•济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．16．（2022•铜仁市）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．（1）求证：AB＝CB；（2）若AB＝18，sin A=13，求EF的长．17．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，P A、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．（1）求证：∠ADE＝∠P AE．（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．18．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．19．（2022•随州）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝4，sin C=1 3，①求⊙O的半径；②求BD的长．20．（2022•天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．（Ⅰ）如图①，若C为AB̂的中点，求∠CAB的大小和AC的长；（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．21．（2022•新疆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．（1）求证：∠ABC＝∠CAD；（2）求证：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．22．（2022•绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求AD̂的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分∠BDO．23．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．24．（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．25．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin A=√55，OA＝8，求CB的长．26．（2022•陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求EF的长．27．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，AC＝2√3，求BD̂的长．28．（2022•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．29．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为BÊ的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF=12∠BAC．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）若AE＝4，OF=92，求⊙O的半径．30．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=12∠ABC．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC=35，求⊙O的半径．31．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．（1）求证：直线HG是⊙O的切线；（2）若HA＝3，cos B=25，求CG的长．32．（2022•黔西南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若E为AH的中点，求EFFD的值．33．（2022•鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝5，cos∠ABD=45，求OE的长．34．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．35．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n 的值．36．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；̂的长（结果保留π）．（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求AC37．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．38．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；̂只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与ABAOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．39．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．40．（2022•潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”你认同小亮的说法吗？请说明理由．41．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．（1）AB与⊙O的位置关系为；（2）求证：AC是⊙O的切线；（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）42．（2022•淄博）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．43．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2√6，求AE•AP的值．44．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BĈ的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：BC∥PF；（2）若⊙O的半径为√5，DE＝1，求AE的长度；（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．45．（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．（1）求证：四边形EMFC是矩形；（2）若AE=√5，⊙O的半径为2，求FM的长．46．（2022•西藏）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为CÊ的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．47．（2022•青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O 的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．̂的中点，连接48．（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG 交AF于点G，交FB于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求sin∠FHG的值；（3）若GH＝4√2，HB＝2，求⊙O的直径．模块二2023中考押题预测1．（2023•红桥区模拟）已知P A与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在优弧AB上，且与点A，B不重合．（1）如图①，若∠P＝26°，求∠C的大小；（2）如图②，AC⊥OB，垂足为D，若∠P＝∠C，OB＝2，求AC的长．2．（2023•蜀山区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：∠EAC＝∠ADC（2）若AB＝4，BC＝6，求DC的长．3．（2023•合肥一模）如图1，AB为⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC于D，点E为AB延长线上一点，CE是⊙O的切线．（1）求证：∠BCE＝∠BOD；（2）如图2，取弧AC的中点P，连接OP，AP，若AB＝13，BC＝5，求弦P A的长．4．（2023•大连模拟）△ABC内接于⊙O，AB＝AC，射线AD切⊙O于点A，过点B作BF∥AC，交⊙O于点E，交AD于点F．（1）如图1，求证：四边形ACBF为平行四边形；（2）如图2，连接CE，延长BO交F A的延长线于点G，BC＝6，CE＝3√10，求BC的长．5．（2023•碑林区校级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．6．（2023•庐阳区校级一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP 以及⊙O上，并且∠POM＝45°．（1）若AB＝2，求PD的长度；（2）若半径是5，求正方形ABCD的边长．7．（2023•莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若AC=4√3，求CF的长．8．（2023•定远县校级模拟）如图1，已知AB是半圆O的直径，BC是半圆O的切线，OC平行于弦AD．（1）连接BD，若BD＝BC，求∠C的度数；（2）如图2，过D作DE⊥AB于E，连接AC与DE交于点P，求证：PD＝PE．9．（2023•松原一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；̂的长（结果保留π）．（2）若CD=√3，BC=2√3，求AC10．（2023•西安二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作⊙O，⊙O与直角边AC相切，切点为E．（1）求证：∠DBE＝∠EBA；（2）若AB＝10，DB＝4，求EB的长．11．（2023•工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长．12．（2023•榆阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，点E是AB上的一点，以AE为直径的⊙O与BD相切于点M，⊙O交AC于点G，过点G作GF⊥AE交⊙O于另一点F，连接AF．（1）求证AF∥BD；（2）若AB＝6，BC＝8，求⊙O半径的长．13．（2023•长丰县模拟）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．（1）求证：∠BCE＝∠DAC．（2）若BE＝2，CE＝4，求AD的长．14．（2023•庐阳区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，CE与⊙O相切于点C，连接BD交AC于点P．（1）求证：∠DCE＝∠DBC；（2）若CE=√5，AD＝4，求tan∠ABD的值．15．（2023•雁塔区校级模拟）如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．（1）求证：CE⊥AB；（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．16．（2023•碑林区校级三模）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC，以AD为直径作⊙O，交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OB与EF交于点P，若OG＝3，EG＝4，求PG的长．。
中考复习证明圆的切线的两种方法
中考复习证明圆的切线的两种方法
方法一：直角三角形方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA⊥AB。
由于AB是切线，所以AB⊥OB。
综上可得：OA⊥AB⊥OB，即OA⊥OB，所以O、A、B三点共线。
由于直角三角形AOB中，AO⊥OB，所以AOB为直角三角形。
根据直角三角形的性质，AOB为直角三角形可推出∠OAB=90°。
所以，∠OAB=90°，即OA⊥AB，证明了AB是圆的切线。
方法二：几何方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA=OB=r。
根据圆的性质，点A到圆心O的距离为r，即AO=r。
因为AB是切线，所以∠OAB=90°。
又知，O、A、B三点共线，所以∠OBA=∠OAB=90°。
所以，三角形OAB是直角三角形。
由于OAB为直角三角形，可以利用勾股定理得到：AB²=OA²+OB²。
代入已知条件，可得AB²=r²+r²=2r²。
化简得到AB²=2r²，取平方根可得AB=√2r。
所以，AB=√2r，证明了AB是圆的切线。
综上所述，根据直角三角形方法和几何方法可以证明圆的切线。
圆的切线证明和有关计算复习
圆的切线证明和相关计算切线的性质与判定 1.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.2.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径.提示：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.（模型1：证平行）【例1】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例2】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（模型2：证全等）【例3】 如下图所示，以Rt ABC ∆的直角边BC 为直径作半圆O ，交斜边于D ，OE AC ∥交AB 于E ，⑴ 求证：DE是O ⊙的切线；【例4】 如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；EB【例5】 已知：O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ，以O 为圆心．以OD 为半径作圆O ．求证：O ⊙与AC相切．【例6】 如图，O ⊙是Rt ABC ∆的外接圆，90ABC ∠=︒，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA PB =．（1）求证：PB 是O ⊙的切线．（模型3：等量代换）【例7】 如图，AB 是O ⊙的直径，C 点在圆上，CD AB ⊥于D ．P 在BA 延长线上，且PCA ACD ∠=∠．求证：PC是O ⊙的切线．BP【例8】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；【例9】 如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点． （1）求证：BC 是O ⊙的切线；D CB A（模型4：三角形内角和定理） 【例10】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例11】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC是O ⊙的切线．【例12】 如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．与圆有关的面积和长度计算设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n Rl =扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法A O BD C 补充：在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例题：已知，如图，扇形AOB 的圆心角为120°，半径OA 为6cm .(1)求扇形AOB 的弧长和扇形面积；(2)若把扇形纸片AOB 卷成一个圆锥无底纸盒，求这个纸盒的高OH.【例1】 如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=，6BC =，点D 为BC 中点，将ABD △绕点A 按逆时针方向旋转120得到AB D ''△，则点D 在旋转过程中所经过的路程为 ．(结果保留π)【例2】 如图，已知半圆的直径12AB =厘米，点C D ，是这个半圆的三等分点，求弦AC AD ，和CD 围成的阴影部分面积．(结果用π表示)【例3】 将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，4cm 30AB BAC ︒=∠=，，则图中阴影部分面积为 cm 2．【中考链接】例1.（2016四川省内江市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC =45°，OB =2，则图中阴影部分的面积为（ ）B AC DD 'B 'A．π﹣4B．213π-C．π﹣2D．223π-例2.（2016山东省临沂市）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB=30°，AB=3，则阴影部分的面积是（）A．32B．6πC．326π-D．336π-例3.（2016山东省潍坊市）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=23，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．15332π-B．15332π-C．7346π-D．7326π-。
专题复习与圆的切线有关的证明与计算剖析
(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
有交点，连半径，证垂直
1.如图9所示，点O在∠APB的平分线上，⊙ O与PA相切 于点C. （1）求证：直线 PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙ O交于点E，若⊙O的半径为 3， PC=4. 求弦 CE 的长．
解：(1)如图，连结BD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt △ABC中， ∵CD平分∠ACB，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
︵︵ ∴AD＝BD，∴ AD＝BD.
∴Rt △ABD 为等腰直角三角形， AD＝BD＝5 2cm.
求证：AC是⊙ O的切线。
证明：过O作OE⊥AC于E
∵ AO平分∠BAC
OD⊥AB
∴ OE＝OD
E
∵ OE是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线
【教材原型 】
已知：如图， A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙ O 于点C，点B在圆上，且 AB＝BC，∠A＝30°， 求证：直线 AB是⊙O的切线．
证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC， ∠A＝30°， ∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°. ∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)
证明：（ 1）如图 1，连接 OE ， ∵OA=OE ， ∴∠EAO=∠AEO， ∵AE平分∠ FAH， ∴∠EAO=∠FAE， ∴∠FAE=∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF=180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上， OE是半径， ∴GF是⊙O的切线．
与圆的切线有关的计算与证明
专题复习 : 与圆有关的证明与计算一、例题讲解例题 1：如图，AB 是⊙ O 的直径，过点 B 作⊙ O 的切线 BM ，弦 CD ∥ BM ，交 AB 于点 F ，且 DA=DC ，连接 AC ，AD ，延长 AD 交 BM 地点 E 。
M(1) 求证：△ ACD 是等边三角形；DE(2) 连接 OE ，若 DE=2，求 OE 的长。
AOBFC练习：如图，⊙ O 为△ ABC 的外接圆， BC 为⊙ O 的直径， AE 为⊙ O 的切线，过点 B 作BD ⊥ AE 于 D 。
（1）求证：∠ DBA=∠ ABC ；（2）如果 BD=1，tan ∠ BAD= 1，求⊙ O 的半径。
AD2EBOC例题 2：如图 ，以线段 AB 为直径作⊙ O ， CD 与⊙ O 相切于点 E ，交 AB 的延长线于点 D , 连接 BE , 过点 O OC BE 交切线 DE 于点 C , 连接 AC 。
作 ∥(1)求证： AC 是⊙ O 的切线 ；（）若BD=OB= 4 , 求弦 AE 的长。
2练习：如图， AB 是⊙ O 的直径，半径 OD 垂直弦 AC 于点 E ．F 是 BA 延长线上一点，CDBBFD 。
（1）判断 DF 与⊙ O 的位置关系，并证明；（2）若 AB=10， AC=8，求 DF 的长。
CD EFA OB1二、课堂练习1．如图，⊙ O是△ ABC 的外接圆， AB= AC ，BD是⊙ O的直径， PA∥BC，与 DB的延长线交于点 P，连接 AD。
（1）求证： PA是⊙ O的切线；（ 2）若 AB= 5，BC=4 ，求 AD的长。
2．如图，已知 BC是⊙ O的直径，AC切⊙ O于点 C，AB交⊙ O于点 D，E 为 AC的中点，连结 DE。
(1)若 AD＝DB， OC＝5，求切线 AC的长；(2)求证： ED是⊙ O的切线。
ADEBOC3．如图，△ ABC中， AB=AC，点 D 为 BC上一点，且 AD=DC，过 A，B，D 三点作⊙O，AE是⊙ O的直径，连结 DE．（ 1）求证： AC是⊙ O的切线；（2）若 sin C 4 ，，求⊙O 的直径．5AC=6AOEB DC 4．如图，△ ABC内接于⊙ O，OC⊥AB于点 E，点 D在 OC的延长线上，且∠ B=∠D=30°.（1）求证： AD是⊙ O的切线；（2）若AB6 3 ,求⊙O的半径．AOE CBD25．如图，已知 BC是⊙ O的直径，AC切⊙ O于点 C，AB交⊙ O于点 D，E 为 AC的中点，连结 DE。
中考数学与圆的切线相关的证明与计算
中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。
2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·湖南·中考真题）如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，AB 是O 的直径，35E ∠=︒，则BOD ∠=（ ）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．110︒3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到A 点后放开，让此重物由A 点摆动到B 点．则此重物移动路径的形状为（ ）A ．倾斜直线B ．抛物线C ．圆弧D ．水平直线4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点,A B ，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ，交AB 于点C ，测出40cm 10cm AB CD ==,，则圆形工件的半径为（ ）A ．50cmB ．35cmC ．25cmD ．20cm5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（ ）A ．61︒B ．63︒C ．65︒D ．67︒6．（2024·湖北·中考真题）AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，且50CAB ∠=︒．①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交,AB BC 于,D E ；②分别以DE 为圆心，大于12DE 为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线BP ，则ABP ∠=（ ）A ．40︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，AB 是O 的直径，若60CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD 是O 的内接四边形，E 为AD 延长线上一点，128AOC ∠=︒，则CDE ∠等于（ ）A ．64︒B ．60︒C ．54︒D ．52︒9．（2024·云南·中考真题）如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若AC BC =，36AOC ∠=，则D ∠=（ ）A ．9B ．18C ．36oD ．4510．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）A ．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B ．平分弦的直径垂直于弦CD ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等11．（2024·广东广州·中考真题）如图，O 中，弦AB 的长为点C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（ ）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（ ）A B C D二、填空题14．（2024·四川南充·中考真题）如图，AB 是O 的直径，位于AB 两侧的点C ，D 均在O 上，30BOC ∠=︒，则ADC ∠= 度．15．（2024·北京·中考真题）如图，O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）.若35D ∠=︒，则C ∠= ︒16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠ ︒．18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为 ．19．（2024·陕西·中考真题）如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是BC 所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是 ．20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为 ．21．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是O 的直径，2AB =，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE AB ⊥，将DBE 沿DE 翻折交直线AB 于点F ，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为 ．22．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为 ，最小值为 .三、解答题23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1，若1BE =，CE =O 的半径；(2)如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答）25．（2024·安徽·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．(1)求证：CD AB ⊥；(2)设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE 是O 的直径，点A 在O 上，点C 在BE 的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长． 28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．29．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证：BD 是半圆O 的切线；(2)当3BC =时，求AC 的长．30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若AB =5BE =，求O 的半径．31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 经过A 、C 两点，交AB 于点D ，CO 的延长线交AB 于点F ，DE CF ∥交BC 于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若4AC =，tan 2CFD ∠=，求O 的半径．32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥，垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30,C CD ∠=︒=OBD 的面积．33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =， O 是ABC 的外接圆，点D 在O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD −与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD −与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD 中，AD AC ADC BAD <∠<∠，，延长AD 至点E ，使AE AC =，延长BA 至点F ，连结EF ，使AFE ADC ∠=∠．(1)若60AFE ∠=︒，CD 为直径，求ABD ∠的度数．(2)求证：①EF BC ∥；②EF BD =．2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·湖南·中考真题）如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒ 45A ∠=BOC ∴∠故选：C ．2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，AB 是O 的直径，35E ∠=︒，则BOD ∠=（ ）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．110︒【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出2AOD E ∠=∠．由圆周角定理得到270AOD E ∠=∠=︒，由邻补角的性质求出18070110BOD ∠=︒−︒=°．【详解】解：35E ∠=︒，270AOD E ∴∠=∠=︒，18070110BOD ︒∴∠=−︒=︒．故选：D ．3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到A 点后放开，让此重物由A 点摆动到B 点．则此重物移动路径的形状为（ ）A ．倾斜直线B ．抛物线C ．圆弧D ．水平直线【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧，故选：C ．4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点,A B ，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ，交AB 于点C ，测出40cm 10cm AB CD ==,，则圆形工件的半径为（ ）A ．50cmB ．35cmC ．25cmD ．20cm【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD 的长；设圆心为O ，连接OB ，在Rt OBD △中，可用半径OB 表示出OD 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【详解】解：∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴直线CD 经过圆心，设圆心为O ，连接OB ．Rt 根据勾股定理得：222OD BD OB +=，即：)2221020OB OB −+=，解得：25OB =；5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（ ）A ．61︒B ．63︒C ．65︒D ．67︒6．（2024·湖北·中考真题）AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，且50CAB ∠=︒．①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交,AB BC 于,D E ；②分别以DE 为圆心，大于12DE 为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线BP ，则ABP ∠=（ ）A ．40︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，AB 是O 的直径，若60CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到90ACB ∠=︒，同弧或等弧所对的圆周角相等得到60CDB A ∠=∠=︒，进一步计算即可解答．【详解】解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，60CDB ∠=︒，60A CDB ∴∠=∠=︒，9030ABC A ∴∠=︒−∠=︒，故选：A ．8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD 是O 的内接四边形，E 为AD 延长线上一点，128AOC ∠=︒，则CDE ∠等于（ ）A ．64︒B ．60︒C ．54︒D ．52︒ 【详解】解：ABC ∠是圆周角，与圆心角12AOC ∠=又四边形ABCD 是O 的内接四边形，180ADC =︒，又180CDE ADC ∠+∠=︒，64CDE ∴∠=∠︒，故选：A ．9．（2024·云南·中考真题）如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若AC BC =，36AOC ∠=，则D ∠=（ ）A ．9B ．18C ．36oD ．4510．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）A ．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B ．平分弦的直径垂直于弦C ．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．11．（2024·广东广州·中考真题）如图，O 中，弦AB 的长为点C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（ ）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定 ，再结合特殊角的正弦值，求出O 的OC 为半径，12AD ∴=ABC =∠AOC ∴∠=在ADO △sin AOD ∠sin AD OA ∴=，即O 的半径为5OP =>∴点P 在O 外，故选：C ．12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒ 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC ，由AB 是O 的直径得到90ACB ∠=︒，根据圆周角定理得到20CAB BEC ∠=∠=︒，得到9070ABC BAC ∠=︒−∠=︒，再由圆内接四边形对角互补得到答案.【详解】解：如图，连接AC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵20BEC ∠=︒，∴20CAB BEC ∠=∠=︒∴9070ABC BAC ∠=︒−∠=︒∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180110ADC ABC ∠=︒−∠=︒，故选：B13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（ ）A B C 2 D 并延长交O 于点F ()SAS ADC EBC ≌，再利用圆周角定理得到函数即可求解．【详解】解：延长AB 并延长交O 于点F∵四边形ABCD 内接于O ，∴ADC ABC ABC CBE ∠+∠=∠+∠∴ADC CBE ∠=∠∵45BAC CAD ∠=∠=︒︒，DAB ∠是O 的直径，90DCB =︒DCB 是等腰直角三角形，BCAD∴()SAS ADC EBC ≌ACD ECB ∠=∠，AC 2AB AD +=2AB BE AE +==又∵90DCB ∠=︒二、填空题14．（2024·四川南充·中考真题）如图，AB是O的直径，位于AB两侧的点C，D均在O上，30∠=︒，BOC ∠=度．则ADC是O的直径，位于均在O上，∠BOC=︒，15075︒；15．（2024·北京·中考真题）如图，O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若35∠=︒，则C∠=D︒【答案】55【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂径定理得到AB CD ⊥，由BC BC =得到35A D ∠=∠=︒，故903555C ︒︒∠=−=︒．【详解】解：∵直径AB 平分弦CD ，∴AB CD ⊥，∵BC BC =，∴35A D ∠=∠=︒，∴903555C ︒︒∠=−=︒，故答案为：55．16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．∵OB OC =，OBC ∠∴OCB OBC ∠=∠∴180BOC ∠=︒−∠117．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠ ︒．【答案】65【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵AC AC =,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒−︒=︒，故答案为：65．18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为 ．可证明(ASA ABD AED ≌BCE ∽△，得到BE AB 【详解】解：延长AC ，BD AB 是O 的直径，90ADB ADE ∴∠=∠=︒，∠AD 平分BAD ∴∠=又∵AD =∴(ASA ABD AED ≌25BD DE ∴==，45BE =，10AB =，25BD =，AD ∴=DAC ∠=又∵BAD ∠∴BAD ∠ADB ∠=ABD BEC ∴∽，BE BC AB AD∴=， 451045BC ∴=， 8BC ∴=，19．（2024·陕西·中考真题）如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是BC 所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是 ．【答案】90︒/90度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得2BOC A ∠=∠，结合三角形内角和定理，可证明2180A OBC OCB ∠+∠+∠=︒，再根据等腰三角形的性质可知OBC OCB ∠=∠，由此即得答案．【详解】A ∠是BC 所对的圆周角，BOC ∠是BC 所对的圆心角，2BOC A ∴∠=∠，180BOC OBC OCB ∠+∠+∠=︒，2180A OBC OCB ∴∠+∠+∠=︒，OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，2180A OBC OBC ∴∠+∠+∠=︒，22180A OBC ∴∠+∠=︒，90A OBC ∴∠+∠=︒．故答案为：90︒．20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为 ．，设O 的半径为Rt OED 中，由勾股定9=，在Rt AEC 中，由勾股定理即可求解．设O的半径为Rt OED中，由勾股定理得：r，解得：=5==5,OA OE=+AE OA OERt AEC中，由勾股定理得：故答案为：321．（2024·江西·中考真题）如图，AB是O的直径，2⊥，AB=，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE AB 将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为．【详解】解：AB为直径，的长为正整数时，时，即DE为直径，∵22．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为 ，最小值为 .与C在ABC 内部时，与C 相切于点在ABC AE 最小，分别画出图形，求出结果即可．90=︒，CA 9045︒=︒，在平面内旋转，与C 相切于点在ABC 内部时，则CD AE ⊥，∴90ADC CDE ∠=∠=︒，∴22231AD AC CD =−=−∵AC AC =，∴45CED ABC ==︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，∴CDE 为等腰直角三角形，DE CD =AE AD =AE 的最大值为AE 与C 相切于点在ABC 外部时，则CD AE ⊥，∴90CDE ∠=︒，∴222231AD AC CD =−=−=∵四边形ABCE 为圆内接四边形，∴180135CEA ABC =︒−=︒∠∠∴18045CED CEA =︒−=︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，∴CDE 为等腰直角三角形，DE CD =AE AD =AE 的最小值为故答案为：三、解答题23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1，若1BE =，CE =O 的半径；(2)如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答） Rt OCE 中，利用勾股定理求解即可；，利用垂径定理等可得出BF =Rt Rt CEO OFB ≌，得出，然后利用平行线的判定即可得证；法二：连接AD ，证明CEO ADB ∽，得出ABD ∠，然后利用平行线的判定即可得证【详解】（1）解∶∵OC OB =，()11802OBC OCB BOC ∠=∠=︒−∠， 2BOC BCE ∠=∠，)90BCE BCE ∠=︒−∠即O 的半径为2）证明：法一：过∴12BF BD =， ∵2BD OE =∴OE BF =，又OC OB =，OEC ∠=∠()Rt Rt HL CEO OFB ≌，COE OBF =∠，BD OC ∥；法二：连接AD ， ∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴22AD AB BD =−=∴1OC CE OE ===，∴CEO ADB ∽，COE ABD ∠=∠，BD OC ∥．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．25．（2024·安徽·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．(1)求证：CD AB ⊥；(2)设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．在ABC中．AB OA==2=AC ABAC的长为26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE是O的直径，点A在O上，点C在BE的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE 的长． BE 是O 的直径，OA OB =ABC ∴∠EAC ∠=CAE ∴∠=CAE ∴∠+OAC ∴∠OA 是O 的半径，是O 的切线；）解：EAC ∠=ABC EAC ∽△，CE AC， 4， ，AD 平分BAD \?∴BD DE =BD DE ∴=BE 是O 的直径，90BDE ∴∠=︒，22DE BD ∴==27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长． 【答案】(1)作图见详解的值，在直角BCM 中运用勾股定理即可求解．()1Rt BCM Rt BB M HL ≌，1CM B M =，Rt AMW 中，53WM ==AM CM =−是直径，90ACB =︒，Rt ABC 中，2x =（负值舍去）36x ==，Rt BCM 中，【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）． Rt AHP 中，利用正切的定义求出1）证明：如图，连接Rt AHP 中，AH PH， tan606︒=⨯，APH APB −∠29．（2024·江西·中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，连接BD BC ，，60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证：BD 是半圆O 的切线；(2)当3BC =时，求AC 的长． 【答案】(1)见解析(2)2π【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键．（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得30CAB ∠=︒，即可得90ABD??，进而可证得结论；（2）连接OC ，证明OBC △为等边三角形，求得120AOC ∠=︒，利用弧长公式即可解答．【详解】（1）证明：AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒， 60D ABC ∠=∠=︒，9030CAB ABC ∴∠=︒−∠=︒，18090ABD CAB D ∴∠=︒−∠−∠=︒，BD ∴是半圆O 的切线；（2）解：如图，连接OC ，,60OC OB CBA =∠=︒，OCB ∴为等边三角形，COB ∴∠=180AOC ∴∠=120360AC l ∴=30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若AB =5BE =，求O 的半径． 的长，设O 的半径为OD ，∵AB BD =，OA OD =，∴BO 垂直平分AD ，为O 的切线，BE ，为O 的直径，90ADC =︒，∴四边形BHDE 为矩形，BE ； ）由（1）知四边形设O 的半径为Rt AOH △解得：3r =即：O 的半径为31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 经过A 、C 两点，交AB 于点D ，CO 的延长线交AB 于点F ，DE CF ∥交BC 于点E ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若4AC =，tan 2CFD ∠=，求O 的半径．DE CFDE CF为O的切线．）过点C作CHACB为等腰直角三角形，42，AH=22【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥，垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30,C CD ∠=︒=OBD 的面积．是O 的半径；是O 的切线；）解：∵C ∠=132CD =DE ，180BDO =︒−∠33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =， O 是ABC 的外接圆，点D 在O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD −与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD −与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示） ）根据题意得出ABC 是等边三角形，则CE =，设BD ，证明(AAS AFB CDB ≌①当D 在BC 上时，在AD 上截取证明CAB DEB ∽，ABE V AB ⊥于点F ，得出2AB BC =进而即可得出结论；②当D AG ，证明CAB DAG ∽，CAD BAG ∽，同①可得AB =∴ABC 是等边三角形，则∵O 是ABC 的外接圆，AD 是BAC ∠的角平分线，则AD BC ⊥∵四边形ACDB 是圆内接四边形，120CDB ∠=︒DBC =∠=在Rt BDE △中，∴cos30BE BD =︒⋅=∴3BC =，∵AD 是直径，则ABD ?∵AB AB =∴60ADB ACB ∠=∠=∴DBF 是等边三角形，∴BF BD =，则BFD ∠∴120AFB ∠=︒∵四边形ACDB CDB ∠=∴ABC 是等边三角形，则在,AFB CDB 中AFB CDB BAF BCD AB CB ∠=∠∠=∠= ∴(AAS AFB CDB ≌AF CD =，AD BD AD DF −=−AD BD CD −=；3）解：①如图所示，当在AD 上截取DE BD =∵AB AB =∴ACB ADB ??又∵,CA CB DE DB ==∴CAB DEB ∽，则∠AB BC EB BD =即AB BC =又∵ABC EBD ∠=∠ABE CBD ∠=∠ABE CBD V V ∽Rt BCF 中，sin 2BC α⋅=∴2sin2AB BC α=⋅ ∴2sin 2AD BD CD α−=，即②当D 在AB 上时，如图所示，延长∵四边形ACDB 是圆内接四边形，∴180GDA ACB ∠=∠=又∵,CA CB DG DA ==∴CAB DAG ∽，则∴AC AB AD AG =即AC AB =又∵CAB DAG ∠=∠CAD BAG ∠=∠∴CAD BAG ∽CD AC BG AB=， BG BD DG BD =+=同①可得2sin AB AC =⋅CD AC ==34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD 中，AD AC ADC BAD <∠<∠，，延长AD 至点E ，使AE AC =，延长BA 至点F ，连结EF ，使AFE ADC ∠=∠．(1)若60AFE ∠=︒，CD 为直径，求ABD ∠的度数．(2)求证：①EF BC ∥；②EF BD =． 可证明ADG AEF ∽，CDA △60AFE =︒，∽，，ADG AEF，=∠，ABD ACDBGD，∽，∵ADG AEFAD GD=，AE EFAD AE=，GD EFAC AE=，BD EF=，AE AC。
证明圆的切线范文
证明圆的切线范文圆的切线是与圆的边界相切且只与圆相交于切点的直线。
证明圆的切线需要运用几何知识和性质，下面将进行详细的证明。
假设有一个圆，圆心为O，半径为r。
现在我们要证明，通过圆上一个点A的直线可以与圆相切。
首先，连接圆心O和切点C，得到OC的直线段。
根据圆的性质可知，OC与圆的边界相切于切点C。
设切线与圆相交于点B，由于切线是直线，所以OB是切线的一部分。
我们知道，圆的半径是由圆心到圆上任意一点的线段。
所以，OA是圆的半径，OC也是圆的半径。
根据三角形的性质可知，三角形OAB和三角形OCB为等腰三角形，即OA=OC、OB=OC。
所以我们可以得到OAB和OCB为等腰三角形。
利用等腰三角形的性质可知，当一个角的两边相等时，那么这个角为直角。
所以，∠OCB为直角。
而OC是切线的一部分，所以OC与切线垂直。
综上所述，我们证明了通过圆上的一个点A的直线可以与圆相切，并且切线与半径OC是垂直的。
此外，还可以证明圆的切线只与圆相交于切点的部分。
假设有一个圆，圆心为O，半径为r。
现在我们要证明，通过圆上一个点A的直线只与圆相交于切点。
首先，连接圆心O与切点C，得到OC的直线段。
设切线与圆相交于点B，那么根据切线的定义，OB是切线的一部分，并且OB与圆心O不重合。
为了证明直线AB只与圆相交于切点C，我们假设直线AB与圆相交于另外一个点D。
连接圆心O与点D，得到OD的直线段。
由于AB与圆相交于点D，所以OD与切线AB之间必然存在一个角∠ODB。
下面我们来分析∠ODB的大小。
根据圆的性质可知，圆上的任意两条边界之间的角都是圆心角。
而∠OCB是圆心角，那么∠OCB是OD与OB之间的一个角。
由于OC与切线AB垂直，所以∠OCB为直角。
即OD与OB之间的∠OCB为直角。
而∠ODB为∠OCB的补角，由余角定理可知，补角为直角的角也是直角。
所以∠ODB为直角，也就是说OD与切线AB垂直。
同时，由于OD与切线AB相交于点D，那么OD也是切线AB的一部分，即切线AB与半径OD垂直。
完整版)证明圆的切线经典例题
完整版)证明圆的切线经典例题证明圆的切线有以下两种常用方法：一、若直线l过圆O上某一点A，证明l是圆O的切线，只需连OA，证明OA⊥l即可。
这种方法简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。
举例来说，对于△ABC中，若AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，且B为切点的切线交OD 延长线于点F，要证明EF与圆O相切。
我们可以连结OE和AD，因为AB是圆O的直径，所以AD⊥BC。
又因为AB=BC，所以∠3=∠4，∠1=∠2，从而BD=DE。
又因为OB=OE，OF=OF，所以△BOF≌△EOF（SAS），因此∠OBF=∠OEF。
因为BF与圆O相切，所以OB⊥BF，即∠___。
因此EF与圆O相切。
这个例子是通过证明三角形全等证明垂直的。
二、若AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD，要证明___与圆O相切。
我们可以作直径AE，连结EC。
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠DAB=∠DAC。
因为PA=PD，所以∠2=∠1+∠DAC。
因为∠2=∠B+∠DAB，所以∠1=∠B=∠E。
因为AE是圆O的直径，所以AC⊥EC，∠E+∠___，因此∠1+∠___，即OA⊥___。
因此PA与圆O相切。
这个例子是通过证明两角互余，证明垂直的，需要综合运用知识。
另外，对于例3中的问题，我们也可以通过连结OD和AD来证明DM与圆O相切。
因为AB是圆O的直径，所以AD⊥BC。
又因为AB=AC，所以∠1=∠2.因为DM⊥AC，所以∠2+∠4=90.因为OA=OD，所以∠1=∠3，∠3+∠4=90.因此OD⊥DM，即DM是圆O的切线。
本文将介绍证明圆的切线常用的三种方法。
第一种是利用相似三角形证明∠1=∠2.第二种是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.第三种是利用梯形的性质证明∠1=∠2，但需要先证明A、O、B三点共线。
对于第一种方法，我们可以通过观察图形发现，∆OAB与∆OCD相似，因为它们有两个对应角分别相等。
圆的切线证明方法
圆的切线证明方法
圆的切线证明方法，以下是一种基本的证明方法：
设有一个圆，以O表示圆心，r 表示圆的半径，P 表示圆上的任意一点。
1. 通过圆心O 和点P 作直线OP，连接O 和P。
2. 在OP 上取一点Q，使得OP = OQ，即OQ = r。
3. 连接Q 和P。
4. 证明OP ⊥QP：
(a) 观察OPQ，由构造可知OP = OQ，∠OQP = ∠OPQ = 90，因此OP ⊥QP。
5. 检验点P 是否在圆上：
(a) 证明OP = r：
OP = OP (构造上有一个等边三角形OPQ)
OP = OQ (构造上OP = OQ)
OP = r（圆的定义）
(b) 证明点P 在圆上：
因为OP = r，所以点P 与圆心O 之间的距离等于圆的半径r，因此点P 在圆上。
6. 结论：直线OP 是圆的半径，通过点P 且垂直于切线QP。
这就是一种证明圆的切线的方法。
通过构造等边三角形和性质的推导，我们可以证明平面上任意一点到圆的切线垂直于半径，且点P 在圆上。
这种方法简单直观，容易理解。
当然，这只是其中一种证明方法，圆的切线还可以通过其它方法进行证明。
但这种证明方法是最基本和常用的一种，可以帮助我们理解圆与切线的关系。
圆切线证明的方法
,.切线证明法切线的性质定理 :圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１ : 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２ : 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判断定理 : 经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理 :从圆外一点能够引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线均分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线， 假如已知直线过圆上的某一个点， 那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例 1 】如图 1 ，已知 AB 为⊙ O 的直径，点 D 在 AB 的延伸线上， BD ＝OB ，点 C 在圆上，∠CAB ＝30 o ．求证： DC 是⊙ O 的切线．思路：要想证明 DC 是⊙ O 的切线，只需我们连结 OC ，证明∠OCD ＝90 o即可．证明：连结 OC ，BC ．C∵AB 为⊙ O 的直径，∴∠ACB ＝90o ．∵∠CAB ＝ 30o ，∴BC ＝ 1AB ＝OB ．2∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 1OD ．∴∠OCD ＝90o ．2∴DC 是⊙ O 的切线．AOBD图 1【评析】必定要分清圆的切线的判断定理的条件与结论， 特别要注意 “经过半径的外端 ”和“垂直于这条半径 ”这两个条件缺一不行， 不然就不是圆的切线．【例 2】如图 2 ，已知 AB 为⊙ O 的直径，过点 B 作⊙ O 的切线 BC ，连结OC ，弦 AD ∥OC ．求证： CD 是⊙ O 的切线．CD2 431AOB图 2思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判断定理．欲证明CD 是⊙ O 的切线，只需证明∠ ODC ＝90 o 即可．证明：连结 OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1 ＝∠3，∠2 ＝∠4 ．∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2 ．∴∠3＝∠4 ．又∵OB＝OD ， OC＝OC，∴△OBC≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙ O 的切线，∴∠OBC ＝90 o ．∴∠ODC ＝ 90o ．∴DC 是⊙ O 的切线．【例 3 】如图 2 ，已知 AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点， AD 和过的切线相互垂直，垂足为 D ．求证： AC 均分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点DC 的半径． 2 1A3O 证明：连结 OC ．图 3C点B∵CD 是⊙ O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1 ＝∠2．∵OC ＝OA ，∴∠1 ＝∠3 ．∴∠2 ＝∠3 ．∴AC 均分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的地点一般是确立的．在解决相关圆的切线问题时，协助线经常是连结圆心与切点，获得半径，那么半径垂直切线．【例 4 】如图1，B、C是⊙ O上的点，线段AB经过圆心O，连结AC、BC，过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ，∠ACD =2 ∠B．AC 是⊙ O 的切线吗？为何？解： AC 是⊙ O 的切线．原因：连结 OC ，∵OC= OB，∴∠OCB= ∠B．∵∠COD 是△BOC 的外角，∴∠COD = ∠OCB+ ∠B=2 ∠B．∵∠ACD =2 ∠B，∴∠ACD = ∠COD ．∵CD⊥AB 于 D，∴∠DCO + ∠COD=90 °．∴∠DCO + ∠ACD=90 °．即 OC⊥AC．∵C 为⊙O 上的点，∴AC 是⊙ O 的切线．【例 5 】如图2，已知⊙Ｏ是△ ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB 的延伸线上的一点， AE⊥DC 交 DC 的延伸线于点 E，且 AC 均分∠EAB．求证：DE 是⊙ O 的切线．证明：连结 OC ，则 OA = OC，∴∠CAO = ∠ACO ，∵AC 均分∠EAB，∴∠EAC= ∠CAO = ∠AC Ｏ，∴AE∥CO，又 AE⊥ DE，∴CO ⊥DE，∴DE 是⊙ O 的切线．二、直线与圆的公共点未知时须经过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例 6 】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙ O与AB边相切于点D．证明 :连结 OD ，作 OE⊥AC，垂足为 E．∵AB=AC, OB= OC ．∴AO 为∠BAC 角均分线，∠ DAO= ∠EAO∵⊙O 与 AB 相切于点 D ，∴∠BDO = ∠CEO=90 °．∵AO=AO∴△ADO ≌△AEO ，因此 OE= OD ．∵OD 是⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径．∴⊙O 与 AC 边相切．【例 7 】如图，在△ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D ，交 AC 于 E，B 为切点的切线交 OD 延伸线于 F.求证： EF与⊙ O 相切 .证明：连结 OE， AD.∵AB 是⊙ O 的直径，∴AD ⊥ BC.又∵AB=BC ，∴∠3= ∠4.⌒⌒∴BD=DE ，∠1= ∠2.又∵OB=OE ， OF=OF ，∴△BOF ≌△EOF（SAS）.∴∠OBF= ∠OEF.∵BF 与⊙ O 相切，∴OB ⊥ BF.∴∠OEF=90 0 .∴EF与⊙O 相切.说明：本题是经过证明三角形全等证明垂直的【例 8 】如图， AD 是∠BAC 的均分线， P 为 BC 延伸线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O 相切.证明一：作直径 AE，连结 EC.∵AD 是∠BAC 的均分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD ，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2= ∠B+ ∠DAB ，∴∠1= ∠B.又∵∠B= ∠E，∴∠1=∠E∵AE 是⊙ O 的直径，∴AC⊥EC，∠E+ ∠EAC=90 0.∴∠1+ ∠EAC=90 0 .即OA⊥PA.∴PA与⊙O 相切.证明二：延伸 AD 交⊙ O 于 E，连结 OA ， OE.∵AD 是∠BAC 的均分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+ ∠BDE=90 0 .∵OA=OE ，∴∠E= ∠1.∵PA=PD ，∴∠PAD= ∠PDA.又∵∠PDA= ∠BDE,∴∠1+ ∠PAD=90 0即 OA ⊥PA.∴PA 与⊙ O 相切说明：本题是经过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.【例 9】如图， AB=AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BC 于 D，DM ⊥AC 于 M 求证：DM 与⊙O 相切.证明一：连结 OD.∵AB=AC ，∴∠B= ∠C.∵OB=OD ，,.∴∠1= ∠B.∴∠1= ∠C.∴OD ∥AC.∵DM ⊥AC，D∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙ O 相切证明二：连结 OD ，AD.∵AB 是⊙ O 的直径，∴AD ⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1= ∠2.∵DM ⊥AC，∴∠2+ ∠4=90 0∵OA=OD ，∴∠1= ∠3.∴∠3+ ∠4=90 0.即 OD ⊥DM.∴DM 是⊙ O 的切线说明：证明一是经过证平行来证明垂直的的，解题中注意充足利用已知及图上已知.C.证明二是经过证两角互余证明垂直【例 10 】如图，已知： AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，且∠CAB=30 0，BD=OB ，D 在 AB 的延伸线上 .求证： DC 是⊙ O 的切线证明：连结 OC、 BC.∵OA=OC ，∴∠A= ∠1= ∠30 0 .∴∠BOC= ∠A+ ∠1=60 0.又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形 .∴OB=BC.∵OB=BD ，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC 是⊙ O 的切线 .说明：本题解法颇多，但这种方法较好.【例 12 】如图，AB是⊙ O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证： PC 是⊙ O 的切线 .证明：连结 OC∵OA 2 =OD ·OP ，OA=OC ，∴OC2 =OD ·OP，OC OP .OD OC又∵∠1= ∠1 ，∴△OCP∽△ODC.,. D∴∠OCP= ∠ODC.∵CD⊥AB，∴∠OCP=90 0 .∴PC 是⊙ O 的切线 .说明：本题是经过证三角形相像证明垂直的【例 13 】如图，ABCD 是正方形， G 是 BC 延伸线上一点， AG 交 BD 于 E，交CD于F.求证： CE 与△CFG 的外接圆相切 .剖析：本题图上没有画出△ CFG 的外接圆，但△ CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取FG 的中点 O，连结 OC ，证明 CE⊥OC 即可得解 .证明：取 FG 中点 O ，连结 OC.∵ABCD 是正方形，∴BC⊥CD ，△CFG 是 Rt△∵O 是 FG 的中点，∴O 是 Rt △CFG 的外心 .∵OC=OG ，∴∠3= ∠G，∵AD ∥BC，∴∠G= ∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE= ∠CDE=45 0，∴△ADE ≌△CDE（SAS）∴∠4= ∠1，∠1= ∠3.∵∠2+ ∠3=90 0 ,∴∠1+ ∠2=90 0 .即 CE⊥OC.∴CE 与△CFG 的外接圆相切二、若直线 l 与⊙ O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙ O 的切线，只需作OA ⊥ l ，A 为垂足，证明 OA 是⊙ O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例 14】如图， AB=AC ，D 为 BC 中点，⊙ D 与 AB 切于 E 点.求证： AC 与⊙D 相切.证明一：连结 DE，作 DF⊥AC， F 是垂足 .∵AB 是⊙ D 的切线，∴DE⊥ AB.∵DF⊥ AC，∴∠DEB= ∠DFC=90 0 .∵AB=AC ，∴∠B= ∠C.又∵BD=CD ，∴△BDE≌△CDF（AAS ）∴DF=DE.∴F 在⊙D 上.∴AC 是⊙ D 的切线证明二：连结 DE， AD ，作 DF⊥ AC， F 是垂足 .∵AB 与⊙ D 相切，∵AB=AC ，BD=CD ，∴∠1= ∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是经过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角均分线的性质证明 DF=DE 的，这种习题多半与角均分线相关.【例 15 】已知：如图，AC ，BD 与⊙ O 切于 A 、B，且 AC∥BD，若∠COD=90 0.求证： CD 是⊙ O 的切线 .证明：连结 OA ， OB，作 OE⊥ CD 于 E，延伸 DO 交 CA 延伸线于 F.∵AC ， BD 与⊙ O 相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠F= ∠BDO.又∵OA=OB ，∴△AOF ≌△BOD （ AAS ）∴OF=OD.∵∠COD=90 0，∴CF=CD ，∠1= ∠2.又∵OA ⊥AC ，OE⊥CD ，∴E 点在⊙ O 上.∴CD 是⊙ O 的切线 .。
与圆的切线有关的计算与证明
与圆的切线有关的计算与证明（1）类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．图Z12－1 经典母题答图【解析】如答图，连结OC.∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．【中考变形】[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图Z12－2解：(1)如答图①，连结AC，∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；中考变形答图①中考变形答图②(2)如答图②，连结AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.【中考预测】[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1)求证：AP＝AB；(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3，∴PO＝2.在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25，∵12PC·OH＝12OC·OP，∴OH＝OP·OCPC＝455，∴CH＝OC2－OH2＝85 5，∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝165 5，∴BP＝BC－PC＝1655－25＝655.类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．图Z12－4经典母题答图证明：如答图，连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．【中考变形】1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．图Z12－5 中考变形1答图解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)证明：如答图，连结OC，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直线CD是⊙O的切线．2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB 于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．图Z12－6 中考变形2答图【解析】(1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，根据“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE＝90°，从而得证；(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，∴DE＝12BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.【中考预测】如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．图Z12－7 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.B∵DE 与⊙O 相切，∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠ODB ＋∠BDE ＝90°， ∵∠ACD ＝∠OBD ，∠OBD ＝∠ODB ，∴∠BDE ＝∠BCD ， ∵∠AED ＝∠ABC ，∴∠AFC ＝∠DBF ，∵∠AFC ＝∠DFB ，∴△ACF 与△FDB 都是等腰三角形， ∴FH ＝BH ＝12BF ＝1，∴HD ＝DF 2－FH 2＝3，在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，即(OD －1)2＋32＝OD 2， ∴OD ＝5.即⊙O 的半径是5.与圆的切线有关的计算与证明（2）1.如图8，CD 是⊙0的切线，切点为A,AB 是⊙0的直径.E,F ⊙0上的点,(1)求证：∠DAE=∠FDE//A B.(2)若EF //CD,求证:△AEF 是等腰三角形2.如图7⊙0的半径为1，过点A(2，0)的直线切 ⊙0于点B ，交y 轴于点C.(1)求线段AB 的长；(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式．3、在△ABC 中，AB=AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切于D 、E 、F. （1）求证：BF=CE ；（2）若∠C=30°，CE AC.4.如图10，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长5 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连结DE 、BE ，且∠C =∠BED ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若OA =10，AD =16，求AC 的长．6. 如图，MP 切O ⊙于点M ，直线PO 交O ⊙于点A 、B ，弦AC MP ∥， CE D AF OBP(1)求证：MO BC ∥．(2补充)连结CM,当四边形BCMO 为菱形时,求∠P 的度数或反过来问:当30P ∠=°时,判断四边形BCMO 的形状7. 如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的AC 于点N ．（1）求证MN 是O ⊙的切线；（2）若1202BAC AB ∠==°，，求图中阴影部分的面积．8 如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN ，若∠MAC=∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线；（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ， 过D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ． 求证：FD ＝FG ．9. 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求10. 已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，O ⊙于点45E BAC ∠=，°． （1）求EBC ∠的度数； （2）求证：BD CD =．11. 如图，在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B M ，两点的O ⊙交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为O ⊙的直径． 求证：AE 与O ⊙相切；BMN A ED C GBFDB12. 如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．=；（2选做）若2AD=，⊙O的半径为3，求BCB。
证明圆的切线的方法
证明圆的切线的方法
圆的切线是指经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线。
2条定理如下：
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
根据这两条定理，我们就可以得到证明圆的切线的一般思路。
口诀：
1、连半径，证垂直
2、作垂线，证半径
一、若直线L过⊙O上某一点A，证明L是⊙O的切线，只需连OA，证明OA ⊥L就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。
证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.1不常用，2.一般常用。
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《小专题22 与圆的切线有关的计算与证明》
1. （白银中考改编）如图，在△ABC中，∠ABC=90°
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）试判断（1）中AC与⊙O的位置关系，并证明
2. （沈阳中考）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是O上的两点，过点A作⊙O 的切线交BE延长线于点C
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长
3. （黄石中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC 的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD=DF，连接CF，BE.求证：
（1）DB=DE：
（2）直线CF为⊙O的切线
4. （天津中考）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°
（1）如图1，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小
5. 如图所示，MN是⊙O的切线，点B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过点C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过点C作CE⊥BD于点E
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2+2，求⊙O的半径r
6. （河南中考）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G.填空：
①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形,
②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形
7. （教材P102习题T12变式）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，DE=2，CD=4
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求⊙O的半径R；
（3）延长AB，DC交于点F，OH⊥AC于点H.若∠F=2∠ABH，则BH的长为（直接写出）
参考答案
1. 解：（1）作图略，
（2）AC与⊙O相切，证明：过点O作OD⊥AC于点D.∵CO平分∠ACB，∠ABC=90°，∴OB=OD.∵OB为⊙O的半径，⊙O与直线AC相切.
2. 解：（1）连接OA.∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，
即∠OAC=90°.∵∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°∴∠C=90°－∠AOE=90°－50°=40°.
（2）∵AB=AC，∴∠B＝∠C.∴∠AOC=2∠B=2∠C.∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C＝3∠C=90°.∴∠C=30∴OC.设⊙O的半径为r.∵CE=2，
∴（r+2）.解得r=2.∴⊙O的半径为2.
3. 证明：（1）∵E为△ABC的内心，∴∠DAC=∠DAB，∠CBE=∠EBA.
又∵∠DBC=∠DAC，∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB＝∠EAB+∠EBA，
∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE.
（2）连接OD∵BD=DF，O是BC的中点，∴OD∥CF.又∵BC为⊙O的直径，OB=OD，∴∠ODB=∠DBO=∠DAC=45°.∴∠BCF=∠BOD＝90°.∴BC⊥CF.
又OC为⊙O的半径，∴直线CF为⊙O的切线.
4. 解：（1）∵AB是⊙O的直径，∠BAC=38°，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°－∠ACB－∠BAC=180°－90°－38°=52°.∵D为的中点，
∴.∴∠ACD=∠BCD=ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.
（2）连接OD. ∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP=90°.∵DP∥AC，
∠BAC=38°，∴∠P=∠BAC＝38°，∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°.
∴∠∠AOD=64°.∵OC=OA，∠BAC=38°，∴∠OCA=∠BAC=38°.
∴∠OCD=∠ACD－∠OCA=64°－38°=26°.
5. 解：（1）证明：连接OB，OC.∵MN是⊙O的切线，∴OB⊥MN.∵∠CBN=45°，CE⊥BD，∴∠OBC=45°，∠BCE=45°.∵OB=OC，∴∠OBC＝∠OCB=45°.
∴∠OCE=90°，即OC⊥CE.又∵点C在⊙O上，∴CE是⊙O的切线.
（2）∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，∴四边形BOCE是矩形.又∵OB=OC，∴四边形BOCE是正方形.∴BE=CE=OB=OC=r.在Rt△CDE中，∠D=30°，CE=r，
∴DE=r.∵BD=2+2，∴r+r=2+2.解得r=2.即⊙O的半径r为2.
6. （1）证明：连接OC.∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°.
∴∠ECF+∠FCO=90°.∵DO⊥AB，∴∠BFO+∠B=90°.又∵∠CFE=∠BFO，
∴∠CFE+∠B=90°.∵OB=OC，∴∠FCO＝∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=FE.
（2）①30°②22.5°
7. 解：（1）证明：连接OC，∵FD切⊙O于点C，∴OC⊥FD.∵AD⊥FD，
∴OC∥AD.∴∠ACO=∠DAC.∵OC=OA，∴∠ACO＝∠CAO.∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB.
（2）作OG⊥AE于点G，则AG=EG，四边形OCDG为矩形.
∴OG=CD=4，OC=DC ＝R.
∴EG=R－2=AG.在Rt△AGO中，∴R＝5.
（3）2。