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高考数学复习第八章立体几何8.7利用空间向量求空间角理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ 23，因此 a 与 b 的夹角为 30°， 即斜线与平面的夹角也为 30°.
18/100
(3)[教材习题改编]如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， M，N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点，则 sin〈C→M，D→1N〉的值为
45 ___9_____．
已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体，E，F 分别是 棱 AB，BC 上的动点，且 AE＝BF.当 A1，E，F，1 C1 共面时，平 面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为___2_____．
34/100
解析：以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
35/100
易知当 E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1 四点共面．设平 面 A1DE 的 法 向 量 为 n1 ＝ (a ， b ， c) ， 依 题 意 得 nn11· ·DD→ →EA＝ 1＝66aa＋＋36bc＝ ＝00， ，
可取 n1＝(－1,2,1)．同理可得平面 C1DF 的一个法向量为 n2 ＝(2，－1,1)．故平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为 ||nn11|·|nn22||＝12.
42/100
则nn22· ·OO→ →BC11＝ ＝00， ，
即
2x＋2z＝0， 2y＋2z＝0，
取 z＝－ 2，则 x＝2，y＝2，则 n2＝(2,2，－ 2)．
设二面角 C1－OB1－D 为 θ，
则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
2＝ 10
510，
故二面角 C1－OB1－D 的余弦值为
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(3)[教材习题改编]如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， M，N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点，则 sin〈C→M，D→1N〉的值为
45 ___9_____．
已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体，E，F 分别是 棱 AB，BC 上的动点，且 AE＝BF.当 A1，E，F，1 C1 共面时，平 面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为___2_____．
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解析：以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
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易知当 E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1 四点共面．设平 面 A1DE 的 法 向 量 为 n1 ＝ (a ， b ， c) ， 依 题 意 得 nn11· ·DD→ →EA＝ 1＝66aa＋＋36bc＝ ＝00， ，
可取 n1＝(－1,2,1)．同理可得平面 C1DF 的一个法向量为 n2 ＝(2，－1,1)．故平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为 ||nn11|·|nn22||＝12.
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则nn22· ·OO→ →BC11＝ ＝00， ，
即
2x＋2z＝0， 2y＋2z＝0，
取 z＝－ 2，则 x＝2，y＝2，则 n2＝(2,2，－ 2)．
设二面角 C1－OB1－D 为 θ，
则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
2＝ 10
510，
故二面角 C1－OB1－D 的余弦值为
用向量方法求空间中的角 课件
求空间距离
●
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．
思路点拨： AB是平面AEC1F的斜线段，AB在平面AEC1F的法向量 方向上的投影长即为点B到平面AEC1F的距离，所以应先求出平面 AEC1F的一个法向量，再利用向量的数量积求解．
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
图形
1．对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： (1)斜线与平面的夹角范围是0，π2；而直线与平面的夹 角范围是0，π2. (2)设A→B在平面 α 内的射影为A′→B′，且直线 AB 与平面 α 的夹角为 θ，则|A′→B′|＝|A→B|·cos θ.
解析： 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，F0，12，0， E1，12，1，B(1,1,0)． ∴A→E＝0，12，1， A→F＝－1，12，0.
设平面 AEC1F 的法向量为 n＝(1，λ，μ)， 则 n·A→E＝0，n·A→F＝0.
∴12－λ＋1＋μ＝12λ0＝，0，
用向量方法求空间中的角
空间角的向量求法
角的 分类
向量求法
图形
异面 设两异面直线所成的角为
直线 θ，它们的方向向量为 a，b，
所成 则 cos θ＝_|c_o_s_〈__a_·_b_〉__| ＝ |a·b|
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
用向量法求空间角 人教课标版精品公开PPT课件
设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线 lθ与＝平_π2面__－α__θ所__1 成__的_，角且为sθin，θ向＝|量_c_ov_s与_θ_n_1的_|_＝夹__|角_|v_v|为_··_θ_n|_|n1_|，__则_.
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
《立体几何中的向量方法--空间角的计算》课件5(59张PPT)(新人教A版选修2-1)
1
S
2
y x − 2 = 0 y−z=0 2
x = ⇒ z =
y 2 y 2
任取 n2 = (1, 2,1)
的情况， 的情况，二面角等于法向 量夹角
∴ cos < n1 , n2 >=
n1 in2 6 6 = 即所求二面角得余弦值是 | n1 || n2 | 3 3
BD CD AB 解：如图，AC = a ， = b ， = c ， = d . 如图，
β
C D B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
AB = AC + CD + DB
d = AB = ( AC + CD + DB ) 2
2
2
α
2
A
= AC + CD + BD + 2( AC ⋅ CD + AC ⋅ DB + CD ⋅ DB )
2 2
B A
y
1 − +1 AF1 i BD1 30 = = 4 = cos < AF1 , BD1 > 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10
x
练习： 练习： 在长方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， = 5，AD = 8, AB
N
C1
B1
M A B
D
C
y
AM i A1 D＝0 ⇒ A1 D ⊥ AM .
x
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
二、线面角： 线面角：
θ 直线与平面所成角的范围： ∈ [0, ]
A
π
2
思考： 思考：
S
2
y x − 2 = 0 y−z=0 2
x = ⇒ z =
y 2 y 2
任取 n2 = (1, 2,1)
的情况， 的情况，二面角等于法向 量夹角
∴ cos < n1 , n2 >=
n1 in2 6 6 = 即所求二面角得余弦值是 | n1 || n2 | 3 3
BD CD AB 解：如图，AC = a ， = b ， = c ， = d . 如图，
β
C D B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
AB = AC + CD + DB
d = AB = ( AC + CD + DB ) 2
2
2
α
2
A
= AC + CD + BD + 2( AC ⋅ CD + AC ⋅ DB + CD ⋅ DB )
2 2
B A
y
1 − +1 AF1 i BD1 30 = = 4 = cos < AF1 , BD1 > 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10
x
练习： 练习： 在长方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， = 5，AD = 8, AB
N
C1
B1
M A B
D
C
y
AM i A1 D＝0 ⇒ A1 D ⊥ AM .
x
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
二、线面角： 线面角：
θ 直线与平面所成角的范围： ∈ [0, ]
A
π
2
思考： 思考：
利用空间向量求空间角PPT教学课件
澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
返回
西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0
用向量法求空间角ppt 人教课标版
即
1 － ＋λ ＝0， 2 λ － ＋λ ＝0. 经检验，当 AS＝
1 1 1 2 → → 故 λ ＝ ，此时AS＝(0， ， )，|AS|＝ . 2 2 2 2 2 时，ES⊥平面 AMN. 2 2 . 2
故线段 AN 上存在点 S，使得 ES⊥平面 AMN，此时 AS＝
变 式 2 . 如 图 ， 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ， P A 平 面 A B C D， 2 a， E 是 线 段 P D 上 的 点 ， PE BF F 是 线 段 AB上 的 点 ， 且 ( 0 )． ED FA 1 当 1 时 ， 求 直 线 E F 与 平 面 ABCD所 成 的 角 ； P A A D a， A B
3. (1) 【 证 明 】 ∵PA⊥ 平 面 ABCD ， ∴PA⊥AB. 再由 AB⊥AD，得 AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥PD ，又∵AE⊥PD ，∴PD⊥平面 ABE，故 BE⊥PD.
(2)【解析】 如图所示，以 A 为原点，AB、AD、AP 所 在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 C、D 的坐标 分别为(a，a,0)，(0,2a,0)． ∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角． ∴∠PDA＝30°.
3 2
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( ) 10 30 A. B. 10 10 2 15 3 10 C. D. 10 10
答案
B
解析 建立坐标系如图． 则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． → ＝(－1,0,2)，→ BC AE＝(－1,2,1)，
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
用向量方法求空间中的角 课件
错解:以点 C 为原点,分别以, , 1 的方向为x 轴、y 轴、z
轴正方向建立空间直角坐标系,如图.
设 BC=2,CC1=a(a>0),
则 A(4,0,0),A1(4,0,a),B(0,2,0),B1(0,2,a).
由 A1B⊥B1C,得1 ·1 = 2 − 4 = 0,
∴a=2.
用向量方法求空间中的角
空间中的角的向量求法
设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α,β 的法向量分别为 u,v,
则
(1)两条直线 l,m 的夹角为 0 ≤ ≤
则 cos = |cos <a,b>|=
|·|
;
||||
π
2
,
(2)直线 l 与平面 α 所成的角为 0 ≤ ≤
θ=sin φ.
|·|
或cos
||||
3.二面角
剖析:(1)二面角的取值范围是[0,π].
(2)用向量求二面角的平面角有两种方法:
①几何法:若 AB,CD 分别在二面角 α-l-β 的两个半平面内,且是
与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角(
或其补角)(如图①).
示的空间直角坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,
所以 A(0,0,0),B
3, −1,0 ,
3, 1,0 , 0,2,0 , 0,0,2 ,
3 1
( 3, 0,0),
, ,1 ,
2 2
所以 = ( 3, 0,0), =
3 1
, ,1
2 2
.
设平面 AEF 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),
设 n=(x,y,z)是平面 A1ABB1 的一个法向量,则
用向量方法求空间中的角32页PPT
用向量方法求空间中的角
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
32
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
32
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
第七节 利用空间向量求空间角 (高中数学精品课件PPT)
[小题查验基础]
返回
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角． ( × )
(2)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a ∥
c，a ⊥b .
(√ )
(3)已知向量m ，n 分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若
所以公式中要加绝对值．
|a ·n | 量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a ，n 〉|＝ ❷.
|a ||n |
3．二面角
返回
(1)若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直
的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量―A→B 与
―C→D 的夹角，如图(1)．
(2利 〈)平用 n面1，公αn式与2〉与β与相二二交面面于角角的直大平线小面l，的角平关时面系，α，要的是注法相意向量为n 1，平面β的法 向等量还为是n互2，补〈，n需1，要n结2〉合＝图θ形，进则行二判面断角．α -l -β为直线l与平面α所成的角为120°. ( × ) (4)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平
面所成的二面角的大小为45°.
( ×)
二、选填题
返回
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是
A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角
BD(1由(()20证已，,0明,知02,)：0，，)，―ED得(→CE0|c(,＝02o,,s42〈(,)00，,―)2N，,M0→H)P(，，0(0，―，―DB0→B→0E,1,4＝)〉，)，(|2N＝,0(|1|，――NN,2→H－→H,0)|2·|．――)BB．→E→E ||
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则 mAF 0,mAE 0
所以
1
y2 2 z2 1 2 x2 y2
0 0
取y2=1,得x2=z2=-2
C x
故m=(-2, 1,-2)
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
观察图形知，二面角
cosm, AA1
mAA1 m AA1
2 31
2 3
F-AE-D为锐角，所以
所求二面角F-AE-D的
得两异面直线所成角的余弦值
6
例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、 DD1的中点，
(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
(2)求二面角F-AE-D的余弦值。
A1
D1
B1
C1
F
A D
E B
C
7
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
b´
m
o•
a
a´
b´
b
பைடு நூலகம்
n
cos cos m, n
b
n
cos cos m,n
13
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为 m 和 n ，
所以，异面直线a、b所成的角的余弦 值为
cos cos m, n m n m n
x1x2y1y2z1z2
x12y12z12 x22y22z22
O
AF1 (12,0,1), BD1 (12,12,1) A
cosAF1,BD1 AF1BD1 AF1 BD1
1 0 4 5
1 3
x
30 10
42
所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为 30 10
B1
By
5
点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤
建系 求两异面直线的方向向量
求两方向向量的夹角的余弦值
B C
故n=(1,-1,-1)
cosn,B1C1
nB1C1 0 1 0 n B1C1 1 3
3 3
故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3
3
D y
8
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
3
二、知识讲解与典例分析
例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB
o 的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=O 1，取A1B1 、
A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
O1
B1
F1
D1
A1
O B
A
4
例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB
n2
n1
n2
n1
n1,n2
n1,n2
cos cos n1, n2
cos cosn1,n2
16
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
B处.从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a
和 b,CD的长为 ,cAB的长为 .求d 库底与水坝所成二面角的余弦值.
得直线与平面所成角的正弦值
9
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余
弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1,1),E(1,1,0) A1
D1
2
2 B1
C1
F
1
1
AF (0,1, )A , E ( ,1,0)
2
2
A
Dy
设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2), B
E
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
2
向量的有关知识：
1、两向量数量积的定义：a ·b= |_a_|·_|b_|_·_c_o_s_〈__a_,_b_〉 a b
2、两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 = ___a____b ____ 3、平面的法向量：_与__平__面__垂__直__的__向__量___
余弦值为 2
10
3
点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤
建系 求两平面的法向量
求两法向量的夹角的余弦值
得二面角的余弦值
11
异面直线所成的角 （范围：
0,
2
）
o 过空间任意一点 分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那
么直线a´与b´ 所成的不大于90°的角 ，叫做异面直线a与b
所成的角。
z
B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)
A1
D1
B1C1 (0,1,0),
B1
A1B (1 ,0,1 )A , C (1 ,1 ,0)
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
C1 A
则 nA1B 0,nAC 0
X1+z1=0 所以 X1+y1=0
取x1=1,得y1=z1=-1x
a
a´
o• b´
b
12
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为m 和 n ，
（1）当 m与 的n 夹角 不大于90°时，异面 直线a、b 所成的角
与 和 的m夹角 n
相等
（2）当 m与 n的夹 角大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与 和m 的n 夹
角 互补
ma
a´
o•
解：如图，A a ， C B b ， D C c ， D A d . B
B
化为向量问题
C
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
D
进行向量运算 d2A2B (A C C D D)B 2
A
222
A C B D D 2 ( A C C A D D C C B D D ) B
14
直线与平面所成的角（范围：
0,
2
）
A n
A n
B
O
问题1 的余角与< AB , n >
的关系？ 相等
cos(
2
) =
cos
AB, n
B
O
问题2 的余角与< AB , n >
的关系？ 互补
cos(
)
=
cos
AB,
n
2
所以，直线与平面所成的角的正弦值为
sin = cos AB, n 15
二面角 （范围：0,）
§3.2.3立体几何中的 向量方法
1
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
o 的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=O 1，取A1B1 、
A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
解：以点O为坐标原点建立空间直角坐
z
O1
标系,如图所示，并设OA=1,则：
F1
D1
A(1,0,0)
B(0,1,0)
F1( 1 ,0,1) 2
D1( 1 , 1 ,1) A1 22