平面与空间直线的方程以及它们的位置关系

平面与空间直线的方程以及它们的位置关系

高天仪 20101105055

数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班

指导教师 李树霞

摘要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的.平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些几何对象的方程的代数问题了.在这里，我们通过向量来讨论一下平面和空间直线的方程以及它们之间的位置关系. 关键词 法向量;方向向量;参数方程

1空间平面的方程

1.1空间平面的一般方程

一个平面π是由垂直它的非零向量},,{C B A =和平面上的一个点),,(0000z y x M 唯一决定的，称为π的法向量.

由于为平面π的法向量，0M 为π上一点，则对于空间中任意一点),,(z y x M ，M 在π上当且仅当 00=⋅MM 或OM ⋅=⋅0 （1.1—1） 用坐标来表示，化为

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

令)(000Cz By Ax D ++-=，则得到平面的方程

0=+++D Cz By Ax （1.1—2）

这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示.反之，对于任何一个三元一次方程

0=+++D Cz By Ax C B A ,,不全为0

不妨设0≠A ，则该方程又可写成 0)(=+++

Cz By A D x A 作过点)0,0,(A

D -，垂直于方向},,{C B A 的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面..由（1.1—2）表示的方程称为平面的一般方程.

1.2空间平面的法式方程

把（1.1—1）式两边同时与

=

λ相乘，符号的选取使得0)(0≥⋅OM λ.这样 n n λ=0

为从原点指向平面π的单位向量 0)(≥⋅=OM p o λ

为原点O 与平面π的距离.此时可以得到π的另一种方程表示

p n OM =⋅001=，p ≤0

称为平面的法式方程，选取的λ称为法化因子.它的几何意义是：平面π是由所有的满足在垂直于π的直线上投影向量为0pn 的点M 构成的.若以给平面π的方程为

0=+++D Cz By Ax

则π的法式方程可以表示成

0)(=+++D Cz By Ax λ 其中法化因子2221

C B A ++±=λ，λ正负号的选取要使得0≤

D λ.法式方程常

用来处理和点与平面的距离有关的问题.

1.3空间平面的参数方程

图1 从图1中可以看出，平面π是由π上一点0M 与两个不共线的与π平行的向量b a ,（或者说是π上两个不共线的向量）所决定的.设0M ),,(000z y x ∈π，),,(321a a a =，),,(321b b b =，，与π平行且0≠⨯.则空间中任意一点),,(z y x M 在π上，当且仅当M 0,,三向量共面.从而有实数k ，m ，使得 m k M +=0 或者 m k OM ++=0

使用分量来表示，则可得到

⎪⎩

⎪⎨⎧++=++=++=330220110mb ka z z mb ka y y mb ka x x （1.3—1）

我们称（1.3—1）为平面的参数方程，其中参数为k 和m .从（1.3—1）中消去参数k ，m ，可以得到关于x ,y ,z 的三元一次方程 32132

100

0b b b a a a z z y y x x ---=0

1.4空间平面的截距式方程

对于由方程0=+++D Cz By Ax 所表示的平面π.假设π过原点O ，即)0,0,0(在π上当且仅当0=D .若0≠D ，则平面π可用方程 1=++c

z b y a x （1.4—1） 表示，其中)0,0,(a ，)0,,0(b ，),0,0(c 分别为π与三个坐标轴的交点坐标.则我们称（1.4—1）为平面的截距式方程.

2空间直线的方程

2.1直线的对称式（点向式）方程

空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的

直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量.

任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量.

图2

如图2，直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任

意一点,00r OM =, r =,由于M 0与v (非零向量)共线,则

v t r r =-0

即 v t r r +=0 （2.1-1）

叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）.

如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = ,又设},,{Z Y X v = ，那么由（2.1-1）

式得

⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （2.1-2）

叫做直线l 的坐标式参数方程.

消参数t 即得

Z

z z Y y y X x x 000-=-=- (2.1-3) 叫做直线l 的对称式方程或称直线l 标准方程.

例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程.

(图3)

解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为直线l 上的任意点（如

图3），那么 },,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-==

所以直线l 的向量式参数方程为

);(121r r t r r -+= （2.1-4）

坐标式参数方程为 ⎪⎩

⎪⎨⎧-+=-==-+=)()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （2.1-5）

对称式方程为 1

21121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （2.1-6） 方程（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）都叫做直线l 的两点式方程.

若取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v ,则直线的方程为

00v t r r +=(参数方程)