21有限差分法基础
《有限差分方法基础》课件
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等 领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并 行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合 、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数 值计算方法，适用于各种微分方程的 求解，尤其在偏微分方程的数值求解 中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条 件，提供精确度和稳定性较高的数值 解，是科学研究、工程技术和实际应 用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方 法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以 便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换 为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式 进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的 数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真 实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择 稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判 断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛 性分析等。
3第二章有限差分方法基础解读
3第二章有限差分方法基础解读有限差分方法是数值计算中常用的一种方法，用于求解偏微分方程的数值解。
它的基本思想是将连续的空间或时间域离散化为有限的点，然后用差分近似代替导数，将偏微分方程转化为差分方程，从而得到问题的数值解。
有限差分方法的基础概念有三个：差分节点、差分近似和差分方程。
差分节点是指将连续的自变量区域划分为离散的点，这些点被称为节点。
差分近似是指用函数在差分节点上的函数值来近似代替它们的导数值。
差分方程是指在差分节点上建立的方程，用来表示问题的数值解。
在有限差分方法中，常用的几种差分格式有：向前差分、向后差分和中心差分。
其中，向前差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}$，向后差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}$，中心差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$。
这些差分格式的选择要根据问题的具体情况和求解的精度要求来确定。
有限差分方法中，差分方程的建立是非常重要的一步。
一般来说，差分方程的建立需要利用边界条件和初始条件。
对于初始条件，通常是指给定问题在初始时刻或初始位置上的条件；而边界条件是指给定问题在边界上的条件。
缺乏良好的边界条件和初始条件会导致差分方程无法建立或无法得到合理的数值解。
因此，在使用有限差分方法求解偏微分方程时，需要仔细考虑问题的边界条件和初始条件，并将其合理地纳入差分方程中。
有限差分方法还包括时间步长和空间步长的选择。
时间步长是指时间域上的离散间隔，空间步长是指空间域上的离散间隔。
时间步长和空间步长的选取要兼顾问题的稳定性和精度要求。
一般来说，时间步长和空间步长越小，计算的精度越高，但计算量也会增加。
因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和计算资源的限制来选择合适的步长。
廖敦明《有限差分法基础》第2章 数值模拟方法概述
第二节 数值分析方法（4/6）- 有限元法/FEM
有限元法又可分为位移法、利用余位进行变化的方法和用混合积分的混 合法三种。 有限元法的位移法，其实质就是将求解区域划分为有限个单元，通过 构造插值函数，把问题化为一个变分问题（即求泛函数值的问题），经过 离散化得到计算格式，利用计算格式来求解相应问题。变分法证明求解某 些微分方程的问题等效于将泛函数的相关量进行最小化。如果相关于因变 量的节点值使泛函数最小，那么所得到的条件表达式就是所需要的离散化 方程。也就是说，求解一个微分方程边值问题就可以通过寻找某一变分问 题的极值函数来解决。有限元解题的基本过程: 对一个具体的工程应用分析， 在确定了分析计算的基本方案后，就可以按建模（即建立几何模型）、分 网（即建立有限元模型）、加载（即给定边界条件）、求解（有限元求解） 和后处理（即计算结果的可视化）等几个步骤实施分析计算。
新进展-热应力模拟及热裂纹预测
(华铸课题组成果) -热应力模拟及热裂纹预测
FEM热应力模拟
行星架铸件
裂纹
热裂倾 向较大
FEM热应力模拟 (华铸课题组成果)
数控机床横梁铸件长约11米，重约 30吨，最薄壁厚只有30毫米。
铸造成形模拟仿ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ技术
FEM热应力模拟 (华铸课题组成果)
横梁铸件等效应变分布及变形情况（变形放大 10倍）
《有限差分法基础》讲义
第2章 数值模拟方法概述
廖敦明 华中科技大学
18071121688, 87558134 liaodunming@
华中科技大学材料学院华铸软件中心 材料成形与模具技术国家重点实验室
第一节 研究目的与研究内容（1/13） 1．研究目的 数值模拟(CAE)技术是通过建立能够准确描述研究 对象某一过程的数学模型，采用合适可行的求解方法， 使得在计算机上模拟仿真出研究对象的特定过程，分析 有关影响因素，预测这一特定过程的可能趋势与结果。 材料成形数值模拟CAE技术最终的研究目的是在计 算机虚拟的环境下，通过交互方式，能够制定合理的工 艺，而不需要或少做现场试生产。从而可以大幅度缩短 新产品开发周期，降低废品率，提高经济效益。
有限差分方程
有限差分方程有限差分方程（Finite Difference Equation）有限差分方程是数值分析中一种常用的数值解法，用于近似求解微分方程。
它的基本思想是将连续的函数或方程转化为离散的差分形式，通过有限个点上的函数值来逼近微分方程的解。
首先，我们需要定义一个离散的网格。
将自变量的定义域分成有限个小区间，并在每个小区间上选择一个节点。
这些节点上的函数值将用来近似描述整个区域上的函数行为。
然后，利用差分运算来逼近微分运算。
常用的差分运算有一阶前向差分、一阶后向差分和中心差分。
一阶前向差分可以用来近似求解一阶导数。
它的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$其中，h为网格的步长，f(x)为在节点x处的函数值。
一阶后向差分也可以用来近似求解一阶导数。
它的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$中心差分是一种更准确的差分近似方法，可以用来近似求解一阶导数和二阶导数。
对于一阶导数，中心差分的定义为：$$f'(x)≈\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$对于二阶导数，中心差分的定义为：$$f''(x)≈\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$有限差分方程的求解过程需要将微分方程转化为差分形式。
将微分方程中的导数用差分近似代替，并将其转化为一个线性方程组。
然后，通过解这个线性方程组，得到离散网格上的函数值，从而得到近似解。
需要注意的是，有限差分方程的求解结果只是近似解，并不是精确解。
但是在实际应用中，有限差分方程是一种非常有效的数值解法，可以用来求解各种类型的微分方程，例如常微分方程、偏微分方程等。
总之，有限差分方程是一种常用的数值解法，通过将微分方程转化为离散的差分形式，利用离散点上的函数值来近似求解微分方程。
在实际应用中，有限差分方程可以有效地求解各种类型的微分方程，具有广泛的应用价值。
有限差分法基本原理
流体力学
模拟流体在各种情况下的运动和传输现象， 如空气动力学、水力学等。
热传导
用于研究材料中的热传导现象，如传热设 备的设计和材料的热特性分析。
结构力学
分析结构中的应力、应变等力学性质，用 于优化结构设计和评估结构的稳定性。
电磁场
分析电磁场的分布和变化规律，用于电磁 波传播、电路设计等领域。
有限差分法的优缺点
有限差分法在实际工程中的应用
流体动力学
模拟流体在航空、航天等领 域的流动性能，评估气动设 计和分 析材料的热传导特性、预测 温度场的分布。
结构分析
评估结构的稳定性和强度， 优化结构设计，分析材料的 力学性能。
3 差分法程式
利用节点上的差分近 似替代连续的偏微分 方程，从而得到离散 的差分方程。
有限差分法的基本步骤
网格划分
将求解域划分为离散的节 点，构建求解网格。
边界条件
明确边界上的条件，用于 确定差分方程的边界值。
离散方程
利用节点上的差分近似， 将偏微分方程转化为离散 的差分方程。
有限差分法的应用领域
有限差分法基本原理
有限差分法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值逼近解。它通 过将连续的偏微分方程转化为差分方程，从而实现数值求解。
有限差分法的概述
1 定义
有限差分法是一种将 连续的偏微分方程离 散化为差分方程的数 值方法。
2 离散化
通过在网格上对偏微 分方程进行离散化， 将求解域划分为有限 个离散的节点。
隐式-显式格式
结合了显式和隐式格式的 优点，兼顾计算速度和稳 定性。
有限差分法的误差分析
1
稳定误差
2
主要由数值格式和边界条件的选择 引起，不会随网格精度改变而改变。
4第四讲 有限差分方法基础
3u 3 x
8
(二）. 微商（偏导数）的差商近似:待定系数法
3）待定系数方法
9
(二）. 微商（偏导数）的差商近似:差分算子
4) 差分算子方法 ●定义以下差分算子：
n n u u 移位算子： E x j j
（当移位为+1时可省略）
n n 1 E t1 u n E u u j t j j
1 2u 1 3u 2 x x T , E o( x ) 2 3 2 x 3! x
由于T.E.是 o( x ) 为一阶小量，故上述差商近似（差分格式） 称为一阶（精度）格式
7
(二）. 微商（偏导数）的差商近似: Taylor’s公式 类似地可得；
1 2 1 2 x
算术平均算子：
xu
n j
1 1 n n (u 1 u 1 ) (E j j 2 2 2 2
x
E
)u
n j
1 2 2) x (Ex Ex 2
1
1
n n n n 前差算子： x u j u j 1 u j ( E x 1)u j n n 1 n 后差算子： x un j u j u j 1 (1 E x )u j
x n n!
( x0 x0 x )
u x
( x0 , y0 )
u( x0 x , y0 ) u( x0 , y0 ) T .E . x
T.E.=Truncation Error
T . E.
u 采用差分格式中的记法： x
其中:
(i, j)
ui 1, j ui , j x
有限差分法解偏微分方程
有限差分法解偏微分方程综述绪论有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
完整版有限差分方法概述.doc
有限差分法（ Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。
1.基本思想有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法基础
• 我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变 量离散取值后对应的函数值。
• 有限差分法的具体操作分为两个部分：
• (1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得 到差分方程组的数学形式；
d2 dx2
f (x)=
f (x x) 2 f (x) (x)2
f (x-x) +O(x2 )
(11)
d 2 f (x) f (x x) 2 f (x) f (x-x)
(12)
dx2
(x)2
（12）式称为二阶导数的二阶精度中心差分形式。忽略Δx的四次方及更高阶项
整理课件
12
总结： 对一阶导数 1、向前差分形式： 2、向后差分形式： 3、中心差分形式：
f (x x) f (x) x d f (x) (x)2 d 2 f (x) (x)3 d 3 f (x) (x)4 d 4 f (x)
dx
2! dx2
3! dx3
4! dx4
（1） （2）
（1）式减去（2）式，得到：
d f (x)= f (x x) f (x-x) +O(x2 )
（1）第一类边界条件
狄利克莱问题
G g(s)
（a） 直接转移法
在图中网格是按正方形分割， 步长为h。0点为靠近边界G的一个网格节点， 1和2为边界节点。我们取最靠近0点的 边界节点1上的函数值作为0点的函数值。 即取φ0≈φ1。
这种方法称为直接转移法，又称为零次插值法。
整理课件
20
（b） 线性插值法 先判断x方向的边界节点1和y方向的边界节点 2哪一个更靠近0点。
有限差分方法
有限差分方法有限差分方法一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
偏微分方程初值问题的差分法许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。
描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质：若初始时刻t=t0的解已给定,则t t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。
利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
双曲型方程的差分方法最简单的双曲型方程的初值问题是：式中嫓(x)为已知初值函数。
这初值问题的解是：u(x,t)=嫓(x-at)。
(2)由(2)可见，(1a)(1b)的解(2)当a>0时代表一个以有限的速度a沿特征线x-at=常数向右传播的波,而解u(x,t)在P(慜,惭)点的值完全由嫓(x)在x轴上的点A(慜-а惭,0)的值决定。
A点就是双曲型方程(1a)在P点的依赖域(图1)。
3第二章_有限差分方法基础
3第二章_有限差分方法基础有限差分方法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值近似解。
它的基本思想是将求解域离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代求解差分方程的解来逼近原方程的解。
有限差分方法的基础是差分近似。
差分近似是将连续函数在一组离散点上进行近似表示的方法。
差分近似的基本思想是用函数的差商来近似函数的导数。
例如，对于函数f(x)，在点x上的导数可以用差商表示为f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h，其中h是一个小的正数。
有限差分方法的核心是离散化。
离散化是将求解域划分为有限个网格点，然后在这些网格点上进行近似计算。
通常使用均匀网格，即将求解域等分为相同大小的网格。
在每个网格点上，用差分近似来代替偏微分方程中的导数项，将偏微分方程转化为离散的差分方程。
在离散的差分方程中，未知函数在每个网格点上的值可以通过迭代求解得到。
迭代的过程是通过将差分方程中的未知函数值代入到方程中，然后求解得到新的未知函数值。
不断迭代直到满足一定的收敛准则，得到近似解。
有限差分方法有很多的变形和扩展。
其中最基础的是一维情况下的有限差分方法，它适用于求解一维偏微分方程。
在一维情况下，求解域只有一个自变量x，因此只需要在x方向上进行离散化。
除了一维情况，有限差分方法还可以扩展到更高维的情况，例如二维和三维情况。
在二维情况下，求解域有两个自变量x和y，需要在x和y 方向上都进行离散化。
在三维情况下，求解域有三个自变量x、y和z，需要在x、y和z方向上都进行离散化。
有限差分方法的优点是简单易懂，计算效率高。
它可以应用于各种偏微分方程的求解，包括椭圆方程、双曲方程和抛物方程等。
然而，有限差分方法也有一些局限性，例如对于复杂的几何形状和边界条件的处理比较困难。
总之，有限差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值近似解。
它通过将求解域离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代求解差分方程的解来逼近原方程的解。
有限差分法基础
有限差分法求解示例
求微分方程：
u x u 0
u x ex u 0
sin x
2 cos x ,0
x
的数值解。
离散网格点
x0 x1 x2 x3
xn-1 xn
差商代替微商
令
h M , xi ih
得到差分格式
ui1
2ui h2
ui1
ui
fi
u0 uM 0
得到的线性方程组
2.针对某一点，用差商近似代替导数
对流方程在 (xi ,点tn )为
n
n
0
t i x i
t
tn1 tn tn1
o
x xi1 xi xi1
t
x
差分方程的建立过程
时间导数用一阶向前差商近似代替：
n
n1 i
in
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似代替：
n
n i 1
n i 1
x i
0
0
1.0 100 0
100 0
0
1.5 100 200 -100 100 0
0.5 0.6 0.7
0
00
00
0
00
0
00
100
0.8 0.9 1.0
00
100
0 100 100
100 0
100
-100 200 100
差分法的基本理论
1.相容性
Ti n1
Tin
t x 2
(Ti
n 1
2Tin
Tin1)
37.5 68.8 100
45.3 68.8 100
热传导方程的求解
如仍取 10 2 , x 0.1, 而为缩短计算时间，时间 步长 取t 1.0 ，则最终的差分方程：
3第二章_有限差分方法基础
求解域被划分为一系列离散的时空网格点
图2.1 3. 解的离散表示
求解域的离散化
目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。
u( xk , tn )=u(k x, nt )
(k 0,1, , M ; n 0,1, , N )
n 后文中， 把 u( xk , tn ) 记为 uk 。
2.1.3 差分格式
同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的 有限差分近似。 1. FTCS (Forward difference in Time, Central difference in Space) 格式 时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。
n 1 n n n n uk uk uk 1 2uk uk 1 t x 2
4. 判断tn T 是否成立
成立 5. 输出结果
不成立
令n n 1
2. BTCS 格式
n 1 n n 1 n 1 n 1 uk uk uk uk 1 2uk 1 t x 2
(2.1.14)
可以改写为
n1 n1 n +1 n uk +1 -(1 2 )uk + uk -1 =-uk
0 uk f ( xk ) (k 0,1, , M ) n u0 a(tn ) (n 0,1, ) n uM b(tn ) (n 0,1, )
在研究数值方法时，通常把 tn 时刻的物理量视为已知量，而把 tn+1 时刻的物 理量作为待求的未知量。 因此，式 (2.1.13) 可以改写成
n n n x uk uk 1 uk n n n x uk uk uk 1
空间方向的向前差分、向后差分和中心差分记为
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Hu, C., Y. Cai, and Z. Wang (2012), Effects of large historical earthquakes, viscous relaxation, and tectonic loading on the 2008 Wenchuan earthquake, Journal of Geophysical Research, 117, B06410, doi:10.1029/2011JB009046. (SCI, IF: 3.303)
d3 dx3
f (x) (x)4 4!
d4 dx4
f (x)
f (x x)
f (x) x d dx
f (x) (x)2 2!
d2 dx2
f (x) (x)3 3!
d3 dx3
f (x) (x)4 4!
d4 dx4
f (x)
（1） （2）
对于函数f(x)，通常意义下的导数（微商）定义为：
x
lim
f
(x dx) dx
f (x)
x
lim
f
(x) f (x dx) dx
x
lim
f
(x dx) f (x dx) 2dx
当dx→0时，以上三种形式都是微商的正确定义。 如果dx是有限的，如何给出微商的近似定义？
如果Δx很小，f(x)可微，则以上级数收敛。 次数越高，收敛级数的项的绝对值越小。
由（1）得到，
f (x x) f (x) x d f (x) (x)2 d 2 f (x) (x)3 d 3 f (x) (x)4 d 4 f (x)
dx
2! dx2
3! dx3
• 有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中 独立变量的连续取值。
• 我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注 独立变量离散取值后对应的函数值。
• 有限差分法的具体操作分为两个部分： • (1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，
从而得到差分方程组的数学形式； • (2)求解差分方程组。
由（4）给出导数的一阶精度（first order accurate）近似为：
d f (x) f (x x) f (x)
dx
x
（5）
（5）式称为向前差分格式（forward-difference formula）
由（2）式得到
f (x)
f (x-x) x d dx
f (x)- (x)2 2!
3. 如何数值求解差分方程组
2.2 网格剖分
• 网格剖分就是研究区域和边界的离散化 • 1.矩形分割 • 2.三角形分割 • 3.极网格分割
对地球物理问题的连续求解区域通过网格划分离散为空间上得一系 列网格点，接下来需要利用一定的差分格式对偏微分方程组中的导 数用差商进行近似，从而将偏微分方程组离散化为差分方程组。
d2 dx2
f (x) (x)3 3!
d3 dx3
f (x)- (x)4 4!
d4 dx4
f (x)
d f (x) f (x) f (x x) +O(x)
dx
x
由（7）式得到导数的另一个一阶精度近似：
d f (x) f (x) f (x-x)
dx
x
（8）
有限差分法的主要内容
1. 建立地球物理问题的离散有限差分模型 （1）如何根据问题的特点将定解区域做网格划分； （2）如何在所有网格节点上用有限差分格式对导数求近似， 对函数、初始条件和边界条件求近似； （3）如何把原方程离散化为代数方程组，即有限差分方程组。
2.从理论上研究有限差分模型的形态，以保证计算过程的可行性和计算结果的正确性 （1）解的相容性； （2）解的稳定性； （3）解的收敛性。
有限差分方法的基本特点 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学 概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
2.1 有限差分法基础
有限差分方法的基本原理
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求 解域。有限差分方法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数 用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点 上的函数值为未知数的代数方程组。
4! dx4
d f (x) f (x x) f (x) O(x)
dx
x
（3） （4）
d f (x) f (x x) f (x) O(x)
dx
x
（4）
式中的O(x)项表示忽略掉的所有项中的最大项的量级 是Δx，也就是说，忽略掉这些项带来的误差中的最大 项和Δx成正比。
2.3 差分格式
用Taylor级数展开可以给出微商的近似形式。
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dx变为Δx
对于连续函数f(x)，它在相邻点上的值f(x+Δx)和f(x- Δx)可以用Taylor 级数展开为
f (x x)
f (x) x d dx
f (x) (x)2 2!
d2 dx2
f (x) (x)3 3!
第二章 有限差分法
主讲人：胡才博 中国科学院大学地球科学学院 中国科学院计算地球动力学重点实验室
第二章 有限差分法
• 2.1 有限差分法基础 • 2.2 网格剖分 • 2.3 差分格式 • 2.4 差分方程 • 2.5 应用实例
解析方法的局限性 1. 地球内部介质，不仅存在纵向非均匀结构（一维地球模型）， 也存在横向非均匀结构（不同块体、断层系统）； 2. 几何模型也呈现出相当的复杂性； 3. 另外，边界条件和初始条件对于不同问题具有特殊性。
（8）式称为向后差分形式（backward-difference formula）。
（6） （7）
f (x x)
f (x) x d dx
2.1 有限差分法基础
对于存在复杂介质和几何、特殊边界条件和初始条件的实际地质问题， 一般不存在解析解，需要近似的数值求解方法。 有限差分方法是地球物理方法中最常见的一种。
有限差分方法（Finite Difference Method, FDM）是计算机数值模拟最 早采用的方法，至今仍被广泛使用。