《等腰直角三角形中地常用模型》

等腰直角三角形中的常用模型

一【知识精析】

1、等腰直角三角形的特征：

①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形：

以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点

（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点

E ，过C 作C

F ⊥AD 于点F 。 （1）求证：BE-CF=EF ；

（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新

的结论并证明。

如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。 （1）求证：M 为BE 的中点

（2）若PC=2PB ，求MB

PC

的值

(3)

(1)

(2)F E

D C B A

A B C D

E F (1)

（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。 （1）求证：BG=AF ；

（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º

，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD

于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .

变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC

于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。

变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。

(1)

G

G

B A C

D E F

(2)(1)F

E D C B A

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边

等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形

例1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上一点，

过C 作CD ⊥

BE 于D ，连接

AD ，求证：∠ADB ＝45°。

变式1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上一点，点D 为BE 延长线上一点，

且∠ADC ＝135°求证：BD ⊥DC 。

变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE

于D ，DM ⊥AB 交BA 的延长线于点M ，

（1）求BC AB BM +的值；（2）求AB BC AM

-的值。

模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点

（1）两个等腰直角三角形共直角顶点

C

(2)

(1)

B

例1、如图1，△ABC 、△BEF 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠BEF =90º，连接AF 、CF ，M

是AF 的中点，连ME ，将△BEF 绕点B 旋转。猜想CF 与EM 的数量关系并证明；

（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：

（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：

如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠BED =90º。把DE 平移到CF ，使E 与C 重合，连接AE 、AF ，则△AEB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ABE =∠ACF ）

例.如图：两个直角三角形ABC 、ADE 的顶点A 重合，P 是线段BD 的中点，连PC 、PE 。 （1）如图1，若∠BAC =∠DAE =45°，当A 、C 、D 在同一直线上时，线段PC 、PE 的关系是 ；

（2）如图2、3，将⊿BAC 绕A 旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。

(3)(1)图（1）

M F

E B

C

A 图1P E D C B

A A

B C

D E

P 图2

A B C

D

E

P 图3(2)(1)

A

F

B D E

C

三【巩固练习】 1．如图，在ABC Rt ∆中，AC AB =,∠︒=90BAC ,D 、E 为BC 上两点，∠︒=45DAE ，F 为ABC ∆外一点，且FB ⊥BC ,AE FA ⊥,则下列结论：①BF CE =;②

222DE CE BD =+;③EF AD S ADE ⋅=

∆41

;④2222AE BE CE =+,其中正确的是 A 、①②③④ B 、①②④

C 、①③④

D 、②③

2．已知：Rt ⊿ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，若O 是BC 的中点，以O 为顶点作∠MON ，交AB 、AC 于点M 、N 。

（1）若∠MON =90°（如图1），求证：①OM=ON ；②BM 2+CN 2=MN 2

；

（2）若∠MON =45°（如图2），求证：①AM+MN =CN ；

3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）。

（1）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°，连OD ，求∠AOD 的度数；

（2）过A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式

1=-OF

FM

AM 是否成

图1N

M O C

B A 图2

N M O

C

B

A